第四讲 二次函数 专项练习（含答案）2026年中考数学一轮专题复习

第四讲 函数（二）
专项一 二次函数的图象和性质
考点例析
例1 （2024·凉山州）抛物线y=（x-1）2+c经过（-2，y1），（0，y2），三点，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（ ）
A. y1>y2>y3 B. y2>y3>y1 C. y3>y1>y2 D. y1>y3>y2
分析：由y=（x-1）2+c可知抛物线开口向上，对称轴为x=1，该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小.因为1-（-2）=3，1-0=1，-1=，1<<3，所以点（0，y2）离对称轴最近，点（-2，y1）离对称轴最远.所以y1>y3>y2.
归纳：抛物线上点的纵坐标比较大小的常用方法有以下三种:①已知抛物线的解析式及相应点的横坐标，可先求出相应点的纵坐标，然后比较大小；②利用对称性把各点转化到对称轴的同侧，再利用二次函数的增减性比较大小；③利用“开口向上，抛物线上的点距离对称轴越近，点的纵坐标越小；开口向下，抛物线上的点距离对称轴越近，点的纵坐标越大”也可以比较大小.
例2 （2024·广安）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象与x轴交于点A，对称轴是x=-，有以下结论：①abc<0；②若点（-1，y1）和点（2，y2）都在抛物线上，则y1A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
分析：由图可知，二次函数开口向下，与y轴正半轴交于一点，所以a<0，c>0.因为-<0，所以b<0.所以abc>0；因为对称轴是x=-，点（-1，y1）和点（2，y2）都在抛物线上，而--（-1）=-+1=<2-=2，所以y1>y2；当x=m时，y=am2+bm+c，当x=-时，函数取最大值a2-b+c，所以对于任意实数m有am2+bm+c≤a2-b+c，所以am2+bm≤a2-b；因为-=-，所以b=a.当x=-时，y=0，所以a-b+c=0.所以9a-6b+4c=0，即3a+4c=0.
归纳：几种常见代数式的判断
①2a±b -与±1比较
②a±b+c 令x=±1，看纵坐标
③4a±2b+c 令x=±2，看纵坐标
④9a±3b+c 令x=±3，看纵坐标
⑤3a+c，3b-2c等关于a，c或b，c的代数式 一般由②③④式与①式结合判断
跟踪训练
1. （2024·广州）函数y1=ax2+bx+c与y2=的图象如图所示，当y1，y2均随着x的增大而减小时，x的取值范围是（ ）
A. x<-1 B. -11
第1题图 第2题图 第4题图
2. （2024·贵州）如图，二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是-3，顶点坐标为（-1，4），则下列说法正确的是（ ）
A. 二次函数图象的对称轴是x=1 B. 二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2
C. 当x<-1时，y随x的增大而减小 D. 二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3
3. （2024·泸州）已知二次函数y=ax2+（2a-3）x+a-1（x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为（ ）
A. 1≤a< B. 04. （2024·西藏）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴相交于点A（-3，0），B（1，0），有下列结论：①abc<0；②3b+2c>0；③对任意实数m，am2+bm≥a-b均成立；④若点（-4，y1），在抛物线上，则y1＜y2.其中结论正确的有（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5. （2024·眉山）定义运算：ab=（a+2b）（a-b），例如43=（4+2×3）（4-3），则函数y=（x+1）2的最小值为________.
6. （2024·北京）在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2-2a2x（a≠0）.
（1）当a=1时，求抛物线的顶点坐标；
（2）已知M（x1，y1）和N（x2，y2）是抛物线上的两点.若对于x1=3a，3≤x2≤4，都有y1专项二 确定二次函数的解析式
考点例析
例 （2024·陕西）已知一个二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表：
x … -4 -2 0 3 5 …
y … -24 -8 0 -3 -15 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
A. 图象的开口向上 B. 当x>0时，y随x的增大而增大
C. 图象经过第二、三、四象限 D. 图象的对称轴是x=1
分析：将（-2，-8），（0，0），（3，-3）代入y=ax2+bx+c，得解得所以二次函数的解析式为y=-x2+2x=-（x-1）2+1.因为a=-1<0，所以图象的开口向下，对称轴是x=1；当01时，y随x的增大而减小；因为顶点坐标为（1，1）且经过原点，图象的开口向下，所以图象经过第一、三、四象限.
归纳：
已知条件 可设解析式
图象上任意三点（或任意三组对应值） y=ax2+bx+c（一般式）
顶点坐标（h，k） y=a（x-h）2+k（顶点式）
抛物线与x轴的两个交点（x1，0），（x2，0） y=a（x-x1）（x-x2）（交点式）
跟踪训练
1. （2024·辽宁）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A，B，点B的坐标为（3，0），若点C（2，3）在抛物线上，则AB的长为________.
第1题图
2. （2024·苏州）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点A（0，m），B（1，-m），C（2，n），D（3，-m），其中m，n为常数，则的值为________.
专项三 二次函数图象的平移
考点例析
例 （2024·滨州）将抛物线y=-x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为________.
