第二讲 平行线及其判定（讲义）
类型题一：平行线的概念
知识点归纳： 叫做平行线
例一：在同一平面内，两条不重合直线的位置关系可能是（ ）
A．垂直或平行 B．垂直或相交 C．平行或相交 D．平行、垂直或相交
变式．下列说法正确的是（ ）
A．不相交的两条线段是平行线 B．不相交的两条直线是平行线
C．不相交的两条射线是平行线 D．在同一平面内，不相交的两条直线是平行线
例二：下列说法中正确的个数是（ ）
（1）在同一平面内，a、b、c是直线，a∥b，b∥c，则a∥c
（2）在同一平面内，a、b、c是直线，a⊥b，b⊥c，则a⊥c
（3）在同一平面内，a、b、c是直线，a∥b，a⊥c，则b⊥c
（4）在同一平面内，a、b、c是直线，a⊥b，b⊥c，则a∥c．
A．1 B．2 C．3 D．4
变式．在长方体ABCD﹣EFGH中，与面ABCD平行的棱共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
类型题二：平行公理及其推论
知识点归纳：
平行公理：
推论：
例一．下列说法不正确的是（ ）
A．过任意一点可作已知直线的一条平行线
B．同一平面内两条不相交的直线是平行线
C．在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直
D．平行于同一直线的两直线平行
变式．下列说法正确的有（ ）
①两点之间的所有连线中，线段最短； ②相等的角叫对顶角；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
⑤两点之间的距离是两点间的线段； ⑥在同一平面内的两直线位置关系只有两种：平行或相交．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例二．按要求完成作图，并回答问题；如图在△ABC中：
（1）过点A画BC的垂线，垂足为E； （2）画∠ABC的平分线，交AC于F；
（3）过E画AB的平行线，交AC于点G； （4）过点C画AB所在的直线的垂线段，垂足为H．
变式．作图题：（只保留作图痕迹）如图，在方格纸中，有两条线段AB、BC．利用方格纸完成以下操作：
（1）过点A作BC的平行线；（2）过点C作AB的平行线，与（1）中的平行线交于点D；
（3）过点B作AB的垂线．
类型题三：平行线的判定
例一．如图，已知∠ACD＝70°，∠ACB＝60°，∠ABC＝50°．求证：AB∥CD．
变式：如图，已知∠A＝∠F，∠C＝∠D，试说明BD∥CE．
例二：如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B，CB＝CE．求证：CE∥AD．
变式．如图，∠A＝∠ADE，∠C＝∠E．
若∠EDC＝3∠C，求∠C的度数．
（2）求证：BE∥CD．
例三：如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于F，∠CFE＝∠E．求证：AD∥BC．
变式．已知：如图，AB⊥BC，BC⊥CD且∠1＝∠2，求证：BE∥CF．
例四：如图，∠BAF＝46°，∠ACE＝136°，CE⊥CD．问CD∥AB吗？为什么？
变式：MF⊥NF于F，MF交AB于点E，NF交CD于点G，∠1＝140°，∠2＝50°，试判断AB和CD的位置关系，并说明理由．
例五：四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，则BE与DF有何位置关系？试说明理由．
2第三讲 平行线的性质（讲义）
类型题一：平行线的性质
例一：a∥b，点B在直线a上，且AB⊥BC，若∠1=34°，求∠2的大小
变式．如图，把一块含有45°的直角三角形的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，求∠2的度数。
例二．已知如图，AB∥CD，试解决下列问题：
（1）∠1+∠2= ；
（2）∠1+∠2+∠3= ；
（3）∠1+∠2+∠3+∠4= ；
（4）试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n= ．
变式：如图，已知直线l1∥l2，l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P 在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．
（1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3=∠1+∠2；
（2）若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系；
