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【北师大版九年级数学（下）课时练习】
§2.2.1 y=ax2图象与性质
一、单选题（共24分）
1．（本题3分）对于二次函数，当时，随的增大而（ ）
A．先增大后减小 B．减小 C．增大 D．先减小后增大
解：∵，
∴二次函数开口向下，
∵二次函数的对称轴为，
∴当时，随的增大而增大．
故选：C．
2．（本题3分）关于函数与的图象的共同点，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．都有最低点 C．随增大而增大 D．对称轴是轴
解∵函数的，开口向下，有最高点，当时随增大而增大，当时随增大而减小；
函数的，开口向上，有最低点，当时随增大而减小，当时随增大而增大；
∴A、B、C均不是共同点；
∵两个函数均为形式，
∴对称轴都是轴，故D正确.
故选：D．
3．（本题3分）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
解：∵点在二次函数的图象上，
∴，
同理可得，，，
∵，
∴．
故选：C．
4．（本题3分）已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
解：如图所示：的开口向上，，
与开口向下，则，
∵的开口大于开口，
∴
∴，
∴
故选：D．
5．（本题3分）下列属于随机事件的是（ ）．
A．一元二次方程有两个解
B．对于，当时，函数图象开口向上
C．的整数解有无数个
D．两个有理数的和等于一个无理数
解：必然事件是一定发生的事件，不可能事件是一定不发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件，
对各选项分析如下：
选项A：一元二次方程的解的情况由判别式决定，当时，方程有两个不相等的实数解；当时，方程有两个相等的实数解；当时，方程无实数解，此事件可能发生也可能不发生，是随机事件；
选项B：根据二次函数的性质，当时，的函数图象开口向上，此事件一定发生，是必然事件；
选项C：的整数解有3、4、5……无数个，此事件一定发生，是必然事件；
选项D：有理数与有理数的和仍为有理数，两个有理数的和不可能是无理数，此事件一定不发生，是不可能事件，
综上，属于随机事件的是选项A．
故选：A．
6．（本题3分）对任何实数，抛物线和，以下说法正确的是（ ）
A．形状相同 B．顶点相同
C．最小值相同 D．最大值相同
解：∵抛物线是由抛物线向上（下）平移个单位得到，
∴抛物线和形状相同， 故A正确，符合题意；
∵抛物线，开口向上，顶点坐标为，有最小值为m；抛物线，开口向上，顶点坐标为，有最小值为0．故B、C、D错误，不符合题意；
故选：A．
7．（本题3分）已知，两点在二次函数的图象上，下列判断错误的是（）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
解：∵二次函数开口向上，对称轴为（y轴），在时单调递减，时单调递增，且点到对称轴距离越远，函数值越大．
选项A：当时，，，两点关于y轴对称，∴，A正确．
选项B：若，则、关于y轴对称，∴，解得，B正确．
选项C：若，则，∵函数在时单调递增，∴，C正确．
选项D：若，则，两边平方得，化简得，即，并非（如时，，，但），D错误．
故选：D．
8．（本题3分）已知是常数，它满足以下要求：
（1）抛物线的最高点就是它的顶点．
（2）抛物线的对称轴在轴的右侧．
（3）从左往右看，抛物线在轴左侧部分是下降的．
那么常数可以取的值是（ ）．
A． B． C． D．0
解：对于（1），抛物线的最高点就是它的顶点，则图象开口向下，
∴，即；
对于（2），抛物线的对称轴为直线，
∵的对称轴在轴的右侧，
∴，即；
对于（3），抛物线在轴左侧是下降的，则图象开口向上，
∴，即；
综上所述，，选项中只有符合．
故选：B．
二、填空题（共15分）
9．（本题3分）若点在函数的图象上，则点关于这个函数的对称轴对称的点的坐标为____．
解：∵的对称轴是：直线，
∵点在函数的图象上，
∴关于直线对称，
∴，
故答案为：．
10．（本题3分）已知四个二次函数的图像如图所示，那么，，，的大小关系是________．（请用“”连接排序）
解：根据图像可知的图像和的图像的开口向上，且的图像的开口小于的图像的开口，
则．
根据图像可知的图像和的图像的开口向下，且的图像的开口大于的图像的开口，
则．
∴．
故答案为：．
