第三讲 函数（一） 2026年中考数学一轮专题复习（含答案）

第三讲 函数（一）
专项一 平面直角坐标系
考点例析
例1 （2024·宿迁）点P（a2+1，﹣3）在第　 象限．
分析：结合a2+1≥1＞0，﹣3＜0，根据平面直角坐标系各象限内点的坐标特征判断即可．
例2 （2024·江西）在平面直角坐标系中，将点A（1，1）向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标为　 ．
分析：在平面直角坐标系中，点的平移规律是：横坐标右加左减，纵坐标上加下减，据此写出点B的坐标即可．
跟踪训练
1.（2024·贵州）为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为
（﹣2，0），（0，0），则“技”所在的象限为（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
第1题图 第2题图
2.（2024·广西）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P的坐标为（2，1），则点Q的坐标为（　　）
A．（3，0） B．（0，2） C．（3，2） D．（1，2）
3.（2024·海南）在平面直角坐标系中，将点A向右平移3个单位长度得到点A′（2，1），则点A的坐标是（　　）
A．（5，1） B．（2，4） C．（﹣1，1） D．（2，﹣2）
4.（2024·广元）如果单项式﹣x2my3与单项式2x4y2﹣n的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中，点（m，n）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
专项二 函数及其图象
考点例析
例1 （2024·黑龙江）在函数中，自变量x的取值范围是　 ．
分析：根据被开方数大于等于0（即x﹣3≥0），分母不等于0（即x+2≠0），列不等式组求解即可．
例2 （2024·武汉）如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水．下列图象能大致反映水槽中水的深度h与注水时间t的函数关系的是（　　）
A B C D
分析：根据题意可以分三段进行分析：①水的深度未超过下层圆柱体时；②水的深度超过下层圆柱体，但未超过上层圆柱体时；③水的深度超过上层圆柱体时．结合圆柱体底面半径的大小，分析水的深度变化的快慢，进而得到答案．
归纳：根据实际问题判断函数图象时，常遵循以下几点：①找起点：结合题中所给自变量及函数的取值范围，对应到函数图象中找出对应点；②找特殊点：指交点或拐点，说明图象在此点处将发生变化；③判断图象趋势：判断函数的增减性；④看是否与坐标轴相交：即两个变量中是否有一个量为0．
在实际问题中给出函数图象，对其进行分析时，注意先分清图象的横、纵坐标表示的意义，再找出分段函数的转折点、函数增减性发生变化的点以及函数图象与坐标轴的交点，根据这些特殊点的坐标求出实际问题中的量．
跟踪训练
1.（2024·广西）激光测距仪L发出的激光束以3×105 km/s的速度射向目标M，t s后测距仪L收到M反射回的激光束，则L到M的距离d km与时间t s的函数关系式为（　　）
A． B．d＝3×105t C．d＝2×3×105t D．d＝3×106t
2.（2024·河南）把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图①），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图②）．下列结论中错误的是（　　）
A．当P＝440 W时，I＝2 A
B．Q随I的增大而增大
C．I每增加1 A，Q的增加量相同
D．P越大，插线板电源线产生的热量Q越多
第2题图
3.（2024·齐齐哈尔）在函数中，自变量x的取值范围是　 ．
专项三 一次函数
考点例析
例1 （2024·长沙）对于一次函数y＝2x﹣1，下列结论正确的是（　　）
A．它的图象与y轴交于点（0，﹣1）
B．y随x的增大而减小
C．当时，y＜0
D．它的图象经过第一、二、三象限
分析：对于一次函数y＝2x﹣1，k＝2＞0，则y随x的增大而增大，当时，y＞0；又b＝﹣1＜0，则其图象与y轴交于点（0，﹣1），且经过第一、三、四象限，据此判断即可．
归纳：一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象是一条直线，比例系数k和常数项b共同决定直线经过的象限.当k>0时，直线必经过第一、三象限；当k<0时，直线必经过第二、四象限.当b>0时，直线经过y轴的正半轴；当b<0时，直线经过y轴的负半轴.
