第17章 一元二次方程及其应用 自我评估（含答案）2025-2026学年数学沪科版八年级下册
文档属性
| 名称 | 第17章 一元二次方程及其应用 自我评估（含答案）2025-2026学年数学沪科版八年级下册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 395.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-16 00:00:00 | ||
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文档简介
第17章 一元二次方程及其应用自我评估
（满分： 150 分，考试时间 ：120 分钟）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．下列方程为一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．解方程①；②；③较简便的方法是（ ）
A．①直接开平方法，②因式分解法，③配方法
B．①因式分解法，②公式法，③直接开平方法
C．①公式法，②直接开平方法，③因式分解法
D．①直接开平方法，②公式法，③因式分解法
3．用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则的值为（ ）
A．3 B． C．或1 D．3或
5．已知关于x的方程(k－1)x2－x＋＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥－2 B．k≥－
C．k≥－且k≠1 D．以上都不对
6．方程22较小的根为，方程22较大的根为，则的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
7．新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，我国新能源汽车近几年销售量全球第一，2021年新能源车销量为万辆，销量逐年增加，到2023年销量为万辆，求这款新能源汽车的年平均增长率是多少？设年平均增长率为，则根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知m，n是关于x的一元二次方程的两个解，若，则a的值为（ ）
A．－10 B．4 C．－4 D．10
9．已知等腰三角形的一边长为3，另两边的长是关于x的方程x2－4x+k=0的两个根，则k的值为（ ）
A．3 B．4 C．3或4 D．7
10．已知a，b是方程x2+5x+3=0的两根，则代数式（3+8a+a2）（3+8b+b2）的值是（ ）
A．－18 B．18 C．－27 D．27
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．如果22＋1与42－2－5互为相反数，则的值为 ．
12．设a，b是方程的两个实数根，则的值为 ．
13．定义新运算：a※b=a2－ab+b，例如2※1=22－2×1+1=3，则方程x※3=1的根为 ．
14．如图1，B是AC上一点，且BC＝3 cm，AB＝4 cm，射线BD⊥AC，垂足为B，动点M从A出发以2 cm/s的速度沿着AC向点C运动，同时动点N从B出发以3 cm/s的速度沿着射线BD向下运动，连接MN．当△BMN的面积为 cm2，两动点运动了t（s），则t的值为 ．
图1
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．用适当的方法解下列方程：
（1）； （2） ．
16．已知关于x的方程．
（1）求证：无论k取何值，方程总有实数根；
（2）若方程的两个实数根为，且，求该方程的根．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）)
17．3月12日，某中学开展“为校园增添一点绿色”为主题的植树活动，组织七年级、八年级、九年级分别在12日、13日、14日进行植树活动，七年级学生在12日种植25棵树苗，学生们在种植过程中听老师讲解植树绿化的意义，热情高涨，每天植树的增长率相同，九年级学生在14日种植49棵树苗．
（1）求每天植树的平均增长率；
（2）求此次活动三个年级种植树苗的总棵数．
18．嘉淇准备完成题目：解方程：x2+□x－8=0，发现系数“□”印刷不清楚．
