第三章 函数 第7节 二次函数的实际应用（含答案）

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第三章 函数
第7节 二次函数的实际应用
类型 1几何面积问题
解题步骤 (1)面积最值问题通常含两个变量，设其中一个为自变量，通过图形中存在的等量关系，用自变量表示另一个变量； (2)由图形面积公式等列二次函数表达式； (3)根据二次函数的性质求最值
等量关系 周长公式，由相似得到的比例式，勾股定理，锐角三角函数等
注意 最值不一定是顶点的纵坐标，需根据实际问题考虑自变量的取值范围
1.如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园。已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是__________平方米。
2.工匠师傅准备从六边形的铁皮ABCDEF中，裁出一块矩形铁皮制作工件，如图所示。经测量,AB∥DE,AB与DE之间的距离为2米,AB=3米,AF=BC=1米,∠A=∠B=90°,∠C=∠F=135°. MH,HG,GN是工匠师傅画出的裁剪虚线。当MH的长度为多少时，矩形铁皮MNGH的面积最大？最大面积是多少？
类型 2 利润（费用）问题
问题特点 销售价格变化，销售数量随之变化，销售利也随之变化
公式 销售利润=单个利润×销售数量=(起始售价±变化价格-成本价)×(起始量±变化数量)
3.每年5月的第三个星期日为全国助残日，2024年的主题是“科技助残，共享美好生活”某公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售。根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆。公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元。设每辆轮椅降价。元，每天的销售利润为y元。
(1)求y与x的函数关系式。每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
(2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12 160元，请问这天售出了多少辆轮椅？
4.2024年6月，某商场为了减少夏季降温和冬季供暖的能源消耗，计划在商场的屋顶和外墙建造隔热层，其建造成本P（万元）与隔热层厚度x(cm)满足函数表达式：P=10x.预计该商场每年的能源消耗费用T（万元）与隔热层厚度x(cm)满足函数表达式： ，其中0≤x≤9.设该商场的隔热层建造费用与未来8年能源消耗费用之和为y（万元）。
(1)若y=148万元，求该商场建造的隔热层厚度；(2)已知该商场未来8年的相关规划费用为t（万元），且 ，当172≤t≤192时，求隔热层厚度x(cm)的取值范围。
类型 3 抛物线型问题
解题步骤 (1)建立直角坐标系，通常以对称轴为y轴，以地面、水平面上的直线或过顶点的直线为x轴； (2)利用待定系数法求函数解析式； (3)利用二次函数的图象、性质及问题的实际情况求解
注意 建立直角坐标系，以求解解析式简单和便于计算为原则
5.如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长1.7 km,主塔高0.27 km,主缆可视为抛物线，主缆垂度为 0.178 5 km，主缆最低处距离桥面0.001 5k m,桥面距离海平面约0.09 km.请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式。
6.小磊和小明练习打网球。在一次击球过程中，小磊从点O正上方1.8米的A点将球击出。信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，O为原点，OA在y轴上，球的运动路线可以看作是二次函数 （a,b为常数）图象的一部分，其中y（米）是球的高度，x（米）是球和原点的水平距离，图象经过点(2,3.2),(4,4.2).
信息二：球和原点的水平距离x（米）与时间t（秒）(0≤t≤1.6)之间近似满足一次函数关系，部分数据如下：
t/秒 0 0.4 0.6 …
x/米 0 4 6 …
(1)求y与x的函数关系式。
(2)网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？
(3)当t为1.6时，小明将球击回，球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数 （p,m为常数）图象的一部分，其中y(米）是球的高度，x(米）是球和原点的水平距离。当网球所在点的横坐标x为2，纵坐标y大于或等于1.8时，p的取值范围为____________（直接写出结果）.
