第五讲 三角形（一） 2026年中考数学一轮专题复习（含答案）

第五讲 三角形（一）
专项一 点、线、面、角
考点例析
例 （2023·乐山）如图，点O在直线AB上，OD是∠BOC的平分线.若∠AOC=140°，
则∠BOD的度数为_______________.
解析：利用邻补角定义求得∠BOC的度数，再根据角平分线的定义即可求得结果.
跟踪训练
1. （2024·兰州）若∠A=80°，则∠A的补角度数是（　　）
A. 100° B. 80° C. 40° D. 10°
2. （2024·广西）如图，2时整，钟表的时针和分针所成锐角的度数为（　　）
A. 20° B. 40° C. 60° D. 80°
第2题图 第4题图
3. 已知线段AB=30，直线AB上有一点C，且AC∶BC=1∶4，D为AC的中点，则BD的长为（　　）
A. 24 B. 35 C. 24或26 D. 27或35
4. （2024·吉林）如图，从长春站去往胜利公园，与其他道路相比，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是
_______________________.
专项二 相交线与平行线
考点例析
例 （2024·山西）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行.若斜面的坡角α=25°，则摩擦力F2与重力G方向的夹角β的度数为（ ）
A. 155° B. 125° C. 115° D. 65°
解析：由题意及三角形的内角和定理得到∠α+∠1=90°，求得∠1的度数，利用对顶角相等得到∠2，根据平行线的性质即可得到β的度数．
跟踪训练
1. （2024·日照）如图，直线AB，CD相交于点O.若∠1=40°，∠2=120°，则∠COM的度数为（　　）
A. 70° B. 80° C. 90° D. 100°
第1题图 第2题图 第3题图
2. （2024·兰州）如图，小明在地图上量得∠1=∠2，由此判断幸福大街与平安大街互相平行，他判断的依据是（　　）
A. 同位角相等，两直线平行 B. 内错角相等，两直线平行
C. 同旁内角互补，两直线平行 D. 对顶角相等
3. （2024·海南）如图，直线m∥n，把一块含45°角的直角三角板ABC按图中所示的方式放置，点B在直线n上，∠A=90°.若∠1=25°，则∠2的度数是（　　）
A. 70° B. 65° C. 25° D. 20°
4. （2024·德州）已知∠AOB，P为OA上一点，用尺规作图，过点P作OB的平行线，下列作图痕迹不正确的是（　　）
A B C D
专项三 线段的垂直平分线与角的平分线
考点例析
例1 （2024·绵阳）如图1，在△ABC中，AB=5，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E，△ABD的面积为5，则DE的长为（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 5
解析：如图1，过点D作DF⊥AB于点F，根据角的平分线的性质，得到DE=DF，由△ABD的面积为5，AB=5，可得DF=2，进而求得DE的长.
归纳：遇角的平分线，常过平分线上的点向角的两边作垂线，得到垂线段相等.
例2 （2024·枣庄）如图2，已知∠MAN，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别与AM，AN相交于点B，C；分别以点B，C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧在∠MAN内部相交于点P，作射线AP.分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点D，E，作直线DE分别与AB，AP相交于点F，Q.若AB=4，∠PQE=67.5°，则点F到AN的距离为_____________.
解析：如图2，过点F作FH⊥AC于点H，由作图可知∠BAP=∠CAP，DE⊥AB，AF=BF=AB=2，再证明∠FAH=45°，结合勾股定理可得答案.
归纳：有线段垂直平分线就有等腰三角形，这样不仅有两组相等的线段，还有两组相等的角和一组垂直关系.
跟踪训练
1. （2024·青海）如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PD=2，则点P到OA的距离是（　　）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
第1题图 第2题图 第3题图
2. （2024·天津）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=40°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点E，交AC于点F；再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在∠BAC的内部相交于点P；画射线AP，与BC相交于点D，则∠ADC的度数为（　　）
A. 60° B. 65° C. 70° D. 75°
3. （2024·长沙）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=，AC=2，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧分别交于点M和N，作直线MN分别交AB，BC于点D，E，连接CD，AE.
