江苏江阴市南闸实验学校2025-2026学年九年级数学下学期随堂练习（3月）(含答案)

江苏江阴市南闸实验学校2025-2026学年九年级数学下学期随堂练习（3月）
一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.5的倒数是( )
A. B. C. 5 D.
2.下列运算正确的是（）
A. B. C. D.
3.下列选项中，能说明命题“若a≤1，则a2≤1”是假命题的反例是（　　）
A. a=2 B. a=1 C. a=-1 D. a=-2
4.下列命题中：①菱形的对角线相等；②矩形的对角线互相垂直；③平行四边形的对角线互相平分；④正方形的对角线相等且互相垂直平分.真命题的个数为（）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
5.如图，在平面直角坐标系中，与x轴相切于点B，为的直径，点C在函数（）的图像上，D为y轴上一点，的面积为，则k的值是（ ）
A. 7 B. 14 C. 21 D. 28
6.下列事件是必然事件的是（）
A. 任意两个等腰三角形都相似 B. 三点确定一个圆
C. 对顶角相等 D. 同位角相等
7.点P（a，b）在函数y＝3x+2的图象上，则代数式3a﹣b+1的值等于（　　）
A. ﹣1 B. 1 C. ﹣3 D. 3
8.如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
9.如图，边长为1的正方形网格中，O、A、B、C、D是网格线交点，若弧AB与弧CD所在圆的圆心都为点O，那么阴影部分的面积为（ ）
A. π B. 2π C. D. 2π-2
10.如图，在矩形纸片中，，．把沿对角线折叠，使点落在处，交于点，交于点；、分别是和上的点，线段交于点，把沿折叠，使点落在处，点恰好与点重合．下列选项中正确的是（ ）
①；②；③；④
A. ①②③④ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
11.分解因式：x2-2x+1= ．
12.正五边形每个内角的度数为 ．
13.写出一个函数表达式，使它的图象经过点（1，-2），且函数值随自变量的增大而减小： .
14.如图是由6个形状、大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠O）为120°，A、B、C都在格点上，则tan∠ABC的值是 ．
15.一组数据：12，5，3，0，-2，6的极差为 .
16.圆锥的底面半径为4cm，母线长为12cm，则该圆锥的侧面积为 cm2．
17.《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．小明同学依照此法测量学校操场边一棵树的高度，如图，点在同一水平线上，与相交于点D．测得，则树高 m．
18.在二次函数y=-x2的图象上分别取三个点P，A，B，其中，点P（m,-m）在第四象限内，A，B两点横坐标分别为a、b,且满足a≤m≤b.则P的坐标为 ；连接PA，PB，AB.当PA⊥PB时，作PH⊥AB，垂足为点H，PH的最大值为 .
三、计算题：本大题共2小题，共14分。
19.计算：
(1)
(2)
20.
(1) 解方程：；
(2) 解不等式组：
四、解答题：本题共8小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题7分)
最近几年苏州文旅产业不断创新．小明计划假期来无锡游玩，他打算从3个人文景点（A、拙政园；B．周庄古镇；C．苏州博物馆）中随机选取一个，再从2个自然景点（D．灵岩山；E．天平山）中随机选取一个．
(1) 小明从人文景点中选苏州博物馆的概率是 ；
(2) 用树状图或列表的方法求小明同时选周庄古镇和天平山两个景点的概率．
22.(本小题7分)
△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，F为EC的中点，BC、DF的延长线交于点G．
(1) 求证：△DEF≌△GCF；
(2) 求证：BC＝2CG．
23.(本小题7分)
如图，在等边中，D、E分别是上的点，且，与交于点F．
(1) 求证：；
(2) 求的度数．
24.(本小题7分)
如图，在中，．
(1) 尺规作图：作的角平分线，在角平分线上确定点，使得；（不写作法，保留痕迹）
(2) 在（1）的条件下，若，，，则的长是多少？（请直接写出的值）
25.(本小题11分)
2025太湖游轮旅游产品正式上线，一艘游轮从无锡出发前往苏州，线路如图1所示．当游轮到达“三山景点”时，一艘货轮沿着同样的线路从无锡出发前往苏州．已知游轮的速度为，游轮行驶的时间记为，两艘轮船距离无锡的路程关于的函数图象如图2所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变）．当游轮从“三山景点”再次出发时，游轮与货轮之间的距离缩短了．
(1) 写出图2中C点的实际意义是 ；
(2) 求图2中对应的函数解析式及自变量x的取值范围；
(3) 求游轮、货轮相遇时x的值．
26.(本小题11分)
如图，在中，，点E在边上，且，点F是边上的一动点，将四边形沿翻折得到四边形，连接．
(1) ；
(2) 当点落在直线上时，求的面积；
(3) 若恰好为等腰三角形，请直接写出的长．
27.(本小题8分)
某校计划采购凳子，商场有A、B两种型号的凳子出售，并规定：对于A型凳子，采购数量若超过250张，则超出部分可在原价基础上每张优惠a元；B型凳子的售价为40元/张．学校经测算，若购买300张A型凳子需要花费14250元；若购买500张A型凳子需要花费21250元．
(1) 求a的值；
(2) 学校要采购A、B两种型号凳子共900张，且购买A型凳子不少于150张且不超过B型凳子数量的2倍，请通过计算帮学校决策如何分配购买数量可以使得总采购费用最少？最少是多少元？
28.(本小题12分)
如图①，二次函数的图象与开口向下的二次函数图象均过点，．
(1) 求图象对应的函数表达式；
(2) 若图象过点，点P位于第一象限，且在图象上，直线l过点P且与x轴平行，与图象的另一个交点为Q（Q在P左侧），直线l与图象的交点为M，N（N在M左侧）．当时，求点P的坐标；
(3) 如图②，D，E分别为二次函数图象，的顶点，连接，过点A作．交图象于点F，连接EF，当时，求图象对应的函数表达式．
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】C
10.【答案】B
11.【答案】(x-1)2
12.【答案】108°
13.【答案】y=-x-1（答案不唯一）
14.【答案】
15.【答案】14
16.【答案】
17.【答案】
18.【答案】（1，-1）
．

