第三章 函数 夯基·微专题3 二次函数性质综合（含答案）

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第三章 函数
夯基·微专题3 二次函数性质综合
方法储备
求区间最值问题，需结合函数图象判断函数在自变量取值范围内的增减性及函数值与点到对称轴的距离的关系（开口向上时，离对称轴越远，y值越大；开口向下时，离对称轴越远，y值越小）。
类型1 对称轴确定，求区间最值
1. 已知二次函数 在0≤x≤a时,y的最大值是5，则a的值为_______。
2. 已知二次函数 在-2≤x≤2时有最小值-2，则m的值为（ ）
A.-4或 B.4或 C.-4或- D.4或
类型2 对称轴不确定，求区间最值
当m≤x≤n时，求抛物线 的最值需分类讨论。
图示 结论
①当对称轴在 m左侧时 y在x=m时取最小值，在x=n时取最大值
②当对称轴在m，n之间，并且更靠近m时 y在 时取最小值(顶点纵坐标)，在x=n时取最大值
③当对称轴在 m，n之间，并且更靠近n时 y在 时取最小值(顶点纵坐标)，在x=m时取最大值
④当对称轴在n右侧时 在x=n时取最小值 在x=m时取最大值
3.在平面直角坐标系xOy中，点P(2，4)在二次函数 的图象上。
(1)用含a的代数式表示:c=_________;
(2)当0≤x≤2时，求二次函数的最大值；
(3)已知直线y=x与抛物线 相交于A,B两点，若 求a的取值范围。
4.二次函数 (a≠0,a,b 为实数).
(1) 当 a=1,b≠0 时，探究发现二次函数图象的顶点恰好在直线 上.
①直接写出 k 的值为 _______.
②若二次函数的图象与直线有两个交点，设两个交点分别为, ，请证明；若二次函数的图象与直线 没有两个交点，请说明理由.
(2)若b>0，直线 与二次函数 的图象相交于 和 D(m,n) 两点，其中 p≠0.
①求 b 的值.
②当 1≤x≤3 时，求二次函数 的最大值.
类型 3 根据区间最值，求字母参数的取值（范围）
5.已知二次函数 (-1≤x≤t-1)，当 x=-1 时，函数取得最大值；当 x=1 时，函数取得最小值，则 t 的取值范围是 （ ）
6.已知抛物线 () 与 x 轴交点的坐标分别为, , 且 .
(1) 若抛物线()与x 轴交点的坐标分别为,, 且 .试判断下列每组数据的大小（填写 或）：
①_______ ；②_______ ；③_______ .
(2) 若, ，求 b 的取值范围；
(3) 当 0≤x≤1 时， () 最大值与最小值的差为 ，求 b 的值.
7. 已知关于 x 的二次函数 .
(1) 若二次函数的图象与 x 轴有两个交点，并且这两个交点的横坐标之和为 4.
①求二次函数的表达式；
②当m≤x≤m+1时，求函数值 y 的取值范围.
(2) 若二次函数 的图象的对称轴为直线x=-5，当n≤x≤-1时，该二次函数的最大值与最小值的差为 16，求 n 的取值范围.
8.已知抛物线 ，m 为实数.
(1) 如果该抛物线经过点(4,3)，求此抛物线的顶点坐标.
(2) 如果当时，y 的最大值为 4，求 m 的值.
(3) 点O(0,0)，点A(1,0)，如果该抛物线与线段OA（不含端点）恰有一个交点，求 m 的取值范围.
分层练习
类型一 对称轴确定，求区间最值
1.如图，抛物线 经过点A,B,C，点A的坐标为(-2,0)。
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；
(2)当-2 x 2时，求y的最大值与最小值的差；
(3)若点P的坐标为(2,2)，连接AP，并将线段AP向上平移a(a 0)个单位得到线段 ，若线段 与抛物线只有一个交点，请直接写出a的取值范围。
类型二 对称轴不确定，求区间最值
2.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线
(1)当a=1时，
①求证：该抛物线的顶点不在第三象限；
②若b为自然数，且该抛物线与x轴有两个交点 和 ，求 的值。
(2)若b<0，直线y=ax+m与该抛物线有两个交点A,B，其坐标分别为A(0,2-m)和B(2,n)。当t x t+1时，求 的最小值。
类型三 根据区间最值，求字母参数的取值（范围）
3.已知二次函数 （m是常数，且 m≠0）的图象经过点 和点 .
