(共14张PPT)
1.3.1 函数的最值
观察下列两个函数的图象：
图1
0
x0
x
M
y
思考1:设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M，则对函数定义域内任意自变量x，f(x)与M的大小
关系如何？
y
x
0
x0
图2
M
思考2:设函数f(x)=1-x2，则f(x)≤2成立吗？f(x)的最大值是2吗？为什么？
思考3:怎样定义函数f(x)的最大值？
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I, 都有f(x)≤M；
（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M。
那么称M是函数f(x)的最大值，记作fmax(x)=M。
思考4:函数f(x)的最大值是函数值域中的一个元素吗？如果函数f(x)的值域是(a,b)，则函数f(x)存在最大值吗？
思考5:函数f(x)=1-2x(x>1)有最大值吗？为什么？是否定义域为开区间的函数都没有最大值？
图1
y
0
x0
x
m
观察下列两个函数的图象：
x
y
0
x0
图2
m
思考1:仿照函数最大值的定义，怎样定义函数f(x)的最小值？
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足：
（1）对于任意的x∈I, 都有f(x)≥m;
（2）存在x0∈I，使得f(x0)=m.
那么称m是函数y=f(x)的最小值，记作：fmin(x)=m。
思考2:如果在函数f(x)定义域内存在x1和x2，使对定义域内任意x都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，由此你能得到什么结论？
思考3:如果函数f(x)的最大值是b，最小值是a，那么函数f(x)的值域一定是[a,b]吗？
例1、函数f(x)=3x2-12x+5，在下列条件下，分别求出其最大值和最小值，并指出相应的x值：
①0≤x≤3；②-1≤x≤1；③x≤3；④x≥3。
说明：闭区间上的二次函数最值可能在顶点处取得，也可能在端点处取得。当对称轴在区间之内时，一个最值在顶点处取得，另一个最值在端点处取得，且是离对称轴更远的端点；当对称轴在区间之外时，两个最值都在端点处取得。
回顾：
例3、
练习、已知函数f(x)= 。
（1）作出f(x)图象并判断f(x)的单调性；
（2）若关于x的不等式1-x>m(1+x)对任意x∈[0,1]恒成立，求实数m的取值范围。
思考：
课后作业
1.教材P44复习参考题A组1,2,3,4,6,7,9;
2.《启迪有方》1.3.1（2）练习册(共17张PPT)
情景1:观察下列图形,回顾轴对称与中心对称概念及其特征.
导入
情景2：数学中有许多对称美的图形，函数中也有不少具有对称特征的美丽图像,比如 等函数图像.
f(x)=x2
如何从“数”的方面定量刻画这些函数图像的对称本质呢？这就是本课时学习的函数的奇偶性.
1.3.2 函数的奇偶性(1)
观察下图，思考并讨论以下问题：
(1) 这两个函数图象有什么共同特征吗？
(2) 如何利用函数解析式描述函数图象的这个特征呢？
f(-3)=9=f(3)
f(-2)=4=f(2)
f(-1)=1=f(1)
f(-3)=3=f(3)
f(-2)=2=f(2)
f(-1)=1=f(1)
f(x)=x2
f(x)=|x|
实际上，对于R内任意的一个x,都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x),这时我们称函数y=x2为偶函数.
定义:一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x， 都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．
观察函数f(x)=x和 的图象(下图)，你能发现两个函数图象有什么共同特征吗？
f(-3)=-3=-f(3)
f(-2)=-2=-f(2)
f(-1)=-1=-f(1)
实际上，对于R内任意的一个x,都有f(-x)=-x=-f(x),这时我们称函数y=x为奇函数.
f(-3)=-1/3=-f(3)
f(-2)=-1/2=-f(2)
f(-1)=-1=-f(1)
定义:一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x， 都有f(－x)= －f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．
偶函数:一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x， 都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．
奇函数:一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x， 都有f(－x)= －f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．
定 义
注 意：
1、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性.
3、由定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的（即定义域关于原点对称）．
2、定义中“任意”二字，说明函数的奇偶性在定义域上的一个整体性质，它不同于函数的单调性 .
例1.根据下列函数图象,判断函数奇偶性.
y
x
y
x
y
x
-1
2
y
x
-1
1
例2、判断下列函数的奇偶性：
(1)定义域为(-∞,+∞)
即 f(-x)=f(x)
∴ f(x)是偶函数.
