(共20张PPT)
第一章 直角三角形的边角关系
5 三角函数的应用
课前练兵
1.填空(方位角)：如图，点A位于点C的__________方向上；点B位于点C的____________方向上；点C位于点B的_____________方向上；点C位于点A的_____________方向上.
课前练兵
(第1题)
北偏东65°
北偏西40°
南偏东40°
南偏西65°
2.如图，传送带和地面所成斜坡的坡度i＝1∶2.4，如果它把某物体从地面送到离地面10 m高的地方，那么该物体所经过的路程是( )
A.10 m
B.24 m
C.25 m
D.26 m
课前练兵
(第2题)
D
课堂验标
◆知识点：解决与方向角有关的应用问题
1.如图，海中有一小岛A，在B点测得小岛A在北偏东30°
方向上，渔船从B点出发由西向东航行10 n mile到达C点，
在C点测得小岛A恰好在正北方向上，此时渔船与小岛A
的距离为( )n mile.
A.
C.20 D.10
课堂验标
(第1题)
D
2.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向、距离灯塔80 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处.这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？
(用计算器计算，结果精确到0.01 n mile)
课堂验标
(第2题)
解：PB＝≈129.66(n mile).
课外出彩
一、练基础
1.拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是1∶，坝高BC＝
10 m，则坡面AB的长度是( )
A.15 m
B.20 m
C.10 m
D.20 m
课外出彩
(第1题)
D
2.河堤横断面如图所示，堤高BC＝7 m，迎水坡AB的坡比为1∶，则AC的长为( )
A.14 m
B.21 m
C.14 m
D.7 m
课外出彩
(第2题)
D
3.如图，一条河的两岸互相平行，为了测量河的宽度PT(PT与河岸PQ垂直)，测量得P，Q两点间的距离为m米，∠PQT＝α，则河宽PT的长为
( )
A.msin α米
B.mcos α米
C.mtan α米
D.米
课外出彩
(第3题)
C
4.如图，一个小球沿倾斜角为α的斜坡向下滚动，经过5 s时，测得小球的平均速度为0.5 m/s.已知sin α＝，则小球下降的高度是( )
A.1 m
B.1.5 m
C.2 m
D.2.5 m
课外出彩
(第4题)
C
5.如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC＝α，∠ADC＝β，则竹竿AD与AB的长度之比为( )
A.
B.
C.
D.
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(第5题)
C
二、提能力
6.如图，上午10时整，一艘渔轮在小岛O的北偏东30°方向上，距离小岛10 n mile的A处，以每小时10 n mile的速度向南偏东60°方向航行.渔轮到达小岛O的正东方向是什么时间？
课外出彩
(第6题)
解：渔轮到达小岛O的正东方向是13时.
7.如图所示，正在执行任务的海监船以每小时40 n mile的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行30 min后到达B处，此时测得灯塔P在北偏东45°方向上.
(1)求∠APB的度数；
课外出彩
(第7题)
解：依题意，得∠PAB＝90°－60°＝30°，
∠ABP＝90°＋45°＝135°.
所以∠APB＝180°－∠PAB－∠ABP＝180°－30°－135°＝15°.
(2)已知在灯塔P的周围25 n mile内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？(参考数据：≈1.414，≈1.732)
课外出彩
(第7题)
解：如图，作PH⊥AB于点H，则△PBH是等腰直角三角形.
所以BH＝PH.
设BH＝PH＝x(n mile)，
依题意，得AB＝40×＝20(n mile).
在Rt△APH中，tan∠PAB＝tan 30°＝＝，即 ＝，
解得x＝10＋10≈27.32＞25，且符合题意.
所以海监船继续向正东方向航行安全.
8.如图，A，B两座城市相距100 km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB)，经测量，森林保护中心P在城市A的北偏东30°和城市B的北偏西45°的方向上.已知森林保护区的范围是点P周围50 km的区域.请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区？为什么？(参考数据：≈1.732，≈1.414)
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(第8题)
解：设点P到AB的垂直距离为x km.
则有 ＋＝100.
解得x＝50×(3－)≈63.4＞50.
