第三章 函数 夯基·微专题 4 二次函数综合（含答案）

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第三章 函数
夯基·微专题 4 二次函数综合
类型 1 线段最值问题
1.如图，抛物线 经过A(-1,0),C(0,3)两点，并交 x 轴于另一点 B，点 M 是抛物线的顶点，直线 AM 与 y 轴交于点 D。
(1) 求该抛物线的表达式；
(2) 若点 H 是 x 轴上一动点，分别连接 MH, DH, 求 MH+DH 的最小值。
2.已知抛物线 与 x 轴交于 A, B 两点，与 y 轴交于点 C(0,4)，其对称轴为直线 。
(1) 求抛物线的表达式；
(2) 如图，动点 P 在直线 AC 上方的抛物线上，过点 P 作直线 AC 的垂线，分别交直线 AC, 线段 BC 于点 E, F，过点 F 作 轴，垂足为 G，求 的最大值。
类型2 面积问题
3.如图，已知抛物线L: 经过点A(0,3),B(1,0),过点A作AC∥x轴交抛物线于点C,∠AOB的平分线交线段AC于点E,点P是抛物线上的一个动点。
(1)求抛物线的关系式；
(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连接PE、PO,当△OPE面积最大时，求出P点坐标。
4.已知二次函数 的图象经过(0,-3),(-b,c)两点，其中a,b,c为常数，且ab>0.
(1)求a,c的值。
(2)若该二次函数的最小值是-4，且它的图象与x轴交于点A,B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.
①求该二次函数的解析式，并直接写出点A,B的坐标。
②如图，在y轴左侧该二次函数的图象上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线AC交于点E,连接PC,CB,BE.是否存在点P,使 若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由。
类型3 特殊三角形存在性问题
1.等腰三角形存在性问题
问题 若A(a,b),B(c,d)为已知点,在x轴上取一点 C 使得△ABC 是等腰三角形
设点 设x轴上的点 C 坐标为(e,0)
表示线段 根据点的坐标表示三条线段的平方：
分类讨论求解 (1)当BC 为底边时,AB=AC; (2)当AC 为底边时,AB=BC; (3)当AB 为底边时,AC=BC. 解方程得点 C 的坐标
技巧 有时也可根据三角形的全等、相似得出边的等量关系或比例关系来表示线段，进而列方程
2.直角三角形存在性问题
问题 若A(a,b),B(c,d)为已知点,在x轴上取一点 C 使得△ABC 是直角三角形
设点 设x轴上的点 C 坐标为(e,0)
表示 线段 由点的坐标表示出三条线段的平方：
分类讨论求解 由勾股定理得， (1)当点 A 为直角顶点时， (2)当点 B 为直角顶点时， (3)当点 C 为直角顶点时， 解方程得点 C 的坐标
技巧 有时也可过线段两端点向x轴作垂线，用一线三垂直模型列方程更为简便，如下图： 结论:△ACD∽△CBE
5.如图，抛物线 经过点D(1,-1),与x轴交于点A,点B.
(1)求抛物线C 的表达式。
(2)将抛物线C 向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线C ，求抛物线C 的表达式，并判断点D是否在抛物线C 上。
(3)在x轴上方的抛物线C 上，是否存在点P，使△PBD是等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
类型4 （特殊）平行四边形存在性问题
1.平行四边形存在性问题
以A,B,C,D为顶点的四边形为平行四边形，已知点A,B的坐标，求点C,D的坐标
(1)AB为平行四边形的边
图示
方法 坐标平移法：点B 移动到点 A 与点 C 移动到点 D 的移动路径相同
数量关系
(2)AB为平行四边形的对角线
图示
方法 中点坐标法：平行四边形的对角线互相平分
数量关系
2.矩形存在性问题
图示
依据 对角线相等的平行四边形或有一个角为直角的平行四边形为矩形
数量关系
注意 分类讨论，已知线段为边还是对角线
3.菱形存在性问题
图示
依据 一组邻边相等的平行四边形是菱形
数量关系
注意 分类讨论，已知线段为边还是对角线
6.如图，抛物线 与x轴交于点A(-3,0),B(6,0),与y轴交于点C,连接AC,BC.点P是x轴上任意一点。
(1)求抛物线的表达式；
(2)点Q在抛物线上，当以点A,C,P,Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标。
分层练习
类型 1 线段最值问题
1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 x-轴交于点 A(-2,0), B(4,0)，与 y-轴交于点 C，点 D 为 BC 的中点.
(1) 求该抛物线的函数表达式；
(2) 点 G 是该抛物线对称轴上的动点，当 GA+GC 取最小值时，求点 G 的坐标；
(3) 若点 P 是第四象限内该抛物线上一动点，求 面积的最大值.
类型 2 面积问题
2.如图，抛物线 的顶点为 M(-2,-4)，与 x-轴交于 A、B 两点，且 B(2,0)，与 y-轴交于点 C.
(1) 求抛物线的函数解析式.
(2) 对称轴上是否存在点 N，使 的周长最小？若存在，请求出 N 点坐标；若不存在，请说明理由.
