2025-2026学年江苏省南京市建邺区九年级（上）期末数学试卷(含部分答案)
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年江苏省南京市建邺区九年级（上）期末数学试卷(含部分答案) |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 118.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-13 00:00:00 | ||
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文档简介
2025-2026学年江苏省南京市建邺区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若⊙O的半径为3，OA=2，则点A与⊙O的位置关系是（ ）
A. 点A在⊙O内 B. 点A在⊙O上 C. 点A在⊙O外 D. 不能确定
2.二次函数y=（x+1）2+2的顶点坐标为（ ）
A. （1，2） B. （-1，2） C. （-1，-2） D. （1，-2）
3.点P为线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，则下列结论中错误的是（ ）
A. B. C. D.
4.如图，夜晚冬冬从点A出发沿直线走向点B，行进路线经过某路灯的正下方.在此过程中，他的影子会（ ）
A. 一直变长
B. 一直变短
C. 先变长，后变短
D. 先变短，后变长
5.如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点E.若BE=2，则AB的长为（ ）
A. 5
B.
C. 6
D.
6.已知函数y=ax2+bx+c的图象过点A（3，2），B（-1，-2），C（2，n），则下列选项中，对应的a的值最大的是（ ）
A. n=2 B. n=1 C. n=0 D. n=-1
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
7.已知，则= .
8.已知二次函数y=x2+2x+m与x轴有两个公共点，则实数m的取值范围是 .
9.若关于x的方程x2+bx+c=0的两根分别是2，3，则c的值为 .
10.某厂工业废气2025年排放量为300万立方米.为改善城市环境质量，决定在两年内使废气年排放量减少到144万立方米.设平均每年废气排放量减少的百分率为x,则可列方程为 .
11.若圆锥的侧面展开图是一个半径为6的半圆，则圆锥的底面积为 .
12.甲、乙两人5次射击命中的环数如下表.设甲、乙5次射击命中环数的方差分别为和，则s s（填“＞”、“=”或“＜”）.
甲 7 8 9 10 6
乙 8 6 8 8 10
13.如图，四边形ABCD内接于⊙O.若∠C=115°，则∠ADO-∠ABO= °.
14.如图，小明掷实心球的高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的函数关系式是，则小明此次掷实心球的成绩是 m.
15.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E在BC上，连接DE，过点A作AH⊥DE，垂足为H，延长AH交CD于点F.若，则的值为 .
16.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C的坐标为（4，3），⊙C的半径为2，P为⊙C上的一点，PM⊥x轴，垂足为M，则OM+PM的最小值为 .
三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
解方程：
（1）x2-2x-3=0；
（2）3（x-1）2=x（x-1）.
18.(本小题6分)
如图，已知⊙O中，弦AB与CD相交于点P.
求证：PA PB=PC PD.
19.(本小题8分)
按照国家视力健康标准，学生视力状况分为A，B，C，D四个类别.为了解某校学生视力状况，调查小组随机抽取了该校部分学生进行调查，绘制成如下不完整的统计表和统计图.
抽取的学生视力状况统计表
类别 A B C D
视力 视力≥5.0 4.9 4.6≤视力≤4.8 视力≤4.5
健康状况 视力正常 轻度视力不良 中度视力不良 重度视力不良
人数 160 m n 56
根据以上信息，回答下列问题：
（1）m=______，n=______；
（2）抽样调查数据的中位数所在类别为______类；
（3）已知该校共有800名学生，请估计该校“中度视力不良”和“重度视力不良”的学生总人数；为更好保护好视力，结合上述统计数据分析，给出一条合理化的建议.
20.(本小题8分)
已知二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，且a≠0），函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 4 1 0 1 m …
（1）m= ______；
（2）求该二次函数的表达式；
（3）当y＜4时，x的取值范围是______.
21.(本小题8分)
某种粮大户去年种植水稻360亩，平均每亩收益440元.他计划今年多承租若干亩稻田，预计原360亩稻田平均每亩收益不变，新承租的稻田每增加1亩，其每亩平均收益比去年平均收益少2元.该种粮大户今年应承租多少亩稻田才能使总收益最大？
22.(本小题7分)
甲，乙两人玩卡牌游戏，甲从牌面数字为2，3，4三张牌中随机取出两张牌，乙从牌面数字为5，6两张牌中随机取出一张牌.
