第18章 勾股定理及其逆定理 自我评估（含答案）2025-2026学年数学沪科版八年级下册
文档属性
| 名称 | 第18章 勾股定理及其逆定理 自我评估（含答案）2025-2026学年数学沪科版八年级下册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 522.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-16 00:00:00 | ||
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文档简介
第18章 勾股定理及其逆定理自我评估
（满分为 150 分，考试时间 120 分钟）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．在直角三角形中，若勾长为3，股长为4，则弦长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．下列各组数不能组成直角三角形的是（ ）
A．，， B． C．，， D．，，
3．在平面直角坐标系中，点P的坐标为，则点P到原点的距离为（ ）
A．2 B． C． D．
4．如图1，是和的公共斜边，，，，则，之间的数量关系为（ ）
A． B． C． D．
图1 图2
5．已知一个等边三角形的边长为4，则它一边上的高为（ ）
A．2 B．3 C．2 D．4
6．已知△ABC的三个角∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，给出下列条件：①，°；②°，°；③；④2，，．其中能判定△ABC是直角三角形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A B C D
8．如图2，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7 m，顶端距离地面2.4 m．如果保持梯子底端位置不变，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2 m时，小巷的宽度为（ ）
A．0.7 m B．1.5 m C．2.2 m D．2.4 m
9．如图3，以长方形ABCD的顶点A为圆心，AD的长为半径画弧，交AB于点F；再以点C为圆心，CD的长为半径画弧，交AB于点E．若AD＝5，CD＝，则EF的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
图3 图4
10．如图4，，过点P作且，得；再过点作且，得；又过点作且，得，……，依此法继续作下去，得的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．在△ABC中，∠C=90°，AB＝13，AC＝5，则BC的长为 ．
12．图5所示是一种盛饮料的圆柱形玻璃杯，测得其内部底面半径为2.5 cm，高为12 cm，吸管放进杯里后，外面至少要露出4.6 cm，则吸管至少要 cm．
图5 图6 图7
13．如图6，ΔABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上， 于点D，则BD的长为 ．
14．把两个同样大小的含45°角的三角板按图6所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB＝，则CD的长为 ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．如图8，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，请按要求解答问题：
（1）画一个△ABC，使它的三边长分别为，，3；
（2）求（1）中所画的△ABC的面积．
图8
16．美宜佳超市为了让顾客感觉服务很温馨，在超市门口离地面一定高度的墙上D处，装有一个由传感器控制的迎宾门铃，人只要移动到该门口2.4米及2.4米以内时，门铃就会自动发出“欢迎光临美宜佳”的语音．如图9，一个身高1.6米的学生刚走到A处（学生头顶在B处），门铃恰好自动响起，此时测得迎宾门铃与地面的距离（CD）和到该生头顶的距离（BD）相等，请计算迎宾门铃距离地面的距离．
图9
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．如图10，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点C在第一象限，过点C作x轴的垂线，垂足为B，点C的坐标为（3，），AC=2．
（1）求AB，OC的长：
（2）请判断△OAC的形状，并说明理由．
图10
以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，类似地，还可得到下列勾股数组：5，12，13；7，24，25；…．
（1）对于勾股数组a，b，c，当a=11时，求b，c的值；
（2）用含n（n为正整数）的数学等式描述上述勾股数组的规律，并证明．