11．（本题3分）在同一平面直角坐标系中，作、、的图像，下列结论正确的有______．（将正确结论的序号全部写在横线上）
①都是关于轴对称；②顶点都在坐标轴上；③图像都有最低点；④都与轴有交点．
解:对于：顶点为 ，在 x 轴上；对称轴为 ，不是 y 轴；开口向上，有最低点；与 x 轴有交点；
对于：顶点为 ，在 y 轴上；对称轴为 y 轴，关于 y 轴对称；开口向下，有最高点，无最低点；不与 x 轴相交；
对于：顶点为 ，在坐标轴上；对称轴为 y 轴，关于 y 轴对称；开口向上，有最低点；与 x 轴有交点；
结论①：不是所有函数都关于 y 轴对称（第一个函数对称轴为 ），错误；
结论②：所有函数的顶点都在坐标轴上（第一个在 x 轴，第二个在 y 轴，第三个在原点），正确；
结论③：不是所有函数都有最低点（第二个函数有最高点），错误；
结论④：不是所有函数都与 x 轴有交点（第二个函数无交点），错误；
故答案为：②．
12．（本题3分）已知点，是函数的图象上的两点，且当时，有，则的取值范围是______
解：当时，
可得：，
无论为何值，均有，
不符合题意；
当时，函数是二次函数，
其图象为抛物线，
当时，有，
，
解得：．
故答案为：．
13．（本题3分）如图，已知点和，平移得到，顶点、分别与顶点对应.如果点都在抛物线上，那么点到点的距离是___________.
解：设沿轴正方向平移个单位，沿轴正方向平移个单位，
则点、，
由于点、都在抛物线上，
则，
解得，
将代入得：，
∴，
故答案为：．
三、解答题（共61分）
14．（本题6分）已知二次函数图像经过点．
(1)判断这个函数图像的开口方向；
(2)点在这个函数图像上，求m的值．
（1）解：将点代入中
得
即
解得
因为 所以这个函数图像的开口向上
（2）解：由（1）可知二次函数解析式为
将点代入中
得
解得.
15．（本题8分）在下面给定的平面直角坐标系中，画出二次函数的图象，并回答下列问题：
（1）当x取何值时，y有最小值？最小值是多少？
（2）当时，y随x的增大怎样变化？当时呢？
解：作函数的图象如图所示．
（1）根据图象可知，当时，有最小值，最小值是．
（2）解：根据图象可判断，
当时，随的增大而增大；
当时，随的增大而减小．
16．（本题8分）已知二次函数的图象经过点．
(1)求的值；
(2)点在该函数的图象上，求的值．
（1）解：∵二次函数的图象经过点，
，
解得：；
（2）解：由（1）可知，二次函数解析式为，
∵点在这个图象上，
．
17．（本题8分）已知抛物线经过点
(1)求此抛物线的函数解析式；
(2)判断点是否在此抛物线上；
(3)求出抛物线上纵坐标为的点的坐标．
（1）抛物线经过点，
把点代入抛物线中：，
，
此抛物线的函数解析式为：；
（2）当时，，
点不在此抛物线上；
（3）此抛物线上一点的纵坐标为，
把代入此抛物线中得：，
，
此抛物线上纵坐标为的点的坐标为或．
18．（本题9分）已知函数是关于x的二次函数．
(1)求m的值；
(2)当m为何值时，该函数图象的开口向下？
(3)当m为何值时，该函数有最小值，最小值是多少？
（1）解：∵函数是关于x的二次函数，
∴，，
解得：；
（2）解：∵函数图象的开口向下，
，
，
∴当时，该函数图象的开口向下；
（3）解：∵当时，抛物线有最低点，函数有最小值，
，即
∵抛物线顶点坐标为，
∴该函数最小值为．
19．（本题10分）在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字，，1，4的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同，小华先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为a；放回盒子摇匀后，再由小夏随机取出一个小球，记下数字为b．
(1)用列表法或画树状图表示出的所有可能出现的结果；
(2)求小华、小夏各取一次小球所确定的点落在二次函数的图象上的概率；
(3)求小华、小夏各取一次小球所确定的数a，b满足直线经过一、二、三象限的概率．
（1）解：画树状图如下：
共有16种等可能的结果，它们为、、、、、、、、、、、、、、、．
（2）解：落在二次函数的图象上的点有，
∴落在二次函数的图象上的概率；
（3）解：满足直线经过一、二、三象限的结果有，
∴满足直线经过一、二、三象限的概率．
20．（本题12分）如图，点、在的图象上．直线与轴交于点，连接、．
(1) _______； _______；
(2)求直线的函数表达式；
(3)当 时， 的取值范围为_____．
（1）解：∵点在的图象上，
∴，