（1）若猜测“□”为2，请解方程：x2+2x－8=0；
（2）该方程有一个根是x=－1，请通过计算说明原题中“□”是多少．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．如下表所示：
序号 方程 方程的根
1 x2+2x－3＝0 ＝1 ＝－3
2 x2+4x－12＝0 ＝2 ＝－6
3 x2+6x－27＝0 ＝ ＝
… … … …
方程1、方程2、方程3…是按照一定规律排列的一列方程，解方程3，并将它的根填在表中横线处．
（1）请写出这列方程中第m个方程，并写出它的根；
（2）利用探究的规律求方程x2+20x－300＝0的根．
20．杭州亚运会期间，某网络经销商销售以杭州亚运会为主题的文化衫，平均每天可售出件，每件盈利元．为了尽快减少库存，增加盈利，该经销商采取了降价措施，经过一段时间的销售发现，销售单价每降低1元，平均每天可多售出3件．
（1）若降价x元后，则平均每天的销售数量为 件（用含x的代数式表示）；
（2）若该经销商每天获得利润元，则每件商品应降价多少元？
六、（本题满分12分）
21．如图2，某园艺公司准备围建一个长方形花圃，其中一边靠墙（墙的最大可用长度为14米），中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．若所用的篱笆长为22米，花圃的面积刚好为45平方米，则此时花圃的AB边长为多少？
图2
七、（本题满分12分）
22．已知关于x的一元二次方程．
（1）已知x=2是方程的一个根，求m的值；
（2）以这个方程的两个实数根作为△中AB和AC（AB八、（本题满分14分）
23．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
给定一个长方形，如果存在另一个长方形，它的周长和面积分别是已知长方形的周长和面积的一半，那么称这个长方形是给定长方形的“减半”长方形．如图3，长方形A1B1C1D1是长方形ABCD的“减半”长方形（“减半”长方形的长大于宽）． 图3
任务：
当一个长方形的长为8，宽为1时，它是否存在“减半”长方形？若存在，请求出“减半”长方形的长和宽；若不存在，请说明理由．
第17章 一元二次方程及其应用自我评估
一、1．C 2．D 3．B 4．A 5．B 6．B 7．A 8．C 9．C 10．D
二、11．1或 12．2030 13．x1=1，x2=2 14．或或
三、15．（1），；（2），．
16．（1）证明：由题可知，该方程为一元二次方程，因为，所以无论k取何值，方程总有实数根．
（2）解：因为是方程的两个实数根，所以．因为，所以，
所以原方程为，即，解得．
所以方程的这两个实数根为．
四、17．解：（1）设每天植树的平均增长率为x．
根据题意，得25（1+x）2=49，解得x1=0.4=40%，x2=－2.4（不符合题意，舍去）．
所以每天植树的平均增长率为40%．
（2）25+25×（1+40%）+49=25+25×1.4+49=25+35+49=109（棵）.
所以此次活动三个年级种植树苗的总棵数为109棵．
18．解：（1）移项，得x2+2x=8．配方，得x2+2x+1=8+1，即（x+1）2=9．两边开平方，得x+1=±3．解得x1=－4，x2=2．
（2）设一次项系数“□”为b．将x=－1代入x2+bx－8=0，得（－1）2－b－8=0，解得b=－7．所以原题中“□”是－7.
五、19．解：横线处依次为3，－9．
（1）第m个方程为x2+2mx－3m2=0，方程的根为=m，=－3m．
（2）因为x2+20x－300=0可化为x2+2×10x－3×102=0，所以方程的根是=10，=－30．
20．解：（1）
（2）降价元后，每件衬衫的利润为元，每天的销售数量为件．
根据题意，得，即，解得，．
因为要尽快减少库存，增加盈利，所以x=20，即每件商品应降价20元．
六、21．解：设边的长为米，则花圃BC边的长为米．
根据题意，得，解得，．
因为，所以．
所以不合题意，舍去．所以边的长为米．
七、22．解：（1）因为是方程的一个根，所以，解得，．
所以m的值为0或1．
（2）因为=[－（2m+3）]2－4（m2+3m+2）=1，所以所以x1=m+2，x2=m+1．
因为AB和AC（AB＜AC）的长是这个方程的两个实数根，所以AC=m+2，AB=m+1．
因为当BC=时，△ABC是等腰三角形，所以当AB=BC时，有m+1=，此时m=－1；当AC=BC时，有m+2=，此时m=－2．