故这条高速公路不会穿越保护区.
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(第8题)
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第一章 直角三角形的边角关系
1.4 解直角三角形
课前练兵
1.如图，填空：
(1)边的关系(勾股定理)：____________；
(2)边角关系 sin A＝______，cos A＝______，
tan A＝______.
课前练兵
(第1题)
a2＋b2＝c2
2.已知∠α为锐角，sin 2α＝，则∠α＝_______°.
3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，b＝10，则a＝______.
课前练兵
22.5
课堂验标
◆知识点1：解直角三角形的含义
1.如图，一个直角三角形有六个元素，它们分别是
____________________________________________.
课堂验标
(第1题)
三个角：∠C，∠B，∠A；三条边：a，b，c
归纳这些元素，它们之间的关系如下表：
课堂验标
在Rt△ABC中，∠C＝90° 已知 边角关系
斜边和一 直角边 c，a
两直角边 a，b
90°－∠A
90°－∠A
课堂验标
在Rt△ABC中，∠C＝90° 已知 边角关系
斜边和一锐角 c，∠A ∠B＝90°－∠A；a＝c·sin A；b＝c·cos A.
一直角边 和一锐角 a，∠A
◆知识点2：解直角三角形
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°.
(1)已知a＝49，c＝49，求∠A，∠B，b的值；
课堂验标
∠A＝∠B＝45°，b＝49.
(2)已知a＝2，b＝2，求∠A，∠B，c的值；
∠A＝60°，∠B＝30°，c＝4.
(3)已知cos A＝，c＝6，求a，b的值；
课堂验标
a＝2，b＝4.
(4)已知tan B＝，b＝9，求a，c的值.
a＝6，c＝3.
课堂验标
3.如图，有一斜坡AB，此斜坡的坡面长AB＝50 m，斜坡的坡角是∠BAC，若sin∠BAC＝，则坡顶B离地面的高度BC为_____ m.
(第3题)
20
课外出彩
一、练基础
1.在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，则sin B的值为( )
A. B.
C. D.
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D
2.已知∠α为锐角，且sin(α－10°)＝，则∠α等于( )
A.70° B.55°
C.40° D.25°
课外出彩
C
3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，则下列等式成立的是( )
A.b＝ccos A B.b＝asin B
C.a＝btan B D.b＝atan A
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A
4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，sin A＝，则斜边上的高等于
( )
A. B.
C. D.
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B
5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，BC＝，AC＝3，则sin∠ACD＝( )
A.
B.
C.
D.
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(第5题)
C
6.如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cos A＝，BE＝3，则tan∠DBE的值是( )
A.
B.2
C.
D.
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(第6题)
B
7.如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，tan∠BAD＝.求：
(1)CD的值；
课外出彩
(第7题)
解：在Rt△ABD中，tan∠BAD＝，
所以＝，
所以BD＝9.
又因为BC＝14，
所以CD＝BC－BD＝14－9＝5.
(2)sin C的值.
课外出彩
(第7题)
解：在Rt△ACD中，AC＝＝13，
所以sin C＝＝.
二、提能力
8.如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝3，将△BCD沿BD折叠到△BED的位置，DE交AB于点F，则cos∠ADF的值为( )
A.
B.
C.
D.
课外出彩
(第8题)
C
9.如图，△ABC的顶点都在正方形网格上，则tan∠ACB的值为( )
A.
B.
C.
D.
课外出彩
(第9题)
D
10.如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，若AC＝15，cos A＝.求BC的长.
课外出彩
(第10题)
解：在Rt△ABD中，因为AB＝AC＝15，cos A＝，
所以AD＝AB·cos A＝15×＝12.
所以BD＝＝＝9.
所以CD＝AC－AD＝3.在Rt△CBD中，BC＝
＝＝3.
故BC的长为 3.
11.如图，在△ABC中，D是BC上的点，AD＝AB，E，F分别是AC，BD的中点，AC＝6，sin C＝，求EF，CF的长.
