第三章 函数 第6节 二次函数的图象与性质（二）（含答案）

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第三章 函数
第6节 二次函数的图象与性质（二）
目标领航
考点通关
考点 1 二次函数的解析式与图象变化
1.二次函数的解析式
(1)一般式： (是常数,);
(2)顶点式： (是常数,),其中①__________是抛物线的顶点；
(3)交点式： ，其中x ,x 为抛物线与x轴交点的横坐标。
知识点睛 根据已知条件设解析式
(1)一般式：已知抛物线上任意三点的坐标；
(2)顶点式：已知抛物线的顶点坐标或对称轴、最值；
(3)交点式：已知抛物线与x轴两个交点的横坐标。
2.抛物线 的平移规律
平移前的解析式 平移方向及距离() 平移后的解析式 简记
向左平移m个单位 左加右减 (对自变量加减)
向右平移m个单位 ②_________________
向上平移m个单位 上加下减 (对函数整体加减)
向下平移m个单位 ③________________
知识拓展 抛物线 的对称变化规律
(1)关于x轴对称，用“”替换解析式中的“y”，变为
(2)关于y轴对称，用“”替换解析式中的“x”,变为
(3)关于原点对称，用“”和“”分别替换解析式中的“”和“”，变为
夯基对点练
1.(1)若抛物线过点(0,0),(1,6)和（(-1,-2),，则该二次函数的一般式为______________；
(2)若抛物线的顶点坐标为(1，2)，且抛物线过点(3，6)，则该二次函数的顶点式为___________________；
(3)若抛物线过点(2,0),(4,0)和(6,4),则该二次函数的交点式为___________________。
2.将抛物线 向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后的抛物线表达式为_____________________；再将此抛物线关于y轴对称后的抛物线表达式为_______________________。
考点 2 二次函数与方程、不等式的关系
1.二次函数与一元二次方程的关系：一元二次方程 的根是二次函数 0）的图象与x轴交点的横坐标。
图示 抛物线与x轴的交点个数 对应方程根的情况 的符号
抛物线①：两个 有④ 个不相等的实数根
抛物线②：一个 有两个相等的实数根
抛物线③：无交点 无实数根 ⑤_________
2.二次函数与不等式的关系
(1)不等式 的解集是抛物线 位于x轴⑥___________方的点的横坐标的取值范围；
(2)不等式 的解集是抛物线 位于x轴下方的点的横坐标的取值范围。
夯基对点练
3.二次函数 的部分图象如图所示。
(1)方程 的解为________________；
(2)方程 的解为________________；
(3)不等式 的解集为_________________；
(4)不等式 的解集为_________________。
命题研究
命题点1 确定二次函数的解析式
1.试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=1,且与y轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式：_________________。
命题点 2 二次函数图象的平移
2.将抛物线 先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为_____________。
3.在平面直角坐标系xOy中，点P(2,-3)在二次函数 -3()的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线：.
(1) 求 m 的值.
(2) 若点 Q(m,-4) 在 的图象上.将该二次函数的图象向上平移 5 个单位长度，得到新的二次函数的图象.当 0≤x≤4 时，求新的二次函数的最大值与最小值的和.
(3) 设 的图象与 x 轴交点为 .若 ，求 a 的取值范围.
4.在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C.点 B 的坐标为(3,0)，将直线 y=kx 向上平移 3 个单位长度后，恰好经过 B、C 两点.
(1) 求 k 的值和点 C 的坐标；
(2) 求抛物线 的表达式及顶点 D 的坐标；
(3) 已知点 E 是点 D 关于原点的对称点，若抛物线 (a≠0) 与线段 AE 恰有一个公共点，结合函数的图象，求 a 的取值范围.
命题点 3 二次函数与方程、不等式的关系
5.将抛物线 向下平移 k 个单位长度，若平移后得到的抛物线与 x 轴有公共点，则 k 的取值范围是 _____________.
