2025-2026学年北师大版数学必修第二册课时达标练：6.1 函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象（含解析）

　6.1函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象
一、选择题
1．函数y＝2sin 的相位和初相分别是(　　)
A．－2x＋ B．2x－，－
C．2x＋ D．2x＋
2．若函数y＝A sin (ωx＋φ)(ω＞0)的部分图象如图，则ω＝(　　)
A．5 B．4
C．3 D．2
3．为了得到函数y＝sin 的图象，可以将函数y＝sin 2x的图象(　　)
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
4．把函数y＝f (x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin 的图象，则f (x)＝(　　)
A．sin B．sin
C．sin D．sin
5．将函数f＝sin ωx(其中ω>0)的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则ω的最小值是(　　)
A． B．1
C． D．2
6．函数f (x)＝－sin x在区间[0，2π]上的零点个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
7．设ω＞0，函数y＝sin ＋2的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则ω的最小值是(　　)
A． B．
C． D．3
二、填空题
8．函数y＝A sin (ωx＋φ)的最小值是－3，周期为，且它的图象经过点，则这个函数的解析式是________．
9．已知函数f (x)＝2cos (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f＝______________．
10．已知函数f＝2sin ，将f (x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变，再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，若g(x1)g(x2)＝9，则|x1－x2|的值可以是________(答案不唯一，写出一个即可)．
11．已知函数f (x)＝sin (ωx＋φ)(ω＞0)的部分图象如图所示，则f等于________．
三、解答题
12．函数f (x)＝5sin －3的图象是由y＝sin x的图象经过怎样的变换得到的？
13．已知曲线y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω＞0)上的一个最高点的坐标为，此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点，若φ∈．
(1)试求这条曲线的函数表达式；
(2)画出(1)中函数在[0，π]上的图象．
14．已知函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的图象在y轴上的截距为1，它在y轴右侧的第一个最高点和最低点分别为(x0，2)和(x0＋3π，－2)．
(1)求f (x)的解析式；
(2)将y＝f (x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，然后再将所得图象沿x轴正方向平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象．写出函数y＝g(x)的解析式，并用“五点法”画出y＝g(x)在长度为一个周期内的闭区间上的图象．
答案
1．C　[y＝2sin
＝2sin＝2sin．
∴相位和初相分别为2x＋．]
2．B　[设函数的最小正周期为T，由函数图象可知－x0＝，所以T＝．又因为T＝，可解得ω＝4．]
3．B　[∵y＝sin＝sin，∴为了得到函数y＝sin的图象，可以将函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，故选B．]
4．B　[依题意，将y＝sin个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到f(x)的图象，所以y＝siny＝sin的图象f(x)＝sin的图象．]
5．D　[函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数
g(x)＝f＝sin ω＝sin的图象，
因为此时函数图象过点，
所以sin ω＝0，即ω＝kπ，k∈Z，
所以ω＝2k，k∈Z，且ω>0，
所以ω的最小值为2，故选D．]
6．C　[在同一直角坐标系内，画出y＝及y＝sin x的图象，由图象可观察出交点个数为2．
]
7．C　[y＝sin＋2
y1＝sin＋2＝sin＋2．
因为y与y1的图象重合，
所以－ω＝2kπ(k∈Z)，
所以ω＝－k．
又因为ω>0，k∈Z，
所以k＝－1时，ω取最小值，为．]
8．y＝3sin　[由已知得A＝3，T＝，
故ω＝6．
∴y＝3sin(6x＋φ)．把点代入，
得3sin φ＝－，sin φ＝－．又π<φ<2π，∴φ＝．
∴y＝3sin．]
9．－　[由题图可知，f(x)的最小正周期
T＝＝π，
所以ω＝＝2．因为f＝0，
所以由五点作图法可得2×＋φ＝，解得φ＝－，
所以f(x)＝2cos，
所以f＝2cos＝－2cos＝－．]
10．(答案不唯一)　[将函数f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，则所得图象对应的解析式为y＝2sin，再将所得的函数图象向上平移1个单位长度，得到函数g＝2sin＋1的图象，则函数g(x)的值域为[－1，3]，又g(x1)g(x2)＝9，所以g(x1)＝g(x2)＝g(x)max＝3，则|x1－x2|＝nT(n∈N*，T为g(x)的最小正周期)，又T＝，故|x1－x2|＝(n∈N*)，故可填．]
11．－　[∵T＝，
∴T＝．
∴，即ω＝3．
又∵3×＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)，∴φ可取－．
∴f＝sin＝sin＝sin＝－．]
12．解：先把函数y＝sin x的图象向右平移个单位长度，得y＝sin(纵坐标不变)，得y＝sin的图象；然后把所得函数图象上所有点的纵坐标变为原来的5倍(横坐标不变)，得函数y＝5sin的图象，最后将所得函数图象向下平移3个单位长度，得函数y＝5sin－3的图象．
13．解：(1)因为函数图象的一个最高点的坐标为，
所以A＝，x＝为函数图象的其中一条对称轴，
因为最高点到相邻最低点的图象与x轴交于点，T＝π．
又T＝＝π，所以ω＝2，此时y＝f(x)＝sin(2x＋φ)，
又f，所以sin＝1，
即＋φ＝＋2kπ，即φ＝＋2kπ，k∈Z，
又φ∈，所以φ＝，
所以y＝sin．
(2)列出x，y的对应值表：
2x＋ π 2π
x 0 π
y 1 0 － 0 1
作图如下
14．解：(1)由已知，易知A＝2，＝(x0＋3π)－x0＝3π，解得T＝6π，所以ω＝．
把点(0，1)代入解析式y＝2sin，
得2sin φ＝1．
又|φ|<，所以φ＝．
所以f(x)＝2sin．
(2)伸缩后的函数解析式为y＝2sin，再平移，
得g(x)＝2sin＝2sin．
列表：
x－ 0 π 2π
x
2sin 0 2 0 －2 0
图象如图，
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