(共11张PPT)
第二章 不等式与不等式组
能力提升 一次函数与一元一次不等式——数形结
合思想
班级 ___姓名____座号____ ___月____日（星期___）
（第1题）
1. [2025曲靖期末]如图，直线
、为常数，与直线 相交于
点，则关于的不等式 的
解集为( )
D
A. B. C. D.
2. [2025宁德期末]已知一次函数的图象经过点 ，则
下列说法正确的是( )
B
A.当时，是不等式 的一个解
B.当时，是不等式 的一个解
C.当时，不等式的解集为
D.当时，不等式的解集为
（第3题）
3. [2025徐州]如图为一次函数 的图象，关
于的不等式 的解集为( )
C
A. B. C. D.
（第4题）
4. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数
，交轴于点 ，
交轴于点，已知 ，下列
说法正确的是( )
A
A.的解集是
B.的解集是
C.的解集是
D.
5. 在平面直角坐标系中，一次函数，当时，对于 的每
一个值，正比例函数的值都小于一次函数 的
值，则 的取值范围为( )
D
A. B. C. D.
6. 在平面直角坐标系中，一次函数 和
，无论取何值，始终有，则 的取值
范围为( )
C
A. B. C.且 D.且
（第7题）
7. 一次函数与 的图象如图，则
下列结论：
① ；
②关于的方程的解是 ；
③当时， ；
④当时， .
其中正确的有______（填序号）.
①④
8. 一次函数，是常数，和的图象交于点 .
（1）若点在轴上，求 的值；
解：在 轴上，
设，代入，解得 .
将代入，得 ，
整理，得 ；
（2）若点，当时，，直接写出 的取值范围；
解：将代入，得 ，
将代入，得 ，
.
当时， ，
关于的不等式的解集为 ，
即的解集为 .
，解得 ；
（3）若，点在一次函数 的图象上，求
证： .
解：证明：将代入，得 ，
，
，解得 .
，
.
.(共13张PPT)
第二章 不等式与不等式组
§2.2 一元一次不等式（1）
班级 ___姓名____座号____ ___月____日（星期___）
课时内容 一元一次不等式及其解法.
考点1 一元一次不等式的定义
1. 【典例】若是关于的一元一次不等式，则 的
值为( )
B
A. B. C. D.或
2. 【变式】已知是关于 的一元一次不等式，
则 的值是( )
A
A.3 B. C. D.无法确定
考点2 解一元一次不等式
3. 【典例】解下列不等式，并把它的解集表示在数轴上.
（1） ；
解：移项，得 .
合并同类项，得 .
系数化为1，得 .
解集在数轴上的表示如图所示：
（2）[2025福鼎期中] .
解：去分母，得 .
移项，得 .
合并同类项，得 .
系数化为1，得 .
解集在数轴上的表示如图所示：
4. 【变式】解下列不等式，并把它的解集表示在数轴上.
（1） ；
解：移项，得 .
合并同类项，得 .
系数化为1，得 .
解集在数轴上的表示如图所示：
（2）[2025宁德期末] .
解：去分母，得 .
去括号、移项，得 .
合并同类项，得 .
解集在数轴上的表示如图所示：
◆基础演练
5. [2025福建]不等式 的解集在数轴上表示正确的是( )
C
A. B.
C. D.
6. 不等式 的正整数解为______.
1，2
7. 解下列不等式，并把它的解集表示在数轴上.
（1） ；
解：移项，得 .
合并同类项，得 .
解集在数轴上的表示如图所示：
（2） .
解：去分母、去括号，得 .
移项、合并同类项，得 .
系数化为1，得 .
解集在数轴上的表示如图所示：
◆中档应用
8. [2024漳平期末]如果关于的不等式的解集为 ，
那么 的取值范围是( )
C
A. B. C. D.
9. 小张同学解不等式 时出现了错误，解答过程如下：
去分母，得 .（第一步）
去括号，得 .（第二步）
移项，合并同类项，得 .（第三步）
解得 .（第四步）
（1）小张同学解答过程是从第____步开始出错的，出错的原因是_____
________；
一
没
有乘15
（2）请写出此题正确的解答过程.
解：去分母，得 .
去括号，得 .
移项、合并同类项，得 .
系数化为1，得 .