6.如图所示是二次函数 的部分图象，该函数图象的对称轴是直线 x=1，图象与 y 轴交点的纵坐标是 2.则下列结论：①2a+b=0；②方程 一定有一个根在 -2 和 -1 之间；③方程 一定有两个不相等的实数根；④.其中，正确结论有（ ）
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
7.已知二次函数 (a,b,c 为常数，a≠0)图象的顶点坐标是 (-1,n)，且经过 (1,0)，(0,m) 两点，.有下列结论：①关于 x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根；②当 时，y 的值随 x 值的增大而减小；③；④；⑤对于任意实数 t，总有 .以上结论正确的有（ ）
A.5 个 B.4 个 C.3 个 D.2 个
8.已知二次函数 的 y 与 x 的部分对应值如下表：
x -4 -3 -1 1 5
y 0 5 9 5 -27
下列结论：①；②关于 x 的一元二次方程 有两个相等的实数根；③当时，y 的取值范围为；④若点， 均在二次函数图象上，则；⑤满足 的 x 的取值范围是 或.
其中正确结论的序号为 ______________.
9.已知二次函数 ，a 为常数。
（1）若该二次函数的图象与直线 有两个交点，求 a 的取值范围；
（2）若该二次函数的图象与 x 轴有交点，求 a 的值；
（3）求证：该二次函数的图象不经过原点.
分层练习
基础练
1.已知二次函数 的图象与一次函数 y=-x+1 的图象有交点，则 k 的取值范围是 （ ）
A. B. 且 k≠0 C. D. 且 k≠0
2.二次函数（a≠0）的图象如图所示，顶点为 (1,3)，下列结论正确的是 (多选)（ ）
C. 若 ，且 ，则
D. 关于 x 的方程 （k 为常数）有实数根
3.已知抛物线（a≠0）过点 A(-1,n)，B(3,n)，且无论 x 取何值，都有 ，则以下五个结论错误的是（ ）
①a < 0； ②c+a=2；③若当m≤x≤m+1时，y随x增大而减小，则m>1；④若抛物线与 x 轴的一个交点在 -1 与 0 之间，则有； 若关于 x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则t>4。
A.②③ B.②④⑤ C.②③④⑤ D.③④⑤
4.已知二次函数（a≠0）图象的对称轴为直线 x=-1，部分图象如图所示，下列结论：① abc>0；②；③a+c>0；④若 t 为任意实数，则有 ；⑤当图象经过点 时，方程 的两根为 , , 则 .其中正确的结论有 （ ）
A.①②③ B.②③④ C.②③⑤ D.②③④⑤
5.如图，二次函数 （a≠0）图象的对称轴是直线 x=1，且与 x 轴的一个交点坐标为 (3,0)。下列结论：①ab < 0；②3a+c=0；③关于 x 的一元二次方程 （a≠0）的两个根为 -1, 3；④若 , 在该抛物线上，则 ；⑤对任意实数 m，不等式 恒成立。其中正确结论的个数是 （ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
6.已知二次函数 的图象经过点 (c,0)，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是 _______________。（写出一个即可）
7.将抛物线 先向下平移3个单位，再向右平移个单位，所得新抛物线经过点 (1,5)，则新抛物线与 y 轴交点的坐标为 ____________。
8.如图，抛物线 （a≠0）与 x 轴交于点 A(-1,0)，B(3,0)，与 y 轴的正半轴交于点 C。下列结论：① b < 0；② 9a+3b+2c>0；③若 和 是关于x的一元二次方程 的两根，则根，则 ；④抛物线上有两点 ， 。若 ，则t的取值范围是 。其中正确的结论有______（填序号）
提升练
9.用“ ”定义一种新运算：对于任意有理数 a 和 b, 则抛物线 与 x 轴交点的情况为（ ）
A. 有三个交点 B. 有两个交点 C. 有一个交点 D. 没有交点
10.定义：对于已知的两个函数，任取自变量 x 的一个值，当 x≥0 时，它们对应的函数值相等；当 x < 0 时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数。例如：正比例函数 y=x,它的相关函数为 已知点 M,N 的坐标分别为 ，连接 MN,若线段 MN 与二次函数 的相关函数的图象有两个公共点，则 n 的取值范围为（ ）
11.对于实数 p,q,我们用符号 表示 p,q 两数中较大的数，如 ，若 ，则 x=____________.
12.已知抛物线 (m,k 是实数）的对称轴为直线 x=-1，将该抛物线先向右平移 2 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则 的值是 _____________.