(2)定义域为(-∞,+∞)
即 f(-x) = -f(x)
∴ f(x)是奇函数.
(3)定义域为{x|x≠0}
(4)定义域为{x|x≠0}
即 f(-x) = -f(x)
∴ f(x)是奇函数.
即 f(-x)=f(x)
∴ f(x)是偶函数.
解：
∵ f(-x)=(-x)4=f(x)
∵ f(-x)=(-x)5= - x5 = -f(x)
∵ f(-x)=-x+1/(-x)=-f(x)
∵ f(-x)=1/(-x)2=f(x)
(1)、先求定义域，看是否关于原点对称；
(2)、再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立.
用定义判断函数奇偶性的步骤：
即
f(-x)＋f(x)=0或f(-x)－f(x)=0是否恒成立.
练习. 判断下列函数的奇偶性：
解：
(1)∵ f(x)的定义域是 R ，
且
∴ f(x) 是偶函数.
(2)∵ 函数的定义域是R，
且 f(x)=0， f(-x)=0.
∴ f(-x)=-f(x) ， f(-x)=f(x).
∴函数f(x)=0既是奇函数也是偶函数.
∴函数的定义域[-1，1)
解：
关于原点不对称，
∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
(4)∵f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，+∞)，
当x＞0时，－x＜0，
∴f(－x)=
当x＜0时，－x＞0，
∴f(－x)=
故f(x)为奇函数.
=－x(1+x)
=－f(x)
(x＞0).
=－f(x)
(x＜0)，
(－x)[1－(－x)]
=－x(1－x)
(－x)[1＋ (－x)]
综上：
f(－x)=－f(x)
解：
∵f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，+∞)，
当x＞0时，－x＜0，
∴f(－x)=
当x＜0时，－x＞0，
∴f(－x)=
故f(x)为奇函数.
=－x(1+x)
=－f(x)
(x＞0).
=－f(x)
(x＜0)，
(－x)[1－(－x)]
=－x(1－x)
(－x)[1＋ (－x)]
综上：
f(－x)=－f(x)
法2：
∵f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，+∞)，
且
故f(x)为奇函数.
即
f(－x)=－f(x)
例3、已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象
如下图，画出在y轴左边的图象.
x
y
0
相等
x
y
0
练习、已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，它在y轴
右边的图象如下图，补全函数的图象.
练习：
作业
1、《启迪有方》练习册及活页1.3.2（1）
2、周末定时测试（3）(共25张PPT)
1.3.2 奇偶性
而我们所学习的函数图像也有类似的
对称现象，请看下面的函数图像。
观察下面两组图像，它们是否也有对称性呢？
x
y
O
1
-1
f(x)=x2
（1）
（2）
y
x
O
x0
-x0
学情调查，情景导入
y
1
-1
1
-1
x
O
f (x) = x3
则 f (2) = ；f (-2) = ；
f (1) = ；f (-1) = ；
求值并观察总结规律
则 f (2) = ；f (-2) = ；
f (1) = ；f (-1) = ；
y
1
-1
1
-1
x
O
f (x) = 2x
1. 已知 f (x) = 2x，
2. 已知 f (x) = x3，
=- f (x)
f (-x) =
4
-4
2
-2
-2x
=- f (x)
f (-x) =
-x3
8
-8
1
-1
图象都是以坐标原点为对称中心的中心对称图形
如果对于函数 y = f (x)的定义域 A内的任意一个 x,
都有 f (-x) = -f (x)，则这个函数叫做奇函数.
奇函数的图象特征
以坐标原点为对称中心的中心对称图形.