◆拓展延伸
10. 已知关于，的二元一次方程组为常数 ，
若，求 的取值范围.
解：，得 .
，
.
解得 .(共11张PPT)
第二章 不等式与不等式组
专题训练 一次函数与一元一次不等式的综合应用
班级 ___姓名____座号____ ___月____日（星期___）
考点1 由直线上的点求不等式的解集
1. [2025深圳期末]如图，直线经过点 ，当
时， 的取值范围为( )
C
（第1题）
A.
B.
C.
D.
2. [2025三明模拟]若不等式的解集是 ，则下列各点可能
在一次函数 图象上的是( )
D
A. B. C. D.
（第3题）
3. 如图，已知一次函数的图象与轴，
轴分别交于点，点.有下列结论：①关于
的方程的解为；②关于 的方程
的解为；③当时， ；④
当时， .其中正确的是( )
A
A.①②③ B.①③④ C.②③④ D.①②④
4. 取一次函数部分的自变量值和对应函数 值如右表：
根据信息，下列说法正确的个数是( )
… 0 2 023 …
… …
；②当时，； ；
④不等式的解集是 .
C
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5. 如图，直线与的交点的横坐标为，则关于
的不等式 的取值范围为_____________.
（第5题）
6. 定义运算，当时，，；当 时，
，.如：，；，； ，
.根据该定义运算完成下列问题：
（1），____，当时，， ___；
（2）若，，求 的取值范围；
解：由题意，得 ，
解得 .
（3）如图，已知直线与相交于点 ，若
，，结合图象，直接写出 的取值范围是
________.
考点2 一次函数与一元一次不等式的综合应用题
7. A市和B市分别库存某种机器12台和6台，现决定支援给C市10台和D
市8台.已知从A市调运一台机器到C市和D市的运费分别为400元和800元；
从B市调运一台机器到C市和D市的运费分别为300元和500元.设B市运往
C市机器台，总运费为 元.
（1）求与 的函数关系式；
解：由题意，得，且为整数 ；
（2）若要求总运费不超过9 000元，问共有几种调运方案？
解：由题意，得，解得 .
可取0，1，2.
有三种调运方案；
（3）求出总运费最低的调运方案，和最低运费是多少？
解：，且随 的值增大而增大，
当时， 的值最小，最小值是8600元.
此时的调运方案是：
B市运往C市0台，运往D市6台；A市运往C市10台，运往D市2台，最低
运费是8 600元.
8. 某药店购进 型口罩和普通医用口罩共4 000包，这两种口罩的进
价和售价如下表所示：
普通医用口罩
进价/（元/包） 18 6
售价/（元/包） 22 9
若该药店购进普通医用口罩包，两种口罩全部销售完后可获得利润为
元，请解决下面问题.
（1）求出利润与 的函数关系式；
解：根据题意，得
，且
为整数 ；
（2）已知 口罩的数量不多于普通医用口罩数量的3倍，该药店决定：
不管何种类型口罩，每销售一包口罩，就抽出 元钱捐给某医疗
机构.所有口罩都销售完后，若除去捐款后，所获得的最大利润为11 000
元，求 的值.
解：根据题意，得 ，
， .
随着的增大而减小， 当时， ，
代入解析式中，得 .
.(共11张PPT)
第二章 不等式与不等式组
单元复习1 一元一次不等式（组）的解法
班级 ___姓名____座号____ ___月____日（星期___）
1. [2025南平期末]如果 ，那么下列结论中，正确的是( )
C
A. B. C. D.
2. [2025永春模拟]不等式组 的解集在数轴上表示为( )
C
A. B.
C. D.
3. 如图，下列不等式的解集是数轴上所表示的是( )
（第3题）
D
A. B. C. D.
4. 当取不大于的值时， 的值是( )
B
A.大于0 B.不大于0 C.小于0 D.不小于0
5. 下列不等式中总能成立的是( )
C
A. B. C. D.
6. 在平面直角坐标系中，点在第二象限，则 的取值范围是
( )
B
A. B. C. D.
（第7题）
7. [2025南安期末]关于的不等式 的
解集如图所示，则 的值是( )
A
A. B. C.1 D.3
8. 用不等式表示：
（1）[2025晋江期末] 与3的差的一半是非负数：_ _______；
（2）的2倍不大于 与4的差：___________.
