华师大版（2024）七年级下册 8.1 与三角形有关的边和角 题型专练（参考答案）
【题型1】三角形的识别与有关概念
【典例】如图，在△BDF和△ABC中，它们相同的角是（ ）
A.∠A B.∠C C.∠ABC D.∠ACB
【答案】C
【解析】分别写出这两个三角形的内角，对比即可得．
△BDF的角有∠D，∠DBF，∠DFB，
△ABC的角有∠A，∠ACB，∠ABC，
它们相同的角是∠ABC，
故选C．
【强化训练1】三角形是（ ）
A.由在同一平面内的三条直线首尾顺次相接所组成的图形
B.由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形
C.任意连接在同一平面内的三个点所得到的封闭图形
D.由在同一平面内的三条线段所组成的图形
【答案】B
【解析】根据三角形的定义解答即可．
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，
故选：B．
【强化训练2】如图，D是△ABC的边BC上的一点，则在△ABC中，∠C所对的边是 ；在△ACD中，∠C所对的边是 ．
【答案】AB；AD
【解析】根据三角形的边和角有关概念解答即可．
在中，所对的边是；在中，所对的边是，
故答案为：；．
【强化训练3】如图，（1）写出所有以E为顶点的小于平角的角；
（2）写出所有以AE为边的三角形.
【答案】解：（1）以E为顶点的角是∠AEF，∠AED，∠DEB，∠DEF，∠AEB．
（2）以AE为边的三角形有 △ABE；△ADE；△AEF.
【强化训练4】如图，在中，，分别是边上的点，连接，，相交于点．
(1)的三个顶点是什么 三条边是什么
(2)是哪些三角形的边
【答案】解：（1）的三个顶点是点，，，三条边是，，；
（2）是，，，的边．
【题型2】三角形的个数问题
【典例】图中三角形的个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据三角形的定义找出图中各三角形，数出其个数即可得出结论．
图中是三角形的有：△ABC、△ADC、△BCD、△CDE、△EDF、△EDA、△EFA、△EFG、△AGF．
故选：C．
【强化训练1】如图，在中，点、分别在、上，则图中三角形的个数是（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
【答案】D
【解析】根据三角形的定义即可得到结论．
如图所示，
图中有共8个三角形，
故选：D．
【强化训练2】如图所示的多边形被分割成了 个三角形．
【答案】5
【解析】观察图形，根据三角形定义数三角形的个数即可解题．
观察图形，可知途中的多边形被分割成个三角形，
故答案为：．
【强化训练3】如图，在中，，，，，为边上不同的个点，从点首先连接，图中出现了3个不同的三角形；再连接，图中便有6个不同的三角形……如此继续下去.连接BAn后，共有三角形的个数是 .
【答案】
【解析】本题考查了规律型：图形的变化类，根据图形中三角形个数的变化找出变化规律，注意数三角形的个数实际上就是数线段的条数．
观察图形可知：
从点首先连接，不同的三角形个数为，
再连接，不同的三角形个数为，
再连接，不同的三角形个数为，
，
∴连接到时，图中有个三角形(n为正整数)，
故答案为：．
【强化训练4】在下面一组图形中：
（1）各图形中分别有几个三角形？
（2）说出各个图形中以B为顶点的角所对的边.
【答案】解：（1）①图中三角形的个数有3个；②图中三角形的个数有6个；③图中三角形的个数有8个；
（2）①图中以B为顶点的角所对的边是AC和AD；
②图中以B为顶点的角所对的边是AC、AD、AE；
③图中以B为顶点的角所对的边是AE、AD、AC、CE、CD．
【强化训练5】如图所示，图中共有多少个三角形？请写出这些三角形并指出所有以E为顶点的角．
【答案】解：图中共有7个三角形，分别是：
△AEF，△ADE，△DEB，△ABF，△BCF，△ABC，△ABE，
以E为顶点的角是：∠AEF，∠AED，∠DEB，∠DEF，∠AEB，∠BEF．
【题型3】三角形按角分类
【典例】一个三角形的三个内角度数各不相等，其中最小的角是，那么这个三角形是一个（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定
【答案】A
【解析】由最小的角及三角形内角和定理，可求出最大的角小于，据此即可解答．
∵最小的角是，，
∴最大的角小于，
∴这个三角形是一个锐角三角形．
故选：A．
【强化训练1】在△ABC中，∠A是锐角，那么△ABC是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定
【答案】D
【解析】根据由题意，在三角形中有一个角是锐角，无法判断另外两个角的情况，有可能另外两个角都是锐角，也有可能是一个锐角一个直角， 或者一个锐角一个钝角．
若∠A=30°，∠B=70°，∠C=80°，此时为锐角三角形，若∠A=30°，∠B=90°，∠C=60°， 此时为直角三角形，若∠A=30°，∠B=120°，∠C=30°，此时为钝角三角形，故不确定，
故选D．
【强化训练2】如图所示，方格中有A、B、C、D、E五个格点，以这5个格点中的3个点为顶点画三角形，其中直角三角形有( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】根据直角三角形的概念求解即可．
如图所示，连接AB，AD，AE，DE，
直角三角形有，，，
∴直角三角形有3个，
故选：C．
【强化训练3】在中，若，，则是 ．
【答案】钝角三角形
【解析】求出∠C，作出判断即可．
∠C=180°-∠A-∠B=180°-30°-35°=115°，
故△ABC是钝角三角形，
故答案为：钝角三角形．
【强化训练4】观察图中的三角形，把它们的标号填入相应横线上．
锐角三角形 ，直角三角形 ，钝角三角形 ．
【答案】3，5；1，4，6；2，7
【解析】分别根据三角形的分类得出答案即可．
锐角三角形3，5，直角三角形1，4，6，钝角三角形2，7．
故答案为：3，5；1，4，6；2，7．
【强化训练5】说出图中的锐角三角形，直角三角形和钝角三角形．
【答案】解：由题意得：锐角三角形有：，直角三角形有：，钝角三角形有：．
【强化训练6】满足下列条件的三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形．
(1)△ABC中，∠A＝30°，∠C＝∠B；
(2)三个内角的度数之比为1:2:3.
