第三章 函数 第5节 二次函数的图象与性质（一）（含答案）

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第三章 函数
第5节 二次函数的图象与性质（一）
目标领航
考点通关
考点 1 二次函数的图象与性质
定义 形如 (a,b,c是常数，a≠0)的函数
图象
形状 对称轴与y轴平行(或重合)的抛物线
对称轴 (1)直接运用公式 求解； (2)配方法：将一般式化为顶点式 则对称轴为直线① ； (3)利用 (其中x ，x 为关于对称轴对称的两点的横坐标)求解
顶点坐标 (1)直接运用顶点坐标公式 求解； (2)配方法：将一般式化为顶点式 则顶点坐标为(h，k)； (3)将对称轴 代入函数表达式求得对应y
增减性 当 时，y随x 的增大而减小，当 时，y随x的增大而③_____ 当 时，y随x的增大而增大，当 时，y随x的增大而减小
最值 时 时， ④__________
夯基对点练
1. 关于二次函数 ，下列说法正确的是 （ ）
A.图象与y轴交点坐标为(0,1) B.图象的对称轴在y轴的右侧
C.当时，y随x的增大而减小 D. y的最小值为-3
考点 2 二次函数图象与系数a,b,c的关系
a 决定抛物线开口方向 (1)a＞0 开口向上;(2)a＜0 开口向⑤________
a,b 决定抛物线对称轴的位置 (1)b=0 对称轴为y轴;(2) ab＞0(ab同号) 对称轴在y轴⑥ 侧;(3) ab＜0(ab异号) 对称轴在 y轴右侧
c 决定抛物线与y轴的交点位置 (1)c=0 经过原点;(2)c⑦ 0 与y轴正半轴相交;(3)c＜0 与y轴负半轴相交
决定抛物线与x轴交点的个数 与x轴有唯一交点(顶点)； 与x轴有⑧ 个交点；与x轴没有交点
夯基对点练
2.二次函数 的部分图象如图所示。
下列结论:.结论正确的是____________。（填序号）
命题研究
命题点1 二次函数的图象与性质
1.已知点(-2,y ),(3,y ),(7,y )者都在二次函数 的图象上，则y1,y ,y 的大小关系是 （ ）
2.已知 ， 是某函数图象上的两点，当 时， 该函数的解析式可能是 （ ）
3.已知点A(-2,y ),B(1,y )在抛物线 上，若，则下列判断正确的是 （ ）
4.将二次函数 的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是 （ ）
A. 图象与 y轴的交点坐标是 (0,-3) B. 当 x=1 时，函数取得最大值
C. 图象与x轴两个交点之间的距离为4 D.当时，y 的值随 x 值的增大而增大
5.一次函数与二次函数 在同一平面直角坐标系中的图象可能是 （ ）
6.已知二次函数，其中a,b为两个不相等的实数.
(1) 当时，求此函数图象的对称轴.
(2) 当时，若该函数在 0≤x≤1 时，y 随 x 的增大而减小；在 3≤x≤4 时，y 随 x 的增大而增大，求 a 的取值范围.
(3) 若点，， 均在该函数的图象上，是否存在常数 m，使得？若存在，求出 m 的值；若不存在，说明理由.
命题点 2 二次函数图象与系数 a,b,c 的关系
7.二次函数 的图象如图所示，对称轴是直线，则过点 和点 的直线一定不经过 （ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
8.已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是 （ ）
（m为任意实数）
9.已知二次函数 ，自变量x与函数值y的部分对应值如下表。
x … -1 0 1 2 …
y … m c 2 2 …
下列说法正确的是(多选)（ ）
A. 若c≤0，则函数图象的开口向上
B.关于x的方程 的两个根是-1和4
C.点(a,c)在一次函数y=2x+2的图象上
D.代数式bc的最大值为
10.已知二次函数 图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线.对于下列结论：①;②;③多项式 可因式分解为;④当时，关于x的方程 无实数根。其中正确的有 （ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D. 4个
11.如图，二次函数 的部分图象与x轴的一个交点A位于(-2,0)和(-1,0)之间，顶点P的坐标为(1,n).下列结论:①；②对于任意实数m，都有;③;④若该二次函数的图象与x轴的另一个交点为B，且△PAB是等边三角形，则 其中所有正确结论的序号是 （ ）
A.①② B.①③ C.①④ D.①③④
12.如图为二次函数 的图象，下列代数式的值为负数的是_________（写出所有正确结果的序号）。
分层练习
1.函数 和 (a是常数，且a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
2.已知二次函数，当时，则y的取值范围是( )
3.已知二次函数 ()，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是 （ ）
4.抛物线 (a,b,c是常数，)经过两点，且.点 ， 在抛物线上，当 且 时，总有 ，则的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
5.二次函数 (a,b,c是常数，a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
x … -3 -1 1 …
y … m 0 k 0 n m …
其中 ，.; ④当t≤x≤1时，y的最大值为m，最小值为k，此时t的取值范围是-3≤t≤-1.其中，正确结论是 （ ）
A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④
6.如图，抛物线 经过点，顶点为M，且抛物线与y轴的交点为B，则下列结论：①当-3≤x≤1时，y≤0；②；③；④的面积为 .正确的有 （ ）
A.①③④ B.②③④ C.①②③ D.①②④
7.已知二次函数(a≠0)，则此函数图象的顶点坐标是________.
8.已知二次函数 ，则当0≤x≤3时，函数的最大值为__________.
9.已知二次函数 的图象关于直线x=1对称，其部分图象如图所示，则 .
10.二次函数 (a≠0)的部分图象如图所示，图象过点(-1,0)，对称轴为直线，下列结论：①；②；③若点，点，点 在该函数图象上，则 ；④若，则，其中正确的结论的序号是____________.
参考答案
① ② ③增大 ④ ⑤下 ⑥左 ⑦＞ ⑧两
夯基对点练
1.D 2.②③⑤
命题研究
1.C 2. C 3. A 4. C 5. C
6.解：(1) 当时，二次函数可化为 ，此函数图象的对称轴为直线 .
(2) 当时，二次函数 可化为 ，抛物线的对称轴为直线，
3＞0， 抛物线开口向上，
在0 x 1时，y随x的增大而减小， ，
在3 x 4时，y随x的增大而增大， ， 1 a 3.
(3) 存在. 点 ， ， 均在该函数的图象上，
，
,
.
，
，
整理得 ，
a,b为两个不相等的实数， a-b≠0， 1- m=0，解得m=4.
7.C 8.D 9.BCD 10.C
11.D 【解析】 二次函数 的图象的开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的右侧，，故①符合题意；
顶点P的坐标为(1,n)， 当x=1时，y取最大值，此时y=a+b+c，
当x=m时， ， a+b+c≥ ，
，故②不符合题意；
二次函数 的图象与x轴的一个交点A位于(-2,0)和(-1,0)之间，对称轴为直线x=1， ，
a= ， ， 3b<2c，故③符合题意；
为等边三角形， PA=AB=PB， ，
设对称轴与x轴的交点为H，则 ，HA=HB， ，
设A,B的横坐标分别为 ，
， ，
令 ，可得 ， ，
，
，
又
， ，
，故 符合题意.
故正确结论的序号是①③④.
12.①②⑤
分层练习
1.B 2.B 3.A 4.B 5.D 6.C
7.(2,1) 8.2 9.0 10.①④
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