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(第11题)
解：连接AF(图略)，
因为AB＝AD，F是BD的中点，
所以AF⊥BD，
因为E是AC的中点，
所以EF＝AC，
又因为AC＝6，
所以EF＝3，
在Rt△AFC中，sin C＝，
即＝，
解得AF＝4，
所以CF＝＝＝2.
(第11题)
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第一章 直角三角形的边角关系
6 利用三角函数测高
课前练兵
1.填空：如图，在进行测量时，从下往上看，视线与水平线所成的夹角叫做_______；从上往下看，视线与水平线所成的夹角叫做_______.
课前练兵
(第1题)
仰角
俯角
2.如图，从一艘船的点A处观测海岸上的灯塔BC(观测点A与灯塔底部C在一个水平面上)，测得灯塔顶部B的仰角为35°，观测点A到灯塔BC的距离为50 m，则灯塔BC的高约为______ m.(参考数据：sin 35°≈0.6，cos 35°≈0.8，tan 35°≈0.7)
课前练兵
(第2题)
35
3.升国旗时，李明站在离旗杆底部12 m处以平行于水平面的角度行注目礼.当国旗升至旗杆顶端时，李明视线所成的仰角恰为45°，若他的双眼离地面1.5 m，则旗杆的高度是______m.
课前练兵
13.5
课堂验标
◆知识点：解决与仰角和俯角有关的应用问题
1.如图，从热气球A看一栋楼底部C的俯角是( )
A.∠BAD B.∠ACB
C.∠BAC D.∠DAC
课堂验标
(第1题)
D
2.如图，小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上.此时测得地面上的影长为8 m，坡面上的影长为4 m.已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1 m，垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2 m，则树的高度为( )
A.(6＋) m
B.12 m
C.(4＋2) m
D.10 m
课堂验标
(第2题)
A
3.九年级(3)班的小亮同学学习了“利用三角函数测高”这节课后，为了测得如图所放风筝C的高度，他进行了如下操作：①在放风筝的点A处安置测倾器，测得风筝C的仰角∠CBD＝60°；②根据手中剩余线的长度算出风筝线BC的长度为70 m；③量出测倾器的高度AB＝1.5 m.请你帮助小亮计算出风筝的高度CE.(结果精确到0.1 m.参考数据：≈1.73)
课堂验标
(第3题)
解：在Rt△CBD中，sin 60°＝＝＝，
所以CD＝35 m≈60.55 m.
所以CE＝CD＋DE＝CD＋AB≈62.1 m.
故风筝的高度CE约为62.1 m.
课堂验标
(第3题)
课外出彩
一、练基础
1.如图，为测楼房BC的高，在距离楼房30 m的A处测得楼顶的仰角为α，则楼高BC为( )
A.30sin α m
B. m
C.30tan α m
D. m
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(第1题)
C
2.飞机在空中测得地面上某观测目标A的俯角为∠α，且飞机与目标A相距12 km，那么这时飞机离地面的高度为( )
A.12sin α km B.12cos α km
C.12tan α km D. km
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A
3.如图，某风景区为了方便游人参观，计划从主峰A处架设一条缆车线路到另一山峰C处，若在A处测得C处的俯角为30°，两山峰的底部BD相距900 m，则缆车线路AC的长为( )
A.300 m
B.600 m
C.900 m
D.1 800 m
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(第3题)
B
4.如图，在热气球C处测得地面A，B两点的俯角分别为30°，45°，热气球C的高度CD为100 m，点A，D，B在同一直线上，则AB两点的距离是( )
A.200 m
B.200 m
C.220 m
D.100(＋1) m
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(第4题)
D
5.如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图.已知A，B两点间的距离为28 m，∠A＝α，则缆车从A点到达B点，上升的高度为( )
A.28sin α m
B. m
C.28cos α m
D. m
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(第5题)
A
6.如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A，B，D三点在同一直线上，若AB＝16 m，则这棵树CD的高度是( )
A.8(3－)m
B.8(3＋)m
C.6(3－)m
D.6(3＋)m
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(第6题)
A
二、提能力
7.如图，为了测量某电子厂AB的高度，小明用高1.8 m的测量仪EF测得顶端A的仰角为45°，小军在小明的前面5 m处用高1.5 m的测量仪CD测得顶端A的仰角为53°，则电子厂AB的高度为( )
A.22.7 m B.22.4 m
C.21.2 m D.23.0 m
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(第7题)
A
8.某地为打造宜游环境，对旅游道路进行改善.下图是风景秀美的观景山，从山脚B到山腰D沿斜坡已建成步行道，为方便游客登顶观景，欲从D到A修建电动扶梯，经测量，山高AC＝308 m，步行道BD＝338 m，∠DBC＝30°，在D处测得山顶A的仰角为45°，求电动扶梯DA的长.(结果保留根号)
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(第8题)
解：如图，作DE⊥BC于点E，则四边形DECF为矩形.
