(共11张PPT)
第四章 因式分解
§4.3 公式法（1）
班级______________姓名______________座号__________ ______月___
___日（星期__________）
课时内容 会用平方差公式分解因式.
考点1 直接用平方差公式分解因式
1. 【典例】[2025成都期末]下列多项式中不能用平方差公式因式分解的
是( )
B
A. B. C. D.
2. 【变式】已知，，则 ___.
3
考点2 先提取公因式，再用平方差公式分解因式
3. 【典例】因式分解： ________________.
4. 【变式】因式分解：，则代数式 等于
( )
D
A. B. C. D.
◆基础演练
5. [2025青岛期末]下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是
( )
C
A. B. C. D.
6. [2024南阳期末]因式分解 的结果是( )
D
A. B.
C. D.
7. 若实数，满足，则代数式 的值为
_______.
2 026
8. 把下列各式因式分解：
（1） ；
解：原式
；
（2） .
解：原式
.
9. 已知，，求 的值.
解： ，
，即 .
解得
.
◆中档应用
10. 若，，是三角形的三边长，则式子 的值( )
A
A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.不能确定
11. 因式分解： ___________________.
12. 若是方程组的解，则 的值为___.
9
13. 若，求 的值.
解： ，
原式
.
14. 用简便方法计算：
.
解：原式
.
◆拓展延伸
15. 观察以下三个等式，并结合这些等式，回答下列问题：
；； .
（1）请你再写出另外两个符合上述规律的算式：_______________；
________________；（答案不唯一）
（2）观察上述算式，我们发现，如果两个连续奇数分别为 和
（其中为正整数），则它们的平方差是8的倍数，请你用含 的
式子说明上述规律的正确性.
解： ，
两个连续奇数的平方差是8的倍数.(共10张PPT)
第四章 因式分解
专题训练 灵活应用各种方法分解因式
班级______________姓名______________座号__________ ______月___
___日（星期__________）
考点1 提公因式法
1. 多项式与 的公因式是( )
A
A. B. C. D.
2. 若实数，满足方程组则 ____.
考点2 公式法
3. 将 分解因式，所得结果正确的是( )
D
A. B.
C. D.
4. ，满足，分解因式
_____________________.
考点3 分组分解法
5. 把多项式 分解因式的结果是( )
A
A. B.
C. D.
6. 已知，，均为正整数，且满足 .
下列说法：
；是完全平方数；③对于任意正整数 ，存在满足上述
方程的一组正整数， .
其中正确的个数是( )
C
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
7. 已知，， .求
的值.
解：原式
，
，， .
.
， .
原式 .
考点4 十字相乘法
8. 多项式可因式分解成，其中，，
均为整数，则 的值为___.
7
9. 阅读与思考.
请仿照上面的方法，解答下列问题：
（1）因式分解： ；
解： ，
；
（2）若可分解为两个一次因式的积，写出整数 所有可能的值.
解： ，
或或或 ，
因此整数的值可能为5或或1或 .
考点5 整体思想法
10. 先阅读下列材料，再解答下列问题：
题：因式分解： .
解：将“”看成整体，设 ，则原式
再将“”还原，得原式 .
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思
想方法，请你仿照上面的方法，写出下列因式分解的结果：
（1） _______________；
（2） _______________；
（3） ____________；
（4） ____________.(共9张PPT)
第四章 因式分解
能力提升 因式分解的应用
班级______________姓名______________座号__________ ______月___
___日（星期__________）
考点1 简便计算
1. 利用简便方法计算：
（1） ；
解：原式
；
（2） .
解：原式
.
考点2 化简求值
2. （1）先化简，再求值： ，其中
， ；
解：原式 .
当，时，原式 ；
（2）已知，，求多项式 的值.
解：， ，
原式 .
考点3 判断整除
3. 利用因式分解说明：当为自然数时， 能被24整除.
解： ，
当为自然数时， 能被24整除.
考点4 求周长
4. 已知等腰三角形的三边长，， 都是正整数，且满足
，求 的周长.
解： ，
.
.
则，，解得， .
为等腰三角形，或 .
由三角形的三边关系，得，故 .
的三边长分别为2，4，4.
的周长为 .
考点5 判断三角形的形状
5. 已知，，是的三条边，且满足 ，请判
断三角形的形状并说明理由.
解： 是等腰三角形.理由如下：
，即 ，
.
，，是 的三条边，
，
，
即 ，
是等腰三角形.
考点6 比较大小
6. 定义：任意两个数，，按规则扩充得到一个新数 ，称
所得的新数为 “鸿蒙数”，若，，比较， 的大小.
解：由题意得，当， 时，
，
.
.