(3) 在直线 AC 下方的抛物线上能否找到一点 P，使四边形 APCB 的面积最大？若能，请求出面积的最大值及点 P 的坐标；若不能，请说明理由.
类型 3 特殊三角形存在性问题
3.如图，抛物线 与 x 轴交于 A(t,0)，B(8,0) 两点，与 y 轴交于点 C，直线y=kx-6经过点 B。点 P 在抛物线上，设点 P 的横坐标为 m。
(1) 求抛物线的表达式和 t,k 的值；
(2) 如图，连接 AC,AP,PC，若 是以 CP 为斜边的直角三角形，求点 P 的坐标。
类型 4 （特殊）平行四边形存在性问题
4.如图，已知二次函数 的图象交 x 轴于点 A(-1,0)，B(5,0)，交 y 轴于点 C。
(1) 求这个二次函数的表达式。
(2) 如图，点 M 从点 B 出发，以每秒 个单位长度的速度沿线段 BC 向点 C 运动，点 N 从点 O 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿线段 OB 向点 B 运动，点 M,N 同时出发。设运动时间为 t 秒（）。当 t 为何值时， 的面积最大？最大面积是多少？
(3) 已知 P 是抛物线上一点，在直线 BC 上是否存在点 Q，使以 A,C,P,Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由。
参考答案
1.解：(1)∵抛物线 经过A(-1,0),C(0,3)两点，
解得 ∴抛物线的表达式为
(2) ,∴顶点M(1,4).
设直线AM的解析式为y= kx+d,则 解得
∴直线AM的解析式为y=2x+2.
当x=0时,y=2,∴D(0,2).
如图，作点 D 关于 x 轴的对称点D'(0,-2),连接D'M,D'H,则DH=D'H,
,∴MH+DH的最小值为D'M的长，
,∴MH+DH的最小值为
2.解：(1)∵ 抛物线与 y 轴交于点C(0,4),∴c=4,
∵对称轴为直线 ， ,解得b=-3,
∴抛物线的表达式为
(2)如图,PF交x轴于Q,设BC所在直线的解析式为 ，
当y=0时， ，解得x=1或x=-4,∴A(-4,0),B(1,0).
把B,C的坐标代入BC所在直线的解析式得 解得
∵OA=OC,∴∠CAO=45°.
∵∠AEF=90°,∴∠PQO=45°.
设 ，
设PE所在直线的解析式为 ，把点P的坐标代入可得 +4,
,
令 ，则 ，解得 ，
, ,
,
∵点P在直线AC上方，∴-4∴当 时， 的值最大，最大值为
3.解：(1)∵抛物线L 经过点A(0,3),B(1,0),
解得 ∴抛物线的关系式为
(2)如图，过P作PG∥y轴，交OE于点G,
设 ，
∵OE平分∠AOB,∠AOB=90°,∴∠AOE=45°,∴△AOE是等腰直角三角形，
∴AE=OA=3,∴E(3,3),∴直线OE的解析式为y=x,∴G(m,m),
,
∴当 时,△OPE面积最大，
此时，P点坐标为
4.解：(1)将(0,-3)代入二次函数解析式得c=-3,,
将(-b,-3)代入上式得 ，
整理得 ，∵ab>0,∴a=1.
(2)①由(1)知
根据题意，得 ，解得b=2或b=-2（舍去）。
,
令y=0,解得 ， ，∴A(-3,0),B(1,0).
②存在。设直线AC的解析式为y= kx+b'(k≠0).
由题意得C(0,-3),
把A(-3,0),C(0,-3)代入y=kx+b',得 解得 ∴y=-x-3.
设 ，则D(t,0),E(t,-t-3).
(i)当P在x轴下方时，
-3)]·(-t),
=-2t.
, ,
整理得 ，解得 ,
(ii)当P在x轴上方时，
(-t-3)]·(-t),
=-2t.
, ,
整理得 ，解得 ， （舍去）。
综上所述，点P的横坐标为 ， 时
5.解：(1)将点D的坐标代入抛物线表达式得 ，解得 ，则抛物线的表达式为
(2)由题意得 ，当x=1时故点D在抛物线C 上。
(3)存在。当∠BDP是直角时，如图1,过点D作DE⊥BD且DE=BD,则△BDE为等腰直角三角形，过点D作GH∥x轴，过点B作BG⊥GH于G,过点E作EH⊥GH于H,
∵∠BDG+∠EDH=90°,∠EDH+∠DEH=90°,∴∠BDG=∠DEH,
∵∠DGB=∠EHD=90°,BD=DE,∴△DGB≌△EHD(AAS),∴DH=BG=1,易得OB=2,
∴EH=GD=1+2=3,∴点E(2,2),
当x=2时 ，即点E在抛物线C 上，
∴点P的坐标为(2,2);
当∠DBP为直角时，如图2,
同理可得△BGE≌△DHB,则BG=DH=3,GE=BH=1,则点E(-1,3),
当x=-1时， =3,即点E在抛物线C 上，
∴点P的坐标为(-1,3);
当∠BPD为直角时，如图3,
设点E(x,y),同理可得△EHB≌△DGE,
则EH=x+2=GD=y+1,BH=y=GE=1-x,解得x=0,y=1,即点E(0,1),
当x=0时 ， ，∴点E不在抛物线C 上。
综上，点P的坐标为(2,2)或(-1,3).