所以FC＝DE，DF＝EC.
在Rt△DBE中，∠DBC＝30°，所以DE＝×BD＝169.
所以FC＝DE＝169.
所以AF＝AC－FC＝308－169＝139.
在Rt△ADF中，∠ADF＝45°，所以AD＝AF＝139.
课外出彩
答：电动扶梯DA的长为139m.
9.如图，运载火箭从地面O处发射，当火箭到达A处时，地面D处的雷达站测得AD＝4 000 m，仰角为30°.3 s后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°.已知C，D两处相距460 m，求火箭从A到B处的平均速度.(结果精确到1 m/s.参考数据：≈1.732，≈1.414)
课外出彩
(第9题)
解：设火箭从A到B处的平均速度为x m/s.
依题意，知AB＝3x.
在Rt△ADO中，∠ADO＝30°，AD＝4 000，所以AO＝2 000.
所以DO＝2 000.
因为CD＝460，所以OC＝OD－CD＝2 000－460.
在Rt△BOC中，∠BCO＝45°，所以BO＝OC.
因为OB＝OA＋AB＝2 000＋3x，所以2 000＋3x＝2 000－460.
解得x≈335.
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(第9题)
答：火箭从A到B处的平均速度为335 m/s.
10.2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体(简称为“着上组合体”)成功着陆在月球背面.某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从A点垂直下降到B点，再垂直下降到着陆点C，从B点测得地面D点的俯角为36.87°，AD＝17米，BD＝10米.
(1)求CD的长；
课外出彩
(第10题)
解：过点B作BE∥CD，
由题意得：AC⊥CD，BE∥CD，
所以∠EBD＝∠BDC＝36.87°.
在Rt△BCD中，BD＝10 m，
所以CD＝BD·cos36.87°≈10×0.80＝8(m).
所以CD的长约为8 m.
课外出彩
(第10题)
(2)若模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到B点，求模拟装置从A点下降到B点的时间.
(参考数据：sin 36.87°≈0.60，cos 36.87°≈0.80，
tan 36.87°≈0.75)
课外出彩
(第10题)
解：在Rt△BCD中，BD＝10 m，∠BDC＝36.87°，
所以BC＝BD·sin36.87°≈10×0.6＝6(m).
在Rt△ACD中，AD＝17 m，CD＝8 m，
所以AC＝＝＝15(m).
所以AB＝AC－BC＝15－6＝9(m).
因为模拟装置从A点以每秒2 m的速度匀速下降到B点，
所以模拟装置从A点下降到B点的时间＝9÷2＝4.5(s).
所以模拟装置从A点下降到B点的时间约为4.5 s.
课外出彩
(第10题)
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第一章 直角三角形的边角关系
1 锐角三角函数(第一课时)
课前练兵
1.三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则tan α的值是( )
A.
B.
C.
D.
课前练兵
(第1题)
A
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝5，AC＝4，则tan A的值是
( )
A. B.
C. D.
课前练兵
C
3.如图，通过计算可得tan B＝______.
课前练兵
(第3题)
2
课堂验标
◆知识点1：正切函数的定义
1.如图，在Rt△ABC中，∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tan A，即tan A＝__________＝______.
课堂验标
(第1题)
2.如图，请你写出∠B的正切：tan B＝________.
课堂验标
(第2题)
3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，则tan A＝______，tan B＝______.
