(共14张PPT)
第一章 三角形的证明及其应用
§1.2 等腰三角形（2）
班级______________姓名______________座号__________ ______月___
___日（星期__________）
课时内容 等腰三角形的判定，反证法.
考点1 等腰三角形的判定
（第1题）
1. 【典例】如图，下列条件不能推出 是等腰三
角形的是( )
C
A.
B.，
C.
D.，
（第2题）
2. 【变式】如图，是 的中线，下列条件中
不能推出 是等腰三角形的是( )
D
A.
B.
C.
D.
考点2 反证法
3. 【典例】[2025宁德期末]用反证法证明命题“在 中，如果
，那么 .”第一步应假设_________.
4. 【变式】[2024大田期中]用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小
于或等于 ”时，首先应假设这个三角形中( )
D
A.没有内角大于 B.有一个内角大于
C.有两个内角大于 D.三个内角都大于
◆基础演练
5. 要证明命题“若，则”是假命题，下列， 的值不能作为
反例的是( )
D
A.， B.，
C.， D.，
（第6题）
6. [2024西双版纳期末]如图，在中， ，
，是上一点，若 ，则等腰三角
形有( )
C
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7. 若，，为的三边，且满足 ，则
是( )
A
A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.不等边三角形
8. 在中，与相邻的外角是 ，要使 为等腰三角形，
则 ________________.
9. [2024靖江期末]在中，，，则 ___.
或 或
3
（第10题）
10. 将一副三角尺如图所示叠放在一起，若
，则阴影部分的面积是____ .
98
11. 如图，在四边形中， ，
，交于点.求证： 是等腰三角
形.
证明： ，
.
，
.
.
是等腰三角形.
◆中档应用
12. 如图，在中， ， ，在射线上找一点 ，
使为等腰三角形，则 的度数为________________.
或 或
（第12题）
13. 如图，在中，平分，平分，与 相交于
点，经过点，与，相交于点，，且 .求证：
的周长等于 .
证明：平分，平分 ，
， .
，
， .
， .
， .
的周长
.
◆拓展延伸
14. 如图，在中，点在上，点在的延长线上，连接 交
于点，，.求证： 是等腰三角形.
证明：如图，过点作交于点 ，
， .
在和中，
.
又 ，
.
，
.
.
是等腰三角形.(共14张PPT)
第一章 三角形的证明及其应用
单元复习1 等腰三角形与直角三角形的性质及判定
班级 ___姓名____座号____ ___月____日（星期___）
1. 已知等腰三角形的一个外角等于 ，则它的顶角是( )
B
A. B. C. 或 D.不能确定
2. 若的三条边长分别是，，，且 ，则这
个三角形是( )
B
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
3. 下列条件中，不能判断 是直角三角形的是( )
B
A. B.
C. D.，，
4. 下列命题的逆命题是真命题的是( )
D
A.对顶角相等
B.有两个内角分别为 和 的三角形是直角三角形
C.两个全等的三角形面积相等
D.两直线平行，同旁内角互补
（第5题）
5. 如图，在中，，点为 的中点，
点在上且，若，则 的
长为( )
B
A.2 B.3 C.4 D.5
6. [2025延安开学]如图，在中， ， ，
于点 ，则下列等式成立的是( )
B
（第6题）
A.
B.
C.
D.
7. [2024松原期中]在中， ，当____时， 为
等腰三角形.
8. 如图，在等腰中，，为上一点，且 ，
若，，求 的长.
解：如图，过点作于 .
，
.
，
.
.
在等腰中， ，
.
9. 如图，在中， ，，.以 为底在
内部作等腰，连接，若，求 的长.
解：如图，过点作， ，垂足分别为
， ，
则 .
是等腰三角形， .
由勾股定理，得 .
， ，
.
，， .
， .
由勾股定理，得 .
10. 如图，在等边三角形中，点是边上的中点，交
于点，，且，求 的周长.
解： 是等边三角形，
， .
， ，
，
，
为等边三角形.
， .
.
点是边上的中点， .
.
的周长 .
11. 如图，在等腰直角三角形中，为斜边上的高，以 为端点任
作两条互相垂直的射线与两腰相交于、，连接与相交于 ，求
证： .
证明： 是等腰直角三角形，
， .
为斜边上的高， .
.
，， .
.在和 中，
.
.
，分别是和 的外角，
，
.
.(共14张PPT)
第一章 三角形的证明及其应用
§1.2 等腰三角形（3）
班级______________姓名______________座号__________ ______月___
___日（星期__________）
课时内容 等边三角形的判定，有一个角是 的直角三角形.
考点1 等边三角形的判定
1. 【典例】在中，若，，则 是( )
B
A.等腰三角形 B.等边三角形 C.不等边三角形 D.不能确定
2. 【变式】[2025包头期末]下列条件中，能判定 为等边三角形的
是( )
D
A. B.
C. D. ，
考点2 有一个角是 的直角三角形
（第3题）
3. 【典例】如图，在中， ，
，于点，，则 ___.
4
（第4题）
4. 【变式】如图，在中， ，
，，，则 ___.
3
◆基础演练
5. [2024南安期中]在中，若， ，则 的
值为( )
C
A.3 B.4 C.5 D.6
（第6题）
6. [2024云南期末]如图，
， ，
于点，则 的长为( )
C
A. B. C. D.
7. 如图，在中， ， ， ，则
___.
8
（第7题）
8. [2025资阳]如图，在四边形中，，点在线段 上，
.若使 成为等边三角形，可增加的一个条件是
____________________________.
（答案不唯一）
（第8题）
9. 如图，为等边三角形，，， 的周长为
，求 的长.
解：为等边三角形，的周长为 ，
， .
， .
， .
.
在中， ，
.
◆中档应用
10. 如图，在等边的三边上，分别取点，， ，使
.求证： 是等边三角形.
证明： 是等边三角形，
， .
，
.
在和中，
.
同理， .
是等边三角形.
11. 如图，在等边中，点， 分别在
边，上，且，过点 作
，交的延长线于点 .