考点7 数字类规律探索
7. 观察下列等式：
第①个等式： ；第②个等式：
；
第③个等式： ；……
根据上述规律解决下列问题：
（1）完成第④个等式：______________________________；
（2）写出你猜想的第个等式（用含 的式子表示），并证明等式成立；
解：第个等式是： .证
明如下：
右边 左边，所以等式成立.
（3）根据你发现的规律，可知
_________（直接写出结果）.
333 300(共10张PPT)
第四章 因式分解
单元复习 因式分解
班级______________姓名______________座号__________ ______月___
___日（星期__________）
1. 下列因式分解正确的是( )
B
A. B.
C. D.
2. 已知，则， 的值为( )
A
A.， B.，
C.， D.，
3. [2024威县期末]已知， ，则代数式
的值为( )
C
A. B.30 C. D.
4. [2024闽清期末]若为自然数，则 的值总能( )
A
A.被3整除 B.被4整除 C.被5整除 D.被6整除
5. 给出下列多项式：；； ；
；； .其中能够因式分解的
是__________（填序号）.
②④⑤⑥
6. 已知二次三项式因式分解的结果是 ，则
___.
1
7. [2024安溪期中]如图，长方形的长和宽分别为，，且比 大3，面
积为10，则 的值为____.
30
（第7题）
8. 已知与互为相反数，则 的值是
____.
49
9. 把下列各式因式分解：
（1） ；
解：原式
；
（2） ；
解：原式
；
（3） ；
解：原式
；
（4） .
解：原式
.
10. 已知是的小数部分，是的小数部分，是 的
整数部分，求代数式 的值.
解：， .
， .
，
.
原式
.
11. 仔细观察下列各式：
第1个等式： ；第2个等式：
；
第3个等式： ；……
请你根据以上规律，写出第为正整数 个等式，并证明等式成立.
解： .证明如下：
左边
，
左边 右边.
等式成立.
12. 已知，，为 的三边长，且满足
.试说明 是等边三角形.
解： ，
.
.
，，， .
.
为等边三角形.(共10张PPT)
第四章 因式分解
§4.1 因式分解
班级______________姓名______________座号__________ ______月___
___日（星期__________）
课时内容 理解因式分解的概念，认识因式分解与整式乘法的相
互关系.
考点1 因式分解的概念
1. 【典例】[2025三明期末]下列等式中，从左到右的变形是因式分解的
是( )
A
A. B.
C. D.
2. 【变式】学完因式分解后，李老师在黑板上写下了4个等式：
； ；
； .
其中是因式分解的有( )
B
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
考点2 因式分解与整式乘法的相互关系
3. 【典例】若，则 ____.
4. 【变式】[2025西乡期末]已知多项式 可以分解因式，一个
因式是 ，则另一个因式为( )
A
A. B. C. D.
◆基础演练
5. 观察和 从左到右的
变形，下列说法正确的是( )
D
A.①和②都是因式分解 B.①和②都是整式乘法
C.①是整式乘法，②是因式分解 D.①是因式分解，②是整式乘法
6. [2024福州期末]下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是
( )
B
A. B.
C. D.
7. 若多项式可因式分解为，则 的值为____.
25
8. 已知整式，整式，若 ，
求 的值.
解：，， ，
.
，
.
◆中档应用
9. 下列式子中，从左到右的变形为多项式因式分解的是( )
A
A. B.
C. D.
10. 已知二次三项式有一个因式是 ，另一个因式为
（，为常数），求另一个因式及 的值.
解：由题意，得 ，
，
，解得
另一个因式为， 的值为65.
11. 把多项式分解因式得，求， 的值.
解： .
，
.
， .
， .
◆拓展延伸
12. 两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系
数而分解成 ，另一位同学因看错了常数项而分解成
，求出原多项式.
解：设原多项式为（其中，，均为常数，且 ）.
，
， .
又 ，
.
原多项式为 .(共11张PPT)
第四章 因式分解
§4.2 提公因式法（1）
班级______________姓名______________座号__________ ______月___
___日（星期__________）
课时内容 用提公因式法分解公因式为单项式的多项式.
考点1 公因式的定义
1. 【典例】[2025浙江期中]将多项式 分解因式，应
提取的公因式是( )
D
A. B. C. D.
2. 【变式】多项式 的公因式是( )
C
A. B. C. D.
考点2 用提公因式法分解因式（公因式为单项式）
3. 【典例】[2025英德期末]把多项式 分解因式的正确结果是
( )
A
A. B.
C. D.
4. 【变式】把多项式分解因式，提公因式
后，另一个因式是( )
A
A. B. C. D.
◆基础演练
5. 若，则多项式 的值
是( )
A
A. B. C.12 D.18
6. ，， 的公因式是_____.