（1）甲抽出的两张卡牌中含有数字4的概率为______；
（2）求甲抽出的两张牌上的数字之和大于乙抽出牌上的数字的概率.
23.(本小题8分)
如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，AD与⊙O交于点E.
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若，AB=5，求CD的长.
24.(本小题8分)
如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE，CD相交于点G，连接AG并延长，与DE，BC分别相交于点F，H.
（1）求证：DG=；
（2）求证：BH=HC.
25.(本小题8分)
如图，点A为直线l外一点，分别作出满足下列条件的⊙O.
（1）过点A，与l相切且半径最小；
（2）过点A，与l相切于点P，的度数为60°；
要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明.
26.(本小题9分)
已知二次函数y=（x-m）2+n（m,n为常数）的图象经过点A（3，2）.
（1）将该函数图象向右平移4个单位后仍过点A，则m=______；
（2）当0≤m≤2时，求n的取值范围；
（3）当0≤x≤2时，函数的最大值为M，则下列结论中正确的是______.
A.M随m的增大而增大
B.M随m的增大而减小
C.M随m的增大先增大后减小
D.M随m的增大先减小后增大
27.(本小题10分)
如图1，在平面上，给定了半径为r的⊙O，对于任意点P，在射线OP上取一点P′，使得OP OP'=r2，则称点P′为点P关于⊙O的反演点.
【概念认识】
（1）下列关于反演点的结论：①若点P在⊙O外，则它的反演点P′一定在⊙O内；
②若点P在⊙O上，则它的反演点P′是它本身；③点P的反演点P′不可能是线段OP的中点.其中所有正确结论的序号是______.
【初步应用】
（2）如图2，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的切线PA，PB，切点分别为A，B，OP与AB交于点C.求证：点C是点P关于⊙O的反演点.
【深入探究】
（3）如图3，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=12，以AC为直径作⊙O，P为直线AB上一点，点P′为点P关于⊙O的反演点，则CP的′长的最大值为______.
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】2
8.【答案】m＜1
9.【答案】6
10.【答案】300（1-x）2=144
11.【答案】9π
12.【答案】＞
13.【答案】65
14.【答案】10
15.【答案】
16.【答案】7-2
17.【答案】x1=3，x2=-1 x1=1，x2=
18.【答案】解：连接AC、BD．
∵∠A=∠D，∠C=∠B，
∴△ACP∽△DBP，
∴=，
∴PA PB=PC PD．
19.【答案】64;120 B 估计该校“中度视力不良”和“重度视力不良”的学生总人数为352人，建议：大力宣传保护视力的重要性，并加大学生的自我意识，在用眼过度时要注意休息和做做眼保健操
20.【答案】4；
y=x2-4x+4；
0＜x＜4
21.【答案】该种粮大户今年应承租470亩稻田才能使总收益最大．
22.【答案】
23.【答案】证明：如图，连接OC，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠DAC=∠OCA，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OAC，
∴AC平分∠DAB 2
24.【答案】∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=BC，DE∥BC，
∴△DEG∽△CBG，
∴DG：GC=DE：CB=1：2，
∴DG= 由（1）知DE∥BC，
∴△ADF∽△ABH，
∴DF：BH=AD：AB，
∵△DGF∽△CHG，
∴DF：HC=DG：GC，
∵△ADE∽△ABC，
∴AD：AB=DE：BC，
∵△DEG∽△CBG，
∴DG：GC=DE：BC，
∴DF：BH=DF：HC，
∴BH=HC
25.【答案】如图（1）中，⊙O即为所求；方法：过点A作AD⊥直线l于点D，以AD为直径作⊙O即可； 如图（2）中，⊙O即为所求．
方法：过点A作AD⊥直线l于点D，以AD为边作等边三角形ADC，延长AC交直线l于点P，以AP为边在AP的右侧构造等边三角形AOP，以O为圆心，OA为半径作⊙O即可
26.【答案】1 -7≤n≤1 A
27.【答案】①② 证明：连接OA，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，PA=PB，
∴OP⊥AB，
在Rt△OAP中，∠OAC+∠PAC=90°，∠APC+∠PAC=90°，
∴∠OAC=∠APC，
又∵∠AOC=∠POA，
∴△OAC∽△OPA，
∴=，
∴OA2=OP OC，
∵OA=r，
∴OP OC=r2，
∴点C是点P关于⊙O的反演点 +
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一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若⊙O的半径为3，OA=2，则点A与⊙O的位置关系是（ ）