【答案】解：(1)∵∠A＝30°，∠C＝∠B，∠A＋∠C＋∠B＝180°，
∴∠C＝∠B＝75°，
∴满足条件的三角形是锐角三角形．
(2)∵三个内角的度数之比为1∶2∶3，
∴可求得每个内角的度数分别为30°，60°，90°，
∴满足条件的三角形是直角三角形．
【题型4】三角形按边分类
【典例】已知三边a、b、c满足，则的形状是（ ）
A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.以上都不对
【答案】C
【解析】根据平方和绝对值的非负性，得出，即可得出结论．
∵，，
∴，
即，
∴，
∴是等边三角形，即锐角三角形．
故选：C．
【强化训练1】△ABC的三边长a,b,c满足关系式(a-b)(b-c)(c-a)=0,则这个三角形一定是( )
A.等腰三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.无法确定
【答案】A
【解析】∵(a-b)(b-c)(c-a)=0，
∴a-b=0或b-c=0或c-a=0，
∴a=b或b=c或c=a，
又∵a、b、c是△ABC的三边，
∴△ABC是等腰三角形.
故选A.
【强化训练2】已知△ABC的三边长为a，b，c，且满足（a﹣2）2+|b﹣2|+|c﹣2|＝0，则此三角形一定是（ ）
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.一般三角形
【答案】A
【解析】先根据非负数的性质求出a、b、c的值，再根据三角形的三边关系进行判断即可．
∵△ABC的三边长a、b、c满足（a﹣2）2+|b﹣2|+|c﹣2|＝0，
∴a﹣2＝0，b﹣2＝0，c﹣2＝0，
∴a＝2，b＝2，c＝2．
∴a＝b＝c，
∴此三角形为等边三角形，
一定为等腰三角形，
故选：A．
【强化训练3】若一个三角形三边的长度比为，周长为 cm，则这个三角形三边的长分别为 ，按边分，这个三角形是 三角形．
【答案】8 cm，12 cm，12 cm；等腰
【解析】本题考查了三角形的分类，根据题意设三角形三边的长度比为，即可列方程求解．
设三角形三边的长度比为，
则：，
解得：
∴
故答案为：①8 cm，12 cm，12 cm②等腰
【强化训练4】小佳同学复习时将三角形按边长的等量关系整理成上表，请帮她在括号内填上一个适当的条件，该条件可以是____________．（填写一个条件即可）
【答案】AB＝BC（答案不唯一）．
【解析】根据等边三角形的判定定理填空即可．
当AB＝BC或AC＝BC时，
AB＝AC＝BC，此时△ABC是等边三角形，
故答案为：AB＝BC或AC＝BC．
【强化训练5】已知的三边长分别为a，b，c．若a，b，c满足，试判断的形状．
【答案】解：∵，
∴，
∴a=b=c，
∴ 是等边三角形．
【题型5】三角形分类的综合
【典例】下列说法：（1）一个等边三角形一定不是钝角三角形；（2）一个钝角三角形一定不是等腰三角形；（3）一个等腰三角形一定不是锐角三角形；（4）一个直角三角形一定不是等腰三角形．其中正确的有（ ）个
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】A
【解析】根据三角形的分类判断即可．
（1）一个等边三角形一定不是钝角三角形，原说法正确；
（2）一个钝角三角形不一定不是等腰三角形，原说法错误；
（3）一个等腰三角形不一定不是锐角三角形，原说法错误；
（4）一个直角三角形不一定不是等腰三角形，原说法错误；
故选：A．
【强化训练1】下列说法:①等边三角形是等腰三角形;②等腰三角形也可能是直角三角形;③三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形;④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
【解析】∵①“等边三角形是等腰三角形”的说法正确；②“等腰三角形也可能是直角三角形”的说法正确；③“三角形按边分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形”的说法是错误的（因为等边三角形属于等腰三角形）；④“三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形”是正确的；
∴上述说法中正确的有3种.