（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．图11－①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与中间小正方形的面积之和，即
ab×4+(b－a)2，从而得到等式c2=ab×4+(b－a)2，化简便可得结论a2+b2=c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在请用“双求法”解决下面两个问题：
（1）如图11－②，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AC=3，BC=4，求CD的长；
（2）如图11－③，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB=4，AC=5，BC=6，求BD的长．
① ② ③
图11
20．我们根据图形的移、拼、补可以简单直观地推理验证数学规律和公式，这种方法称之为“无字证明”，它比严谨的数学证明更为优雅与有条理．图12是用三块全等的直角三角形移、拼、补所形成的“无字证明”图形，请解答下列问题：
（1）此图可以用来证明学过的什么定理？请写出定理的内容；
（2）已知直角三角形直角边长分别为a，b，斜边长为c，图12－①、②的面积相等，请根据此图证明（1）中的定理．
① ②
图12
六、（本题满分12分）
21．如图13，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10 cm，AC=6 cm，动点P从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．
（1）如图13－①，当点P在∠BAC的平分线上时，求t的值；
（2）如图13－②，当△ABP为直角三角形时，求t的值．
① ②
图13
七、（本题满分12分）
22．沙尘暴是指强风将地面尘沙吹起使空气混浊，水平能见度很低的一种天气现象．如图14，某气象局监测到一个沙尘暴中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一城镇，且点C与A，B两点的距离分别为AC＝30 km，BC＝40 km，AB＝50 km，以沙尘暴中心为圆心周围25 km以内为受影响区域．
（1）请通过计算说明城镇C会受到沙尘暴影响的原因．
（2）若沙尘暴中心的移动速度为20 km/h，求沙尘暴影响该城镇的时间．
图14
八、（本题满分14分）
23．已知点A（0，4），B（7，0），C（7，4），连接AC，BC得到长方形AOBC，点D在边AC上，将边OA沿OD折叠，点A的对应点为A′，若点A′到长方形较长两对边的距离之比为1∶3，求点A′的坐标．
第18章 勾股定理及其逆定理自我评估
一、1．A 2．B 3．A 4．D 5．C 6．C 7．A 8．C 9．A 10．B
二、11．12 12．17.6 13． 14．－1
三、15．解：（1）如图1所示：
图1
因为，，BC=3，所以△ABC即为所求作．
（2）由图可知△ABC的面积为．
16．解：过点B作BE⊥DC于点E．
由题意，得BE=AC=2.4米，CE=AB=1.6米．
设CD=BD=x米，则DE=（x－1.6）米．
在Rt△DBE中，由勾股定理，得BD2=DE2+BE2，即x2=（x－1.6）2+2.42，解得x=2.6．
所以迎宾门铃距离地面2.6米．
四、17．解：（1）因为点C的坐标为（3，），BC⊥x轴，所以OB=3，BC=．
所以AB2=AC2－BC2=22－（）2=1，所以AB=1．
所以OC2=OB2+BC2=32+（）2=12，所以OC=2．
△OAC是直角三角形．理由如下：
由（1）知OB=3，AB=1，AC=2，OC2=12．
所以OA=OB+AB=4．
因为OA2=16，AC2+OC2=4+12=16，所以OA2=AC2+OC2．
所以△OAC是直角三角形．
18．解：（1）已知3组勾股数组的规律为32+42=52，52+122=132，72+242=252，由规律，得a2+b2=c2，c=b+1．
因为a=11，所以112+b2=（b+1）2，解得b=60．所以c=61．
（2）用含n（n为正整数）的数学等式描述上述勾股数组的规律为2n+1，2n（n+1），2n（n+1）+1．证明如下：
因为（2n+1）2=4n2+4n+1，[2n（n+1）]2=（2n2+2n）2=4n4+8n3+4n2，[2n（n+1）+1]2=[2n（n+1）]2+4n（n+1）+1=（4n4+8n3+4n2）+（4n2+4n+1），所以（2n+1）2+[2n（n+1）]2=[2n（n+1）+1]2．
所以第n组勾股数组是2n+1，2n（n+1），2n（n+1）+1．
五、19．解：（1）在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2=32+42=25，所以AB＝5．
由面积的两种算法，得×3×4＝×5×CD，解得CD= ．
（2）设BD=x．因为BC=6，所以CD=6－x．
在Rt△ABD中，AD2=AB2－BD2=42－x2=16－x2；