课堂验标
◆知识点2：正切函数的性质
4.如图，α，β分别为A的一个取值，且∠α＜∠β.由tan α＝_________，tan β＝_________，可得：tan A的值越大，梯子越陡.
课堂验标
(第4题)
1
2
◆知识点3：坡度(坡比)的定义
5.坡面的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比).如图，坡度可以用坡角∠α的正切函数表示为tan α＝______.
课堂验标
(第5题)
课外出彩
一、练基础
1.如图，在4×4的正方形网格中，tan α的值为( )
A.
B.2
C.
D.
课外出彩
(第1题)
B
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若斜边AB是直角边BC的倍，则tan B的值是( )
A. B.1
C. D.
课外出彩
B
3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，tan A＝，则斜边AB的长是
( )
A.2 B.3
C. D.
课外出彩
A
4.一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知BC＝6 m，房顶A离地面EF的高度为6 m，则tan∠ABC的值为( )
A.
B.
C.
D.3
课外出彩
(第4题)
A
5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝13，则tan A的值是______.
课外出彩
6.如图，点A(t，3)在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tan α＝，则t的值是______.
课外出彩
(第6题)
2
解：图1中，tan A＝，tan B＝.
图2中，tan A＝，tan B＝＝.
7.根据下列图中所给条件分别求出∠A，∠B的正切值.
图1 图2
(第7题)
课外出彩
二、提能力
8.如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tan A的值为( )
A.
B.
C.2
D.2
课外出彩
(第8题)
A
9.如图，点E在矩形ABCD的边CD上，若AB＝BC，则tan∠CBE＋tan∠DAE的值是______.
课外出彩
(第9题)
10.将图1所示的七巧板，拼成图2所示的四边形ABCD，连接AC，则tan∠CAB＝______.
课外出彩
(第10题)
11.在锐角三角形ABC中，AB＝15，BC＝14，S△ABC＝84.求tan C的值.
课外出彩
解：如图，在△ABC中，过点A 作AD⊥BC于点D.
因为S△ABC＝BC·AD＝84，所以 ×14×AD＝84.
所以AD＝12.又因为AB＝15，所以BD＝＝9.
所以CD＝14－9＝5.
在Rt△ADC中，tan C＝＝.
12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CD＝5，AD＝6.求tan A和tan B的值.
课外出彩
解：因为CD＝5，AD＝6，所以tan A＝＝.
因为∠ACB＝90°，所以∠ACD＋∠BCD＝90°.
又因为CD⊥AB，所以∠ACD＋∠A＝90°.
所以∠BCD＝∠A.
(第12题)
又因为∠ADC＝∠CDB＝90°，所以△ACD∽△CBD.
所以 ＝，即 ＝.
所以BD＝.所以tan B＝＝.
课外出彩
(第12题)
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第一章 直角三角形的边角关系
2 30°，45°，60° 角的三角函数值
课前练兵
1.如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°.
(1)如果a＝1，那么c＝_______，b＝______；
(2)sin 30°＝______，cos 30°＝______，tan 30°
＝______；
(3)∠B＝60°，则sin 60°＝_____，cos 60°＝_____，tan 60°＝____.
课前练兵
(第1题)
2
2.若∠A＝30°，∠B与∠A互余，则sin B＝( )
A. B.
C. D.
课前练兵
D
3.在△ABC中，∠C＝90°，若cos B＝，则∠B的值为( )
A.30° B.60°
C.45° D.90°
课前练兵
A
课堂验标
◆知识点1：30°，45°，60°角的三角函数值
1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，则a＝b，c＝a，因此，sin 45°＝______，cos 45°＝______，tan 45°＝_____.
课堂验标
(第1题)
1
课堂验标
α 三角函数 正弦sin α 余弦cos α 正切tan α
30°
45° 1
60°
◆知识点2：求三角函数值
2.填空：
(1)sin 60°－tan 45°＝________；
(2)cos 60°－tan 60°＝________；
(3)tan 45°－sin 30°＝________.