y
1
-1
1
-1
x
O
y=f(x)
(-x，f(-x))
(x，f(x))
f (-x) = -f (x)
奇函数的定义
奇函数 图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形
奇函数的定义域对应的区间关于坐标原点对称．
改变奇函数的定义域，它还是奇函数吗？
y
1
-1
1
-1
x
O
y = x3 (x≠0)
y
1
-1
1
-1
x
O
y = x3 (x≠1)
y
1
-1
1
-1
x
O
y = x3 (x≥0)
y
1
-1
1
-1
x
O
y=x3 (－1≤x≤1)
是
否
否
是
奇函数的定义域对应的区间关于坐标原点对称．
判断下列函数是奇函数吗？
（1） f (x) = x3，x [－1，3]；
（2） f (x) = x，x (－1，1]．
否
否
解: （1）函数 f（x）= 的定义域为A = { x | x ≠ 0} ，
所以定义域关于坐标原点对称．
因为 f（-x）= = - = - f（x），
所以函数 f（x）= 是奇函数．
x
1
x
1
x
1
- x
1
例1 判断下列函数是不是奇函数：
（1）f（x）= ； （2）f（x）= -x3 ；
（3）f（x）= x +1 ； （4）f（x）= x + x3 + x5 + x7．
x
1
解: （2）函数 f（x）= -x3 的定义域为R，
所以定义域关于坐标原点对称．
因为 f（-x）= -(-x)3 = x3 = - f（x），
所以函数 f（x）= -x3 是奇函数．
例1 判断下列函数是不是奇函数：
（1）f（x）= ； （2）f（x）= -x3 ；
（3）f（x）= x +1 ； （4）f（x）= x + x3 + x5 + x7．
x
1
解: （3）函数 f（x）= x+1 的定义域为R，
所以定义域关于坐标原点对称．
因为f（-x）= -x +1
- f（x）= -（ x + 1 ） = - x - 1 ≠ f（ - x），
所以函数 f（x）= x+1 不是奇函数．
例1 判断下列函数是不是奇函数：
（1）f（x）= ； （2）f（x）= -x3 ；
（3）f（x）= x +1 ； （4）f（x）= x + x3 + x5 + x7．
x
1
解: （4）函数 f（x）= x + x3 + x5 + x7的定义域为R，
所以定义域关于坐标原点对称．
f（-x）= - x + (- x)3 + (- x)5 + (- x)7
= - (x + x3 + x5 + x7) = - f（x） ．
所以函数 f（x）= x + x3 + x5 + x7是奇函数．
例1 判断下列函数是不是奇函数：
（1）f（x）= ； （2）f（x）= -x3 ；
（3）f（x）= x +1 ； （4）f（x）= x + x3 + x5 + x7．
x
1
不是
是
是
不是
偶函数的定义
如果对于函数 y = f (x)的定义域A内的任意一个 x,
都有 f (-x) = f (x)，则这个函数叫做偶函数.
偶函数的图象特征
以y 轴为对称轴的轴对称图形．
定义域对应的区间关于坐标原点对称．
偶函数 图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形
y
1
-1
1
-1
x
O
y=f(x)
(-x，f(-x))
(x，f(x))
解： （1）函数 f（x）= x2 + x4 的定义域为R，
所以定义域关于坐标原点对称．
因为 f（-x）= (-x)2 +(- x)4 = x2 + x4 = f（x），
所以函数 f（x）= x2 + x4 是偶函数．
例2 判断下列函数是不是偶函数：
（1）f（x）= x2 + x4 ； （2）f（x）= x2 + 1；
（3）f（x）= x2 + x3 ； （4）f（x）= x2 + 1 ，x [-1， 3]．
解： （2）函数 f（x）= x2 + 1的定义域为R，
所以定义域关于坐标原点对称．
因为 f（-x）= (-x)2 +1 = x2 + 1 = f（x） ，
所以函数 f（x）= x2 + 1 是偶函数．
例2 判断下列函数是不是偶函数：
（1）f（x）= x2 + x4 ； （2）f（x）= x2 + 1；
（3）f（x）= x2 + x3 ； （4）f（x）= x2 + 1 ，x [-1， 3]．
解： （3）函数 f（x）= x2 + x3 的定义域为R，
所以定义域关于坐标原点对称．
因为 f（-x）= (-x)2 +(- x)3 = x2 – x3 ≠ f（x）
函数 f（x）＝ x2 + x3 不是偶函数．
例2 判断下列函数是不是偶函数：
（1）f（x）= x2 + x4 ； （2）f（x）= x2 + 1；
（3）f（x）= x2 + x3 ； （4）f（x）= x2 + 1 ，x [-1， 3]．
解： （4）函数f（x）= x2 + 1 ，x [-1, 3]
的定义域为A=[-1, 3] ，
因为定义域不关于坐标原点对称．
所以函数 f（x）= x2 + 1 ，x [-1, 3] 不是偶函数．
例2 判断下列函数是不是偶函数：
（1）f（x）= x2 + x4 ； （2）f（x）= x2 + 1；
（3）f（x）= x2 + x3 ； （4）f（x）= x2 + 1 ，x [-1, 3]．
1
2
3
-1
x
y
O
-2
-3
练习2 判断下列函数是不是偶函数：
（1）f（x）= (x +1) (x -1) ；