（1）求 的度数；
解： 是等边三角形，
.
， .
， .
；
（2）若，求 的长.
解： ，
.
是等边三角形.
.
在中， ，
.
◆拓展延伸
12. 如图，在四边形中，，， ，
， ，求 的长.
解：如图，延长，相交于点 .
，
.
， ，
.
.
为等边三角形.
设，则， .
， ，
，即 .
解得 .(共15张PPT)
第一章 三角形的证明及其应用
§1.4 线段的垂直平分线（2）
班级______________姓名______________座号__________
______月______日（星期__________）
课时内容 线段垂直平分线的应用.
考点1 基本作图：作一条线段的垂直平分线
1. 【典例】如图，在中，，用尺规作图在上取一点 ，
使 ，则下列作法正确的是( )
（第1题）
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
D
2. 【变式】如图，已知，请用尺规过点 作一条直线，使其将
分成面积相等的两部分（不写作法，保留作图痕迹）.
解：如图所示，直线平分
的面积.
考点2 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个
顶点的距离相等
（第3题）
3. 【典例】如图，已知， ，
则点是 ( )
A
A.三条边垂直平分线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条高的交点
（第4题）
4. 【变式】如图，，， 为三个居民小区，在三
个小区之间建有一个超市，如果超市恰好在，
两边垂直平分线的交点处，那么超市( )
D
A.距离 小区较近
B.距离 小区较近
C.距离 小区较近
D.与，， 小区的距离相等
◆基础演练
（第5题）
5. 如图，下列说法正确的是( )
D
A.若，则
B.若，则是线段 的垂直平分线
C.若，则
D.若，则点在线段 的垂直平分线上
6. 平面内，过直线外一点作已知直线的垂线最终都转化为下列哪一种基
本作图( )
D
A.作一个角等于已知角 B.作一条线段等于已知线段
C.作已知角的角平分线 D.作已知线段的垂直平分线
7. 如图，为三边垂直平分线的交点，若 ，
，则 ____.
（第7题）
8. 如图，在中， ， .
（1）用尺规作图：作的垂直平分线，交于点 ，交
于点 （保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；
解：如图，垂直平分线 即为所求.
（2）连接，则 ____.
◆中档应用
9. 如图，在中， ，的垂直平分线交 的延
长线于点，若 ，，则 的长是___.
4
（第9题）
10. 如图，在中，，是边上的中线， 的垂直平
分线交于点，交于点 .
（1）求证：点在 的垂直平分线上；
解：证明：如图，连接， .
，是 边上的中线，
是 的垂直平分线.
.
的垂直平分线交于点，交于点 ，
.
.
点在 的垂直平分线上；
（2）若，，则 的周长是多少？
解：，，， ，
， .
的周长 .
◆拓展延伸
11. 如图，在中，， ，用尺规作图：以
为腰作等腰直角三角形，使 （保留作图痕迹，不要
求写作法和证明），并直接写出的边上高线 的长.
解：作图如图所示（作法不唯一）， .(共14张PPT)
第一章 三角形的证明及其应用
能力提升 三角形的证明
班级 ___姓名____座号____ ___月____日（星期___）
一、 开放探究型
1. 如图，在中，，是角平分线，点在 上，请写
出图中两对全等三角形，并选择其中的一对加以证明.
解：， ，
.
以 为例证明如下：
是角平分线，
.
在与中，
.
（答案不唯一）
二、 化归应用型
2. 感知：如图1，平分， ，
.易知： .
探究： 如图2，平分 ，
， .求证：
.
图2
解：证明：如图2，过点分别作于 ，
于 ，
平分，， ，
.
， ，
.
，
.
应用： 如图3，在四边形中， ，
，，求 的值
（用含 的代数式表示）.
图3
解：如图3，连接，过点分别作
于，于 ，
则 .
由已知 ，
，
.
又， ，
， .
， .
.
在中， ，
， ，
由勾股定理，得 ，
.
图3
三、 运动分类型
3. 如图，等边三角形的边长为 ，
，点在线段上由点向点以
的速度运动，点在线段上由点向点 运动.它们
同时出发，若点的运动速度与点 的运动速度相等，
当两点的运动时间为多少时， 是直角三角形？
解：设两点的运动时为，则 ，
.
①当 时，
， .
.解得 ；
②当 时，
， .
，.解得 .
综上所述，当两点的运动时间为或 时，
是直角三角形.
四、 新定义型
4. 我们定义：在等腰三角形中，腰与底边
的比叫做等腰三角形的正度.已知 中，
，是底边上的一个动点
与、不重合 .
（1）小明认为一定存在点，使 具
有正度，你认为他的说法________
（填“正确”或“不正确”）；
不正确
（2）如图，若，的正度为 ，
周长为18，是否存在点，使 具有正度？
若存在，求出 的正度；若不存在，说明
理由.
解：存在.的正度为， .
设，，则 .
的周长为18，
，即， .
，， .分
两种情况：
①当时，如图，过点 作
于点 ，
， .
， .
在中，由勾股定理，得. 在 中，由勾股定理，
得 .
的正度 ；
备用图
②当 时，如备用图.由①可知
， .
， .
在 中，由勾股定理，得
，
即，解得 .
的正度为 .
综上所述，存在两个点，使 具有正
度，正度值为或 .(共13张PPT)
第一章 三角形的证明及其应用
§1.1 三角形内角和定理（4）
班级______________姓名______________座号__________ ______月___
___日（星期__________）
课时内容 多边形外角和.
考点1 多边形外角和公式的应用
1. 【典例】[2025南安期末]泉州开元寺双塔造于南宋时期，具有鲜明的
宋式建筑特点，其每层塔身均为八边形结构，该八边形的外角和为____
.
360
2. 【变式】若一个正多边形的每一个外角都等于 ，则它是( )
B
A.正九边形 B.正十边形 C.正十一边形 D.正十二边形
◆基础演练
3. [2024广水模拟]如图，已知 ，那么 的度
数为____.