9. 用“ ”或“ ”填空：
（1）若，则___ ；
（2）若，则___ ；
（3）若，则___ ；
（4）若，，则___ .
10. 若关于的不等式可化为，则 的取值范围是
______.
11. [2025永春期末]如果关于的不等式 只有两个正整数解，那
么常数 的取值范围是___________.
12. 解下列不等式，并把解集表示在数轴上.
（1） ；
解：去括号，得 .
移项、合并同类项，得 .
系数化为1，得 .
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示：
（2） .
解：去分母，得 .
去括号，得 .
移项、合并同类项，得 .
系数化为1，得 .
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示：
13. 的值能否同时大于和 的值？说明理由.
解：依题意，得解得
此不等式组无解.
的值不能够同时大于和 的值.
14. 解不等式组： 并写出它的所有整数解.
解：解不等式①，得；解不等式②，得 .
在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如图所示：
原不等式组的解集是 .
整数解为0，1，2.
15. 已知方程组的解、的值满足 ，求
的取值范围.
解：由，得 .
.
， .
即解得 .
的取值范围为 .(共11张PPT)
第二章 不等式与不等式组
§2.1 不等式及其性质（2）
班级 ___姓名____座号____ ___月____日（星期___）
课时内容 不等式的解与解集，不等式解集的数轴表示.
考点1 不等式的解与解集
1. 【典例】下列数， ，0，1，2，3，4，8，12中，___是方程
的解；__________是不等式 的解；________________
_____是不等式 的解.
3
4，8，12
，，0，1，
2，3
2. 【变式】[2024福鼎期中]下列数是不等式 的一个解的是
( )
A
A. B.2 C. D.3
3. 【典例】下列说法中，正确的是( )
B
A.是不等式的解集 B.是不等式 的解
C.是不等式的解 D.不等式的解集是
4. 【变式】不等式 的解集为( )
C
A. B. C. D.
考点2 不等式解集的数轴表示
5. 【典例】[2025漳州模拟]不等式 的解集在数轴上表示为
( )
D
A. B.
C. D.
6. 【变式】[2025漳州期末]若关于 的不等式的解集在数轴上的表示如
图所示，则这个不等式的解集为______.
（第6题）
◆基础演练
7. 下列说法正确的是( )
A
A.是的解 B.是 的唯一解
C.不是的解 D.是 的解集
8. 当 时，下列不等式中，不成立的是( )
C
A. B. C. D.
9. [2025晋江期中]写出一个不等式，使它的解为 ，则这个不等式可
以是_________________________.
（答案不唯一）
10. 将下列不等式的解集分别表示在数轴上：
（1） ；
解：不等式的解集表示在数轴上如图所示；
（2） .
解：不等式的解集表示在数轴上如图所示.
◆中档应用
11. 已知是不等式的一个解，则 的值可以是( )
D
A.0 B.1 C.2 D.3
12. 求下列不等式的整数解：
（1）不等式 的负整数解是_____________；
（2）不等式 的所有正整数解是_______________；
（3）不等式 的非正整数解是_________________；
（4）不等式 的非负整数解是_________；
（5）不等式 的最大整数解是___；
（6）不等式 的最小整数解是____.
，，
1，2，3，4，5
，，，0
0，1，2
2
◆拓展延伸
13. （1）试写出一个不等式，使不等式的正整数解只有 ，2，3；
解： ；（答案不唯一）
（2）试写出一个不等式，使不等式的整数解只有， ，0，1；
解： ；（答案不唯一）
（3）已知关于的不等式有3个正整数解，求 的取值范围；
解： 关于的不等式 有3个正整数解，
不等式的正整数解为1，2，3.
则的取值范围是 ；
（4）已知不等式的正整数解为，2，3，求 的取值范围.