故选C.
【强化训练2】下列关于三角形分类不正确的是（整个大方框表示全体三角形）（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】给出知识树，分析其中的错误，这就要求平时学习扎实认真，概念掌握的准确．
根据选项，可知根据角和边来对三角形分别进行分类．
故选：C．
【强化训练3】下列说法:①等边三角形是等腰三角形;②等腰三角形也可能是直角三角形;③三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形;④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
【解析】∵①“等边三角形是等腰三角形”的说法正确；②“等腰三角形也可能是直角三角形”的说法正确；③“三角形按边分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形”的说法是错误的（因为等边三角形属于等腰三角形）；④“三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形”是正确的；
∴上述说法中正确的有3种.
故选C.
【强化训练4】如图，在中，，．动点P从点C出发，沿边，向点A运动．在点P运动过程中，可能成为的特殊三角形依次是（ ）
A.直角三角形→等边三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形
B.等腰三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形
C.直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形
D.等腰直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形
【答案】C
【解析】本题考查动点问题，掌握三角形的分类是解题的关键．
在点P运动过程中，可能成为的特殊三角形依次是直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形，
故选C．
【题型6】识别（作出）三角形的高线
【典例】如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题考查了作高线，根据利用三角板作高线的方法即可求解，熟练掌握作高线的方法是解题的关键．
由图得，作的边上的高线是 ，
故选B．
【强化训练1】如图，中边上的高线为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题考查三角形的高，从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高，据此判断即可．
由已知图形可得于E，
因此是边上的高线，
故选B．
【强化训练2】在三角形的三条高中，位于三角形外的可能条数是 条．
【答案】0或2
【解析】当三角形为钝角三角形时，三角形的高有两条在三角形外，一条在三角形内；当三角形为直角三角形和锐角三角形时没有高在三角形外．
∵当三角形为直角三角形和锐角三角形时，没有高在三角形外；而当三角形为钝角三角形时，三角形的高有两条在三角形外，一条在三角形内．
∴在三角形的三条高中，位于三角形外的可能条数是0或2条
故答案为0或2．
【强化训练3】如图，H若是△ABC三条高AD，BE，CF的交点，则△BHA中边BH上的高是 ．
【答案】AE
【解析】∵H若是△ABC三条高AD，BE，CF的交点，
∴BE⊥AC，即AE⊥BH，
∴△BHA中边BH上的高是AE，
故答案为：AE
【强化训练4】图①、图②、图③都是4×4的正方形网格，每个小正方形顶点叫做格点．的顶点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图．
(1)在图①中作边上的高．
(2)在图②中作边上的高．
(3)在图③中作边上的高．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：如图所示，即为所求．
【题型7】三角形面积的计算与等面积法
【典例】如图，于B，于E，垂直于的延长线于D，以下说法：①在中，边上的高是；②在中，边上的高是； ③在中，边上的高是； ④若，，则．其中正确的有（ ）
A.①② B.①④ C.②③ D.②④
【答案】D
【解析】本题考查三角形的高、三角形的面积，根据三角形的高的定义可判断①②③，根据面积公式可判断④．
在中，边上的高是，故①错误；
在中，边上的高是，故②正确，③错误；
若，，则，故④正确，
综上可知，正确的有②④，
故选D．
【强化训练1】如图，梯形的面积为，点在上，三角形的面积是三角形面积的2倍，的长为2，的长为5，那么三角形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本题考查了梯形、三角形的面积公式，平行线之间的距离处处相等，理解梯形、三角形的面积公式计算是解题的关键．
∵四边形是梯形，
∴，
∴三角形边上的高三角形边上的高（平行线之间的距离处处相等），
又∵三角形的面积是三角形面积的2倍，的长为2，
∴，
∵梯形的面积为，的长为5，
∴梯形的高，
∴和之间的距离，即三角形边上的高，
∴三角形的面积，
故选：A．
【强化训练2】在中，与边上的中线长分别为，，则的面积不可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本题考查了三角形的面积，垂线段最短，解题的关键是掌握垂线段最短，以及三角形的面积公式．根据三角形的面积公式，得出，即可解答．
如图，根据题意，为边上的中线，过A作于M，
由垂线段最短知，，
∴
，
∴，
∴的面积不可能为．
故选：D．
【强化训练3】如图，在中，，，的高与的比是 ．
【答案】
【解析】本题考查了三角形高的定义．根据三角形的面积公式可得，即可求解．
∵
∴，
故答案为：．
【强化训练4】如图，在中，，分别是边上的高，且，则的长为 ．