（2）f（x）= x2+1，x （-1，1] ；
（3）f（x）= ．
是
不是
是
练习3. 判断下列函数的奇偶性
(2) f(x)= - x2 +1
∴f(x)为奇函数
∵f(-x)= -(-x)2+1
= - x2+1
∴f(x)为偶函数
(1) f(x)=x-
1
x
解：定义域为﹛x|x≠0﹜
解：定义域为R
= - f(x)
= f(x)
∵f(-x)=(-x) -
1
-x
= -x+
1
x
(3). f(x)=5
解: f(x)的定义域为R
∵ f(-x)=f(x)=5
∴f(x)为偶函数
解: 定义域为R
∵ f(-x)=0=f(x) 又 f(-x)= 0 = -f(x)
∴f(x)为既奇又偶函数
y
o
x
5
o
y
x
结论: 函数f(x)=0 (定义域关于原点对称），为既奇又偶函数。
(4). f(x)=0
(5) f(x)=x2+x
解: 定义域为R
∵ f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x ，
∴ f(-x)≠-f(x)而且f(-x)≠f(x),
∴f(x)为非奇非偶函数
(6) f(x)=
√x
解: 定义域为 [0 ,+∞)
∵ 定义域不关于原点对称
∴f(x)为非奇非偶函数
奇函数
偶函数
既奇又偶函数
非奇非偶函数
根据奇偶性, 函数可划分为四类:
思考题
1、当____时一次函数f(x)=ax+b（a≠0）是奇函数
2、当____ 时二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0）
是偶函数
知识梳理，归纳总结:
1.两个定义: 对于f(x)定义域内的任意一个x ,
如果都有f(-x)=-f(x) f(x)为奇函数。
如果都有f(-x)= f(x) f(x)为偶函数。
2.两个性质:
一个函数为奇函数 它的图象关于原点对称。
一个函数为偶函数 它的图象关于y 轴对称。
在初中我们都学了哪些函数，都讨论了这些函数的哪些性质？(共13张PPT)
1.3.2 奇偶性(2)
偶函数:一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x， 都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．
奇函数:一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x， 都有f(－x)= －f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．
定 义
思考1:是否存在函数f(x)既是奇函数又是偶函数？若存在，这样的函数有何特征？
思考2:一个函数就奇偶性而言，有哪几种可能情形？
思考3:若f(x)是定义在R上的奇函数，那么f(0)的值如何？
思考4:若f(x)和g(x)都是奇函数，则f(x)±g(x)，f(x)×g(x)，f(x)÷g(x)的奇偶性如何？
思考5:如果f(x)是定义在R上的任意一个函数，那么f(x)+f(-x)，f(x)-f(-x)的奇偶性如何？
思考6:二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数的条件是什么？一次函数f(x)=kx+b(k≠0)是奇函数的条件是什么？
例1、已知定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数a,b，都有f(ab)=af(b)+bf(a)成立。
（1）求f(1)和f(-1)的值；
（2）确定f(x)的奇偶性。
例2、确定函数f(x)=-x2+2|x|+3的单调区间。
y
x
0
1
-1
4
3
-3
奇函数的图象关于原点对称；
偶函数的图象关于y轴对称。
反之也成立。
3
在关于原点对称的区间上,偶函数的单调性相反，奇函数的单调性相同。
练习、已知f(x)是R上的奇函数，且在(0,+∞)上是增函数，求证：f(x)在(-∞,0)上也是增函数。
在关于原点对称的区间上,奇函数的单调性相同,偶函数的单调性相反。
练习、设函数f(x)=2x2-mx+3，已知f(x-1)是偶函数，求实数m的值。
例3、已知奇函数f(x)是定义在(-1,1)上的减函数，求不等式f(1-x)+f(1-x2)<0的解集。
练习、已知定义域为[-1,1]的偶函数f(x)在[0,1]上为增函数,若f(a-2)-f(3-a)<0,求实数a的取值范围。
例4、设函数f(x)对任意x,y ∈R ，都有f(x+y)= f(x)+f(y)，又当x>0时，有f(x)<0，且f(2)=-1。
问：f(x)在区间[-6,6]上是否存在最大值、最小值？若有，求出最大值、最小值；若没有，说明理由。
思考：设f(x)=px5-qx3+rx+10，且f(2)=17，则f(-2)的值为______。
作业
《启迪有方》1.3.2（2）(共26张PPT)
第2课时 函数奇偶性的应用
生活中有很多美好的东西，上面的这两个图片美在什么地方呢？而具有奇偶性的函数图象都很美，它们又有哪些性质呢？
1.进一步理解函数的单调性和奇偶性的概念及具有奇偶性的函数的图象特征；
2.能够根据函数的奇偶性求函数解析式；(难点）
3.会根据函数的奇偶性判断函数的单调性.（重点）
探究点1 根据函数奇偶性画函数图象
偶函数的图象关于y轴对称，如果能够画出偶函数在y轴一侧的图象，则根据对称性就可补全该函数在y轴另一侧的图象.