(1) 若 m=2, 求抛物线顶点坐标；
(2) 若存在实数 k, 使得 ，且, 求 m 的取值范围；
(3) 当 m-1≤x≤2m+1 时，随着 x 值的增大，y 的值先减小再增大，且 y 的最大值与 y 的最小值的差等于 3, 求 m 的值.
4.已知抛物线 （b 为常数）.
(1)①若抛物线过点 (0,3), 求 b 的值；
②求证：该抛物线的顶点在 x 轴上方.
(2) 当 0≤x≤2 时， 的最小值为 ，求 b 的值.
(3) 若抛物线上有两点 ，且 ，当 时，求 t 的取值范围.
参考答案
1.3 2. B
3.解:(1)-4a.
(2)由(1)得c=-4a,∴二次函数的解析式为 ，
∴图象的对称轴为直线 ，
∵a>0，∴对称轴在y轴左侧，抛物线开口向上，
∵0≤x≤2,∴当x=2时，函数有最大值，最大值为4.
(3)设 的图象与直线y=x的交点为,
联立解析式得 ， , ,
,
4.解:(1)①2.
②将k=2代入 ，得 ，与 联立，
得 ，整理得
,∴二次函数的图象与直线y 恒有两个交点。
, ,
(2)①∵点 在抛物线和直线y 上， , ,
得 ，解得b=0或b=4.
∵b>0,∴b=4.
②由(2)①知b=4,∴二次函数的解析式为
∴抛物线的对称轴为 ，当a>0时，抛物线开口向上，
∴在1≤x≤3时,y随x的增大而增大，∴在x=3时,y取得最大值，为9a+12.
当a<0时，抛物线开口向下，
（Ⅰ）当 时，
如图所示，
当1≤x≤3时，y随x的增大而增大，∴在x=3时,y取得最大值，为9a+12.
(Ⅱ)当 时， 如图所示，
当 时，y取得最大值，为 （Ⅲ）当 时,a<-2.
如图所示，
当1≤x≤3时，y随x的增大而减小，∴在x=1时,y取得最大值，为a+4.
综上所述，当 且a≠0时，最大值为9a+12;当 时，最大值为 当a<-2时，最大值为a+4.
5. C
6.解:(1)①=. ②<. ③>.
(2)∵抛物线 经过(1,0),∴1+b+c=0. ∴c=-b-1.
∵抛物线与x轴有两个不同的交点，∴△>0.
,∴b≠-2.
∴当x=2时,y<0,当x=3时,y>0.
, 解得-4(3)
当 时
分情况讨论：
①当 时,b≤-2.
当x=0时,y最大值=c.
当x=1时,y最小值=1+b+c.
,解得
∵b≤-2, 不符合题意，舍去。
②当 时,-2当x=0时,y最大值=c.
当 时。
,解得 ,
③当 时,-1当x=1时，
当 时
,解得 ,
综上所述，b的值为 或
7.解：(1)①设抛物线与x轴的两个交点的坐标为(x ,0)(x ,0),
∵两个交点的横坐标之和为4,,,
∴二次函数的表达式为
②抛物线 的对称轴为直线x=2,a=-1<0,
∴当1≤x≤2时,y随x的增大而增大，当x=1时,y=4;当x=2时,y=5,
∴当1≤x≤2时，函数值y的取值范围为4≤y≤5.
(2)∵对称轴为直线x=-5, , ,
二次函数的表达式为 .
①若 n>-5, 则当 x=n时， ，当 x=-1时， ,
-6- ，即 ，解得 (舍);
②若 -9 < n -5, 则当 x=-5 时， ，
当 x=-1时， , -6-(-22)=16, 符合题意;
③若 n -9, 则当 x=-5时， ，
当 x=n时， ,
,解得 (舍去）， .