综上所述，当m=－1或－2时，△ABC是等腰三角形．
八、23．解：存在．设“减半”长方形的长为x，则宽为．根据题意，得x=×8×1．
整理，得x2－x+4=0，解得x1=，x2=．
当x=时，=，符合题意；当x=时，=＞，不合题意，舍去．
所以长为8，宽为1的长方形存在“减半”长方形，且“减半”长方形的长为，宽为．
（满分： 150 分，考试时间 ：120 分钟）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．下列方程为一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．解方程①；②；③较简便的方法是（ ）
A．①直接开平方法，②因式分解法，③配方法
B．①因式分解法，②公式法，③直接开平方法
C．①公式法，②直接开平方法，③因式分解法
D．①直接开平方法，②公式法，③因式分解法
3．用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则的值为（ ）
A．3 B． C．或1 D．3或
5．已知关于x的方程(k－1)x2－x＋＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥－2 B．k≥－
C．k≥－且k≠1 D．以上都不对
6．方程22较小的根为，方程22较大的根为，则的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
7．新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，我国新能源汽车近几年销售量全球第一，2021年新能源车销量为万辆，销量逐年增加，到2023年销量为万辆，求这款新能源汽车的年平均增长率是多少？设年平均增长率为，则根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知m，n是关于x的一元二次方程的两个解，若，则a的值为（ ）
A．－10 B．4 C．－4 D．10
9．已知等腰三角形的一边长为3，另两边的长是关于x的方程x2－4x+k=0的两个根，则k的值为（ ）
A．3 B．4 C．3或4 D．7
10．已知a，b是方程x2+5x+3=0的两根，则代数式（3+8a+a2）（3+8b+b2）的值是（ ）
A．－18 B．18 C．－27 D．27
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．如果22＋1与42－2－5互为相反数，则的值为 ．
12．设a，b是方程的两个实数根，则的值为 ．
13．定义新运算：a※b=a2－ab+b，例如2※1=22－2×1+1=3，则方程x※3=1的根为 ．
14．如图1，B是AC上一点，且BC＝3 cm，AB＝4 cm，射线BD⊥AC，垂足为B，动点M从A出发以2 cm/s的速度沿着AC向点C运动，同时动点N从B出发以3 cm/s的速度沿着射线BD向下运动，连接MN．当△BMN的面积为 cm2，两动点运动了t（s），则t的值为 ．
图1
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．用适当的方法解下列方程：
（1）； （2） ．
16．已知关于x的方程．
（1）求证：无论k取何值，方程总有实数根；
（2）若方程的两个实数根为，且，求该方程的根．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）)
17．3月12日，某中学开展“为校园增添一点绿色”为主题的植树活动，组织七年级、八年级、九年级分别在12日、13日、14日进行植树活动，七年级学生在12日种植25棵树苗，学生们在种植过程中听老师讲解植树绿化的意义，热情高涨，每天植树的增长率相同，九年级学生在14日种植49棵树苗．
（1）求每天植树的平均增长率；
（2）求此次活动三个年级种植树苗的总棵数．
18．嘉淇准备完成题目：解方程：x2+□x－8=0，发现系数“□”印刷不清楚．
（1）若猜测“□”为2，请解方程：x2+2x－8=0；
（2）该方程有一个根是x=－1，请通过计算说明原题中“□”是多少．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．如下表所示：
序号 方程 方程的根
1 x2+2x－3＝0 ＝1 ＝－3