课堂验标
－1
－
3.计算：2cos 45°－tan 30°cos 30°＋sin2 60°.
课堂验标
课外出彩
一、练基础
1.2sin 60°的值等于( )
A.1 B.
C. D.
课外出彩
C
2.已知tan A＝，则锐角A的度数是( )
A.30° B.45°
C.60° D.75°
课外出彩
C
3.已知∠α为锐角，且tan α＝1，则sin α的值为( )
A.45° B.
C. D.
课外出彩
C
4.在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝70°，那么sin C的值是( )
A. B.1
C. D.
课外出彩
A
5.下列各式中不正确的是( )
A.sin2 60°＋cos2 60°＝1 B.sin 30°＋cos 30°＝1
C.sin 30°＝cos 60° D.tan 45°＞sin 45°
课外出彩
B
.
.
.
6.如图1是第七届国际数学教育大会(ICME)的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形OABC.若OC＝，BC＝1，∠AOB＝30°，则OA的值为( )
A.
B.
C.
D.1
课外出彩
(第6题)
A
7.在△ABC中，若∠A，∠B满足＋＝0，则△ABC是( )
A.等腰(非等边)三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.钝角三角形
课外出彩
B
8.在△ABC中，sin(90°－∠A)＝，则锐角∠A为______°.
课外出彩
60
9.计算：
(1)sin 45°＋sin 60°－2tan 45°；
课外出彩
解：原式＝×＋－2×1
＝－1.
(2)sin 45°－＋tan 60°.
课外出彩
解：原式＝－(－1)＋
＝＋1.
二、提能力
10.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.若∠AOB＝60°，则＝______.
课外出彩
(第10题)
11.若α，β是一个三角形的两个锐角，且满足＋(－tan β)2＝0，则此三角形的形状是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
课外出彩
C
12.如图，已知一次函数y＝x＋m与反比例函数y＝ 的图象在第一象限的交点为A(3，n).
(1)求m与n的值；
课外出彩
解：因为y＝ 的图象过点A(3，n)，所以n＝.
因为一次函数y＝x＋m的图象过点A(3，n)，
所以m＝－2.
(第12题)
(2)若一次函数的图象与x轴交于点B，连接OA，求∠BAO的度数.
(第12题)
课外出彩
解：如图，过点A作AC⊥x轴于点C.
由(1)可知，直线AB的解析式为y＝x－2，
所以B(2，0)，即OB＝2.
又因为AC＝，OC＝3，所以BC＝OC－OB＝1.
所以AB＝＝2＝OB.
所以∠1＝∠2.
在Rt△OAC中，tan∠2＝＝，所以∠2＝30°.
所以∠BAO＝∠2＝30°.
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第一章 直角三角形的边角关系
1.3 三角函数的计算
课前练兵
1.如图，在Rt△ABC中，∠A＋∠B＝90°.因为sin A＝，cos B＝，所以sin A______cos B.同理，cos A______sin B.(两空均填“＞”“＜”或“＝”)
课前练兵
(第1题)
＝
＝
2.计算：tan 60°＋sin 45°－cos 60°＝___________.
3.计算：sin2 60°＋cos2 60°－tan 45°＝______.
课前练兵
＋－
0
课堂验标
◆知识点1：已知锐角的大小，用计算器求三角函数值
1.用计算器求三角函数值(结果保留4位小数)：
(1)用计算器计算：sin 56°≈_________；
(2)用计算器计算：cos 56°56'56″≈__________；
(3)用计算器计算：cos 16°＋sin 61°＋tan 56°≈_________.
2.用科学计算器计算：2sin 15°×cos 15°＝_____.
课堂验标
0.829 0
0.545 4
3.318 4
0.5
◆知识点2：已知三角函数值，用计算器求锐角的大小
3.填空：
(1)已知sin A＝，且∠A是锐角，则∠A的度数是______；
(2)已知cos α＝0.857 2，且∠α是锐角，则∠α的度数是______；(结果精确到1°)
课堂验标
30°
31°
(3)已知tan β＝3.024，且∠β是锐角，则∠β的度数是____________.(结果精确到1')
4.已知sin α＝0.2，cos β＝0.8，则∠α＋∠β≈____________.(结果精确到1')
课堂验标
71°42'
48°24'
5.如图，大坝的横截面是梯形ABCD，CD＝3 m， AD＝6 m，坝高是
3 m，BC坡的坡度为1∶3， 则∠A的度数为_______°，坝底宽AB＝____________m(结果保留根号).