类型 4 其他问题
7.在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度y(厘米/天）和光照强度x(勒克斯）之间存在一定关系.在低光照强度范围(200 x<1000)内，y与x近似成一次函数关系；在中高光照强度范围(x 1000)内，y与x近似成二次函数关系.其部分图象如图所示.根据图象，下列结论正确的是 （ ）
A.当x 1000时，y随x的增大而减小 B.当x=2000时，y有最大值
C.当y 0.6时，x 1000 D.当y=0.4时，x=600
8.用石块打水漂是一项有趣的活动.抛掷后的石块与平静的水面接触，石块会在空中近似地形成一组抛物线的运动路径.如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离x之间的关系如图②所示.石块第一次与水面接触于点F，运动路径近似为抛物线 ，且 ，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点G，运动路径近似为抛物线 ，且 。（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状、大小，空气阻力等因素忽略不计）
(1)如图②，当 ， 时，若点F的坐标为(2,0)，求抛物线 的表达式；
(2)在(1)的条件下，若FG=4，在水面上有一个截面为宽AB=1，高BC=0.5的矩形ABCD的障碍物，点A的坐标为(4.5,0)，判断此时石块沿抛物线 运动是否能越过障碍物，请说明理由；
(3)小星在抛掷石块时，若 的顶点需在一个正方形MNPQ区域内（包括边界），且点F在(3,0)和(4,0)之间（包括这两点），其中 ，N(1,1)， ，求a的取值范围.（在抛掷过程中正方形与抛物线 在同一平面内）
分层练习
1.如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m，其余的三边AB,BC,CD用40m长的篱笆围成，有下列结论：① AB的长可以为6m；②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD的面积为 ；③菜园ABCD面积的最大值为 。其中，正确结论是___________。（填序号）
2.如图，有一张边长为6cm的菱形纸片ABCD，现用它裁出一个矩形纸片EFGH。矩形纸片的四个顶点E、F、G、H分别位于菱形的四条边上，且BE=BF=DG=DH， 。如何裁剪才能使裁出的矩形纸片的面积最大？最大面积是多少？
3.春节期间，《哪吒2》热映，某文创公司推出一款成本价为每卷3元的哪吒贴纸投放到市场，售价范围为4元至7元。经过一段时间的销售发现：每天销售贴纸的数量y（卷）与每卷售价x（元）满足如图所示的函数关系。
（1）求y与x的函数关系式。
（2）公司将该贴纸每卷售价定为多少元时，每天销售该贴纸的利润为1800元？
（3）当每卷售价为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？
类型3 抛物线型问题
4.如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是 ()，则水流喷出的最大高度是 （ ）
A. 3m B. 2.75m C. 2m D. 1.75m
5.体育课上，小康进行投掷实心球训练，他对自己某次投掷实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y（单位：米）与飞行的水平距离x（单位：米）之间具有函数关系 ，则小康这次实心球训练的成绩为________米。
6.综合与实践
问题情境
如图1，物理活动课上，同学们做了一个小球弹射实验，小球从斜坡点O处以一定的方向弹出，落到斜坡上的点A处，飞行路线近似地看作抛物线的一部分。
建模分析
第一步：如图2，根据小球飞行路线，以过点O的水平直线为x轴，过点O的铅垂直线为y轴建立平面直角坐标系。
第二步：分析图象得出，小球飞行的水平距离x(m)与小球飞行的高度y(m)的变化规律如表：
x/m 0 1 2 3 4 5 …
y/m 0 2.5 4 4.5 4 2.5 …
第三步：在平面直角坐标系中，斜坡OA的函数表达式为
问题解决
(1)求小球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)的函数表达式（不要求写自变量的范围）。
(2)如图3，在斜坡上点B（靠近点O）处有一棵树，树的高度为 米.若小球恰好经过树的最高点，求点B的坐标。
(3)求小球在飞行过程中距坡面的最大铅直高度。
参考答案
1.450
2.解：如图，连接CF,分别交MH,GN于P,Q两点。
∵∠A=∠B=90°,∴AF∥BC.
∵AF=BC,∴ 四边形ABCF是平行四边形。
∵∠A=90°,∴平行四边形ABCF是矩形，
∴CF=AB=3米,AB∥CF,∠AFC=∠BCF=90°.
∵∠AFE=∠BCD=135°,∴∠EFC=∠DCF=45°.
∵AB∥DE,∴CF∥AB∥DE.
∵四边形MNGH是矩形，∴MH=GN,∠HMN=90°,∴∠HPQ=90°,
∴ ∠HPF=90°,∴ ∠FHP=45°,∴PF=PH.
设MH=GN=x(0∴PM=AF=1米，∴PF=PH=(x-1)米，同理可得,CQ=GQ=(x-1)米，
∴PQ=CF-PF-CQ=3-2(x-1)=(5-2x)米，易证四边形MNQP是矩形，
∴MN=PQ=(5-2x)米， ∴当 米时，矩形铁皮MNGH的面积最大，最大面积为 平方米。
3.解：(1) +12250.
∵200-x≥180,∴x≤20.
∴当x<25时，y随x的增大而增大。
∴当x=20时， 12250=12240.