在Rt△ADC中，AD2=AC2－CD2=52－（6－x）2．
所以16－x2=52－（6－x）2，解得x＝．所以BD=．
20．解：（1）此图可以用来证明勾股定理，其内容为直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）图①的面积为S1，图②的面积为S2．
因为图①、②的面积相等，所以，所以a2+b2＝c2．
六、21．解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10 cm，AC=6 cm，所以BC2=AB2－AC2=102－62=64，所以BC=8 cm．由题意，得BP=2t，所以PC=BC－BP=8－2t．
如图2，过点P作PH⊥AB于点H．
图2
因为点P在∠BAC的平分线上，即AP平分∠BAC，PH⊥AB，PC⊥AC，所以PH=PC=（8－2t）cm．
因为S△ABC=S△ABP+S△ACP，所以×6×8=×10×（8－2t）+×6×（8－2t），解得t=．
（2）当△ABP为直角三角形时，分两种情况：
①当点P为直角顶点时，点P与点C重合，此时t=8÷2=4（s），
②如图3，当点A为直角顶点时，由题意，得BP=2t，则CP=BP－BC=2t－8．
图3
在Rt△ACP中，由勾股定理，得AP2=AC2+CP2=62+（2t－8）2．
在Rt△ABP中，由勾股定理，得BP2=AB2+AP2，即（2t）2=102+62+（2t－8）2，解得t=．
综上所述，当△ABP为直角三角形时，t的值为4或．
七、22．解：（1）如图4，过点C作CD⊥AB于点D．
因为AC＝30 km，BC＝40 km，AB＝50 km，所以AC2+BC2＝AB2．所以△ABC是直角三角形．
所以S△ABCAC×BCAB×CD，即×30×40＝×50×CD，解得CD=24 km．
因为以台风中心为圆心周围25 km以内为受影响区域，所以城镇C会受到沙尘暴影响．
图4
（2）如图4，当CE＝CF＝25 km时，正好影响城镇C．
在Rt△CED中，由勾股定理，得ED2=CE2－CD2=252－24249．所以ED=7 km．所以EF＝14 km．
因为沙尘暴中心的移动速度为20 km/h，所以14÷20＝0.7（h）．
所以沙尘暴影响该城镇的时间为0.7 h．
八、23．解：根据题意，点A′的位置存在以下三种情况：
①如图5－①，当A′M∶A′N＝1∶3时，则A′M＝1，A′N＝3，在Rt△OA′N中，ON＝＝＝，所以点A′的坐标为（，3）；
图5
②如图5－②，当A′M∶A′N＝3∶1时，A′M＝3，A′N＝1，在Rt△OA′N中，ON＝＝＝，所以点A′的坐标为（，1）；
③如图5－③，当A′M∶A′N＝3∶1时，则（A′N＋4）∶A′N＝3∶1，解得A′N＝2．
在Rt△OA′N中，ON＝＝＝，所以点A′的坐标为（，－2）．
综上所述，点A′的坐标为（，3）或（，1）或（，－2）．
（满分为 150 分，考试时间 120 分钟）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．在直角三角形中，若勾长为3，股长为4，则弦长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．下列各组数不能组成直角三角形的是（ ）
A．，， B． C．，， D．，，
3．在平面直角坐标系中，点P的坐标为，则点P到原点的距离为（ ）
A．2 B． C． D．
4．如图1，是和的公共斜边，，，，则，之间的数量关系为（ ）
A． B． C． D．
图1 图2
5．已知一个等边三角形的边长为4，则它一边上的高为（ ）
A．2 B．3 C．2 D．4
6．已知△ABC的三个角∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，给出下列条件：①，°；②°，°；③；④2，，．其中能判定△ABC是直角三角形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A B C D
8．如图2，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7 m，顶端距离地面2.4 m．如果保持梯子底端位置不变，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2 m时，小巷的宽度为（ ）
A．0.7 m B．1.5 m C．2.2 m D．2.4 m
9．如图3，以长方形ABCD的顶点A为圆心，AD的长为半径画弧，交AB于点F；再以点C为圆心，CD的长为半径画弧，交AB于点E．若AD＝5，CD＝，则EF的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
图3 图4
10．如图4，，过点P作且，得；再过点作且，得；又过点作且，得，……，依此法继续作下去，得的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．在△ABC中，∠C=90°，AB＝13，AC＝5，则BC的长为 ．