（第3题）
4. （1）九边形的内角和是_______，外角和是______；
（2）十边形的内角和是_______，外角和是______；
（3） 边形的内角和是______________，外角和是______；
（4）若凸多边形的边数由增加到，其中 为大于3的整数.则内
角和的度数增加了______，外角和度数增加了___.
5. 若一个多边形的内角和小于其外角和，则这个多边形的边数是___.
3
6. 一个多边形的内角和是外角和的3倍，求这个多边形的边数.
解：设这个多边形的边数为.依题意，得 .
解得 .
这个多边形的边数为8.
◆中档应用
7. [2024福州模拟]正六边形与正五边形 按如图方式摆放，
点，，在一条直线上，则 的度数为____.
（第7题）
8. 某数学兴趣小组在学习了“多边形内角和与外角和”后深入思考，继续
探究多边形的一个外角与它不相邻的内角之和具有的数量关系.
（1）如图1，与， 之间的数量关系为_________________.若
， ，则 ____；
图1
（2）如图2，是四边形的外角，则与，， 之
间的数量关系为____________________________；
图2
（3）若边形的一个外角为 ，与其不相邻的内角之和为 ，则，
与 的数量关系是__________________.
9. 多边形的内角和与某一个外角的度数总和为 ，求此多边形的边数.
解：设此多边形的边数为，某一个外角度数为 .
依题意，得 .
.
为整数，为 到 之间的角度，
， ，即此多边形的边数为8.
◆拓展延伸
10. 知识归纳：如图，下列四边形是同一个四边形不断缩小（保持形状
不变）的结果.
图1
图2
图3
图4
（1）在缩小的过程中，四边形对应的各个外角的大小是否发生了变化？
如果将四边形不断缩小下去，请你想象一下最终的形状，并画出来；
类比迁移：
解：四边形对应的各个外角的大小不会发生变化，将四边形不断缩小下
去，这些外角的顶点重合为一点，这些外角正好构成周角，即多边形的
外角和是 ，所画的图形如图5所示；
图5
（2）如图4，若小明从点向西走10米，左转 ，再向前走10米，左
转 ，如此重复，求小明第一次回到点 时所走过的路程；
图1
图2
图3
图4
解：由题意可知，小明第一次回到点 时所走过的路线所形成的图形是
正多边形，由于多边形的每一个外角是 ，
所以这个正多边形的边数为 （条）.
因此所走的路程为 （米）.
答：小明第一次回到点 时所走过的路程是120米.
图1
图2
图3
图4
（3）若小明从点向西走16米，左转 ，再向前走16米，左转 ，如
此重复，已知小明第一次回到点时所走过的路程为320米，则 ____.
18
图1
图2
图3
图4(共17张PPT)
第一章 三角形的证明及其应用
单元复习2 线段的垂直平分线与角平分线的性质
及判定
班级 ___姓名____座号____ ___月____日（星期___）
（第1题）
1. 如图，在中， ，平分 ，
交于点，且，，则点到 的距
离是( )
B
A.2 B.3 C.4 D.5
（第2题）
2. 如图，在 中，根据尺规作图痕迹，下列
说法不一定正确的是( )
A
A.
B.
C.
D.
3. 如图，在中，已知点在上，且 ，下列说法
正确的是( )
C
（第3题）
A.点是 的中点
B.平分
C.点在 的垂直平分线上
D.点在 的垂直平分线上
（第4题）
4. [2025西安模拟]如图，在 中，
，的平分线交于点 ，
过点作，交于点，过点 作
于点，若， ，则
( )
B
A.4 B.5 C.7 D.8
（第5题）
5. 如图，在直角 中，已知
，边的垂直平分线交于点 ，
交于点，且 ， ，则
的长为___.
5
（第6题）
6. 如图， ， ，
，若，则 ___.
2
（第7题）
7. 如图，已知，的平分线 与
的平分线相交于点，于点 ，
若，则两平行线与 间的距离为___.
5
8. 如图，在中，边的垂直平分线交于， 边的垂直平
分线交于，与相交于点，的周长为 .
（1）的长为___ ；
6
（2）分别连接、、，若
的周长为，求 的长.
解：是的垂直平分线，是
的垂直平分线，
， .
的周长为 ，
.
， .
的长为 .
9. 如图，在四边形中，，连接 .
（1）尺规作图：作的平分线交于点 （不写作法，保留作图
痕迹）；
解：如图，射线 即为所求；
（2）在（1）的条件上，若，，，求 的长度.
解：，平分， ，
.
， ，
，
， ，
.
在和中，
，
.
10. 已知，平分 .
（1）如图1，若 ，点， 分别在
，上， .
求证： ；
解：证明： ， ，
.
又平分，， .
在和 中，
.
.
， .
；
（2）如图2，若 ， ，（1）中的
结论是否仍然成立？若成立，给出证明，若不成立，则说明理由.
图2
解：成立.证明如下：
如图2，过作于，于 .
平分， ，
.
， .
，
.
，， .
在和中，
.
.
由（1）知， .
图2(共14张PPT)
第一章 三角形的证明及其应用
§1.5 角平分线（2）
班级______________姓名______________座号__________ ______月___
___日（星期__________）
课时内容 角平分线性质与判定的应用.
考点1 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的
距离相等
（第1题）
1. 【典例】如图，的三边，， 的长分别
为20，30，40，其三条角平分线交于点 ，则
_______.
2. 【变式】如图，的三边，， 的长分别为4，5，6，其
三条角平分线交于点，，则 ___.
6
（第2题）
◆基础演练
（第3题）
3. [2024兰州期末]如图，为了促进当地旅游发
展，某地要在三条公路围成的一块三角形平地
上修建一个度假村.要使这个度假村到三条
公路的距离相等，应该修在( )
B
A.三边中线的交点 B. 三个角的平分线的交点
C.三边高线的交点 D. 三边垂直平分线的交点
（第4题）
4. 如图，是的角平分线，过点向， 两
边作垂线，垂足分别为， ，那么下列结论中不一定正
确的是( )
A
A. B.
C. D.
5. 如图，点在内，且到三边的距离相等，若 ，则
______.
（第5题）
6. 如图，已知和直线 .