解得，
∴，
当时，；
故答案为：；；
（2）解：∵，，
设直线的解析式为，
把，点坐标代入得，
解得，，
∴直线的解析式为：；
（3）解：对于抛物线，
∵，
∴当时，有最小值为0，
∵，，
∴当时，y的取值范围为．
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【北师大版九年级数学（下）课时练习】
§2.2.1 y=ax2图象与性质
一、单选题（共24分）
1．（本题3分）对于二次函数，当时，随的增大而（ ）
A．先增大后减小 B．减小 C．增大 D．先减小后增大
2．（本题3分）关于函数与的图象的共同点，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．都有最低点 C．随增大而增大 D．对称轴是轴
3．（本题3分）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．（本题3分）已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．（本题3分）下列属于随机事件的是（ ）．
A．一元二次方程有两个解
B．对于，当时，函数图象开口向上
C．的整数解有无数个
D．两个有理数的和等于一个无理数
6．（本题3分）对任何实数，抛物线和，以下说法正确的是（ ）
A．形状相同 B．顶点相同
C．最小值相同 D．最大值相同
7．（本题3分）已知，两点在二次函数的图象上，下列判断错误的是（）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
8．（本题3分）已知是常数，它满足以下要求：
（1）抛物线的最高点就是它的顶点．
（2）抛物线的对称轴在轴的右侧．
（3）从左往右看，抛物线在轴左侧部分是下降的．
那么常数可以取的值是（ ）．
A． B． C． D．0
二、填空题（共15分）
9．（本题3分）若点在函数的图象上，则点关于这个函数的对称轴对称的点的坐标为____．
10．（本题3分）已知四个二次函数的图像如图所示，那么，，，的大小关系是________．（请用“”连接排序）
11．（本题3分）在同一平面直角坐标系中，作、、的图像，下列结论正确的有______．（将正确结论的序号全部写在横线上）
①都是关于轴对称；②顶点都在坐标轴上；③图像都有最低点；④都与轴有交点．
12．（本题3分）已知点，是函数的图象上的两点，且当时，有，则的取值范围是______
13．（本题3分）如图，已知点和，平移得到，顶点、分别与顶点对应.如果点都在抛物线上，那么点到点的距离是___________.
三、解答题（共61分）
14．（本题6分）已知二次函数图像经过点．
(1)判断这个函数图像的开口方向；
(2)点在这个函数图像上，求m的值．
15．（本题8分）在下面给定的平面直角坐标系中，画出二次函数的图象，并回答下列问题：
（1）当x取何值时，y有最小值？最小值是多少？
（2）当时，y随x的增大怎样变化？当时呢？
16．（本题8分）已知二次函数的图象经过点．
(1)求的值；
(2)点在该函数的图象上，求的值．
17．（本题8分）已知抛物线经过点
(1)求此抛物线的函数解析式；
(2)判断点是否在此抛物线上；
(3)求出抛物线上纵坐标为的点的坐标．
18．（本题9分）已知函数是关于x的二次函数．
(1)求m的值；
(2)当m为何值时，该函数图象的开口向下？
(3)当m为何值时，该函数有最小值，最小值是多少？
19．（本题10分）在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字，，1，4的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同，小华先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为a；放回盒子摇匀后，再由小夏随机取出一个小球，记下数字为b．
(1)用列表法或画树状图表示出的所有可能出现的结果；
(2)求小华、小夏各取一次小球所确定的点落在二次函数的图象上的概率；
(3)求小华、小夏各取一次小球所确定的数a，b满足直线经过一、二、三象限的概率．
20．（本题12分）如图，点、在的图象上．直线与轴交于点，连接、．
(1) _______； _______；
(2)求直线的函数表达式；
(3)当 时， 的取值范围为_____．
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