奇函数的图象关于坐标原点对称，如果能够画出函数在坐标原点一侧的图象，则根据对称性可以补全该函数在原点另一侧的图象.
例1.画出下列函数的图象
（1）
（2）
分析：（1）根据函数奇偶性的定义，不难知道函数是偶函数，这样只要画出了在x≥0时的函数图象就可以根据对称性画出函数在x<0时的图象.
（2）函数是奇函数，同样根据对称性解决.
解：（1）当 时，
其图象是以点(1,-1)为顶点，开口向上的抛物线，
与x轴的交点坐标是(0,0)(2,0).
此时函数图象在y轴右半部分如图所示：
根据函数图象的对称性得到整个函数的图象，如图.
（2）函数是奇函数，可以证明这个函数在区间（0，1]上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，且在（0，+∞）上函数值都是正值，函数在（0，+∞）上的最小值为2.（这些都可以根据函数单调性的定义进行证明）
根据函数在（0，+∞）上的性质，作出函数的图象，如图第一象限内部分.
根据奇函数图象关于坐标原点对称画出这整个函数的图象，如图。
探究点2 根据函数的奇偶性求函数解析式
例2.已知函数f(x)在（0,+∞）上的解析式是f(x)=2x+1，根据下列条件求函数在（-∞，0）上的解析式.
（1）f(x)是偶函数；
（2）f(x)是奇函数.
分析：求函数f(x)在(-∞，0）上的解析式，就是求
当 时，如何用含x的表达式表示f(x).
能够利用的已知条件是函数在（0，+∞）上的函数解析式，这样就要把（-∞，0）上的自变量转化到（0，+∞）上的自变量.
根据偶函数、奇函数的定义，具备奇偶性的函数在定义
域的对称区间上的函数值是符合奇偶性定义的，对偶函
数就是f(x)=f(-x)，这样当 时， ，
而在（0，+∞）上的函数解析式是已知的.对奇函数同
样处理.
解：（1）当函数f(x)是偶函数时，满足f(x)=f(-x)，
当 时， ，
所以，当 时，
(2)当函数f(x)是奇函数时，满足f(x)=-f(-x).
当 时， ，
所以，当 时，
已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，x≥0时，f(x)＝x2－2x，则函数f(x)在R上的解析式是( )
A．f(x)＝－x(x－2) B．f(x)＝x(|x|－2)
C．f(x)＝|x|(x－2) D．f(x)＝|x|(|x|－2)
[答案] D
探究点3 利用函数的奇偶性研究函数的单调性
回顾例1中两个函数的图象
从第（1）个函数图象上可以看出函数在定义域关于原点对称的区间上的单调性恰好相反，这也是偶函数的单调性的一般规律.
从第（2）个函数图象上可以看出函数在定义域关于原点对称的区间上具有相同的单调性，这也是奇函数的单调性的一般规律.
例3.已知函数f(x)是奇函数，且在（0，+∞）上是减函数，证明函数在（-∞，0）上也是减函数.