（1）在直线上求作一点，使点到射线和
的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图
痕迹）；
解：如图所示，点到射线和 的距离相等；
（2）当直线，且 时，求
的度数.
解：到射线、 的距离相等，
为 的角平分线.
，
.
，
.
◆中档应用
（第7题）
7. 如图，点是 三条角平分线的交点，
的面积记为，的面积记为 ，
的面积记为，且 ，关于
的值可能为( )
C
A.8 B.10
C.14 D.以上都有可能
（第8题）
8. [2024海伦期末]如图，直线，， 表示三条公
路.现要建造一个中转站，使 到三条公路的距离都
相等，则中转站 可选择的点有( )
D
A.一处 B.二处 C.三处 D.四处
9. 如图，在中，点，，在边上，点在线段 上，若
，，点到和的距离相等.求证：点到 和
的距离相等.
证明： 点到和 的距离相等，
平分 .
.
， .
，
.
是 的平分线.
点到和 的距离相等.
◆拓展延伸
10. 如图，已知，、分别平分 和
，过点，则与 相等吗？请说明理由.
解： .理由如下：
如图，在上取点使得，连接 .
、分别平分和 ，
， .
在和中，
.
， .
， .
在和中，
.
， .(共17张PPT)
第一章 三角形的证明及其应用
§1.2 等腰三角形（1）
班级______________姓名______________座号__________ ______月___
___日（星期__________）
课时内容 等腰三角形的性质定理“等边对等角”，性质定理的推
论“三线合一”，等边三角形
的性质.
考点1 等腰三角形的性质“等边对等角”的应用
（第1题）
1. 【典例】如图，在中，， ，
，则 ( )
C
A. B. C. D.
2. 【变式】如图，在中，， .则
的度数是____.
（第2题）
考点2 等腰三角形的性质“三线合一”的应用
（第3题）
3. 【典例】如图，在中， ，
于点 ，下列结论中不一定正确的是
( )
D
A. B.
C. D.
（第4题）
4. 【变式】如图，在中，，为
的中点， ，则 的度数为( )
C
A. B. C. D.
考点3 等边三角形的性质
5. 【典例】如图，是等边三角形，于点，若 ，
则 的长为___.
2
（第5题）
6. 【变式】如图，是等边的角平分线，是 边上的高，
与相交于点，则 ____.
（第6题）
◆基础演练
7. 等腰三角形的一个角是 ，它的另外两个角是__________.
8. 如图，是等边三角形，是的高，延长到点 ，使
，则 ____.
，
（第8题）
9. 如图，是等边三角形，点、、、 在同一直线上，且
，，则 ____.
（第9题）
10. [2024同安期末]如图，在 中，
，为的中线，点在 上，
，连接.若 ，求 的
度数.
解：，为 的中线，
平分， .
平分 ，
.
，
，
.
◆中档应用
11. 如图，在等边中，点，分别在和上，且 ，
与相交于点，求 的度数.
解： 是等边三角形，
， .
在和 中，
.
.
，
.
◆拓展延伸
12. 如图，在中， ，，与 交于
点 .
解： ，
，， .
.
（1）若 ，求和 的度数；
，
.
，
.
， ；
（2）求和 之间的数量关系.
设 ，则 .
，
.
，
.
.(共15张PPT)
第一章 三角形的证明及其应用
专题训练2 等腰三角形与直角三角形的性质及判定
班级 ___姓名____座号____ ___月____日（星期___）
考点1 等腰三角形的性质1——等边对等角
1. 如图，在中，，点在上，点在 上，
，，求 的度数.
解：， ，
， .
设 ，
，， .
，
.
.
在中， ，解得 .
.
考点2 等腰三角形的性质2——“三线合一”
2. 如图，在中，，是 边上的高.求证：
.
证明：如图，过点作于点 ，则
，
.
是边上的高， .
. .
， .
.
考点3 等腰三角形的判定
3. 如图，在中， ，
于点，平分交于点，交于点 .
求证： .
证明： ，
.
.
，
， ，
.
考点4 等边三角形的性质
4. 如图，在等边中，平分，交
于点，过点作交于点，连接 .求
证： .
证明： 是等边三角形，
， .
平分， .
， ， 是等边三角形，
， .
考点5 等边三角形的判定
5. 如图，在四边形中， ，点是边 上一点，
，，判断 的形状，并证明你的结论.
解： 为等边三角形.证明如下：
，
，
.
， ，
.
，
为等边三角形.
考点6 有一个角是 的直角三角形.
6. [2024安远期中]如图，在中，， ， 是
的垂直平分线，交于，交于，求证： .
证明：如图，连接 ，
， ，
.
为的垂直平分线， ，
，
.
， .
， .
考点7 直角三角形的判定
7. [2025大理期末]如图，在 中，
，，点是边 上的一
点，， .
（1）求证： 是直角三角形；
解：证明：，， ，
，
是直角三角形;
（2）求线段 的长.
解：， ，
，
，
.
考点8 直角三角形全等的判定
8. 如图，，于点，于点， ，若
，求 的度数.
解：， ，
.
在和中，
.
，
.
.(共15张PPT)
第一章 三角形的证明及其应用
§1.3 直角三角形（2）
班级 ___姓名____座号____ ___月____日（星期___）
课时内容 直角三角形全等的判定定理，即“斜边、直角边”
定理及应用.
考点1 直角三角形全等的判定定理
（第1题）
1. 【典例】[2024厦门期末]如图，已知 ，
若要用“”证明 ，则还需补充：
________________________.
（答案不唯一）
（第2题）
2. 【变式】如图，已知，垂足为 ，
，，则可得到 ，
理由是( )
A
A. B. C. D.
考点2 直角三角形全等判定定理的应用
（第3题）
3. 【典例】如图，于点， 于点
，，.点从点 出发，向终点
运动，每分钟走；点从点出发，沿射线
运动，每分钟走.、两点同时出发，当点 到
达点时，、同时停止运动.设运动时间是 分钟，
当___分钟时，与 全等.