A. 点A在⊙O内 B. 点A在⊙O上 C. 点A在⊙O外 D. 不能确定
2.二次函数y=（x+1）2+2的顶点坐标为（ ）
A. （1，2） B. （-1，2） C. （-1，-2） D. （1，-2）
3.点P为线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，则下列结论中错误的是（ ）
A. B. C. D.
4.如图，夜晚冬冬从点A出发沿直线走向点B，行进路线经过某路灯的正下方.在此过程中，他的影子会（ ）
A. 一直变长
B. 一直变短
C. 先变长，后变短
D. 先变短，后变长
5.如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点E.若BE=2，则AB的长为（ ）
A. 5
B.
C. 6
D.
6.已知函数y=ax2+bx+c的图象过点A（3，2），B（-1，-2），C（2，n），则下列选项中，对应的a的值最大的是（ ）
A. n=2 B. n=1 C. n=0 D. n=-1
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
7.已知，则= .
8.已知二次函数y=x2+2x+m与x轴有两个公共点，则实数m的取值范围是 .
9.若关于x的方程x2+bx+c=0的两根分别是2，3，则c的值为 .
10.某厂工业废气2025年排放量为300万立方米.为改善城市环境质量，决定在两年内使废气年排放量减少到144万立方米.设平均每年废气排放量减少的百分率为x,则可列方程为 .
11.若圆锥的侧面展开图是一个半径为6的半圆，则圆锥的底面积为 .
12.甲、乙两人5次射击命中的环数如下表.设甲、乙5次射击命中环数的方差分别为和，则s s（填“＞”、“=”或“＜”）.
甲 7 8 9 10 6
乙 8 6 8 8 10
13.如图，四边形ABCD内接于⊙O.若∠C=115°，则∠ADO-∠ABO= °.
14.如图，小明掷实心球的高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的函数关系式是，则小明此次掷实心球的成绩是 m.
15.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E在BC上，连接DE，过点A作AH⊥DE，垂足为H，延长AH交CD于点F.若，则的值为 .
16.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C的坐标为（4，3），⊙C的半径为2，P为⊙C上的一点，PM⊥x轴，垂足为M，则OM+PM的最小值为 .
三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
解方程：
（1）x2-2x-3=0；
（2）3（x-1）2=x（x-1）.
18.(本小题6分)
如图，已知⊙O中，弦AB与CD相交于点P.
求证：PA PB=PC PD.
19.(本小题8分)
按照国家视力健康标准，学生视力状况分为A，B，C，D四个类别.为了解某校学生视力状况，调查小组随机抽取了该校部分学生进行调查，绘制成如下不完整的统计表和统计图.
抽取的学生视力状况统计表
类别 A B C D
视力 视力≥5.0 4.9 4.6≤视力≤4.8 视力≤4.5
健康状况 视力正常 轻度视力不良 中度视力不良 重度视力不良
人数 160 m n 56
根据以上信息，回答下列问题：
（1）m=______，n=______；
（2）抽样调查数据的中位数所在类别为______类；
（3）已知该校共有800名学生，请估计该校“中度视力不良”和“重度视力不良”的学生总人数；为更好保护好视力，结合上述统计数据分析，给出一条合理化的建议.
20.(本小题8分)
已知二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，且a≠0），函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 4 1 0 1 m …
（1）m= ______；
（2）求该二次函数的表达式；
（3）当y＜4时，x的取值范围是______.
21.(本小题8分)
某种粮大户去年种植水稻360亩，平均每亩收益440元.他计划今年多承租若干亩稻田，预计原360亩稻田平均每亩收益不变，新承租的稻田每增加1亩，其每亩平均收益比去年平均收益少2元.该种粮大户今年应承租多少亩稻田才能使总收益最大？
22.(本小题7分)
甲，乙两人玩卡牌游戏，甲从牌面数字为2，3，4三张牌中随机取出两张牌，乙从牌面数字为5，6两张牌中随机取出一张牌.
（1）甲抽出的两张卡牌中含有数字4的概率为______；
（2）求甲抽出的两张牌上的数字之和大于乙抽出牌上的数字的概率.