分析：根据证明函数单调性的一般步骤，先在(-∞，
0)上取值，然后作差，通过函数是奇函数把函数在
(-∞，0)上的函数值转化到（0，+∞）上的函数值，
再根据函数在（0，+∞）上是减函数，确定所作的
差的符号，最后根据函数单调性的定义得到证明的
结论.
所以-f(x1)+f(x2)<0 ，即f(x1)-f(x2)>0.
证明：在（-∞，0）上任取x1-x2>0
因为函数在（0，+∞）上是减函数，所以
由于函数f(x)是奇函数，所以
根据减函数的定义，函数f(x)在（-∞，0）上是减函数.
函数的单调性与奇偶性的关系
(1)若f(x)是奇函数,则f(x)在定义域关于原点对称的区间上单调性一致;若f(x)是偶函数,则f(x)在定义域关于原点对称的区间上单调性相反.
(2)奇函数在定义域关于原点对称的区间上的最值相反,且互为相反数;偶函数在定义域关于原点对称的区间上的最值相等.
【提升总结】
例4：若f(x)是偶函数，其定义域为(-∞,+∞)，且
在[0,+∞)上是减函数，则 与 的
大小关系是______.
【分析】要比较各函数值的大小，需将要比较的自变量的值化到同一单调区间上，然后再根据单调性比较大小.
【解】∵
又∵f(x)在［0,+∞)上是减函数,
∴
又∵f(x)是偶函数，∴
∴
【答案】
1.设偶函数f(x)满足f(x)=x3-8(x≥0)，则
｛x|f(x-2)>0｝=( )
A.{x|x<-2或x>4} B.{x|x<0或x>4}
C.{x|x<0或x>6} D.{x|x<-2或x>2}
【解析】因为函数f(x)在（0,+∞）上为增函数，且f(2)=0,由偶函数的性质可知，若f(x-2)>0,需满足|x-2|>2,得x>4或x<0,故选B.
B
2.已知函数f(x)在区间［-5，5］上是奇函数，在区
间［0,5］上是单调函数，且f(3)A.f(-1)f(-1)
C.f(-1)f(-5)
【提示】根据题意，应首先判断函数在区间［0,5］上的单调性.
A
4.已知奇函数f(x)，在（-∞，0]上的解析式是f(x)=x2+2x，求这个函数在（0，+∞）上的解析式.
【解析】
x∈（0，+∞），
两个性质：
1.奇函数在定义域关于原点对称的区间上具有相同的单调性；
偶函数则在定义域关于原点对称的区间上具有相反的单调性；
2.奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于ｙ轴对称．
一种题型：
具备奇偶性的函数，已知某一区间上的解析式可求函数
在其关于原点对称的区间上的解析式
但凡人能想象到的事物，必定有人能将它实现。
——凡尔纳(共33张PPT)
函数的基本性质---单调性
复习
函数的概念
1
函数的表示方法
2
常见的函数图象：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数
3
课前复习
O
x
y
x
y
O
x
y
2
1
y
O
x
o
复习：几个常见函数的图像
「自我感悟」
1. 分析下图中函数图象的变化规律，并将 相同规律的图象部分绘制出来
-1
2
y
0
(1)
x
x=-2
y
(2)
x
0
0
y
(3)
x
0
y
(4)
x
0
y
(5)
x
-1
1
0
y
(6)
x
1
-2
2
引导
O
x
y
函数 中自变量的不同位置时，函数值的变化情况.
O
x
y
函数 中自变量的不同位置时，函数值的变化情况.
O
x
y
函数 中自变量的不同位置时，函数值的变化情况.
O
x
y
函数 中自变量的不同位置时，函数值的变化情况.
O
x
y
函数 中自变量的不同位置时，函数值的变化情况.
O
x
y
函数 中自变量的不同位置时，函数值的变化情况.
O
x
y
函数 中自变量的不同位置时，函数值的变化情况.
O
x
y
函数 中自变量的不同位置时，函数值的变化情况.
O
x
y
函数 中自变量的不同位置时，函数值的变化情况.