综上所述, n 的取值范围为 -9 n -5.
8.解：(1) 抛物线 经过点 (4,3)，
，解得 m=1， ，
此抛物线的顶点坐标为 (2,-1).
(2) ，
抛物线开口向上，对称轴为直线 x=2m，
当2m-3 x 2m+1时，y 的最大值为 4， 当x=2m-3时，y=4，
，
整理得 ， 或m=-1，
故 m 的值为 或 -1.
(3) 抛物线 与线段 OA 恰有一个交点，
或 或 .
分层练习
1.解：(1)将(-2,0)代入 ，得4m+4m+4=0，解得 ，
,∴顶点坐标为
(2)当x=-2时,y=0,∴当-2≤x≤2时,y的最大值为- 最小值为0,
∴y的最大值与最小值的差为
(3)0≤a<2或 ，
详解：∵线段AP向上平移a(a≥0)个单位得到线段A P ,∴A (-2,a),P (2,2+a),
当P 在抛物线上时,-2+2+4=2+a,解得a=2,
∴0≤a<2时，线段A P 与抛物线只有一个交点；
设直线AP的解析式为yy= kx+b,
解得 ,
∴A P 的解析式为 ，
令 ，整理得 +2a-6=0,
当直线。A P 与抛物线只有一个交点时，△=1-4(2a-6)=0,解得 ，
∴当 时，线段A P 与抛物线只有一个交点。
综上所述，当0≤a<2或 时，线段A P 与抛物线只有一个交点。
2.(1)①证明：当a=1时， ，
∴顶点坐标为 ，若顶点在第三象限，则 解得
∴该不等式组无解，∴抛物线的顶点不在第三象限。
②解：∵b为自然数，且该抛物线与x轴有两个交点(x ,0)和(x ,0)(x ∴b<1,∴b=0,
∴抛物线表达式为 ，当y=0时，,x =0,x =2.则
(2)解:∵A(0,2-m)是直线y= ax+m与抛物线的交点，
, m = 2 - m ，解得m=1.
∵B(2,n)是直线y= ax+m与该抛物线的交点，
∴将点B的坐标分别代入得 解得
∴抛物线表达式为
∴抛物线 开口向上，对称轴为直线 ，
①当 ，即 时，t≤x≤t+1时,y随x的增大而减小，
∴当x=t+1时,y取最小值，为
②当 即 时， 时，y随x的增大而减小， 时，y随x的增大而增大，∴当 时，y取最小值，为0.
③当 时，t≤x≤t+1时,y随x的增大而增大，
∴当x=t时，y取最小值，为
综上可知，当 时，y的最小值为 当 时，y的最小值为0；当 时，y的最小值为
3.解：(1)当m=2时 ，∴顶点坐标为(2,-4).
(2)由题意得 = 2 m + 1 ， ， ， ,
∴-4(3) ,∴对称轴为直线x=m，顶点坐标为(m,-m ),
∵当m-1≤x≤2m+1时，随着x值的增大，y的值先减小再增大，∴m-1∴当x=m时，y的最小值是 ，当2m+1-m≥m-(m-1),即m≥0时，x=2m+1时,y有最大值，为2m+1, ,解得 或 （舍去），当2m+1-m4.(1)①解：∵抛物线过点(0,3),
,解得 , ∴b的值为0或4.
②证明： ，
∴抛物线的顶点坐标为 ，
∵4>0,∴该抛物线的顶点在x轴上方。
(2)解：①当 ，即b≤4时，当x=2时，y有最小值，
,∴b=1或b=11（不合题意，舍去）；
②当 ，即b>4时，当x=0时，y有最小值， ,
∴b=7或b=-3（不合题意，舍去），综上所述，b的值为1或7.
(3)解：由题意知,x ,x 是方程 的两个根，且t<4, , ,
,
, ,∴4≤16-4t≤36,∴-5≤t≤3.
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