解： 不等式的正整数解为 ，2，3，
，解得 .(共12张PPT)
第二章 不等式与不等式组
单元复习2 一次函数与一元一次不等式的综合应用
班级 ___姓名____座号____ ___月____日（星期___）
1. [2025曹县期末]直线 与坐标轴的两个交点的坐标分别为
，，则不等式 的解集为( )
B
A. B. C. D.
2. 已知一次函数的图象经过第一、二、三象限，且与 轴交
于点，则不等式 的解集为( )
C
A. B. C. D.
（第3题）
3. 如图，可以得出不等式组 的
解集是 ( )
B
A. B.
C. D.
4. [2025荆门期末]一次函数与轴交点的横坐标为 ，与一次
函数的交点横坐标为，下列几个结论：， ；②
方程的解是；③不等式的解集是 ；④方
程的解是 .其中正确结论的个数是( )
C
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5. 某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失 ，假
设不计超市其他费用，如果超市要想至少获得 的利润，那么这种水
果的售价在进价的基础上应至少提高( )
C
A. B. C. D.
6. 若一次函数的图象与轴的交点在 轴的上方，
则 的取值范围是______________.
且
7. 有一家人参加登山活动，他们要将矿泉水分装在旅行包内带上山.若
每人带3瓶，则剩余3瓶；若每人带4瓶，则有一人带了矿泉水，但不足3
瓶，则这家参加登山的人数为__________.
5人或6人
8. 作出函数 的图象，并根据图象
回答下列问题：
（1）当时，求函数 的取值范围；
解：当时，函数 的取值范围为
；
（2）当取什么值时，，， ；
当时，；当时，；当时， ；
（3）当取何值时， .
当的取值范围为时，有 .
9. 为进一步做好“课后服务”工作，学校决定添置一批篮球和足球.已知甲、
乙两家商场以相同价格出售同种品牌篮球和足球，篮球价格为200元/个，
足球价格为150元/个.
（1）若学校计划用不超过3 550元的总费用购买这款篮球和足球共20个，
且购买篮球的数量多于购买足球数量的 ，则学校有几种购买方案？请写
出计算过程；
解：设学校购买篮球个，则购买足球 个，
依题意，得
解得 .
又 是整数，
可以为9，10，11.
学校共有3种购买方案：
方案1：购买9个篮球，11个足球；
方案2：购买10个篮球，10个足球；
方案3：购买11个篮球，9个足球；
（2）若甲、乙两商场各自推出不同的优惠方案：甲商场累计购物超过
500元后，超出500元的部分按 收费；乙商场累计购物超过2 000元
后，超出2 000元的部分按 收费.若学校按（1）中的方案去购买，学
校应该如何选择商场才合算？
解：设学校购买篮球个，则购买足球 个，
在甲商场购买所需费用为
元.
在乙商场购买所需费用为
元.
当时， .
又，且 为整数，
，
即学校购买9个篮球，11个足球时到甲商场购买合算；
当时， ，
即学校购买10个篮球，10个足球时选择两家商场所需费用相同；
当时， ，
又，且 为整数，
，
即学校购买11个篮球，9个足球时到乙商场购买合算.
答：当学校购买9个篮球，11个足球时到甲商场购买合算；当学校购买
10个篮球，10个足球时选择两家商场所需费用相同；当学校购买11个篮
球，9个足球时到乙商场购买合算.(共13张PPT)
第二章 不等式与不等式组
§2.3 一元一次不等式与一次函数（2）
班级 ___姓名____座号____ ___月____日（星期___）
课时内容 综合运用一元一次不等式与一次函数解决实际问题.
考点1 运用一元一次不等式与一次函数解决实际问题
1. 【典例】某公司计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一型号
电脑每台报价均为6 000元，并且多买都有一定优惠.各商场的优惠条件
如下表所示：
商场 优惠条件
甲商场
乙商场
（1）试写出甲、乙两商场的收费（元）与所买电脑台数 （台）之间
的关系式；
解：由题意可得，甲商场的收费（元）与所买电脑台数 之间的关系式
是：
；
乙商场的收费（元）与所买电脑台数 之间的关系式是：
；
（2）什么情况下到甲商场购买更优惠？什么情况下到乙商场购买更优
惠？什么情况下两家商场的收费相同？
解：令，解得 ；
，解得 ；
，解得 .
当购买电脑小于5台时，在乙商场购买比较优惠；当购买电脑大于5台
时，在甲商场购买比较优惠；当购买电脑5台时，两家商场收费相同.
2. 【变式】某电信公司开设了甲、乙两种市内移动通信业务.甲种业务
使用者每月需缴15元月租费，然后每通话1分钟，再付话费0.3元；乙种
业务使用者不缴月租费，每通话1分钟，付话费0.6元.若一个月内通话为
分钟，则根据一个月的通话时间，你认为选用哪种通信业务更优惠？
解：由题意得，通话分钟甲种业务费用为 元，乙种业务费
用为 元，
由，解得；由，解得 ；
由，解得 .