【答案】
【解析】本题考查了三角形的面积计算，运用不同的底和高计算一个三角形的面积，关键要注意选取三角形底边时，要准确找到底边所对应的高．
∵，
∴，
即，
故答案为：．
【强化训练5】在和中，，，交于点．
(1)在中，边上的高是________．
(2)在中，边上的高是________．
(3)若，，，求的面积及的长．
【答案】解：（1）根据三角形的高的定义可知，在中，边上的高是．
故答案为：．
（2）根据三角形的高的定义可知，在中，边上的高是．
故答案为：．
（3）．
．
可得
．
【题型8】根据三角形的中线求长度
【典例】如图，是的中线，，则的长为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.6
【答案】B
【解析】本题考查了三角形中线的定义，掌握相关结论即可．
∵是的中线，
∴ ，
故选：B．
【强化训练1】如图，在中边上的中线把分成周长为30cm和22cm的两部分，则的长为（ ）
A.11cm B.14cm C.16cm D.19cm
【答案】D
【解析】根据三角形的中线的概念得到，根据题意计算，得到答案．
∵是边上的中线，
∴，
∵，
∴，
由题意得：，
则，
∴，
故选：D．
【强化训练2】如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多，与的和为，则的长为 ．
【答案】9
【解析】本题考查了三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
根据中线的定义知，结合三角形周长公式知；又．易求的长度．
∵是边上的中线，
∴D为的中点，，
∵的周长的周长，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：9．
【强化训练3】如图，若是的中线，，则 ．
【答案】5
【解析】本题考查了三角形的中线的定义，根据三角形的中线的概念计算即可．
∵是的中线，，
∴
故答案为：5．
【强化训练4】已知，是边上的中线，且，若的周长比的周长大5，求的长．
【答案】解：如图，
∵是边上的中线，
∴，
∵的周长比的周长大5，
∴，
∴，
∵，
∴．
【强化训练5】如图，在中，是中线，．
(1)求与的周长差．
(2)点在边上，连接，若与四边形的周长相等，求线段的长．
【答案】（1）解：的周长，的周长，
∵是中线，
∴，
与的周长差：
（2）由图可知：
的周长，四边形的周长，
又∵的周长与四边形的周长相等，是的中点，
∴，，
∴，
又∵，，，
∴，
∴
∴．
【题型9】根据三角形的中线求面积
【典例】如图，已知、分别为的边、的中点，连接、，为的中线． 若四边形的面积为20，则的面积为（ ）
A.30 B.32 C.34 D.36
【答案】B
【解析】本题主要考查了三角形中线的性质，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键．根据三角形中线平分三角形面积推出，，再根据四边形的面积为20，得到，据此求解即可．
∵是的中线，
∴，
同理可得，
同理可得，
∴，
∵四边形的面积为20，
∴，
∴，
∴，
故选B．
【强化训练1】如图，中，D、E分别为、的中点，，则阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本题主要考查了三角形中线的性质，解题的关键是掌握三角形的中线将三角形的面积平均分为两份．根据三角形中线的性质可得，，即可求解．
∵点D为中点，，
∴，
∵点E为中点，
∴，
即阴影部分的面积为，
故选：C．
【强化训练2】如图，已知点、、分别为、、的中点，若四边形的面积为，则的面积为 ．
【答案】
【解析】本题考查三角形的面积，设，由三角形的中线得，，，，再根据四边形的面积为，即可得出答案．熟记三角形的中线平分三角形的面积是解题的关键．
，
∵点、、分别为、、的中点，四边形的面积为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形的面积为，即，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为．
故答案为：．
【强化训练3】如图，在中，是的中点，是的中点，是的中点，是的中点，则= ．
【答案】
【解析】本题考查了三角形的面积及三角形中线性质，根据题意连接、，再根据三角形中线的性质由是的中点，是的中点，是的中点推出，，，从而结合图形利用各三角形面积之间的关系进行计算即可，解题的关键是根据三角形中线的性质推出，，．
如图，连接、，
是的中点，是的中点，
，
是的中点，
，，
，
，
，
故答案为：．
【强化训练4】如图，的中线相交于点F，
(1)图中与面积相等是三角形有____个（不含）；
(2)若的面积是，求四边形的面积．
【答案】解：（1）∵分别是的中线，
∴ ，
∴ ， ，
即，
∴与面积相等的三角形共有3个
故答案为：3
（2）如图，
∵和是的两条中线，
∴，
即①，
②，
① ②得：，
∴．
∴．
∵
【强化训练5】如图所示，是的中线，是的中线，是的中线，是的中线．
(1)与的面积有何关系？请说明理由；
(2)若，求的面积．
【答案】（1）解：与的面积相等；
∵是的中线，
∴，
∵和的底边分别为时，它们的高相同，
∴两个三角形等底同高，
∴它们的面积相等；
（2）解：∵是的中线，
∴，
∵是的中线，
∴，
∵是的中线，
∴，
∵是的中线，
∴，
∴，
∴．
【题型10】三角形的角平分线
【典例】如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕l，则l是的（ ）
A.中线 B.高线 C.角平分线 D.任意一条线段
【答案】C
【解析】根据折叠的性质可得，作出选择即可．
如图，
∵由折叠的性质可知
则l是的角平分线，
故选：C．
【强化训练1】如图，在中，角平分线，相交于点，连接，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C.平分 D.
