第五讲 立方根与实数（讲义）
类型题一：立方根
例一：﹣64的立方根是（ ）
﹣4 B．4 C．±4 D．不存在
变式：的平方根是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．±2
例二：解方程
3（x﹣1）3=24． 2（x﹣1）3=﹣． 27（x﹣3）3=﹣64．
例三：已知x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的平方根
类型题二：无理数
例一:在下列实数中：0，，﹣3.1415，，，0.343343334…无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式1：五个数中：﹣，﹣1，0，，，是无理数的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
变式2．把下列各数分别填在相应的集合中：﹣，，﹣，0，﹣，、，0.，3.14
例二：两个不相等的无理数，它们的乘积为有理数，这两个数可以是 ．
例三．阅读下列材料：设=0.333…①，则10x=3.333…②，则由②﹣①得：9x=3，即．所以=0.333…=．根据上述提供的方法把下列两个数化成分数．= ，= ．
类型题三：实数的性质
例一：化简|﹣1|的结果是（ ）
A．1 B． C．﹣1 D．1﹣
变式1．实数的相反数是（ ） 变式2．实数4的倒数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D． A．4 B． C．﹣4 D．﹣
例二：填空。
（1）相反数等于它本身的数是 ； （2）倒数等于它本身的数是 ；
（3）平方等于它本身的数是 ； （4）平方根等于它本身的数是 ；
（5）算术平方根等于它本身的数是 ； （6）立方等于它本身的数是 ；
（7）立方根等于它本身的数是 ； （8）绝对值等于它本身的数是 ．
例三．如图，数轴上A，B两点表示的数分别为﹣1和，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
变式：在如图所示的数轴上，点C与点B关于点A对称，C、A两点对应的实数分别是和1，则点B对应的实数为 ．
例四：实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，计算|a﹣b|的结果为（ ）
a+b B．a﹣b C．b﹣a D．﹣a﹣b
变式：实数a，b，c在数轴上的对应关系如图，化简下面的式子：|a﹣b|﹣|c﹣a|+|b﹣c|+|a|．
类型题四:有理数的大小比较
例一：先比较大小，再计算．
（1）比较大小：与3，1.5与；
（2）依据上述结论，比较大小：2与；
（3）根据（2）的结论，计算：|﹣|﹣|﹣2|．
变式：比较大小（要有具体过程）：
（1）和4； （2）和0.5． （3）3与2 （4）与
类型题五：估算有理数的大小
例一：的整数部分为 ，小数部分为
—的整数部分为 ，小数部分为
—2的整数为 ，小数部分为
—4的整数部分为 ，小数部分为
2—的整数部分为 ，小数部分为
4—的整数部分为 ，小数部分为
变式1：若的整数部分为a，小数部分为b，求a2+b﹣的值
变式2：已知7+的小数部分是a，7﹣的小数部分是b．求（a+b）2013．第四讲 平方根与算术平方根
类型题一：算术平方根的概念及表达方法
例一：36的算术平方根是（ ）
A．±6 B．6 C．﹣6 D．±
变式1：实数的算术平方根是（ ） 变式2：的算术平方根是（ ）
A．±4 B．4 C．2 D．±2 A．﹣2 B．±2 C． D．2
例二：若，则x2015+y2016的值（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．2
变式．已知与互为相反数，则ab的值为
类型题二：平方根的定义及其性质
例一：36的平方根是（ ） 变式．的平方根是（ ）
A．±6 B．6 C．﹣6 D．± A．81 B．±3 C．﹣3 D．3
例二：若2m﹣4与3m﹣1是同一个正数的平方根，则m为（ ）
A．﹣3 B．1 C．﹣1 D．﹣3或1
变式：一个正数的x的平方根是2a﹣3与5﹣a，求a和x的值．
例二：已知2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5，求m+3n的平方根
变式．已知2a+1的平方根是±3，5a+2b﹣2的算术平方根是4，求：3a﹣4b的平方根．
例三：求下列各式中的x．
16x2=81； （x﹣2）2﹣25=0；
变式：求符合下列各条件中的x的值．
（x﹣4）2=4 （x+3）2﹣9=0． （4x+1）2﹣1=．
类型题三：（）2与√a2的区别
例一：下列运算正确的是（ ）
A．﹣=13 B．=﹣6 C．﹣=﹣5 D．=±3
变式：a2的算术平方根一定是（ ）
A．a B．|a| C． D．﹣a
例二:下列说法：
①任何数都有算术平方根； ②一个数的算术平方根一定是正数；
③a2的算术平方根是a； ④（π﹣4）2的算术平方根是π﹣4； ⑤算术平方根不可能是负数，
其中，不正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
例三：．若=3﹣x，则x的取值范围是 ．
例四：计算
= ，= ，= ，= ，= ，
（1）根据计算结果，回答：一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请你用自己的语言描述出来．
（2）利用你总结的规律，计算：
类型题四：比较数的大小
例一：试比较与3的大小关系 变式：试比较 -2与-5的大小关系
类型题五：规律探究
例一．先观察下列等式，再回答问题：
（1）根据上面三个等式提供的信息，请猜想的结果，并进行验证；
（2）根据上面的规律，可得= ．
（3）请按照上面各等式反映的规律，试写出用n（n为正整数）表示的等式，并加以验证．
变式．你能找出规律吗？
（1）计算：= ，= ．= ，= ．
（2）请按找到的规律计算：
①； ②．
（3）已知：a=，b=，则= （用含a，b的式子表示）．