例2 （2024·北京）在平面直角坐标系中，函数y＝kx+b（k≠0）与y＝﹣kx+3的图象交于点（2，1）．
（1）求k，b的值；
（2）当x＞2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值既大于函数y＝kx+b的值，也大于函数y＝﹣kx+3的值，直接写出m的取值范围．
分析：（1）利用待定系数法，将点（2，1）代入y＝﹣kx+3求出k的值，再将k值及点（2，1）代入y＝kx+b，求出b的值；（2）结合（1）可画出函数y＝kx+b与y＝﹣kx+3的图象如图1所示，两直线交于点（2，1），观察图象，只需要保证正比例函数y＝mx的图象与直线y＝x﹣1的交点的横坐标x＜2即可，即将直线y＝x﹣1向上平移使之经过原点，确定临界值m＝1，再根据图象写出符合要求的范围．
图1
解：
例3 （2024·牡丹江）一条公路上依次有A，B，C三地，甲车从A地出发，沿公路经B地到C地，乙车从C地出发，沿公路驶向B地．甲、乙两车同时出发，匀速行驶，乙车比甲车早h到达目的地．甲、乙两车之间的距离y km与两车行驶时间x h的函数关系如图2所示，请结合图象信息，解答下列问题：
（1）甲车行驶的速度是　 km/h，并在图中括号内填上正确的数；
（2）求图中线段EF所在直线的函数解析式；（不要求写出自变量的取值范围）
（3）请直接写出两车出发多长时间时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍．
图2
分析：观察函数图象，分析每个特殊点表示的实际意义，点D表示甲、乙两车在各自的出发地（即OD为A，C地的距离），点E表示甲、乙两车在公路BC段相遇，点F表示乙车到达目的地B，点M表示甲车到达目的地C．（1）由图可知，甲车h行驶的路程为（200﹣180）km，甲车行驶完全程需要的时间为h，利用时间、速度、路程之间的关系计算即可；（2）利用待定系数法求解即可；（3）根据题意结合图象求出A，B，C地两两之间的距离和乙车的行驶速度，设两车的出发时间为x h，分甲在A，B之间和甲在B，C之间两种情况，列一元一次方程求解．
解：
跟踪训练
1.（2024·兰州）一次函数y＝2x﹣3的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2.（2024·内蒙古）点P（x，y）在直线上，坐标（x，y）是二元一次方程5x﹣6y＝33的解，则点P的位置在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.（2024·西藏）将正比例函数y＝2x的图象向上平移3个单位长度后，得到函数图象的解析式为 ．
4.（2024·镇江）已知点A（1，y1），B（2，y2）在一次函数y＝3x+1的图象上，则y1　 y2．（用“＜”“＝”或“＞”填空）
5.（2024·扬州）如图，已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象分别与x、y轴交于A，B两点．若OA＝2，OB＝1，则关于x的方程kx+b＝0的解为　 ．
第5题图 第6题图
6.（2024·济南）某公司生产了A，B两款新能源电动汽车．如图，l1，l2分别表示A，B款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量y（kW·h）与汽车行驶路程x（km）的关系．当两款新能源电动汽车的行驶路程都是300 km时，A款新能源电动汽车电池的剩余电量比B款新能源电动汽车电池的剩余电量多　 kW·h．
7.（2024·德州）某校开设棋类社团，购买了五子棋和象棋．五子棋比象棋的单价少8元，用1000元购买的五子棋数量和用1200元购买的象棋数量相等．
（1）两种棋的单价分别是多少？
（2）学校准备再次购买五子棋和象棋共30副，根据学生报名情况，购买五子棋数量不超过象棋数量的3倍．问：购买两种棋各多少副时费用最低？最低费用是多少？
专项四 反比例函数
考点例析
例1 （2024·徐州）若点A（﹣3，a），B（1，b），C（2，c）都在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系为　 ．
分析：根据反比例函数的图象和性质，k＝﹣4＜0，则函数图象在第二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，判断A，B，C三点的位置，进而判断a，b，c的大小关系；或将A，B，C三点的横坐标代入解析式求出对应纵坐标，即a，b，c的值，进而判断a，b，c的大小关系．
归纳：反比例函数的图象不是连续的曲线，其增减性也不是连续的，函数值在每个象限内呈现相同的增减性，所以反比例函数的增减性仅限于在同一象限内．
归纳：实际问题的函数图象多为分段函数，对其分析时，要先确定图象横、纵坐标表示的意义，其次关注以下信息：①起点、终点：注意自变量及函数的取值范围；②特殊点（交点或拐点）：函数的增减性发生变化的点；③与坐标轴的交点．