4
（第4题）
4. 【变式】如图，在 中，
， ，，点从点
出发，沿折线 以每秒1个单位长度的
速度向终点运动，点从点 出发，沿折线
以每秒2个单位长度的速度向终点 运
动，、 两点同时出发，且一个点到达终点，
4或
则另一个也停止运动.分别过、两点作于点，于点 ，
当与全等时， 的长为_ ____.
◆基础演练
5. 下列判定直角三角形全等的方法，错误的是( )
D
A.两条直角边对应相等 B.斜边和一锐角对应相等
C.斜边和一直角边对应相等 D.两锐角相等
（第6题）
6. 如图，和 都是直角三角形，
，请你利用所学知识回答，需要加
上什么样的两个条件，能使和 全等.
（1）_________，_________ ；
（2）_________，________________________ ；
（3）_________，_______________________ ；
（4）_________，________________________ .
（答案不唯一）
（答案不唯一）
（答案不唯一）
7. [2025福鼎期中]如图，已知
，、在线段上， 与
交于点，且， .求证：
.
证明： ，
，即 .
，
与 都为直角三角形，
在和中，
.
◆中档应用
8. 如图，线段、交于点，为钝角，， 于
点，于点， .
（1）求证： ；
解：证明：， ，
和 都是直角三角形.
，，即 .
在和中，
.
在和中，
；
（2）若 为锐角，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？
请直接写出答案，不必说明理由.
解：成立，依旧有 .
◆拓展延伸
9. 如图，，于点，于点，且 ，
，点是线段 上一动点.
（1）填空：当______时， ；
6或8
（2）点从点以每分钟 个单位长度的速度向
点运动，点从点 以每分钟2个单位长度的速
度向点运动，、两点同时出发，运动 分钟
后，与全等，求 的值.
解：依题意，得 ，
.
当时，， .
，，， 矛盾，
此情况不成立.
当时，， .
，， .
综上所述，运动3分钟后，与 全等.(共12张PPT)
第一章 三角形的证明及其应用
☆问题解决策略：反思
班级 ___姓名____座号____ ___月____日（星期___）
考点1 等腰三角形的对称性
（第1题）
1. 【典例】如图，在中，，， 分别
平分和 ，则下列结论不一定正确的是( )
C
A. B.
C. D.
（第2题）
2. 【变式】如图，在中， ，下列条件
中，不能使 的是( )
D
A.，分别为， 上的高
B.，为 的角平分线
C.，
D.
◆基础演练
3. [2025新余期末]如图，在中，，为 的中点，
，，垂足分别是点、，求证： .
证明：， .
又， ，
.
又是的中点， ，
在与中，
，
.
4. [2025南昌月考]如图，在 中，
，点，分别在边和 上，连接
，，交点为，且， .
（1）求证： ；
证明：， .
，， ，
在和中，
， ；
（2）求证： .
由（1），得， .
，， .
， ，
.
◆中档应用
5. 在中， .
（1）是上的高， .
①如图1，如果 ，则____ ；
10
②如图2，如果 ，则____ ；
25
（2）思考：通过以上两小题，你发现与 之间有
什么关系？请用式子表示：_ _______________；
（3）如图3，如果不是上的高， ，是否仍
有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由.
解：仍成立.理由如下：
， ，
.
又， ，
，即 .
◆拓展延伸
6. 如图,在中,, ,且
,,交于点 .
（1）求证: ;
解：证明：, ,
.
， .
;
（2）求 的度数;
解：由（1），得 ,
.
，， .
.
， .
， ;
（3）作于,求证: .
解：证明：由（2），得 .
由（1），得 .
.
， ，
.
，， .
.(共13张PPT)
第一章 三角形的证明及其应用
§1.4 线段的垂直平分线（1）
班级 ___姓名____座号____ ___月____日（星期___）
课时内容 线段垂直平分线的性质与判定.
考点1 线段垂直平分线的性质
（第1题）
1. 【典例】[2025宁德期末]如图，在
中，的垂直平分线交于点，垂足为 .若
，，则 的长是( )
B
A.2 B.3 C.4 D.5
（第2题）
2. 【变式】如图，在中， ，线段
的垂直平分线交于点，的周长是 ，
则 的长为( )
C
A. B. C. D.
考点2 线段垂直平分线的判定
（第3题）
3. 【典例】[2025三明期末]如图， ，
，下列结论一定正确的是( )
C
A.平分
B.垂直平分
C.垂直平分
D.与 互相垂直平分
（第4题）
4. 【变式】两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.如
图，四边形是一个筝形，其中 ，
，在探究筝形的性质时，得出如下结论：
；； ；
.其中正确的结论有( )
B
A.①②③ B.①②③④ C.②③④ D.①③④
◆基础演练
5. 如图，与相交于点，，， .求证：
垂直平分 .
证明：在和 中，
.
.
点在 的垂直平分线上.
，
点在 的垂直平分线上.
垂直平分 .
◆中档应用
6. [2024泉州期中]如图，在中，，且， 垂直
平分，交于点，交于点，若的周长为20， ，则
___.
4
（第6题）
7. 如图，是的平分线，，，垂足分别为， .
连接，与交于点.试判断线段与 的位置关系，并证明你
的结论.
解：垂直平分 .证明如下：
是 的角平分线，
.
， ，
.
在和 中，
.
， .
点，在 的垂直平分线上.
垂直平分 .
◆拓展延伸
8. 如图，在中，， 分别垂直平分
边和边，交边于，两点，与
相交于点 .
（1）若，求 的周长；
解：、分别垂直平分和 ，
， .
的周长 ；
（2）若 ，求 的度数.
解： ，
.
， ，
.
.
， ，
， .
.(共16张PPT)
第一章 三角形的证明及其应用
§1.1 三角形内角和定理（2）
班级______________姓名______________座号__________
______月______日（星期__________）
课时内容 三角形的外角性质.