【答案】C
【解析】根据三角形的三条角平分线相交于同一点可知平分，从而得解．
∵角平分线，相交于点，
∴平分．
故选：C．
【强化训练2】如图，的角平分线与中线交于点，则结论（ ）
①是的角平分线；
②是的中线．
A.①，②都正确 B.①不正确，②正确 C.①，②都不正确 D.①正确，②不正确
【答案】D
【解析】根据三角形的角平分线的定义，三角形的中线的定义可知．三角形其中一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线．
是的角平分线，
则是的角平分线，
所以是的角平分线，故①正确；
是的中线，
则E是是中点，而O不一定是的中点，故②错误．
故选：D．
【强化训练3】如图，在中，为两条角平分线，，则图中与相等的角有 个．
【答案】3
【解析】由角平分线的定义得，等量代换得，进而可得答案．
∵为两条角平分线，
∴．
∵，
∴．
故答案为∶3．
【强化训练4】如图所示，在中，，是的中点，延长交于点，为上一点，交于点．①是的角平分线；②是的边上的中线；③为的边上的高；④是的角平分线和高线，其中判断正确的有 ．
【答案】③④
【解析】本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，注意：三角形的角平分线、中线、高都是线段，且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段．透彻理解定义是解题的关键．根据三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念进行判断．连接三角形的顶点和对边中点的线段即为三角形的中线；三角形的一个角的角平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线；从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高．
①根据三角形的角平分线的概念，知是的角平分线，故此说法错误；
②根据三角形的中线的概念，知是的边上的中线，故此说法错误；
③根据三角形的高的概念，知为的边上的高，故此说法正确；
④根据三角形的角平分线和高的概念，知是的角平分线和高线，故此说法正确．
正确的有③④，
故答案为：③④．
【强化训练5】如图，是的角平分线，P是延长线上的一点，交于点M，交于点N．试说明：平分．
【答案】解：∵是的角平分线，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴平分．
【强化训练6】如图，是的角平分线，，交AC于点F，已知，求的度数．
【答案】解：∵，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴．
【题型11】已知两角求第三角的大小
【典例】如图，已知点是射线上一动点（不与点重合），，若是钝角三角形，则的取值范围是（ ）
A.
B.
C.或
D.或
【答案】D
【解析】本题考查了三角形内角和定理．分情况求解是解题的关键．
分是钝角，是钝角两种情况求解；当是钝角时，；当是钝角时，，求解作答即可．
由题意知，分是钝角，是钝角两种情况求解；
当是钝角时，；
当是钝角时，， 即，
∴；
综上所述，或，
故选：D．
【强化训练1】如图，△ABC中，∠A＝84°，∠B＝60°，则∠C＝（ ）
A.36° B.40° C.46° D.54°
【答案】A
【解析】直接根据三角形内角和定理解答即可．
在△ABC中，∠A＝84°，∠B＝60°，
又∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣84°﹣60°＝36°．
故选：A．
【强化训练2】三角形三个内角的度数分别是，且，则该三角形一定有一个内角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本题考查了三角形的内角和定理，根据三角形的内角和得，求得进而可求解，熟练掌握三角形的内角和为是解题的关键．
根据题意得：
，
解得：，
该三角形一定有一个内角为，
故选A．
【强化训练3】如果，且 ，则 ．
【答案】
【解析】本题考查三角形的内角和定理，利用三角形的内角和是求解即可．
∵在中，，，
∴，
故答案为：．
【强化训练4】如图，已知 ， ，， 与 存在什么位置关系？请说明理由．
【答案】解：结论：，
理由： ， ，
∴，
∵，
∴，
∴，
【强化训练5】填空：
已知：如图，AC，BD相交于点O．
求证：∠A+∠B＝∠C+∠D．
证明：在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB＝180°（ ）．
∴∠A+∠B＝180°﹣∠AOB（ ）．
在△COD中，同理可得
（ ∠C+∠D＝180°﹣∠COD ）．
∵∠AOB＝∠COD（ ），
∴∠A+∠B＝∠C+∠D（ ）．
【答案】证明：在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB＝180°（三角形的内角和等于180°），
∴∠A+∠B＝180°﹣∠AOB（等式的性质），
在△COD中，同理可得，
∠C+∠D＝180°﹣∠COD，
∵∠AOB＝∠COD（对顶角相等），
∴∠A+∠B＝∠C+∠D（等量代换），
故答案为：三角形的内角和等于180°，等式的性质，∠C+∠D＝180°﹣∠COD，对顶角相等，等量代换．
【题型12】已知两角或三角的数量关系求三角形内角
【典例】若三角形三个内角度数之比为2：3：5，则这个三角形一定是（ ）