当 分钟时，甲种业务更优惠；
当 分钟时，两种业务一样优惠；
当 分钟时，乙种业务更优惠.
◆基础演练
3. 某中学要添置某种教学仪器.方案一：到商店购买，每件需要8元；方
案二：学校自己制作，每件需要4元.但另外需要制作工具的租用费120元.
设需要仪器件，方案一的费用为元，方案二的费用为 元.
（1）问（元），（元）关于 （件）的关系式分别是什么？
解：， ；
（2）若学校计划添置仪器60件，则采用哪种方案便宜？
解：把分别代入， 中，得
， .
，
当需要的仪器为60件时，选择第二种方案便宜.
◆拓展延伸
4. 某中学采购一些手摇式小彩旗和头戴式小彩旗.甲、乙两家经销商的
手摇式小彩旗售价均为每面0.8元，但头戴式小彩旗的销售方案不同，甲
经销商的销售方案是每个头戴式小彩旗卖2.2元.乙经销商的方案是：购
买不超过200个头戴式小彩旗，每个售价2.5元；若超过200个，则超过部
分每个售价2元.
（1）设向乙经销商购买个头戴式小彩旗，所需费用为元，写出 关于
的函数关系式；
解：当时，；当 时，
；
综上所述，关于的函数关系式为
（2）学校最终决定必须要买1 000面手摇式小彩旗及若干个头戴式小彩
旗，最终总费用不低于1 600元，不超过2 000元.若向甲、乙两家经销商
中的一家购买头戴式小彩旗，学校该向哪一家购买头戴式小彩旗最合算？
解：设在甲、乙两家经销商购买个头戴式小彩旗所需费用分别为
元、元，则 .
由（1），得
它们的函数图象如图所示：
最终总费用不低于1 600元，不超过2 000元，购买
1 000面手摇式小彩旗的费用是
（元），
购买头戴式小彩旗的费用最少800元，最多1 200元，
即， .
当时，，解得，此时 .
由图象可知，当购买头戴式小彩旗的费用低于1 100元
时，向甲经销商购买最合算；当购买头戴式小彩旗费
用为1 100元时，两家一样合算；当购买头戴式小彩旗
费用大于1 100元时，向乙经销商购买最合算.
综上所述，当总费用大于或等于1 600而小于1 900元
时，向甲经销商购买最合算；当购买总费用为1 900元
时，两家一样合算；当购买总费用大于1 900元而小于
或等于2 000元时，向乙经销商购买最合算.(共9张PPT)
第二章 不等式与不等式组
§2.1 不等式及其性质（1）
班级 ___姓名____座号____ ___月____日（星期___）
课时内容 用不等号表示简单的不等关系，用实际生活背景和数
学背景解释简单不等式的意义.
考点1 用不等号表示简单的不等关系
1. 【典例】 与2的差不大于0，用不等式表示为( )
D
A. B. C. D.
2. 【变式】“实数 不小于6”是指( )
B
A. B. C. D.
考点2 认识不等式
3. 【典例】[2025三元期中]下列各式中，属于不等式的是( )
D
A. B. C. D.
4. 【变式】下列给出四个式子：；； ；
.其中是不等式的是( )
D
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④
考点3 用实际生活背景和数学背景解释简单不等式的意义
5. 【典例】据悉，我国设计制造的天舟二号货运飞船，在29日夜间20：
55顺利升空，将吨物资运送到天和核心舱，的范围为且 .则
货运飞船的载货质量表述最准确的是( )
D
A.大约6吨 B.超过6吨 C.不足7吨 D.6吨多
6. 【变式】[2024尤溪月考]某养生钙奶饮料中的包装瓶上标注“每100克
内含钙 毫克”，它的含义是指( )
C
A.每100克内含钙150毫克 B.每100克内含钙不低于150毫克
C.每100克内含钙高于150毫克 D.每100克内含钙不超过150毫克
◆基础演练
7. [2025甘孜州期末]下列各式中，是不等式的是( )