（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明．
例三．如图，直线AB∥CD，∠C=44°，∠E为直角，则∠1等于（ ）
A．132° B．134° C．136° D．138°
变式．如图所示，已知AB∥CD，分别探究下面图形中∠APC，∠PAB，∠PCD的关系，请你从四个图形中任选一个，说明你所探究的结论的正确性．
①结论：（1）
（2）
（3）
（4）
②选择结论 ，说明理由．
类型题二：命题
例一．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．相等的角是对顶角
C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
D．在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行
变式．下列命题是真命题的是（ ）
A．如果a+b=0，那么a=b=0 B．的平方根是±4
C．有公共顶点的两个角是对顶角 D．等腰三角形两底角相等
例二：写出下列命题的逆命题，并判断它的真假性
①如果m是整数，那么它是有理数”；逆命题为： ．（ ）
②对顶角相等；逆命题为： （ ）
③若a=b，则a2=b2；逆命题为： （ ）
④两直线平行，同位角相等；逆命题为： （ ）
类型题三：两条平行线间的距离
例一．平行线之间的距离是指（ ）
A．从一条直线上一点到另一直线的垂线段
B．从一条直线上一点到另一条直线的垂线段长度
C．从一条直线上一点到另一条直线的垂线的长度
D．从一条直线上一点到另一条直线上的一点间线段的长度
变式．直线AB∥CD，P是AB上的动点，当点P的位置变化时，三角形PCD的面积将（ ）
A．变大 B．变小 C．不变 D．变大变小要看点P向左还是向右移动
例二．已知直线a∥b，点M到直线a的距离是4，到直线b的距离是2，那么直线a和直线b之间的距离为 ．
变式．已知a∥b，b∥c，且a与b之间的距离为5cm，b与c之间的距离为3cm，那么a与c之的间距离为 ．
类型题四：推理与论证
例一：在一次1500米比赛中，有如下的判断：甲说：丙第一，我第三；乙说：我第一，丁第四；丙说：丁第二，我第三．结果是每人的两句话中都只说对了一句，则可判断第一名是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
变式2：甲、乙、丙、丁四个小朋友在院里玩球，忽听“砰”的一声，球击中了李大家的窗户．李大爷跑出来查看，发现一块窗户玻璃被打裂了．李大爷问：“是谁闯的祸？”
甲说：“是乙不小心闯的祸． 乙说：“是丙闯的祸．”
丙说：“乙说的不是实话．” 丁说：“反正不是我闯的祸．”
如果这四个小朋友中只有一个人说了实话，请你帮李大爷判断一下，究竟是谁闯的祸（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
例二．唐寅点秋香的故事家喻户晓了，现在我们来玩个游戏：“唐伯虎点秋香”．
[规则]下面有四个人，其中一个人是秋香，请你通过下面提示辨别出谁是秋香．
友情提示：这四个人分别是：春香、夏香、秋香、冬香．
[所给人物]A，B，C，D
①A不是秋香，也不是夏香； ②B不是冬香，也不是春香；
③如果A不是冬香，那么C不是夏香； ④D既不是夏香，也不是春香；
⑤C不是春香，也不是冬香．
若上面的命题都是真命题，问谁是秋香（ ）
A．A B．B C．C D．D
类型题四：平移
例一：如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条”之”字路，余下部分绿化，道路的宽为2米，则绿化的面积为 m2．
变式：如图，在长为50米，宽为30米的长方形地块上，有纵横交错的几条小路，宽均为1米，其它部分均种植花草．试求出种植花草的面积是多少？
例二：如图，某宾馆在重新装修后，准备在大厅的楼梯上铺上某种红色地毯，已知这种地毯每平方米售价30元，主楼梯道宽2米，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要 元．
例三：如图，△A1B1C1是△ABC向右平移4个单位长度后得到的，且三个顶点的坐标分别为A1（1，1），B1（4，2），C1（3，4）．
（1）请画出△ABC，并写出点A，B，C的坐标；
（2）求出△AOA1的面积．平行线与相交线 第一讲（讲义）
类型题一：平面中两直线的位置关系
例一：平面内三条直线的交点个数可能有 个。
例二．下列说法中正确的个数是（ ）
①过两点有且只有一条直线； ②两直线相交只有一个交点；