23.(本小题8分)
如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，AD与⊙O交于点E.
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若，AB=5，求CD的长.
24.(本小题8分)
如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE，CD相交于点G，连接AG并延长，与DE，BC分别相交于点F，H.
（1）求证：DG=；
（2）求证：BH=HC.
25.(本小题8分)
如图，点A为直线l外一点，分别作出满足下列条件的⊙O.
（1）过点A，与l相切且半径最小；
（2）过点A，与l相切于点P，的度数为60°；
要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明.
26.(本小题9分)
已知二次函数y=（x-m）2+n（m,n为常数）的图象经过点A（3，2）.
（1）将该函数图象向右平移4个单位后仍过点A，则m=______；
（2）当0≤m≤2时，求n的取值范围；
（3）当0≤x≤2时，函数的最大值为M，则下列结论中正确的是______.
A.M随m的增大而增大
B.M随m的增大而减小
C.M随m的增大先增大后减小
D.M随m的增大先减小后增大
27.(本小题10分)
如图1，在平面上，给定了半径为r的⊙O，对于任意点P，在射线OP上取一点P′，使得OP OP'=r2，则称点P′为点P关于⊙O的反演点.
【概念认识】
（1）下列关于反演点的结论：①若点P在⊙O外，则它的反演点P′一定在⊙O内；
②若点P在⊙O上，则它的反演点P′是它本身；③点P的反演点P′不可能是线段OP的中点.其中所有正确结论的序号是______.
【初步应用】
（2）如图2，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的切线PA，PB，切点分别为A，B，OP与AB交于点C.求证：点C是点P关于⊙O的反演点.
【深入探究】
（3）如图3，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=12，以AC为直径作⊙O，P为直线AB上一点，点P′为点P关于⊙O的反演点，则CP的′长的最大值为______.
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】2
8.【答案】m＜1
9.【答案】6
10.【答案】300（1-x）2=144
11.【答案】9π
12.【答案】＞
13.【答案】65
14.【答案】10
15.【答案】
16.【答案】7-2
17.【答案】x1=3，x2=-1 x1=1，x2=
18.【答案】解：连接AC、BD．
∵∠A=∠D，∠C=∠B，
∴△ACP∽△DBP，
∴=，
∴PA PB=PC PD．
19.【答案】64;120 B 估计该校“中度视力不良”和“重度视力不良”的学生总人数为352人，建议：大力宣传保护视力的重要性，并加大学生的自我意识，在用眼过度时要注意休息和做做眼保健操
20.【答案】4；
y=x2-4x+4；
0＜x＜4
21.【答案】该种粮大户今年应承租470亩稻田才能使总收益最大．
22.【答案】
23.【答案】证明：如图，连接OC，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠DAC=∠OCA，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OAC，
∴AC平分∠DAB 2
24.【答案】∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=BC，DE∥BC，
∴△DEG∽△CBG，
∴DG：GC=DE：CB=1：2，
∴DG= 由（1）知DE∥BC，
∴△ADF∽△ABH，
∴DF：BH=AD：AB，
∵△DGF∽△CHG，
∴DF：HC=DG：GC，
∵△ADE∽△ABC，
∴AD：AB=DE：BC，
∵△DEG∽△CBG，
∴DG：GC=DE：BC，
∴DF：BH=DF：HC，
∴BH=HC
25.【答案】如图（1）中，⊙O即为所求；方法：过点A作AD⊥直线l于点D，以AD为直径作⊙O即可； 如图（2）中，⊙O即为所求．
方法：过点A作AD⊥直线l于点D，以AD为边作等边三角形ADC，延长AC交直线l于点P，以AP为边在AP的右侧构造等边三角形AOP，以O为圆心，OA为半径作⊙O即可
26.【答案】1 -7≤n≤1 A
27.【答案】①② 证明：连接OA，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，PA=PB，
∴OP⊥AB，
在Rt△OAP中，∠OAC+∠PAC=90°，∠APC+∠PAC=90°，
∴∠OAC=∠APC，
又∵∠AOC=∠POA，
∴△OAC∽△OPA，
∴=，
∴OA2=OP OC，
∵OA=r，
∴OP OC=r2，
∴点C是点P关于⊙O的反演点 +
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