D
A. B. C. D.
8. [2025诏安期中]下列各式：；； ；
； ，其中属于不等式的有( )
C
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
9. 下列各项中，蕴含不等关系的是( )
D
A.老师的年龄是你的年龄的2倍 B.小军和小红一样高
C.小明比爸爸小26岁 D. 是负数
10. 用适当的符号表示下列关系：
（1） 是负数：______；
（2） 是非负数：_______；
（3） 的5倍与2的和比3大：___________；
（4）2024年2月25日，国家粮食和物资储备局发布消息称，全国累计收
购秋粮超1.5亿吨.若用（亿吨）表示我国今年秋粮收购的数量，则 满
足的关系为________；
（5）甲和乙猜一个橘子的质量，甲说：“不少于25克.”乙说：“不够35克.”
若他俩说得都没错，则这个橘子的质量 （克）所在的范围为_________
________.
且
◆中档应用
11. 用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量
如下表：
原料种类 甲种原料 乙种原料
维生素C含量/（单位/千克） 500 20
原料价格/（元/千克） 8 4
（1）现配制这种饮料 ，要求至少含有4 100单位的维生素C.若所需
甲种原料的质量为，则 满足怎样的不等式？
解：若所需甲种原料的质量为，则需乙种原料 ，
根据题意，得 ；
（2）现配制这种饮料 ，需要购买甲、乙两种原料的费用不超过72
元，试写出需要甲种原料的质量 应满足的不等式.
解：若需要甲种原料的质量为，则需乙种原料 ，
根据题意，得 .
◆拓展延伸
12. 小明网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小明让
他们猜.甲说：“至少13元.”乙说：“至多10元.”丙说：“至多8元.”小明说：
“你们三个人都说错了.”则这本书的价格 （元）所在的范围为( )
D
A. B. C. D.(共11张PPT)
第二章 不等式与不等式组
§2.1 不等式及其性质（3）
班级 ___姓名____座号____ ___月____日（星期___）
课时内容 熟悉不等式的基本性质，运用不等式的基本性质把比
较简单的不等式转化为“”或“ ”的形式.
考点1 不等式的基本性质
1. 【典例】[2025福鼎期中]若 ，则下列各式中一定成立的是( )
C
A. B. C. D.
2. 【变式】[2025漳州期末]下列说法不正确的是( )
D
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
考点2 用不等式的基本性质把比较简单的不等式转化为“ ”或“
”的形式
3. 【典例】[2024尤溪月考]将下列不等式化为“”或“ ”的形式.
（1） ；
解：根据不等式的基本性质1，两边都加1，得
，即 ；
（2） .
解：根据不等式的基本性质3，两边都乘 ，得
.
4. 【变式】将下列不等式化为“”或“ ”的形式.
（1） ；
解：根据不等式的基本性质3，两边都乘 ，得
；
（2） .
解：根据不等式的基本性质3，两边都除以 ，得
.
◆基础演练
5. [2025漳州期末]如果 ，那么下列不等式一定成立的是( )
B
A. B. C. D.
6. 若由可得到 ，应满足的条件是( )
D
A. B. C. D.
7. 利用不等式的基本性质求下列不等式的解集，并说出变形的依据.
（1）若，则 _____；（_________________________
____________）
（2）若，则 ______；（_________________________________
___）
（3）若，则 _____.（__________________________________）
不等式两边都减，不等
号方向不变
不等式两边都除以2，不等号方向不变
不等式两边都乘，不等号方向改变
8. 将下列不等式化为“”或“ ”的形式：
（1） ；
解：根据不等式的基本性质1，两边都减3，得 ；
（2） .
解：根据不等式的基本性质3，两边都乘 ，得
.
◆中档应用
9. 先阅读下面的解题过程，再解题.
已知，试比较与 的大小.
解：因为 ， ①
所以 ， ②
故 . ③
（1）上述解题过程中，从步骤____开始出现错误（填写序号）；
②
（2）请写出正确的解题过程.
解： ，
.
.
◆拓展延伸
10. 根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：
若，则；若，则；若，则 .
反之也成立，这种比较大小的方法称为“作差法比较大小”.
（1）若，则___（填“ ”“”或“ ”）；
（2）若，，试比较， 的大
小，并说明理由.