③0的绝对值是它本身 ④射线AB和射线BA是同一条射线．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例三．如图，下列表述：①直线a与直线b、c分别相交于点A和B；②点C在直线a外；③直线b、c相交于点C；④三条直线a、b、c两两相交，交点分别是A、B、C．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例四．观察如图图形，并阅读图形下面的相关文字．像这样的十条直线相交最多的交点个数有 ．
例五．试用几何语言描述下图： ．
类型题二：邻补角、对顶角的概念和性质
例一．下列各图中，∠1与∠2互为邻补角的是（ ）
A． B． C． D．
变式．如图，∠1和∠2是对顶角的图形是（ ）
甲 B．乙 C．丙 D．丁
例二．如图，直线AB、CD相交于点E，EF⊥AB于E，若∠CEF=59°，则∠AED的度数为（ ）
A．149° B．121° C．95° D．31°
变式．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC，若∠AOE=35°，则∠BOD的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
例三．如图，已知直线AB与CD交于点O，ON平分∠DOB，若∠BOC=110°，求∠AON的度数。
变式1．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD．
（1）若∠AOC=70°，∠DOF=90°，求∠EOF的度数；
（2）若OF平分∠COE，∠BOF=15°，求∠AOC的度数．
变式2．（1）如图，直线a，b，c两两相交，∠3=2∠1，∠2=155°，求∠4的度数．
（2）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠AOD：∠BOE=4：1，求∠AOF的度数．
类型题三：垂线性质与应用
例一．如图，现要从村庄A修建一条连接公路PQ的小路，过点A作AH⊥PQ于点H，则这样做的理由是（ ）
A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线
C．垂线段最短 D．过一点可以作无数条直线
变式．下列说法中，正确的有（ ）
①过两点有且只有一条直线； ②连接两点的线段叫做两点的距离；
③两点之间，垂线最短； ④若AB=BC，则点B是线段AC的中点．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例二．如图，已知点O在直线AB上，CO⊥DO于点O，若∠1=145°，则∠3的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
变式．如图，∠1=15°，∠AOC=90°，点B，O，D在同一直线上，则∠2的度数为（ ）
A．75° B．15° C．105° D．165°
例三：如图，∠AOB=180°，OD、OE分别是∠AOC和∠BOC的平分线，OD⊥OE吗？试说明理由。
变式：如图，OD、OE分别是∠AOC和∠BOC的平分线，OD⊥OE，是求出∠AOB的度数。
例四．用3根火柴棒最多能拼出（ ）
A．4个直角 B．8个直角 C．12个直角 D．16个直角
类型题四：点到直线的距离
例一．点P为直线l外一点，点A、B、C为直线l上三点，PA=4cm、PB=5cm、PC=2cm，则点P到直线l的距离（ ）
A．等于4cm B．等于2cm C．小于2cm D．不大于2cm
变:1：在下列图形中，线段PQ的长度表示点P到直线L的距离的是（ ）
B． C． D．
变式2：如图，△ABC是锐角三角形，过点C作CD⊥AB，垂足为D，则点C到直线AB的距离是（ ）
线段CA的长 B．线段CD的长 C．线段AD的长 D．线段AB的长
变式3：如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，则图中能表示点到直线距离的线段共有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
类型题五：同位角、内错角、同旁内角
例一：下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（ ）
A.②③ B．①②③ C．①②④ D．①④
变式：如图，直线AB、BC、AC交于A、B、C三点，则图中内错角、同位角、同旁内角的对数分别是（ ）
A．6、12、6 B．6、10、6 C．4、12、4 D．4、8、4
例二：如图，∠1和∠3是直线 、 被直线 所截得到的 角；
∠3和∠2是直线 、 被直线 所截得到的 角．
变式1：观察图中角的位置关系，∠1和∠2是 角，∠3和∠1是 角，∠1和∠4是 角，∠3和∠4是 角，∠3和∠5是 角．
变式2．如图所示，直线DE与∠O的两边相交，则∠O的同位角是 ，∠8的同旁内角是 ．