例2 （2024·黑龙江）如图1，双曲线（x＞0）经过A，B两点，连接OA，AB，过点B作BD⊥
y轴，垂足为D，BD交OA于点E，且E为AO的中点，则△AEB的面积是（　　）
A．4.5 B．3.5 C．3 D．2.5
图1 图2
分析：如图2，过点A作AM⊥y轴，垂足为M，连接OB，则S△AOM＝S△OBD＝，所以S四边形AMDE＝S△OBE，由E为AO的中点，得S△AEB＝S△OBE＝S四边形AMDE．易知DE为△OAM的中位线，据此可求出四边形AMDE的面积，进而得解．
跟踪训练
1.（2024·广西）已知点M（x1，y1），N（x2，y2）在反比例函数的图象上，若x1＜0＜x2，则有（　　）
A．y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1 C．y1＜y2＜0 D．0＜y1＜y2
2.（2024·连云港）杠杆平衡时，“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．已知阻力和阻力臂分别为1600 N和0.5 m，动力为F（N），动力臂为l（m），则动力F关于动力臂l的函数解析式为　 ．
3.（2024·齐齐哈尔）如图，反比例函数（x＜0）的图象经过平行四边形ABCO的顶点A，OC在x轴上．若点B（﹣1，3），S ABCO＝3，则实数k的值为　 ．
第3题图 第4题图
4.（2024·山西）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度v（m/s）是载重后总质量m（kg）的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量m＝60 kg时，它的最快移动速度v＝6 m/s；当其载重后总质量m＝90 kg时，它的最快移动速度v＝　 m/s．
5.（2024·西藏）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数（a≠0）的图象交于
A（﹣3，1），B（﹣1，n）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）请直接写出满足的x的取值范围．
参考答案
专项一 平面直角坐标系
例1 四 例2 （3，4）
1．A 2．C 3．C 4．D
专项二 函数及其图象
例1 x≥3 例2 D
1．A 2．C 3．x＞﹣3且x≠﹣2
专项三 一次函数
例1 A
例2 （1）点（2，1）代入y＝﹣kx+3，得﹣2k+3＝1，解得k＝1．
将点（2，1）代入y＝x+b，得2+b＝1，解得b＝﹣1．
（2）m≥1．
例3 （1）70 300
（2）设线段EF所在直线的函数解析式为y＝kx+b．
由图可知点E，F的坐标分别为，（4，180），将其代入y＝kx+b，得解得
所以线段EF所在直线的函数解析式为y＝120x﹣300．
（3）h或h． 解析：由（1）知，A，C两地的距离为300 km，所以乙车行驶的速度为＝50（km/h）．50×4＝200（km），所以B，C两地的距离为200 km．所以A，B两地的距离为300﹣200＝100（km）．
设两车出发x h，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍．分两种情况：
甲在A，B之间时：200﹣50x＝3（100﹣70x），解得．
甲在B，C之间时：200﹣50x＝3（70x﹣100），解得．
综上，两车出发h或h时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍．
1．B 2．D 3．y＝2x+3 4．＜ 5．x＝﹣2 6．12
7．解：（1）设象棋的单价为x元，则五子棋的单价为（x﹣8）元．
由题意，得．解得x＝48．
经检验，x＝48是原分式方程的解．
所以x﹣8＝40．
答：象棋的单价为48元，五子棋的单价为40元．
（2）设购买五子棋a副，则购买象棋（30﹣a）副，总费用为w元．
由题意，得w＝40a+48（30﹣a）＝﹣8a+1440．
因为﹣8＜0，所以w随a的增大而减小．
因为购买五子棋数量不超过象棋数量的3倍，所以a≤3（30﹣a），解得a≤22.5．
所以当a＝22时，w取得最小值，此时w＝1264，30﹣a＝8．
答：当购买五子棋22副，象棋8副时费用最低，最低费用为1264元．
专项四 反比例函数
例1 b＜c＜a 例2 A
1．A 2． 3．﹣6 4．4
5．解：（1）将点A（﹣3，1）代入，得a＝﹣3，所以反比例函数的解析式为．
在中，令x＝﹣1，得n＝3，所以B（﹣1，3）．
将点A（﹣3，1），B（﹣1，3）代入y＝kx+b，得解得
所以一次函数的解析式为y＝x+4．
（2）﹣3＜x＜﹣1或x＞0．
第5题图