解： .理由如下：
，
.(共12张PPT)
第二章 不等式与不等式组
§2.2 一元一次不等式（2）
班级 ___姓名____座号____ ___月____日（星期___）
课时内容 利用一元一次不等式解决实际问题.
考点1 实际问题抽象出一元一次不等式
1. 【典例】某服饰店搞促销活动，买两件衬衫可先减100元，再打8折，
假设芳芳购买衬衫的定价为 元/件，两件优惠后售价不超过1 000元，根
据题意，可列不等式_____________________.
2. 【变式】小明家距离学校2千米.一天中午，小明从家里出发时，离规
定到校时间只剩15分钟，为了准时到校，他必须加快速度.已知他每分钟
走90米，若跑步每分钟可跑210米.为了不迟到，小明至少要跑多少分钟？
设要跑 分钟，则列出的不等式为_________________________.
考点2 一元一次不等式的应用
3. 【典例】在一次“灯谜”知识竞赛中，竞赛题共20题，每道题都给出4
个答案，其中只有一个答案正确，选对得4分，不对倒扣2分，得分不低
于60分得奖，那么得奖者至少应选对多少题？
解：设选对的为道题，则不对的就有 题，
由题意，得 ，
解得 .
为正整数，
的最小值为17.
答：得奖者至少应选对17题.
4. 【变式】[2025宁德期末]生活垃圾处理是关系民生的基础性公益事业，
加强生活垃圾分类处理，维护公共环境和节约资源是全社会共同的责任.
某小区为加强生活垃圾分类处理，购进A型和B型两种垃圾桶共60个，已
知购买一个A型垃圾桶需40元，一个B型垃圾桶需25元.为了保证总费用
不超过2000元，则A型垃圾桶最多能购买多少个？
解：设购买A型垃圾桶 个，根据题意，得
，
.
为整数，
的最大值为33.
答：最多能购买A型垃圾桶33个.
◆基础演练
5. [2025晋江期中]为纪念3月22日“世界水日”活动，某地举办了主题为
“精打细算用好水资源，从严从细管好水资源”的知识竞赛.竞赛中共有25
道试题，答对1题得4分，不答或答错1题扣2分.若聪聪本次竞赛的得分不
低于80分，则他至少答对( )道题.
C
A.20 B.21 C.22 D.23
◆中档应用
6. 春风四月暖，阅读正当时，某校今年4月开展“点燃读书激情，共建书
香校园”活动，计划用3 000元购买一批名著和辞典作为奖品，其中名著
每套70元，辞典每本50元，现已购买名著24套，学校最多还能购买多少
本辞典？
解：设学校能买本辞典，根据题意，得 ，
解得 .
为正整数，
的最小值为26.
答：学校最多能买26本辞典.
7. 甲、乙两厂家生产的课桌和座椅的质量，价格一致，每张课桌200元，
每把椅子50元，甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案，甲：买一张
课桌送1把椅子；乙：课桌和椅子全部按原价的9折优惠.现某学校要购买
60张课桌和 把椅子，则什么情况下该学校到甲工厂购买更合算？
解：根据题意，得 ，
解得 .
答：当购买的椅子少于360把时，选择甲工厂购买更合算.
◆拓展延伸
8. 在车站开始检票时，有 名旅客在候车室排队等候检票进站，
检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站，设旅客按 人/分钟的速
度增加，检票口检票的速度是 人/分钟.若开放一个检票口，则需30分钟
才能将排队等候的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则需10分钟
才能将排队等候的旅客全部检票完毕；现在要求在6分钟内将排队等候
检票的旅客全部检票完毕，以使后来到站的旅客能够随到随检，问需要
同时开放几个检票口？
解：设至少要开放 个窗口，依题意，得
，①
，②
.③
由，得 ，
代入①，得 ，
代入③，得，即 ，
，
在不等式两边都除以，得 .
为正整数，
的最小值为3.
答：至少要同时开放3个检票口.(共13张PPT)
第二章 不等式与不等式组
§2.4 一元一次不等式组
班级 ___姓名____座号____ ___月____日（星期___）
课时内容 一元一次不等式组及其解集，解一元一次不等式组.