A.等腰直角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形
【答案】C
【解析】设三个内角的度数为2x，3x，5x，根据三角形的内角和定理列方程，解出三个内角的度数即可进行判断．
设三个内角的度数为2x，3x，5x，
根据三角形的内角和定理，可得2x+3x+5x＝180°，
解得x＝18°，
∴三个内角的度数为36°，54°，90°，
故三角形是直角三角形，
故选：C．
【强化训练1】若一个三角形的三个内角度数的比为2：3：4，则这个三角形是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
【答案】A
【解析】根据三角形的内角和定理和三个内角的度数比，即可求得三个内角的度数，再根据三个内角的度数进一步判断三角形的形状．
∵三角形三个内角度数的比为2：3：4，
∴三个内角分别是180°40°，180°60°，180°80°．
所以该三角形是锐角三角形．
故选：A．
【强化训练2】如图，若OB，OC分别是∠ABC，∠ACB的四等分线，也就是∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB，若∠A＝56°，则∠BOC＝ °．
【答案】149．
【解析】先根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，再由∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB得出∠OBC+∠OCB的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论．
∵∠A＝56°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣56°＝124°，
∵∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB）124°＝31°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣31°＝149°．
故答案为：149．
【强化训练3】如图，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB．若∠A＝72°，则∠D﹣∠E＝ °．
【答案】36
【解析】先根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，再由BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB得出∠EBC+∠ECB，∠DBC+∠DCB的度数，由三角形内角和定理得出∠E，∠D的度数，进而得出结论．
∵∠A＝72°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣72°＝108°，
∵BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB，
∴∠EBC+∠ECB（∠ABC+∠ACB）108°＝72°，
∠DBC+∠DCB（∠ABC+∠ACB）108°＝36°，
∴∠D＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣36°＝144°；
∠E＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）＝180°﹣72°＝108°，
∴∠D﹣∠E＝144°﹣108°＝36°．
故答案为：36．
【强化训练4】在△ABC中，已知∠A＝105°，∠B﹣∠C＝15°，求∠C的度数．
【答案】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，
而∠A＝105°，∠B＝∠C+15°，
∴105°+∠C+15°+∠C＝180°，
∴∠C＝30°，
∴∠B＝∠C+15°＝30°+15°＝45°．
【强化训练5】在中，比多，求各内角度数．
【答案】解：由题意，得，，
因为，
所以，
解得，
所以，，．
【题型13】直角三角形两锐角互余
【典例】如图，在中，点D为边延长线上的一点，于点F，交于点E，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本题主要考查三角形内角和定理的应用，根据题意求得，即可求得．
∵，，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
【强化训练1】如图，在中，，，三角板按如图方式放置，点落在上，在同一直线上，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本题考查了邻补角的性质，直角三角形的性质，由邻补角的性质可得，进而由直角三角形两锐角互余即可求解，掌握邻补角的性质是解题的关键．
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：．
【强化训练2】如图，在直角三角形中，，则图中与（除外）相等的角的个数是（ ）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
【答案】A
【解析】本题考查了直角三角形的性质，余角的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．由“直角三角形的两锐角互余”，结合题目条件，得．
∵是斜边上的高，，
∴，
∴，
同理：，
∴
∵，
∴，
∴图中与（除外）相等的角的个数是3，
故选：A．