19.【答案】【小题1】
解：
．
【小题2】
解：
．

20.【答案】【小题1】
解：，
，，，
，
∴，
即，；
【小题2】
，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为．

21.【答案】【小题1】

【小题2】
解：画树状图如下：
由树状图可知，一共有6种等可能性的结果数，其中小明同时选中周庄古镇和天平山两个景点的结果数有1种，
∴小明同时选中周庄古镇和天平山两个景点的概率为．

22.【答案】【小题1】
证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，F为EC的中点，
∴BC＝2DE，DE // BC，EF＝FC，
∴∠EDF＝∠G，
在△DEF和△GCF中，
，
∴△DEF≌△GCF（AAS）；
【小题2】
∵△DEF≌△GCF，
∴DE＝CG，
∴BC＝2CG．

23.【答案】【小题1】
证明：∵是等边三角形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【小题2】
解：∵是等边三角形，
∴，
由（1）已证：，
∴．

24.【答案】【小题1】
解：如下图：即为所求．
【小题2】
过点D作交与点E，过点D作交与点F，
则，
又∵
∴四边形为矩形，
∵是的平分线，
∴，
∴四边形为正方形，
∴，
设，
∴，，
在中，，
在中，，
∵
∴
∴
解得：，
∴．

25.【答案】【小题1】
第5小时时，游轮到达苏州，此时距离无锡
【小题2】
解：由图1可知：三山景点到苏州所需的时间为，
∴在离开三山景点时，，
∴，
设直线的解析式为，则有，
，解得：，
∴直线的解析式为，自变量的取值范围为；
【小题3】
解：由题意得：在货轮出发前，游轮行驶的时间为，
∴，
∴货轮的速度为，
∴货轮到达苏州的时间为，
∴的横坐标为，即，
设直线的解析式为，则有：
，解得：，
∴直线的解析式为，
联立得：，解得：，
∴游轮、货轮相遇时，．

26.【答案】【小题1】
【小题2】
解：如图，点落在射线上时，作于点，
设，则，
∵，
∴，
由折叠的性质知，
在中，由勾股定理得，
整理得，
解得或（舍去），
∴，
∴的面积；
如图，点落在线段上时，作交延长线于点，

设，则，
∵，
∴，
由折叠的性质知，
在中，由勾股定理得，
整理得，
解得或（舍去），
∴，
∴的面积；
综上，的面积为或；
【小题3】
解：当且在的上方时，如图，作于点，作交延长线于点，作于点，则四边形是矩形，
设，
由折叠的性质知，，
∴，，
∴，
∴，
设，
在和中，，即，
解得，
∴，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴；
当且在的下方时，如图，作于点，作交延长线于点，作于点，则四边形是矩形，
设，
同理，，，
∴；
当且在的上方时，如图，作交延长线于点，作于点，
∴，
∴，
设，同理，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴；
当且在的下方时，如图，作于点，作于点，
∴，
∴，
设，同理，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴；
综上，的长为1或5或或．

27.【答案】【小题1】
设型凳子的售价为元张，根据题意得
，
解得，
答：的值为15．
【小题2】
设购买型凳子张，则购买型凳子张，
根据题意得，
解得，
设总采购费用为元，根据题意得
当时，；
当时，，
，
当时，，随的增大而增大，时，的最小值为37500；
当时，，随的增大而减小，时，的最小值为36750．
，
购买型凳子600张，购买型凳子300张时总采购费用最少，最少是36750元．

28.【答案】【小题1】
解：将，代入，得，
，
解得：
对应的函数表达式为：；
【小题2】
解：设对应的函数表达式为，将点代入
得：，
解得：．
对应的函数表达式为：，其对称轴为直线．
又图象的对称轴也为直线，
作直线，交直线l于点H（如答图①）
由二次函数的对称性得，，
∴．
又，而
=QH=NQ，
设，则点P的横坐标为，点M的横坐标为．
将代入，得，
将代入，得．
，，
即，解得，（舍去）．
点P的坐标为；
【小题3】
解：连接，交x轴于点G，过点F作于点I，过点F作轴于点J．（如答图②）
，轴，轴，
四边形为矩形，
，．
设对应的函数表达式为，
点D，E分别为二次函数图象，的顶点，
将分别代入，
得，
∴，，
，，．
在中，．
，
．
又，
．
．
设，则，．
，
．
，
．
，
．
又，
，
①
点F在上，
，
即．
，
②
由①，②可得．
解得（舍去），，
．
的函数表达式为．

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