考点1 三角形的外角性质
（第1题）
1. 【典例】[2025泉州期中]如果将一副三角板
按如图方式叠放，那么 等于( )
C
A. B. C. D.
（第2题）
2. 【变式】[2025汕尾模拟]将一副三角板
按照如图方式摆放，点、、 共线，
，则 的度数为( )
C
A. B. C. D.
（第3题）
3. 【典例】[2025沈丘期末]如图，是
内一点，延长交于点 ，下列结论中正
确的是( )
A
A. B.
C. D.
（第4题）
4. 【变式】如图，在中， 是它的一
个外角，为上的一点，延长到点 ，
连接 .下列结论错误的是( )
C
A.
B.
C.
D.
◆基础演练
（第5题）
5. [2025成武期末]某一天，爸爸带着小刚路过建筑
工地，看见有如图所示的人字架.爸爸说：“小刚，
我考考你，这个人字架的夹角 ，你能求
出比 大多少吗？”小刚马上得到了正确的答案，
他的答案是( )
C
A. B. C. D.
6. [2025漳州期末]如图，在 中，
，的平分线与 的外角平分
线相交于点，求 的度数.
对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上
适当的内容（理由或数学式）.
解：平分， （角平分线的定义）.
同理可得_______ .
是 的外角，
（___________________
_____________________________），
.①
三角形的一个外角
等于和它不相邻的两个内角的和
将①与②相比较可得___________.
， ____.
是的外角， ，
，②
◆中档应用
（第7题）
7. 如图， 的度数为
( )
D
A. B. C. D.
8. 如图,是的外角的平分线,且
交的延长线于点 .
（1）若 , ,求 的度数;
解： ， ,
.
平分 ，
.
；
（2）求证： .
解：证明：平分 ,
.
,
.
,
,
.
◆拓展延伸
9. 认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段,请完成下
列问题：
（1）探究1：如图1,在中,是与的平分线和 的交
点,则与 的数量关系为_ __________________;
（2）探究2：如图2,是与外角的平分线和 的交点,试
分析与 有怎样的数量关系 请说明理由；
解： .理由如下：
是和 的平分线的交点,
, .
，
，
.
.
（3）探究3：如图3, 是外角
与外角的平分线 和
的交点,则与 的数量关
系为_ __________________.(共13张PPT)
第一章 三角形的证明及其应用
§1.1 三角形内角和定理（3）
班级______________姓名______________座号__________ ______月___
___日（星期__________）
课时内容 多边形内角和公式.
考点1 多边形内角和公式的应用
1. 【典例】[2024福州期中]六边形的内角和为______.
2. 【变式】[2025石狮期末]某市城市建设中心计划在人民广场中央修建
一个造型美观的正多边形景观花坛.要求这个花坛的内角和为 ，
则这个花坛应设计成( )
B
A.正六边形 B.正八边形 C.正十边形 D.正十二边形
◆基础演练
3. 下列说法不正确的是( )
B
A.正多边形的各边都相等
B.各边都相等的多边形是正多边形
C.正三角形就是等边三角形
D.六条边、六个内角都相等的六边形是正六边形
4. [2025宁德期末]随着人工智能技术的飞速发展，智能机器人逐渐走进
人们的生活.某科技公司设计了一款家用服务机器人，其主体外观呈正八
边形，则该正八边形每个内角的大小是( )
C
A. B. C. D.
5. [2025泉州期中]一个多边形每一个内角为 ，则这个多边形的边数
为( )
B
A.10 B.12 C.13 D.15
6. 如图，在正方形中， ______.
（第6题）
7. （1）从六边形的一个顶点出发可以画___条对角线，把六边形分成了
___个三角形；六边形共有___条对角线；
（2）从十边形的一个顶点出发可以画___条对角线，把十边形分成了___
个三角形；十边形共有____条对角线；
（3）从边形的一个顶点出发可以画________条对角线，把 边形分成
了________个三角形； 边形共有_ ______条对角线.
3
4
9
7
8
35
◆中档应用
8. 两个多边形，边数之比为，内角和之比为 ，求这两个多边形的
边数.
解：设这两个多边形的边数分别为， ，则内角和分别为
， .
依题意，得 .
解得.则， .
这两个多边形的边数分别为3和4.
9. 已知一个多边形的每个内角都相等，且内角和比四边形的内角和多
，求此多边形的边数及每一个内角的度数.
解：设该多边形的边数为 .
四边形的内角和为 ，
又 该多边形内角和比四边形的内角和多 ，
该多边形的内角和为 .
. .
.
此多边形的边数为8，每一个内角的度数为 .
◆拓展延伸
10. 动手操作，探究：
探究一： 三角形的一个内角与另两个内角的平分
线所夹的钝角之间有何种关系？
已知：如图1，在中，， 分别平分
和，试探究与 的数量关系；
解：，分别平分和 ，
， .
；
探究二： 若将改为任意四边形 呢？
已知：如图2，在四边形中，， 分别平
分和，试利用上述结论探究 与
的数量关系；
解：，分别平分和 ，
， .
.
探究三： 若将上题中的四边形 改为六边形
（图3）呢？请直接写出 与
的数量关系：______________
_____________________.(共13张PPT)
第一章 三角形的证明及其应用
专题训练3 线段的垂直平分线与角平分线的性质
及判定
班级 ___姓名____座号____ ___月____日（星期___）
考点1 线段的垂直平分线的性质
1. 如图，，的垂直平分线和 的垂直平分线相
交于点.证明： .
证明：的垂直平分线和的垂直平分线相交于点 ，
， .
在和中，
.
.
2. 如图，在中，是的平分线，
的垂直平分线交于点，交的延长线于点 .
（1）求证： ；
解：证明：是的平分线， .
的垂直平分线交于点 ，
.
.
；
（2）与 的大小是否相等？若相等，请给
予证明；若不相等，请说明理由.
解： .证明如下：
的垂直平分线交的延长线于点 .
.
，
， ，
.
考点2 线段的垂直平分线的判定
3. [2025大方期末]如图所示，在中，是 上的一点，且
，，平分，求证：垂直平分 .