2 x2+4x－12＝0 ＝2 ＝－6
3 x2+6x－27＝0 ＝ ＝
… … … …
方程1、方程2、方程3…是按照一定规律排列的一列方程，解方程3，并将它的根填在表中横线处．
（1）请写出这列方程中第m个方程，并写出它的根；
（2）利用探究的规律求方程x2+20x－300＝0的根．
20．杭州亚运会期间，某网络经销商销售以杭州亚运会为主题的文化衫，平均每天可售出件，每件盈利元．为了尽快减少库存，增加盈利，该经销商采取了降价措施，经过一段时间的销售发现，销售单价每降低1元，平均每天可多售出3件．
（1）若降价x元后，则平均每天的销售数量为 件（用含x的代数式表示）；
（2）若该经销商每天获得利润元，则每件商品应降价多少元？
六、（本题满分12分）
21．如图2，某园艺公司准备围建一个长方形花圃，其中一边靠墙（墙的最大可用长度为14米），中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．若所用的篱笆长为22米，花圃的面积刚好为45平方米，则此时花圃的AB边长为多少？
图2
七、（本题满分12分）
22．已知关于x的一元二次方程．
（1）已知x=2是方程的一个根，求m的值；
（2）以这个方程的两个实数根作为△中AB和AC（AB
23．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
给定一个长方形，如果存在另一个长方形，它的周长和面积分别是已知长方形的周长和面积的一半，那么称这个长方形是给定长方形的“减半”长方形．如图3，长方形A1B1C1D1是长方形ABCD的“减半”长方形（“减半”长方形的长大于宽）． 图3
任务：
当一个长方形的长为8，宽为1时，它是否存在“减半”长方形？若存在，请求出“减半”长方形的长和宽；若不存在，请说明理由．
第17章 一元二次方程及其应用自我评估
一、1．C 2．D 3．B 4．A 5．B 6．B 7．A 8．C 9．C 10．D
二、11．1或 12．2030 13．x1=1，x2=2 14．或或
三、15．（1），；（2），．
16．（1）证明：由题可知，该方程为一元二次方程，因为，所以无论k取何值，方程总有实数根．
（2）解：因为是方程的两个实数根，所以．因为，所以，
所以原方程为，即，解得．
所以方程的这两个实数根为．
四、17．解：（1）设每天植树的平均增长率为x．
根据题意，得25（1+x）2=49，解得x1=0.4=40%，x2=－2.4（不符合题意，舍去）．
所以每天植树的平均增长率为40%．
（2）25+25×（1+40%）+49=25+25×1.4+49=25+35+49=109（棵）.
所以此次活动三个年级种植树苗的总棵数为109棵．
18．解：（1）移项，得x2+2x=8．配方，得x2+2x+1=8+1，即（x+1）2=9．两边开平方，得x+1=±3．解得x1=－4，x2=2．
（2）设一次项系数“□”为b．将x=－1代入x2+bx－8=0，得（－1）2－b－8=0，解得b=－7．所以原题中“□”是－7.
五、19．解：横线处依次为3，－9．
（1）第m个方程为x2+2mx－3m2=0，方程的根为=m，=－3m．
（2）因为x2+20x－300=0可化为x2+2×10x－3×102=0，所以方程的根是=10，=－30．
20．解：（1）
（2）降价元后，每件衬衫的利润为元，每天的销售数量为件．
根据题意，得，即，解得，．
因为要尽快减少库存，增加盈利，所以x=20，即每件商品应降价20元．
六、21．解：设边的长为米，则花圃BC边的长为米．
根据题意，得，解得，．
因为，所以．
所以不合题意，舍去．所以边的长为米．
七、22．解：（1）因为是方程的一个根，所以，解得，．
所以m的值为0或1．
（2）因为=[－（2m+3）]2－4（m2+3m+2）=1，所以所以x1=m+2，x2=m+1．
因为AB和AC（AB＜AC）的长是这个方程的两个实数根，所以AC=m+2，AB=m+1．
因为当BC=时，△ABC是等腰三角形，所以当AB=BC时，有m+1=，此时m=－1；当AC=BC时，有m+2=，此时m=－2．
综上所述，当m=－1或－2时，△ABC是等腰三角形．
八、23．解：存在．设“减半”长方形的长为x，则宽为．根据题意，得x=×8×1．
整理，得x2－x+4=0，解得x1=，x2=．
当x=时，=，符合题意；当x=时，=＞，不合题意，舍去．
所以长为8，宽为1的长方形存在“减半”长方形，且“减半”长方形的长为，宽为．