考点1 一元一次不等式组的定义
1. 【典例】下列是一元一次不等式组的是( )
B
A. B.
C. D.
2. 【变式】下列不是一元一次不等式组的是( )
C
A. B.
C. D.
考点2 解一元一次不等式组
3. 【典例】[2025宁德期末]不等式组 的解集是( )
C
A. B. C. D.无解
4. 【变式】解不等式组： 并把解集表示在数轴上.
解：解不等式①，得 .
解不等式②，得 .
在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如图所示.
原不等式组的解集为 .
◆基础演练
5. 写出一个解集在数轴上如图所示的不等式组：_ __________.
（答案不唯一）
（第5题）
6. 把一些书分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每个
学生分5本，那么最后一人就分不到3本.这些书有多少本？学生有多少人？
解：设学生有人，则有 本书.依题意，得
解得 .
为整数，
.
.
答：这些书有26本，学生有6人.
◆中档应用
7. 已知关于的不等式组的解集为，求 的值.
解：解不等式①，得；解不等式②，得 .
不等式组的解集为 .
不等式组的解集为 ，
，，解得， .
.
8. 某大型企业为了保护环境，准备采购A、B两种型号的污水处理设备
共10台，一台A型设备的单价为12万，一台B型设备的单价为10万元.经
了解，一台A型设备每月可处理污水220吨，一台B型设备每月可处理污
水190吨，如果该企业计划用不超过106万元的资金购买这两种设备，而
且使这两种设备每月的污水处理量不低于2 005吨，请通过计算说明这
种方案是否可行.
解：该企业投入106万购买这两种设备不可行.理由如下：
设购买A型污水处理设备 台，
根据题意，得
解得且 ，
即该不等式组无解.
该企业投入106万购买这两种设备不可行.
◆拓展延伸
9. 阅读下列关于不等式 的解题思路：由两实数的乘法
法则“两数相乘，同号得正”可得：或 解不等
式组①得，解不等式组②得 ，
不等式的解集为或 .
请利用上面的解题思路解答下列问题：
（1）求出不等式 的解集；
解：由两数相乘，异号为负，得或
解不等式组①，无解；解不等式组②，得 .
不等式的解集为 ；
（2）求不等式 的解集.
解：由两数相除，同号为正，得或 且
，
解不等式组①，得；解不等式组②，得 .
不等式的解集为或 .(共12张PPT)
第二章 不等式与不等式组
§2.3 一元一次不等式与一次函数（1）
班级 ___姓名____座号____ ___月____日（星期___）
课时内容 一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的联系.
考点1 一元一次方程与一元一次不等式的联系
1. 【典例】
（1）方程 的解是________；
（2）不等式 的解集为________；
（3）不等式 的解集为________.
2. 【变式】已知的解为，则关于 的不等式
的解集为( )
C
A. B. C. D.
考点2 一元一次不等式与一次函数的联系
（第3题）
3. 【典例】在直角坐标平面内，一次函数
的图象如图所示，那么下列说法正确的
是( )
C
A.当时，
B.方程的解是
C.当时，
D.不等式的解集是
4. 【变式】[2024宁德期末]如图，在平面直角坐标系中，直线
与轴交于点，与轴交于点 ，则不等式
的解集为________.
（第4题）
◆基础演练
（第5题）
5. [2025漳州期末]如图是一次函数
与 的图象，则不等式
的解集是( )
A
A. B. C. D.
6. [2024漳州期中]一次函数的图象如图所示，当
时， 的取值范围是______.
（第6题）
7. 如图，直线经过，，则不等式
的解集为______.
（第7题）
◆中档应用
8. [2024福鼎期中]若不等式的解集是 ，则下列各点可能
在一次函数 图象上的是( )
D
A. B. C. D.
（第9题）
9. 如图，直线交轴于点 且过
，则不等式 的解集
为__________.
10. 已知一次函数， .
（1）若，求 的取值范围；
解：， ，
当时，，解得 .
若，的取值范围是 ；
（2）若，对于任意的，都有，求 的取值范围.
解：把代入，得 .
当时，对于的每一个值，都有 ，
当时，，即，解得 .
故的取值范围是 .
◆拓展延伸
11. 已知一次函数为常数，和 .
（1）当时，若，求 的取值范围；
解：当时，一次函数为 .
，
.
解得 ；
（2）当时，，结合图象，直接写出 的取值范围.
解：当时， ，
将代入 中，有
，解得 .
当时， ，
结合图象可知，且 .