证明：， .
平分 ，
，
，
，
点在线段 的垂直平分线上.
，
点在线段 的垂直平分线上，
垂直平分 .
考点3 角平分线的性质
4. 如图，在中，、的平分线交于，射线交 于
，射线交于，连接，过作于 .
（1）直接写出与 的数量关系：_ ____________________；
（2）试判断与 有何数量关系，并说明理由；
解： .理由如下：
平分，平分，平分 ，
.
， . .
.①
由（1）可知 ，②
由,得 ；
（3）若 ，探究与 的数量关系，并说明理由.
解： .理由如下：
如图，过作于 ，
，
由（1）知
，
.
平分，， ，
， .
.
， .
.
考点4 角平分线的判定
5. 如图，在中，于，于， 是
的中点，且，求证：是 的角平分线.
证明：是的中点， .
，， .
在和 中，
.
，，，平分 .
即是 的平分线.
6. 如图，、分别是的外角与 的
平分线，它们交于点，于点， 于
点，求证：为 的平分线.
证明：如图，过点作于点 ，
是的角平分线，是 的角平分线，
， ，
， .
又，， ，
平分，即为 的平分线.(共14张PPT)
第一章 三角形的证明及其应用
§1.1 三角形内角和定理（1）
班级______________姓名______________座号__________ ______月___
___日（星期__________）
课时内容 三角形的内角和定理.
考点1 三角形内角和定理
1. 【典例】[2024福鼎期中]如图，在中，平分， 是高
线， ， ，则 的度数是____.
（第1题）
2. 【变式】[2024丹阳期末]如图， ，， ，则
为( )
D
（第2题）
A. B. C. D.
◆基础演练
（第3题）
3. [2024息县模拟]物理实验中，小明研究一
个小木块在斜坡上滑下时的运动状态，如图，
斜坡为， ， ，
小木块在斜坡上，且 ，
，则 的度数为( )
B
A. B. C. D.
（第4题）
4. [2024福州期中]如图，在中，， 分别
是边，上的点，将沿 折叠；使点
落在点处，若 ， ，则
的度数为( )
C
A. B. C. D.
（第5题）
5. [2025富锦期末]如图，将三角尺按图示摆
放， ， ，则 的度数是
( )
A. B. C. D.
D
6. [2024东莞期中]如图，在中，
是边上的高，平分 ，
， ，求 的度数.
解：由三角形的内角和可知 .
，平分 ，
, ，
，
.
◆中档应用
7. 阅读材料：为了证明“三角形的内角和是 ”，林老师给出了如图
所示四种作辅助线的方法.
回答下列问题：
（1）图1，2在证明三角形内角和的过程中应用的数学思想是( )
A
A.转化思想 B.整体思想 C.方程思想 D.数形结合思想
（2）请选用图3或图4证明三角形的内角和为 .
解：选择图3证明如下：
，，， ，
.
根据平角的定义，得 ，
.
选择图4证明如下：
，， .
， ，
即 .
◆拓展延伸
8. 实验证明平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出
的光线与平面镜所夹的锐角相等.
阅读以上材料并解决下列问题：
（1）如图,一束光线射到平面镜上,被 反射到平面
镜上,又被反射.若被反射出的光线与光线 平行,
且 ,求及 的度数.
解：易知, ，
____.
， ，
（2）在（1）中,①若 ,则____；②若 ,则 ____；
______. ____.
根据三角形内角和为 ，知 ____.
（3）由（1）（2）,请你猜想：当两平面镜、的夹角 为多少度时,可
以使任何射到平面镜上的光线,经过平面镜、 的两次反射后,入射光
线与反射光线 平行 请你写出推理过程.
解：根据平面镜反射光线的规律可知, .
, .
, ,
，
.
,
.
当 时,可以使任何射到平面镜上的光线,经过平面镜、
的两次反射后,入射光线与反射光线 平行.(共16张PPT)
第一章 三角形的证明及其应用
§1.3 直角三角形（1）
班级______________姓名______________座号__________ ______月___
___日（星期__________）
课时内容 直角三角形的性质与判定，互逆命题.
考点1 直角三角形的性质
1. 【典例】[2025永春期末]在中， ， ，则
( )
D
A. B. C. D.
2. 【变式】已知 ，某学生将一直角三角板如图所示放置，如果
，则 ____.
（第2题）
3. 【典例】[2024尤溪期末]若 中一条直角边和斜边的长分别为6
和10，则另一条直角边的长是( )
C
A.4 B.6 C.8 D.
（第4题）
4. 【变式】[2025丽江期末]如图，直线 ，
垂足为，线段，，以点 为圆
心，的长为半径画弧，交直线于点，则
的长为( )
C
A.6 B.5 C.4 D.3
考点2 直角三角形的判定
5. 【典例】由下列条件不能判定 为直角三角形的是( )
B
A. B.，，
C. D.
6. 【变式】若的三边长为，， ，且满足
，则这个三角形是____________.
直角三角形
考点3 互逆命题
7. 【典例】命题“等边三角形的三个角都相等.”这个命题的逆命题是
__________________________________.这个逆命题是____命题
（填“真”或“假”）.
三个角都相等的三角形是等边三角形
真
8. 【变式】写出命题“个位数字是零的整数能被5整除”的逆命题：
____________________________________，是一个____命题.
能被5整除的整数，它的个位数字是零
假
◆基础演练
9. 在中， ， ，则 的度数为( )
B
A. B. C. D.
10. [2025福州模拟]《九章算术》中有这样一道题：“今有二人同所立，
甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会.问甲、乙行
各几何？”大意是说：甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走
6步，乙每单位时间走4步，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向
北偏东方向走了一段后与乙相遇，那么相遇时，乙走了( )
A
A.24步 B.30步 C.32步 D.36步
（第11题）
11. 如图，在中， ，沿 折叠
，使点恰好落在边上的点 处.若
，则 等于( )
C
A. B. C. D.
12. 下列说法错误的是( )
B
A.任何命题都有逆命题
B.任何定理都有逆定理
C.真命题的逆命题不一定是真命题
D.互逆定理中的两个命题都是真命题
13. 一个三角形的三边的比是 ，它的周长是36，则它的面积是____.