课堂验标
(第5题)
30
12＋3
课外出彩
1.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝26°，BC＝6.若用科学计算器求边AC的长，则下列按键顺序正确的是( )
A.
B.
C.
D.
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(第1题)
D
2.若计算器的四个键的序号如图所示，在角的度量单位为“度”的状态下用计算器求sin 8°，正确的按键顺序是( )
A.(1)(2)(3)(4)
B.(2)(4)(1)(3)
C.(1)(4)(2)(3)
D.(2)(1)(4)(3)
课外出彩
(第2题)
B
3.下面四个数中，最大的是( )
A.cos 25° B.sin 88°
C.tan 46° D.
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C
4.如图所示，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序及结果如下：
按键的结果为m；
按键的结果为n；
按键的结果为k.
下列判断正确的是( )
A.m＝n B.n＝k C.m＝k D.m＝n＝k
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(第4题)
C
5.某款国产手机上有科学计算器(如图)，依次按键：4sin(60)＝，显示的结果在哪两个相邻整数之间( )
A.2和3
B.3和4
C.4和5
D.5和6
课外出彩
(第5题)
B
6.如图，小红同学测量一棵与地面垂直的树OA的高度时，在距离树的底端30 m的B处，测得树顶A的仰角∠ABO＝20°，借助计算器计算树OA的高度为________ m.(结果保留2位小数)
课外出彩
(第6题)
10.92
7.用计算器求下列各式的值(结果保留4位小数)：
(1)sin 62.6°－2sin 37°·cos 20°；
(2)tan 49°56'－cos 56°37'＋sin2 7.8°.
课外出彩
－0.243 2
0.657 1
二、提能力
8.如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6 m，坝高23 m，斜坡AB的坡度为1∶3，斜坡CD的坡度为1∶2.5.求∠α的大小(结果精确到1')，坝底AD和斜坡AB的长(结果精确到0.1 m).
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(第8题)
∠α≈18°26'，AD＝132.5 m，AB≈72.7 m.
9.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝10，BC＝13，求△ABC的三个内角的度数.(结果精确到1')
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(第9题)
解：过点A作AD⊥BC于点D(图略).
因为AB＝AC＝10，BC＝13，AD⊥BC，
所以BD＝CD＝6.5，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC.
在Rt△ABD中，sin∠BAD＝＝＝0.65，
所以∠BAD≈40°32'.
所以∠BAC＝2∠BAD≈81°4'，∠B＝∠C≈49°28'.
故△ABC的三个内角分别为81°4'，49°28'，49°28'.
10.(1)请用尺规作图法作一个Rt△ABC，使得∠C＝90°，AB＝2BC；
课外出彩
解：如图1所示，用尺规作图法作一个Rt△ABC.
图1
图2
(2)求证：∠A＝30°；
课外出彩
证明：因为在Rt△ABC中.∠C＝90°，AB＝2BC，
所以sin∠BAC＝＝＝，所以∠A＝30°.
(3)请在第(1)问的图形上适当添加辅助线，利用数形结合的方法求出tan 15°，并用计算器进行验证.
课外出彩
解：由(2)知，∠A＝30°，如图2所示，
作∠BAC的平分线交BC于点D，
则∠DAE＝∠BAD＝15°，过点D作DE∥AB交AC于点E，
则∠EDA＝∠DAB＝15°，所以AE＝DE，设BC＝1，CD＝x，
由DE∥AB，得△CED∽△CAB.
图2
课外出彩
所以 ＝＝＝＝＝.解得x＝.
故tan 15°＝＝＝＝2－≈0.267 949，
用计算器计算tan 15°≈0.267 949.
综上分析得证.