【强化训练3】如图，于点，平分，为上一点，于点，，则 ．
【答案】
【解析】根据直角三角形的两个锐角互余证明即可．
∵，即，
∴，
∵平分，
∴，
∵，即，
∴，
∴．
故答案为：．
【强化训练4】如图，是的高，，，求度数．
【答案】解：是的高，
，
，，
，，
，，
．
【强化训练5】如图，，垂足为E．．求证：是直角三角形
【答案】证明：，
，
，
，
，
，
是直角三角形．
【题型14】与角平分线有关的三角形内角和问题
【典例】如图，在中，，是的角平分线，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理求出，再由角平分线的定义得到，则由三角形内角和定理可得．
∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
故选：D．
【强化训练1】如图，中，为的角平分线，为的高，与交于点，，，那么（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本题主要考查三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形的高等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．由三角形的内角和可求得，再由角平分线求得，再结合是高，从而可求的度数，由对顶角相等可得，即得解．
，，
，
平分，
，
，
，
，
，
故选：A
【强化训练2】如图， 中，的角平分线与的角平分线交于点，直线与相交于点，于点，，，则 度， 度．
【答案】；
【解析】本题考查了三角形内角和定理的应用；根据三角形的角平分线的定义可得，进而根据三角形的内角和定理，即可求得，进而根据，即可求解．
∵中，分别为的角平分线，，，
∴
∴，
∵，，
∴
又是的角平分线，
∴
∵，
∴
∴
∴
故答案为：；．
【强化训练3】如图，在中，和的平分线相交于点P，若，则的度数为 ．
【答案】
【解析】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义．
根据三角形的内角和定理可求得，再根据角平分线的定义可得，从而在中根据三角形的内角和定理即可求解．
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：
【强化训练4】在中，的平分线交于点，于点，于点，，．
(1)求的度数；
(2)若，，，求的值．
【答案】解：（1）在中，∵，，，
∴，
∵平分，
∴．
（2）∵，
∴．
∵，
∴，，
∴．
【题型15】与平行线有关的三角形内角和问题
【典例】如图， ，，相交于点，如果，，那么的度数是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由 ，得到，由三角形内角和定理，即可求出的度数．
，
，
，，
．
故选：D．
【强化训练1】如图，在中，是的角平分线，点在上，，若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义，根据三角形内角和定理得出，进而根据角平分线的定义，以及平行线的性质，即可求解．
∵，，
∴，
∵是的角平分线，
∴
∵，
∴，
故选：C．
【强化训练2】将一副三角板如图摆放，顶点在边上，顶点在边上，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据两直线平行，内错角相等解得再结合三角板角的性质解答即可．
在中，
故选：A．
【强化训练3】如图， ，于点，延长、交于点，连接，若平分，，，则的度数为 ．
【答案】
【解析】设，，根据已知和角平分线的定义可得，，然后利用平行线的性质可得，，再根据垂直定义可得，从而利用三角形的内角和是可得，进而求出，最后利用角的和差关系进行计算即可解答．
设，，
，
，
平分，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【强化训练4】如图，，连接、、，且．
(1)若，求的度数．
(2)若，求证：．
(3)若与互补，求与的数量关系，并证明．
【答案】（1）解：∵，
，
，
，
，
的度数为；
（2）证明：，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：，
理由：与互补，
，
，，
，
．
【题型16】三角形折叠中的角度问题
【典例】如图，已知，点、分别在、边上，将沿折叠，点落在外部的点处，此时测得，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由折叠性质知，，，再根据平角定义由求得和，再根据三角形内角和定理求得和，由平角定义求得，进而根据角的和差求得．
由折叠性质知，，，
，
，
，
，
，
故选：D．
【强化训练1】如图，、是边、上的点，沿翻折后得到，沿翻折后得到，且点在边上，沿翻折后得到，且点在边上，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本题考查了折叠的性质，三角形的内角和定理．根据折叠的性质以及三角形内角和定理得出，，将已知数据代入，即可求解．
如图所示，
依题意，，
∴
，
即，
，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【强化训练2】如图，在中，，将沿折叠得，若与的边平行，则的度数为（ ）
A. B. C.或 D.或
【答案】C
【解析】本题考查了翻折的性质，三角形内角和定理，平行线的性质；分类讨论：①当时， ②当时；能根据与的不同的边平行进行分类讨论是解题的关键.