（1）求CD的长；
（2）求△ACE的周长.
专项四 三角形
考点例析
例 （2024·凉山州）如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，∠BCD=30°，∠ACB=80°，AE是∠CAB的平分线 ，则∠AEB的度数是______________.
解析：由CD是边AB上的高，∠BCD=30°，∠ACB=80°，可求得∠CBA，∠CAB的度数.利用角的平分线的定义，可得∠EAB的度数，根据三角形内角和定理，得∠AEB的度数.
跟踪训练
1.（2024·淮安）用一根小木棒与两根长度分别为3 cm，5 cm的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是（ ）
A. 9 cm B. 7 cm C. 2 cm D. 1 cm
2. （2024·陕西）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，E是BC的中点，连接AE，则图中的直角三角形有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

第2题图 第3题图 第4题图
3.（2024·宁夏）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3 cm，BC=2 cm，点A在直线l1上，点B，C在直线l2上，l1∥l2，动点P从点A出发沿直线l1以1 cm/s的速度向右运动，设运动时间为t s.下列结论：①当t=2时，四边形ABCP的周长是10 cm；②当t=4时，点P到直线l2的距离等于5 cm；③在点P运动的过程中，△PBC的面积随着t的增大而增大；④若D，E分别是线段PB，PC的中点，在点P运动过程中，线段DE的长度不变.
其中正确的是（　　）
A. ①④ B. ②③ C. ①③ D. ②④
4.（2024·宿迁）如图，在△ABC中，∠B=50°，∠C=30°，AD是BC边上的高，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交AC于点E，再分别以点B，E为圆心，大于BE的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部交于点F，作射线AF，则∠DAF=______________°.
专项五 全等三角形
考点例析
例1 （2024·广州）如图1，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=6，D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，AE=CF，则四边形AEDF的面积为（　　）
A. 18 B. C. 9 D.
解析：如图1 ，由等腰直角三角形的性质易得AD=BD=CD，∠BAD=∠C=45°，根据SAS可证得△ADE≌△CDF，易得S△ADE=S△CDF，由此可得S四边形AEDF=S△ACD，又由S△ACD=S△ABC即可求得结果.
例2 （2024·淄博）如图2，已知AB=CD，点E，F在线段BD上，且AF=CE.
请从①BF=DE，②∠BAF=∠DCE，③AF=CF中，选择一个合适的选项作为已知条件，使得△ABF≌△CDE.
你添加的条件是：_______________（只填写一个序号）.
添加条件后，请证明AE∥CF.
解析：若选择①BF=DE，可依据SSS判定△ABF≌△CDE，再由全等三角形的性质得到∠B=∠D，再证△ABE≌△CDF，得到∠AEB=∠CFD，进而根据平行线的判定得出AE∥CF；若选择②∠BAF=∠DCE，可依据SAS判定△ABF≌△CDE，同①证得AE∥CF；若选择③AF=CF，不能判定△ABF≌△CDE.
跟踪训练
1.（2024·济南）如图，已知△ABC≌△DEC，∠A=60°，∠B=40°，则∠DCE的度数为（　　）
A. 40° B. 60° C. 80° D. 100°
第1题图 第2题图 第3题图
2.（2024·临夏州）如图，在△ABC中，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（4，1），点C的坐标为（3，4），点D在第一象限（不与点C重合），且△ABD与△ABC全等，点D的坐标是_____________.
3.（2024·南充）如图，在△ABC中，D为BC边的中点，过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E.
（1）求证：△BDE≌△CDA；
（2）若AD⊥BC，求证：BA=BE.
专项六 等腰三角形
考点例析
例 （2024·内江）如图，在△ABC中，∠DCE=40°，AE=AC，BC=BD，则∠ACB的度数为______________.
解析：由题意，设∠AEC=x，∠BCD=y，则∠ACE=x，∠BDC=y.在△CDE中，已知∠DCE=40°，可得x+y=140°.由∠ACB=∠ACE+∠BCD-∠DCE求得结果.