12．图5所示是一种盛饮料的圆柱形玻璃杯，测得其内部底面半径为2.5 cm，高为12 cm，吸管放进杯里后，外面至少要露出4.6 cm，则吸管至少要 cm．
图5 图6 图7
13．如图6，ΔABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上， 于点D，则BD的长为 ．
14．把两个同样大小的含45°角的三角板按图6所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB＝，则CD的长为 ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．如图8，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，请按要求解答问题：
（1）画一个△ABC，使它的三边长分别为，，3；
（2）求（1）中所画的△ABC的面积．
图8
16．美宜佳超市为了让顾客感觉服务很温馨，在超市门口离地面一定高度的墙上D处，装有一个由传感器控制的迎宾门铃，人只要移动到该门口2.4米及2.4米以内时，门铃就会自动发出“欢迎光临美宜佳”的语音．如图9，一个身高1.6米的学生刚走到A处（学生头顶在B处），门铃恰好自动响起，此时测得迎宾门铃与地面的距离（CD）和到该生头顶的距离（BD）相等，请计算迎宾门铃距离地面的距离．
图9
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．如图10，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点C在第一象限，过点C作x轴的垂线，垂足为B，点C的坐标为（3，），AC=2．
（1）求AB，OC的长：
（2）请判断△OAC的形状，并说明理由．
图10
以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，类似地，还可得到下列勾股数组：5，12，13；7，24，25；…．
（1）对于勾股数组a，b，c，当a=11时，求b，c的值；
（2）用含n（n为正整数）的数学等式描述上述勾股数组的规律，并证明．
（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．图11－①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与中间小正方形的面积之和，即
ab×4+(b－a)2，从而得到等式c2=ab×4+(b－a)2，化简便可得结论a2+b2=c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在请用“双求法”解决下面两个问题：
（1）如图11－②，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AC=3，BC=4，求CD的长；
（2）如图11－③，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB=4，AC=5，BC=6，求BD的长．
① ② ③
图11
20．我们根据图形的移、拼、补可以简单直观地推理验证数学规律和公式，这种方法称之为“无字证明”，它比严谨的数学证明更为优雅与有条理．图12是用三块全等的直角三角形移、拼、补所形成的“无字证明”图形，请解答下列问题：
（1）此图可以用来证明学过的什么定理？请写出定理的内容；
（2）已知直角三角形直角边长分别为a，b，斜边长为c，图12－①、②的面积相等，请根据此图证明（1）中的定理．
① ②
图12
六、（本题满分12分）
21．如图13，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10 cm，AC=6 cm，动点P从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．
（1）如图13－①，当点P在∠BAC的平分线上时，求t的值；
（2）如图13－②，当△ABP为直角三角形时，求t的值．
① ②
图13
七、（本题满分12分）
22．沙尘暴是指强风将地面尘沙吹起使空气混浊，水平能见度很低的一种天气现象．如图14，某气象局监测到一个沙尘暴中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一城镇，且点C与A，B两点的距离分别为AC＝30 km，BC＝40 km，AB＝50 km，以沙尘暴中心为圆心周围25 km以内为受影响区域．
（1）请通过计算说明城镇C会受到沙尘暴影响的原因．
（2）若沙尘暴中心的移动速度为20 km/h，求沙尘暴影响该城镇的时间．
图14
八、（本题满分14分）
23．已知点A（0，4），B（7，0），C（7，4），连接AC，BC得到长方形AOBC，点D在边AC上，将边OA沿OD折叠，点A的对应点为A′，若点A′到长方形较长两对边的距离之比为1∶3，求点A′的坐标．
第18章 勾股定理及其逆定理自我评估
一、1．A 2．B 3．A 4．D 5．C 6．C 7．A 8．C 9．A 10．B