∴当每辆轮椅降价20元时，每天销售利润最大，最大利润为12240元。
(2)由题意得 12160,
解得 ， （不合题意，舍去）。
（辆），∴这天售出了64辆轮椅。
4.解：(1)由题意得y=P+8T=10x+8 ,
整理得 ，
当y=148时， ，解得 ，
，不符合题意，舍去，
∴该商场建造的隔热层厚度为6 cm.
(2)由(1)得 ， ，
≤192).
∵4>0,∴t随x的增大而增大，当t=172时,4x+160=172,解得x=3;
当t=192时,4x+160=192,解得x=8.∴x的取值范围为3≤x≤8.
5.解：建立平面直角坐标系，如图所示。
则抛物线的顶点坐标为(0,0.0015), ,即A(0.85,0.18),设该抛物线的表达式为 +0.0015,
将A(0.85,0.18)代入 ，得 ，解得 ，
∴该抛物线的表达式为 0.0015.
（建系方式和表达式不唯一，二者相对应即可）
6.解：(1)∵二次函数 的图象经过点(2,3.2)和(4,4.2),
∴a=-0.05,b=0.8,
(2)由题意设x与t的函数关系式为x= kt(k≠0),
代入(0.4,4)得0.4k=4,解得k=10,∴x=10t,
对于 ，
∵-0.05<0,∴抛物线开口向下，
∵对称轴为直线 ，∴当x=8时， +1.8=5,
此时10t=8,解得t=0.8,∴网球被击出后经过0.8秒达到最大高度，最大高度是5米。
(3)p≤0.36.
详解：当t=1.6时,x=16,
,即击球点的坐标为(16,1.8).
的图象过点(16,1.8),
,
,解得p≤0.36.
7. B
8.解：(1)∵当 ， 时， ，
∵点F的坐标为(2,0), ,∴c=1,
∴抛物线C 的表达式为
(2)不能，理由如下：
∵FG=4,点F的坐标为(2,0),∴G(6,0), ,
∵点A的坐标为(4.5,0),AB=1,∴B(5.5,0),
当x=5.5时， <0.5,
∴此时石块沿抛物线C 运动不能越过障碍物。
(3)∵ 四边形 MNPQ 是正方形，M( ,1),w(1,1),0( , ). ,
如图所示，
∵抛物线开口向下，∴a<0,
∵|a|越小开口越大，|a|越大开口越小，点F在(3,0)和(4,0)之间（包括这两点），
∴当抛物线顶点为点M，且经过点(4,0)时，开口最大，此时a最大，
设C 的表达式为 ，将(4,0)代入得 ，解得；
当抛物线顶点为点 P，且经过点 (3,0)时，开口最小，此时 a 最小，
设 的表达式为 ，
将 (3,0) 代入得 ，解得 .
a 的取值范围为 .
分层练习
1.②③
2.解： 四边形ABCD是菱形， AB=BC=CD=DA，AB//CD，
设BE=BF=DG=DH=x，则AE=CF=CG=AH=6-x，
， ， 是等边三角形， HE=AE=6-x。
如图，过点D作 于点P。
， ，
，
设矩形纸片EFGH的面积为S，则 ， 当x=3时，矩形纸片的面积最大，为 ，即当E、F、G、H为菱形各边的中点时，才能使裁出的矩形纸片的面积最大，最大面积为 。
3.解：(1)由题图可知，y与x满足的函数关系为一次函数，
设y=kx+b(k≠0)，将(5,900)和(6,800)分别代入得 解得
y与x的函数关系式为y=-100x+1400(4 x 7)。
(2)由题意知每卷利润为(x-3)元，由(1)知每天销售贴纸的数量
，则(x-3)(-100x+1400)=1800，
解得 （不合题意，舍去）， ，
公司将该贴纸每卷售价定为5元时，每天销售该贴纸的利润为1800元。
(3)设每天利润为W元，根据题意得 ，
即 ， 其图象对称轴为 ，
8.5>7，-100 < 0， 当4 x 7时，W随x的增大而增大，
当x=7时，W取得最大值，为(7-3)×(-100×7+1400)=2800，
当每卷售价为7元时，每天获利最大，最大利润为2800元。
4.B 5.
6.解：(1)由题表知，抛物线的顶点为(3,4.5)，
设抛物线表达式为 ，
将(0,0)代入得9a+4.5=0，解得a=-0.5，
y与x的函数表达式为 。
(2)由题意知 ，解得 或 ，
点B靠近点O， ， ， 。
(3)小球在飞行过程中距坡面的铅直高度为
，
， 当 时，小球在飞行过程中距坡面的铅直高度取得最大值，最大铅直高度为 米。
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