分析：利用二次函数图象的平移规律：左加右减，上加下减，得出平移后抛物线的解析式，从而得到顶点坐标.
归纳：抛物线在平移变换过程中，其位置发生了改变，抛物线上所有点皆作相应的同步变化，但其形状和开口方向不变，即a不变.与抛物线有关的平移变换问题，通常都要将二次函数化成“顶点式”，这样结合抛物线的平移规律分析即可.
跟踪训练
1. （2024·包头）将抛物线y=x2+2x向下平移2个单位长度后，所得新抛物线的顶点式为（ ）
A. y=（x+1）2-3 B. y=（x+1）2-2 C. y=（x-1）2-3 D. y=（x-1）2-2
2. （2024·内江）已知二次函数y=x2-2x+1的图象向左平移两个单位长度得到抛物线C，点P（2，y1），Q（3，y2）在抛物线C上，则y1________y2.（填“>”或“<”）
3. （2024·牡丹江）将抛物线y=ax2+bx+3向下平移5个单位长度后，经过点（-2，4），则6a-3b-7=________.
专项四 二次函数与一元二次方程的关系
考点例析
例 （2024·宁夏）若二次函数y=2x2-x+m的图象与x轴有交点，则m的取值范围是________.
分析：因为二次函数y=2x2-x+m的图象与x轴有交点，所以Δ=（-1）2-4×2m≥0，解得m≤.
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1. （2024·泰安）如图所示是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，该函数图象的对称轴是x=1，图象与y轴交点的纵坐标是2.有下列结论：①2a+b=0；②方程ax2+bx+c=0一定有一个根在-2和-1之间；③方程ax2+bx+c-=0一定有两个不相等的实数根；④b-a<2.其中正确的结论有（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
第1题图
2. （2024·长春）若抛物线y=x2-x+c（c是常数）与x轴没有交点，则c的取值范围是________.
专项五 二次函数的应用
考点例析
例 （2024·广西）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度OP是 m，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5 m，高度是4 m.若实心球落地点为M，则OM=________m.
分析：以点O为坐标原点，OM为x轴正半轴，OP为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，由题意，设抛物线的解析式为y=a（x-5）2+4.将点P代入，得25a+4=，解得a=-，所以抛物线的解析式为y=-（x-5）2+4.当y=0时，-（x-5）2+4=0，解得x1=-（舍去），x2=.所以此次实心球被推出的水平距离OM为 m.
归纳：构建二次函数模型解决实际问题的一般步骤：（1）审题，分析问题中的变量和常量；（2）建立二次函数模型表示它们之间的关系；（3）充分结合已知条件，利用函数解析式或图象得出相应问题的答案，或把二次函数解析式用配方法化为顶点式，确定二次函数的最大（小）值；（4）结合自变量的取值范围和问题的实际意义，检验结果的合理性.
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1. （2024·天津）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h=30t-5t2（0≤t≤6）.有下列结论：①小球从抛出到落地需要6 s；②小球运动中的高度可以是30 m；③小球运动2 s时的高度小于运动5 s时的高度.其中正确结论的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2. （2024·自贡）九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地.地上两段围墙AB⊥CD于点O（如图），其中AB上的EO段围墙空缺.同学们测得AE=6.6 m，OE=1.4 m，OB=6 m，OC=5 m，OD=3 m.班长买来可切断的围栏16 m，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是________m2.
第2题图
3. （2024·广东）广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美.某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外.若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨.市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨.该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值.（题中“元”为人民币）
参考答案
专项一 二次函数的图象和性质
例1 D 例2 B
1. D 2. D 3. A 4. B 5. -9
6. 解：（1）当a=1时，y=ax2-2a2x=x2-2x=（x-1）2-1，所以抛物线的顶点坐标为（1，-1）.
（2）抛物线的对称轴为x=-=a，所以点M（3a，y1）关于对称轴的对称点为（-a，y1）.
分两种情况：当a>0时，如图①.因为y1又a>0，所以0当a<0时，如图②，因为y14，解得a<-4.
又a<0，所以a<-4.
综上，当0① ②
第6题图
专项二 确定二次函数的解析式
例 D
1. 4 2. -
专项三 二次函数图象的平移
例 （1，2）
1. A 2. < 3. 2
专项四 二次函数与一元二次方程的关系
例 m≤
1. B 2. c>
专项五 二次函数的应用
例
1. C
2. 46.4 解析：设矩形在射线OA上的一段长为x m.当x≤8时，S=x·=-x2+9.8=-（x-9.8）2+48.02；当x=8时，S=46.4；当x>8时，S=x·=-x2+13.8x=-（x-6.9）2+47.61.由于当x>8时，S均小于46.4.所以最大面积为46.4 m2.
3. 解：设每吨降价x万元，每天的利润为w万元.
由题意，得w=（5-x-2）（100+50x）=-50x2+50x+300=-50+312.5.
因为-50<0，所以当x=时，w有最大值，最大值为312.5.所以5-x=4.5.
答：当定价为每吨4.5万元时，利润最大，最大值为312.5万元.