2. 初中教材如何描述上述的相同规律？ 高中教材又是如何描述的？
能用图象上动点P（x，y）的横、纵坐标关系来说明上升或下降趋势吗？
x
y
o
x
y
o
x
y
o
在某一区间内，
当x的值增大时,函数值y也增大——图像在该区间内逐渐上升；
当x的值增大时,函数值y反而减小——图像在该区间内逐渐下降。
先下降后上升
下降
上升
一般地，设函数f(x)的定义域为I:
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的
值 ，当 时，都有 ，那么就说函数
在区间D上是增函数．
O
x
y
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 ，当 时，都有 ，那么就说函数
在区间D上是减函数．
O
x
y
如果函数 在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数 在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做 的单调区间．
「知识辨析」
辨析1：能否只取两个点（a，f (a) ）、 （b，f (b) ），若a < b ，则f (a)< f (b) ，就可 肯定函数 y = f (x) 为单调递增函数？反之呢？ 辨析2：我们知道函数 y = 在区间 （－∞，0）和（0，+∞）上均为减函数， 能否写成在区间（－∞，0） （ 0 ，+ ∞ ） 上是减函数？
∩
反比例函数
例1、(1) 下图是定义在[－5，5]上的函数y＝f（x）的图象，根据图象说出y＝f（x）的单调区间，以及在每一单调区间上， y＝f（x）是增函数还是减函数.
解：单调递增区间：[-2,1],[3,5]
单调递减区间：[-5,-2),(-3,3)
例题展示
-5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 X
Y
例2 证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数.
证明：
下一课
定义:
回顾
练习1（3）、求函数y=|x2-2x-3|的单调区间。
例3.物理学中的玻意耳定律 (k为正常数)告诉我们,对于
一定量的气体,当其体积减小时,压强 p将增大,试用函数的单调性证明之。
则
，且
所以函数 在区间 上是减函数.
证明：设 是在 上任取的两个实数,且
又
,于是
取值
作差
变形
定号
结论
证明函数单调性的方法步骤：
1. 任取x1，x2∈D，且x12. 作差f(x1)－f(x2)；
3. 变形（通常是因式分解和配方）；
4. 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
5.下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
练习1：证明函数 在区间 是增函数。
证明：任取 ，且 ，
则
因为 ，
得
所以函数 在上 是增函数．
2：证明函数 在（1，+∞）上为增函数．
练习1
用定义证明函数单调性的步骤：
1.取值
2.作差变形
3.定号
4.判断 （1）当 时，
则 在区间上是增函数
（2）当 时，
则 在区间上是减函数
2
1
2
1
,
x
x
x
x
<
且
两个数
在指定的区间上任意取
规律总结
确定
还是
2、函数单调性的定义；
3、证明函数单调性的步骤；
1、单调函数的图象特征；
思考：讨论函数
在(-2,2)内的单调性.
2、 证明函数f(x)=x 在(-∞，+∞)上是增函数.
3(共11张PPT)
思考：讨论函数
在(-2,2)内的单调性.
2、 证明函数f(x)=x 在(-∞，+∞)上是增函数.
3
答案
A，D,A,B
第二课时 函数单调性的性质
1.3.1 单调性与最大（小）值
问题提出
函数在区间D上是增函数、减函数
的定义是什么？
对于函数 定义域内某个区间D上的任意两个自变量的值 ,若当 时，都有 (1) ,则称函数 在区间D上是增函数；
(2) ,则称函数 在区间D上是减函数.
问题提出
2. 增函数、减函数有那些基本性质？
知识探究（一）
思考2：若函数 、 在区间D上
都是增函数，则函数 、
在区间D上的单调性
能否确定？
思考1：若函数 在区间D上为增函数， 为常数，则 、
的单调性如何？
函数
例如
思考3：若函数 在区间D上是
增函数，则函数 在区间D上是
增函数吗？函数 在区间D上是
减函数？
思考4:下列图象表示的函数是增函数吗？
x
y
o
图1
x
y
o
图2
思考5:一般地，若函数 在区间
A、B上是单调函数，那么 在区
间 上是单调函数吗？
理论迁移
理论迁移
例2 已知函数 ，
求不等式 的解集.
作业:
P39 习题1.3A组：1，4.
(做在书上)
习题1.3A组： 2，
思考题:(共16张PPT)
1.3.1 单调性与最大（小）值
第三课时 函数的最值
巩固提高:
已知函数 ，
求不等式 的解集.