13.小明用绘图软件绘制了二次函数 的图像后，将其对称轴左侧的部分作关于 x 轴对称的图像，如图所示，将坐标系中图像实线部分记为 C，按横坐标从 0.1 开始依次增加 0.1 的规律，在图像 C 上取 20 个点，得到 ，则这 20 个点的纵坐标的和等于 _____________.
14.如图，已知抛物线 经过 A(-3,0),B(1,0)两点.
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 求证：直线 y=-3x+5 与该抛物线没有交点；
(3) 若, 为抛物线 上两点 (),M 为抛物线上点 C 和点 D 之间的动点（含点 C,D），点 M 的纵坐标的取值范围为，求的值.
参考答案
①(h,k) ② ③ ④两 ⑤⑥上
夯基对点练
1.(1) (2) (3)
2.
3.(1) (2) (3) (4)或
考点通关
1. （答案不唯一）
2.(1,2)
3.解：(1)在 中，令x=0，得y=-3，即(0,-3)在该函数图象上，
P(2,-3)在该函数图象上， 对称轴为直线 .m=1.
(2) 二次函数的对称轴为直线x=1，
Q(1,-4)为抛物线 的顶点，故可设二次函数的解析式为 ，
将P(2,-3)代入解析式，解得a=1. .
向上平移5个单位后得到的新二次函数图象的解析式为 .
令x=1，得y=1，令x=0，得y=2，令x=4，得y=10.
当0 x 4时，新二次函数的最大值为10，最小值为1.
最大值与最小值的和为10+1=11.
(3)由(1)知直线x=1为函数 图象的对称轴， b=-2a.
. .
.
4 ， < <36. < <32. 4.解：(1) 直线y=kx+3经过点B(3,0)， 3k+3=0, k=-1, y=-x+3，
y=-x+3与y轴的交点即为点C(0,3).
(2) 抛物线 经过点B(3,0)和点C(0,3)，
解得 抛物线 的表达式为 ，
y=(x-2)^2-1, 顶点D的坐标为(2,-1).
(3) 点E是点D关于原点的对称点， 点E的坐标为(-2,1).
令 ，解得 ， ， A(1,0).
当抛物线 经过点E(-2,1)时， ，
当抛物线 经过点A(1,0)时，a=2，
a的取值范围是 .
5.k 3 6.B 7.A
8.①②④ 【解析】由x=-3和x=1时y=5，的对称轴为直线x=-1，易知抛物向下，由表格作出如图所示的抛物.
由图象可知a<0，b<0，c>0， abc>0，故①正确；
抛物线顶点为(-1,9)， 抛物线与直线y=9有一个公
关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，故②正确
由图象可知当-4<1时，y的围为0
错误； ，
点 ， 关于直线x=-1对称， y =y ，故④正确；
根据图象的对称性可知抛物(2,0)，直线y=-x+2经过点(2,0）和(-3,5),在同一直角坐标系中直线，由图象可知满足 ，即的x的取围是x<-3或x>2，故⑤错误.
综上，正确的结论为①②④.
9.(1)解： 二次函数 的图象开口向上，并与 有两个交点， 二次函数的最小值小于 ，
即 ，解得 .
(2)解： 二次函数的图象与交点，
，
解得 . a的值为1.
(3)证明： 当x=0时， ，
该二次函数的图象不经过原点.
分层练习
1.B 2.BCD 3.C 4.D 5.C 6. （答案不唯一）
7.(0,15) 8.②③④ 9.B 10.A 11.0或1 12.1
13. 【解析】 二次函数 ， 图象 C 关于点(1,0)中心对称， 20 个点的横坐标从 0.1 开始依次增加 0.1， ， , , , ， ，
当 x=1 时， ，
当 x=2 时， ， 。
14.(1) 解：由题意可知 ，解得 。
抛物线的解析式为 。
(2) 证明：联立直线与抛物线解析式可得 ， ，
，
方程无实数根，即直线 y=-3x+5 与抛物线 没有交点。
(3) 解： 点 M 纵坐标的取值范围为 ， 当 时， ，解得 或 ，得点 ， ，
当 y=3 时， ，解得 x=-2 或 x=0，得点 (-2,3)，(0,3)。
当 时，如图， ， ， ， ，
当 时，
如图
当 时，
如图， ， ，n=-2， .
综上所述，m+n的值为 或 .
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