6.解：(1)设抛物线的表 达式为y=a(x+3)(x-6),
由题意可知C(0,-9),∴-9=a·3x(-6), ,
(2)如图，作PQ∥AC,且PQ=AC,交x轴于点P，交抛物线于点Q.
抛物线的对称轴为直线 ，由对称性可得 ，
当y=9时， ， ， ， .
综上所述，点Q的坐标为(3,-9)或 或 .
分层练习
1.解：(1)∵抛物线与x轴交于点
解得 ∴抛物线的函数表达式为
(2)∵点G是抛物线对称轴上的动点，∴ GA=GB,∴GA+GC=GB+GC,
∴当点G为直线BC与抛物线对称轴的交点时，GA+GC的值最小，
令x=0,得y=-4,∴点C的坐标为(0,-4),
设直线BC的解析式为y= kx-4(k≠0),把B(4,0)代入得0=4k-4,解得k=1,∴直线BC的解析式为y=x-4,抛物线的对称轴为直线 ，把x=1代入y=x-4,得y=-3,∴点G的坐标为(1,-3).
(3)如图，过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q,
∵B(4,0),C(0,-4),点D为BC的中点，∴D(2,-2),
设 则Q(m,m-4),
+2m,
,
∴当m=2时,S△BDP有最大值，为2.
2.解：(1)∵抛物线的顶点为M(-2,-4),∴设函数解析式为 ，又∵抛物线经过点B(2,0),
,解得 ， ,
即抛物线的函数解析式为
(2)对称轴上存在点N,使△NBC的周长最小。
∵抛物线 与y轴交于点C,∴C(0,-3),∴OC=3,
令y=0得 ，解得 ， ，∴A(-6,0),
∴设直线AC的解析式为y= kx+m,将点 A，点C 的 坐 标分别代入,
得 解得
故直线AC的解析式为 ，由题意知抛物线对称轴为直线x=-2,连接NB，
∵点A、点B关于对称轴对称，点N在对称轴上，
∴NB=NA,∴ NB+NC+BC=NA+NC+BC，如图，
当点N是对称轴与直线AC的交点时,NB+NC+BC的值最小，
即△NBC的周长最小，
将x=-2代入 ，得y=-2,∴点N的坐标是(-2,-2).
(3)能找到。
如图，连接AP,PC,过点P作PF⊥x轴，交AC于点F,设 ，则 ，
t,
,
∴当t=-3时,S△APC有最大值，最大值为
此时四边形APCB 的面积最大，最大值为 ，当t=-3时， ，
∴在直线AC下方的抛物线上能找到一点P，使四边形APCB的面积最大，面积的最大值为 ，点P的坐标为
3.解：(1)将点B的坐标代入 -6得 ，解得 ，
∴抛物线表达式为 ，将(t,0)代入，得 ，解得 ， （不合题意，舍去），∴t=3,
将点B的坐标代入y =kx-6,得8k-6=0,解得 ，
(2)如图，作PM⊥x轴于点M,
∵抛物线 与y轴交于点C,∴C(0,-6),即OC=6,
∵A(3,0),∴OA=3,
∵点P的横坐标为m., M(m,0)
, A M = m - 3 ,
∵∠CAP=90°,∴∠OAC+∠PAM=90°,
∵∠APM+∠PAM=90°,∴∠OAC=∠APM,
∵∠AOC=∠AMP=90°,∴△COA∽△AMP,,
∴OA·MA=OC·PM,即 ，解得 （舍）， ，
, ,∴点P的坐标为
4.解：(1)将A(-1,0),B(5,0)代入y= 中，得解得
∴二次函数的表达式为
(2)如图，过点M作ME⊥x轴于点E,
设△BMN的面积为S,根据题意得O N = t ,
∵B(5,0),∴BN=5-t,
在 中，令x=0,得y=5,∴C(0,5),∴OC=OB=5,∴∠OBC=45°.
,
,
∵0(3)存在. Q的坐标为(-7,12)或(7,-2)或(1,4)或(2,3).
详解：由B(5,0),C(0,5)得直线BC解析式为：y=-x+5,
设Q(m,-m+5),P(n,-n +4n+5),
①当PQ,AC是对角线时,PQ,AC的中点重合，
∴m=0（舍去）或m=-7,∴Q(-7,12);
②当QA,PC为对角线时,QA,PC的中点重合，
解得m=0（舍去）或m=7,∴Q(7,-2);
③当QC,PA为对角线时,QC,PA的中点重合，
解得m=1或m=2,∴Q(1,4)或Q(2,3).
综上所述,Q的坐标为(-7,12)或(7,-2)或(1,4)或(2,3).
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