二、11．12 12．17.6 13． 14．－1
三、15．解：（1）如图1所示：
图1
因为，，BC=3，所以△ABC即为所求作．
（2）由图可知△ABC的面积为．
16．解：过点B作BE⊥DC于点E．
由题意，得BE=AC=2.4米，CE=AB=1.6米．
设CD=BD=x米，则DE=（x－1.6）米．
在Rt△DBE中，由勾股定理，得BD2=DE2+BE2，即x2=（x－1.6）2+2.42，解得x=2.6．
所以迎宾门铃距离地面2.6米．
四、17．解：（1）因为点C的坐标为（3，），BC⊥x轴，所以OB=3，BC=．
所以AB2=AC2－BC2=22－（）2=1，所以AB=1．
所以OC2=OB2+BC2=32+（）2=12，所以OC=2．
△OAC是直角三角形．理由如下：
由（1）知OB=3，AB=1，AC=2，OC2=12．
所以OA=OB+AB=4．
因为OA2=16，AC2+OC2=4+12=16，所以OA2=AC2+OC2．
所以△OAC是直角三角形．
18．解：（1）已知3组勾股数组的规律为32+42=52，52+122=132，72+242=252，由规律，得a2+b2=c2，c=b+1．
因为a=11，所以112+b2=（b+1）2，解得b=60．所以c=61．
（2）用含n（n为正整数）的数学等式描述上述勾股数组的规律为2n+1，2n（n+1），2n（n+1）+1．证明如下：
因为（2n+1）2=4n2+4n+1，[2n（n+1）]2=（2n2+2n）2=4n4+8n3+4n2，[2n（n+1）+1]2=[2n（n+1）]2+4n（n+1）+1=（4n4+8n3+4n2）+（4n2+4n+1），所以（2n+1）2+[2n（n+1）]2=[2n（n+1）+1]2．
所以第n组勾股数组是2n+1，2n（n+1），2n（n+1）+1．
五、19．解：（1）在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2=32+42=25，所以AB＝5．
由面积的两种算法，得×3×4＝×5×CD，解得CD= ．
（2）设BD=x．因为BC=6，所以CD=6－x．
在Rt△ABD中，AD2=AB2－BD2=42－x2=16－x2；
在Rt△ADC中，AD2=AC2－CD2=52－（6－x）2．
所以16－x2=52－（6－x）2，解得x＝．所以BD=．
20．解：（1）此图可以用来证明勾股定理，其内容为直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）图①的面积为S1，图②的面积为S2．
因为图①、②的面积相等，所以，所以a2+b2＝c2．
六、21．解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10 cm，AC=6 cm，所以BC2=AB2－AC2=102－62=64，所以BC=8 cm．由题意，得BP=2t，所以PC=BC－BP=8－2t．
如图2，过点P作PH⊥AB于点H．
图2
因为点P在∠BAC的平分线上，即AP平分∠BAC，PH⊥AB，PC⊥AC，所以PH=PC=（8－2t）cm．
因为S△ABC=S△ABP+S△ACP，所以×6×8=×10×（8－2t）+×6×（8－2t），解得t=．
（2）当△ABP为直角三角形时，分两种情况：
①当点P为直角顶点时，点P与点C重合，此时t=8÷2=4（s），
②如图3，当点A为直角顶点时，由题意，得BP=2t，则CP=BP－BC=2t－8．
图3
在Rt△ACP中，由勾股定理，得AP2=AC2+CP2=62+（2t－8）2．
在Rt△ABP中，由勾股定理，得BP2=AB2+AP2，即（2t）2=102+62+（2t－8）2，解得t=．
综上所述，当△ABP为直角三角形时，t的值为4或．
七、22．解：（1）如图4，过点C作CD⊥AB于点D．
因为AC＝30 km，BC＝40 km，AB＝50 km，所以AC2+BC2＝AB2．所以△ABC是直角三角形．
所以S△ABCAC×BCAB×CD，即×30×40＝×50×CD，解得CD=24 km．
因为以台风中心为圆心周围25 km以内为受影响区域，所以城镇C会受到沙尘暴影响．
图4
（2）如图4，当CE＝CF＝25 km时，正好影响城镇C．
在Rt△CED中，由勾股定理，得ED2=CE2－CD2=252－24249．所以ED=7 km．所以EF＝14 km．
因为沙尘暴中心的移动速度为20 km/h，所以14÷20＝0.7（h）．
所以沙尘暴影响该城镇的时间为0.7 h．
八、23．解：根据题意，点A′的位置存在以下三种情况：
①如图5－①，当A′M∶A′N＝1∶3时，则A′M＝1，A′N＝3，在Rt△OA′N中，ON＝＝＝，所以点A′的坐标为（，3）；
图5
②如图5－②，当A′M∶A′N＝3∶1时，A′M＝3，A′N＝1，在Rt△OA′N中，ON＝＝＝，所以点A′的坐标为（，1）；
③如图5－③，当A′M∶A′N＝3∶1时，则（A′N＋4）∶A′N＝3∶1，解得A′N＝2．
在Rt△OA′N中，ON＝＝＝，所以点A′的坐标为（，－2）．
综上所述，点A′的坐标为（，3）或（，1）或（，－2）．