图2
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第一章 直角三角形的边角关系
1.1锐角三角函数(第二课时)
课前练兵
1.三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sin α的值是( )
A.
B.
C.
D.
课前练兵
(第1题)
C
2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则cos A的值是
( )
A.
B.
C.
D.
课前练兵
(第2题)
D
3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若△ABC的三边都缩小到原来的，则sin A的值( )
A.放大5倍 B.缩小到原来的
C.不变 D.无法确定
课前练兵
C
课堂验标
◆知识点1：正弦函数和余弦函数的定义
1.如图所示是Rt△ABC，∠C＝90°.
(1)∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，
记作sin A，即sin A＝________＝______；
(2)∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cos A，即cos A＝______＝_____.
课堂验标
(第1题)
2.如图，请写出∠B的正弦和余弦：sin B＝______，cos B＝______.
课堂验标
(第2题)
3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，则sin A＝______，cos A＝______.
课堂验标
◆知识点2：正弦函数和余弦函数的性质
4.如图，一架5 m长的梯子AB斜靠在墙上，梯子的顶端B
距离底面3 m，则sin A＝______，cos A＝______；将梯子
移动到A1B1的位置，AA1＝1 m，则sin∠B1A1C＝______，
cos∠B1A1C＝______.故sin A的值越_______(填“大”或
“小”，下同)，梯子越陡；cos A的值越_______，梯子越陡.
课堂验标
(第4题)
大
小
课外出彩
一、练基础
1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，则cos A的值是( )
A. B.
C. D.
课外出彩
(第1题)
B
2.在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，则下列各等式中一定成立的是( )
A.a＝c·sin A
B.b＝c·cos B
C.c＝
D.a＝b·tan B
课外出彩
(第2题)
A
3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sin A＝，则边AC的长为( )
A. B.3
C. D.
课外出彩
D
4.在Rt△ABC 中，已知∠C＝90°，∠A＝α，AC＝2，那么AB的长等于( )
A.2sin α B.2cos α
C. D.
课外出彩
D
5.如图所示的网格中，小正方形网格的边长为1，△ABC的三个顶点均在格点上，则cos B的值为( )
A.
B.
C.
D.
课外出彩
(第5题)
B
6.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，下列结论正确的是( )
A.sin B＝
B.cos C＝
C.sin C＝
D.tan C＝
课外出彩
(第6题)
C
7.在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos B＝，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则a∶b∶c为( )
A.2∶∶3 B.1∶∶
C.1∶2∶3 D.2∶∶
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A
8.在Rt△ABC中，∠B＝90°，sin C＝，则sin A＝______.
课外出彩
二、提能力
9.如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，△ABC是它的部分结构示意图，测得∠B＝50°，BC＝70 cm，则点C到AB的距离为( )
A.70cos 50° cm
B.70sin 50° cm
C. cm
D. cm
课外出彩
(第9题)
B
10.如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，CD是AB边上的中线.已知BC＝8，CD＝5，求sin∠BCD，cos∠BCD和tan∠BCD的值.
课外出彩
(第10题)
解：过点D作DE⊥BC于点E(图略).
因为∠BCA＝90°，CD是AB边上的中线，所以CD＝BD＝5.
又因为DE⊥BC，所以CE＝4，DE＝3.
所以sin∠BCD＝＝，cos∠BCD＝＝，tan∠BCD＝＝.
课外出彩
11.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.求证：sin2 A＋cos2 A＝1.
(第11题)
证明：因为sin A＝，cos A＝，且a2＋b2＝c2，
所以sin2A＋cos 2A＝＋＝＝1.
课外出彩
12.在△ABC中，∠B，∠C 均为锐角，其对边分别为b，c.求证：＝ .
证明：如图，过点A作AD⊥BC于点D.
在Rt△ABD中，sin B＝＞0，所以AD＝AB·sin B.
在Rt△ADC中，sin C＝＞0，所以AD＝AC·sin C.
所以AB·sin B＝AC·sin C.而AB＝c，AC＝b，
所以csin B＝bsin C.
又因为sin B＞0，sin C＞0，所以 ＝.
谢 谢