7. [2025莆田模拟]已知，，则 的值为_____.
8. 把 分解因式时，提出公因式后，另一个因式是
________________.
9. 把下列各式因式分解：
（1） ；
解：原式 ；
（2） ；
解：原式 ；
（3） ；
解：原式 ；
（4） .
解：原式 .
◆中档应用
10. 整式，，下列结论：，的公因式为 ；
，的公因式为 .判断正确的是( )
B
A.①正确，②不正确 B.①不正确，②正确
C.①②都正确 D.①②都不正确
11. 已知，，则 的值为_______.
12. 利用简便方法计算：
（1） ；
解：原式
；
（2） .
解：原式
.
13. 若实数满足，求 的值.
解： ，
.
原式
.
◆拓展延伸
14. 老师报出一个五位数，同学们将它的顺序倒排后得到新的五位数再
减去原数，学生甲，乙，丙，丁的结果分别是， ，
， .老师判定4个结果中只有1个正确，请问答对的是哪位同
学？
解：设原数为，则结果为 .
，
结果是11的倍数.
，，， 中，只有34 056是11的倍数，
，
答对的是乙同学.(共8张PPT)
第四章 因式分解
§4.2 提公因式法（2）
班级______________姓名______________座号__________ ______月___
___日（星期__________）
课时内容 公因式为多项式的因式分解.
考点1 用提公因式法分解因式（公因式为多项式）
1. 【典例】[2025厦门模拟]分解因式 的结果是_______
________.
2. 【变式】[2025榆林期末]多项式与多项式 的公
因式是( )
B
A. B.
C. D.
◆基础演练
3. [2025兰溪期末]把提公因式后一个因式是 ，
则另一个因式是( )
A
A. B. C. D.
4. （1）多项式 的公因式是___；
（2）多项式 的公因式是_____；
（3）多项式 的公因式是
__________；
（4） 的公因式是__________.
3
5. 若，互为相反数，则 的值是___.
0
6. 把下列各式因式分解：
（1） ；
解：原式
；
（2） .
解：原式
.
7. 已知 ，求代数式
的值.
解： ，
.
原式
.
◆中档应用
8. 已知可因式分解成 ，其中
，，均为整数，求 的值.
解： ，
又可因式分解成 ，
，， .
.
9. 求方程的整数解 .
解：原方程可化为： ，
即 .
， 为整数，
或或 或
解得或或或 .
◆拓展延伸
10. 阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： .
（1）上述因式分解的方法是______________，共应用了___次；
提取公因式法
2
（2）将下列多项式因式分解： ；
解：原式
.
（3）若分解 ，则需应
用上述方法_______次，结果是____________.
2 024(共10张PPT)
第四章 因式分解
§4.3 公式法（2）
班级______________姓名______________座号__________ ______月___
___日（星期__________）
课时内容 会用完全平方公式分解因式.
考点1 直接用完全平方公式分解因式
1. 【典例】下列各式中，不能用完全平方公式因式分解的是( )
B
A. B.
C. D.
2. 【变式】若，则 ___.
1
考点2 先提取公因式，再用完全平方公式分解因式
3. 【典例】把多项式 因式分解为( )
A
A. B. C. D.
4. 【变式】如果能分解为，那么
______.
◆基础演练
5. [2024南安期末]小明利用完全平方公式进行因式分解“
”时，墨迹将“ ”中的一项及其符号染黑了，则
墨迹覆盖的这一项是( )
A
A. B. C. D.
6. 下列因式分解正确的是( )
C
A. B.
C. D.
7. 因式分解： _________.
8. 一个正方形的面积是 ，则该正方形的周长是
________.
9. 已知，，则代数式 ___.
10. 把下列各式因式分解：
（1） ；
解：原式
；
（2） .
解：原式
.
◆中档应用
11. [2025白银期末]若 能用完全平方公式因式分解，
则 的值为( )
C
A. B. C.26或 D. 或22
12. 若实数，，满足等式： ，
求 的值.
解： ，
，
，
，， ，
，， ，
.
13. 代数式，若代数式 的值
为0，求，， 的值.
解： ，
即 ，
，
，， ，
，， ，
， .
◆拓展延伸
14. 若一个正整数 能表示为四个连续正整数的积，即
（其中为正整数），则称 是“续积数”，
例如：， ，所以24和360都是“续
积数”.
（1）224______“续积数”（填“是”或“不是”）；
不是
（2）证明：若是“续积数”，则 是某一个多项式的平方.
证明： 是“续积数”，
可设 .
则
，
即是多项式 的平方.