问题提出
1.确定函数的单调性有哪些手段和方法？
2.函数图象上升与下降反映了函数
的单调性，如果函数的图象存在最
高点或最低点，它又反映了函数的
什么性质？
知识探究（一）
观察下列两个函数的图象：
图1
o
x0
x
M
y
思考1:这两个函数图象有何共同特征？函数图象上最高点的纵坐标叫
什么名称？
思考2:设函数y=f(x)图象上最高点
的纵坐标为M，则对函数定义域内
任意自变量x，f(x)与M的大小关系
如何？
y
x
o
x0
图2
M
思考3:设函数 ，
则 成立吗？
的最大值是2吗？
为什么？
思考4:怎样定义函数 的最大值？
用什么符号表示？
一般地，设函数 的定义域
为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的 , 都有
；
（2）存在 ，使得
.
那么称M是函数 的最大值，
记作
思考5:函数的最大值是函数值域中
的一个元素吗？如果函数 的值
域是(a,b)，则函数 存在最大
值吗？
思考6:函数 有最大值吗？为什么？
图1
y
o
x0
x
m
知识探究（二）
观察下列两个函数的图象：
x
y
o
x0
图2
m
思考2:仿照函数最大值的定义，怎样定义函数 的最小值？
思考1:这两个函数图象有何共同特征？函数图象上最低点的纵坐标叫
什么名称？
一般地，设函数 的定义域
为I，如果存在实数m满足：
（1）对于任意的 , 都有
；
（2）存在 ，使得
.
那么称m是函数 的最大值，
记作
知识探究（三）
思考1:如果在函数 定义域
内存在 和 ，使对定
义域内任意 都有
成立，由此你能得到什么
结论？
思考2:如果函数 存在最大值，
那么有几个？
思考3:如果函数 的最大值是b，
最小值是a，那么函数
的值域是[a，b]吗？
理论迁移
例1已知函数 ，
求函数 的最大值和最小值.
理论迁移
例2某公司在甲、乙
两地销售一种品牌车，利润（万元）
分别为 和 ，
其中x为销售量（辆），若该公司在
这两地共销售15辆车，则能获得的
最大利润为( )
A、45.6万元 B、45.606万元
C、45.56 万元 D、45.51万元
A
例题3:
作业
P39 习题1.3A组：5
B组：1，2.
思考题:(共15张PPT)
1.3.2 奇偶性
第一课时 函数的奇偶性
知识探究（一）
考察下列两个函数：
(1) (2)
思考1:这两个函数的图象有何共同特征？
x
y
o
图（1）
x
y
o
图（2）
思考2:对于上述两个函数，f(1)与f(-1)，f(2)与f(-2)，f(3)与f(-3)有什么关系？
我们把具有上述特征的函数叫做偶函数
思考3:一般地，若函数 的图象关于y轴对称，则 与 有什么关系？
如果对于函数 定义域内的任意一个 ，都有 成立，则称函数 为偶函数.
思考4:函数 是偶函数吗？偶函数的定义域有什么特征？
偶函数的定义域关于原点对称
知识探究（二）
考察下列两个函数：
(1) ; (2) .
思考1:这两个函数的图象有何共同特征？
思考2:对于上述两个函数，f(1)与f(-1)，f(2)与f(-2)，f(3)与f(-3)有什么关系？
x
y
o
图（1）
x
y
o
图（2）
我们把具有上述特征的函数
叫做奇函数
思考3:一般地，若函数 的图
象关于坐标对称原点，则 与
有什么关系？
如果对于函数 定义域内的任意一个 ，都有 成立，则称函数 为奇函数.
奇函数的定义域关于原点对称
思考4:函数 是奇函数吗？奇函数的定义域有什么特征？
小结:
1.求函数的定义域(若定义域不关于
原点对称,则此函数是非奇非偶);
2.计算
3.判断的 与 关系
4.若 ,则 是偶函数
若 ,则 是奇函数.
判断函数的奇偶性的基本步骤
理论迁移
例1 判断下列函数的奇偶性:
(1) (2)
例2 已知定义在R上的函数f(x)
满足：对任意实数，都有
成立.
（1）求f(1)和f(-1)的值；
（2）确定f(x)的奇偶性.
例3 已知 是奇函数，且
当 时， ,求
当 时 的解析式.
自主作业:１３