14. 已知直角三角形中 的角所对的直角边长是 ，则另一条直
角边的长是___ .
54
6
◆中档应用
15. 如图，底面半径为1，高为2的圆柱，在点 处有一只蚂蚁，现在这只
蚂蚁要围绕圆柱由点爬到点 ，则蚂蚁爬行的最短路线的长是________.
（第15题）
16. 如图，在中， ，于点， ，
，求 的长.
解：在 中，由勾股定理，得
，
.
设，则 .
在中，由勾股定理，得 ，
在中，由勾股定理，得 ，
，解得 .
.
◆拓展延伸
17. 如图，一个长方体形状的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝
隙），有一只蚂蚁从柜角处沿着木柜表面爬到柜角 处.
（1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；
解：如图，木柜不靠近墙面和地面的三个面的表面展开图是两个矩形
和 .
蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图所示的和 两种；
（2）当，， 时，求蚂蚁爬过
的最短路径的长.
解：蚂蚁沿着木柜表面经线段到 ，
爬过的路径的长 .
蚂蚁沿着木柜表面经线段到 ，
爬过的路径的长 .
， 最短路径的长是 .(共16张PPT)
第一章 三角形的证明及其应用
§1.5 角平分线（1）
班级______________姓名______________座号__________ ______月___
___日（星期__________）
课时内容 角平分线的性质与判定.
考点1 角平分线的性质
（第1题）
1. 【典例】[2025郴州期末]如图，是 的平
分线，已知于点，且，则点 到
的距离是( )
B
A.1 B.2 C.3 D.4
（第2题）
2. 【变式】如图，在中， ，
的平分线交于点，于点 ，若
，，则 的周长为( )
A
A.4 B.5 C.6 D.7
考点2 角平分线的判定
3. 【典例】如图，在中，交于点，点到、 的
距离相等，且 ，则 ____.
（第3题）
4. 【变式】如图，的两个外角的平分线交于点，如果 ，
则 ____.
（第4题）
◆基础演练
（第5题）
5. 如图，平分，， ，垂足
分别为， .下列结论中不一定成立的是( )
C
A. B.平分
C.垂直平分 D.
6. [2024阜平期末]如图，，分别是边，上的点，点在射线
上，下列条件不能说明平分 的是( )
C
（第6题）
A.，，
B.，
C.，
D.，，
（第7题）
7. [2024福清期末]如图，在中，是
的角平分线，测得，，点到 的距
离为1，则 的面积为( )
B
A. B. C.5 D.6
8. 如图，已知 ，平分，，若点到 的距
离等于，则的长为____ .
15
（第8题）
9. 如图，于点，于点，、交于点， 平分
.求证： .
证明：平分，， ，
.
， ，
.
在和中，
.
.
◆中档应用
10. 如图，平分，于点，于点，为 上
一点，连接、 .
求证：
（1） ；
证明：，，平分 ，
， ，
.
在和中，
.
；
（2） .
在和中，
.
.
◆拓展延伸
11. 如图， ，是的中点， 平分
.
（1）求证：平分 ；
解：证明：如图，过点作于点 .
平分，， ，
.
是的中点， .
又， ，平分 ；
（2）猜想与 的位置关系如何，并证明你的结论.
解： .证明如下：
，
.
又平分，平分 ，
.
，
.(共13张PPT)
第一章 三角形的证明及其应用
专题训练1 多边形的内角和与外角和
班级______________姓名______________座号__________ ______月___
___日（星期__________）
考点1 多边形的对角线
（第1题）
1. 探究归纳题：
（1）试验分析：如图1，经过点 可以作___
条对角线；同样，经过点 可以作___条对角
线；经过点可以作___条对角线；经过点
1
1
1
1
2
（2）拓展延伸：运用（1）的分析方法，可得：图2共有___条对角线；
图3共有___条对角线；
5
9
可以作___条对角线.通过以上分析和总结，图1共有___条对角线；
（第1题）
（3）探索归纳：对于边形 ，共有
_ ______条对角线（用含 的式子表示）；
（4）特例验证：十边形有____条对角线.
35
考点2 多边形的内角和
2. [2025漳州模拟]如图，以正五边形的边向内作正方形 ，
则 的度数为____.
（第2题）
3. 如图，在五边形中，点、分别在、 上，
，则 ______.
（第3题）
4. 在四边形中， ， .
图1
（1）如图1，若，求出 的度数；
解： ， ，
，
.
，
；
图2
（2）如图2，若的角平分线交于点 ，且
，求出 的度数.
解：， ， ，
，
.
平分 ，
.
，
.
5. 在四边形中，点，分别在， 上，
，按如图方式沿着折叠，使 ，
此时量得 ，求 的度数.
解： ，
.
沿翻折得 ，
，
，
.
6. 如图1所示，与 称为“对顶三角形”，其中
.利用这个结论，在图2中，求
的度数.
图2
解：如图2，连接 ，
由对顶三角形可得， .
五边形 中，
，
即 .
.
考点3 多边形的外角和
7. 已知一个正多边形的一个内角是 ，则这个正多边形的边数是
( )
C
A.8 B.9 C.10 D.11
8. 一个多边形的各个外角都等于 ，则这个多边形是( )
B
A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.十边形
考点4 多边形的内角和与外角和综合应用
9. 一个多边形的内角和与外角和相等，则它是( )
B
A.五边形 B.四边形 C.三角形 D.不确定
10. 已知一个多边形的边数为 .
（1）若这个多边形的内角和的比一个四边形的外角和多 ，求 的值；
解：由题意，多边形的内角和的比一个四边形的外角和多 ，
得 ，解得 ；
（2）若这个多边形是正边形，且一个内角与一个外角的比是 ，求
的值.
一个内角与一个外角的比是，得 ，解得
.