跟踪训练
1.（2024·兰州）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=130°，DA⊥AC，则∠ADB的度数是（　　）
A. 100° B. 115° C. 130° D. 145°
第1题图 第2题图
2.（2024·贵州）如图，在△ABC中，以点A为圆心，线段AB的长为半径画弧，交BC于点D，连接AD.若AB=5，则AD的长为　 　 .
3.（2024·镇江）等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为　　　　 　 .
4.（2024·常州）将边长均为6 cm的等边三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，使点E，B分别在边AC，DF上（端点除外），边AB，EF相交于点G，边BC，DE相交于点H.
（1）如图①，当E是边AC的中点时，两张纸片重叠部分的形状是　 　；
（2）如图②，若EF∥BC，求两张纸片重叠部分面积的最大值；
（3）如图③，当AE>EC，FB>BD时，AE与FB有怎样的数量关系？试说明理由.
① ② ③
第4题图
参考答案
专项一 点、线、面、角
例 20°
1. A 2. C 3. D 4. 两点之间，线段最短
专项二 相交线与平行线
例 C
1. B 2. B 3. D 4. B
专项三 线段的垂直平分线与角的平分线
例1 B 例2
1. C 2. B
3. 解：（1）由作图过程可知，直线MN为线段AB的垂直平分线，所以D为AB的中点.所以CD=AB=.
（2）在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC===4.
因为直线MN为线段AB的垂直平分线，所以AE=BE.所以△ACE的周长为AC+CE+EA=AC+CE+EB=AC+BC=2+4=6.
专项四 三角形
例 B
1. B 2. C 3. A 4. 10
专项五 全等三角形
例1 C 例2 ①（或②） 证明略.
1. C 2. （1，4）
3. 证明：（1）因为D为BC的中点，所以BD=CD.因为BE∥AC，所以∠EBD=∠C，∠E=∠CAD.
在△BDE和△CDA中，∠EBD=∠C，∠E=∠CAD，BD=CD，所以△BDE≌△CDA（AAS）.
（2）因为D为BC的中点，AD⊥BC，所以直线AD为线段BC的垂直平分线.所以BA=CA.
由（1）可知△BDE≌△CDA，所以BE=CA.所以BA=BE.
专项六 等腰三角形
例 100°
1. B 2. 5 3. 6
4. 解：（1）菱形
解析：如图①，连接BE，CD.因为△ABC，△DEF都是等边三角形，所以∠ECB=∠EDB=60°.所以点B，D，C，E四点共圆.因为E是AC的中点，所以∠BEC=90°.所以BC为过B，D，C，E的圆的直径.又DE=BC=6 cm，所以DE为过点B，D，C，E的圆的直径.所以点H为圆心.所以EH=BH.所以∠HBE=∠HEB=30°.所以∠GEB=∠EBH=∠GBE=∠BEH=30°.所以BG∥EH，BH∥EG.所以四边形BHEG是平行四边形.又EH=BH，所以四边形BHEG是菱形.
① ② ③
第4题图
（2）因为△ABC，△DEF都是等边三角形，所以∠ABC=∠DEF=∠C=60°，AC=BC=6 cm.
因为EF∥BC，所以∠CHE=∠DEF=60°.所以∠ABC=∠CHE.所以BG∥EH.所以四边形BHEG是平行四边形.
因为∠C=∠CHE=60°，所以△EHC是等边三角形.
如图②，过点E作ET⊥HC于点T.
设EH=CH=2x cm，则BH=（6-2x）cm，HT=CH=x cm，所以ET==x cm.
所以S重叠=S四边形BHEG=BH·ET=x（6-2x）==.
因为<0，所以当x=时，S重叠有最大值，最大值为 cm2.
（3）AE=BF.
理由：如图③，过点B作BM⊥AC于点M，过点E作EN⊥DF于点N，连接BE.
因为△ABC，△DEF都是边长为6 cm的等边三角形，所以DF= EF=AC=AB=6 cm.所以AM=FN=AC=3 cm.
所以Rt△FEN≌Rt△ABM.所以EN=BM.
又BE=BE，所以Rt△NBE≌Rt△MEB（HL）.所以NB=ME.所以FN+BN=AM+ME，即AE=BF.