①当时，如图1中，
，
，
由折叠得，
；
②当时，如图2，
，
，
，
由折叠得，，
的度数为或；
故选：C．
【强化训练3】如图，将纸片先沿DE折叠，再沿FG折叠，若，则 ．
【答案】
【解析】根据邻角的性质得，，再利用三角形的内角和定理得，最后利用内角和的性质求解即可．
如图，设与相交于点M，与相交于点M，
∵，，
∴，
，
∵将纸片先沿折叠，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
【强化训练4】如图，将沿折叠，使点落在点处，连接．若，，求的度数．
【答案】解：根据题意可知，
直线是与的对称轴，
所以．
因为，
所以，
所以．
在中，．
【强化训练5】探究：
(1)如图①与有什么关系？为什么？
(2)把图①沿折叠，得到图②，填空：______（填“>”“<”“＝”）．
(3)如图③，是由图①的沿折叠得到的，如果，则______．
猜想三个角存在的等量关系为______．
【答案】（1）解： ，理由如下：
由题意知，，
∴；
（2）解：由题意知，，
∴，
故答案为：；
（3）解：∵，，
∴，
由折叠与平角的性质，可知，，
∴，
故答案为：；
由题意知，，
∴三个角存在的等量关系为，
故答案为：．
【题型17】三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
【典例】如图，已知，，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，由平行线的性质得，然后利用三角形外角的性质即可求解．
∵，，
∴．
∵，
∴．
故选D．
【强化训练1】如图，在中，，，是上一点．将沿折叠，使点落在边上的处，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】此题主要考查了三角形内角和定理，翻折变换的性质，根据题意得出是解题关键．先根据三角形内角和定理求出的度数，再由图形翻折变换的性质得出的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．
在中，，，
，
由折叠而成，
，
是的外角，
．
故选：D
【强化训练2】如图，∠CBD是△ABC的一个外角，∠CBD＝80°，∠A＝35°，则∠C＝（ ）
A.35° B.40° C.45° D.55°
【答案】C
【解析】根据三角形的外角的性质可知∠CBD＝∠A+∠C，据此可求得答案．
∵∠CBD是△ABC的一个外角，
∴∠CBD＝∠A+∠C．
∴∠C＝∠CBD﹣∠A＝80°﹣35°＝45°．
故选：C．
【强化训练3】如图，在中，，平分交于点，过点A作交于点E，交于点F，若，则的大小为 ．
【答案】
【解析】此题考查了三角形的内角和定理，熟记三角形的内角和是得出是解题的关键．
根据垂直的定义得到，根据角平分线的定义得到，由三角形的内角和定理得出，再根据三角形的外角定理即可求解．
交于点，
，
平分，
，
，，
，
，，，
，
，
故答案为：．
【强化训练4】如图，中，为边上一点，过作，交于，为边上一点，连接并延长交的延长线于，且．
(1)平分吗？若是，请证明；若不是，请说明理由．
(2)若，，求的度数．
【答案】（1）平分．理由如下：
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴平分；
（2）∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【强化训练5】如图，中，，平分，
(1)若于，，求的大小；
(2)若交于，求证：．
【答案】（1）∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【题型18】判断任意三条线段可否组成三角形
【典例】已知一个三角形的三条边长均为正整数．若其中一条边长为，且它又不是最短边，则满足条件的三角形个数为（ ）
A.4 B.6 C.8 D.10
【答案】C
【解析】本题考查了三角形三边关系，根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，用穷举法即可得出答案．
三角形的三条边长均为整数，其中有一条边长是，但它不是最短边，
列举法：当是最大边时，有．
当4是中间的边时，有共个，
故选：C．
【强化训练1】下列各组线段能搭成一个三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，据此求解即可．
A、∵，
∴长为的三条线段不能构成三角形，不符合题意；
B、∵，
∴长为的三条线段能构成三角形，符合题意；
C、∵，
∴长为的三条线段不能构成三角形，不符合题意；
D、∵，
∴长为的三条线段不能构成三角形，不符合题意；
故选：B．
【强化训练2】已知三角形的三条边长均为整数，其中有一条边长是3，但它不是最短边，这样的三角形共有 个．
【答案】4
【解析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，用穷举法即可得出答案．
∵三角形的三条边长均为整数，其中有一条边长是3，但它不是最短边，
列举法：当3是最大边时，有．
当3是中间的边时，有．
共4个，
故答案为：4．
【强化训练3】给出三条线段： 、、；三边之比为； 、、； 、、．其中能组成三角形的有 （填序号）．
【答案】
【解析】本题考查了组成三角形的条件，①满足三角形三边关系，据此可判断是否符合题意；可设三边长度为、、其中，再利用三角形三边关系进行判断，同理判断、，掌握三角形三边关系是解题的关键．
因为，，能够组成三角形；
②设三边长度为、、其中，，能组成三角形；
③，不能组成三角形；
④，能组成三角形．
故答案为：．
【强化训练4】下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？
(1)，，；
(2)，，；
(3)，，．
【答案】解：（1）不能．
∵，
∴长度分别为，，的三条线段不能组成三角形；
（2）不能．
∵，
∴长度分别为，，的三条线段不能组成三角形；
（3）能．
∵，
∴长度分别为，，的三条线段能组成三角形．
【强化训练5】有四条线段，长度分别为4 cm，8 cm，10 cm，12 cm，选其中三条组成三角形，试问可以组成多少个三角形？分别写出来．
【答案】解：∵，
∴可以组成3个三角形，
分别为：（1）8 cm，10 cm，12 cm；（2）4 cm，10 cm，12 cm；（3）4 cm，8 cm，10 cm．
【题型19】确定第三边的取值范围
【典例】有一个教具是由两根细小的直木棒和一根橡皮筋制作而成，都可绕点A在同一个平面内旋转，端点由橡皮筋连接，如果，那么的长度的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题考查了三角形的三边关系，是基础题，熟记三边关系是解题的关键．根据三角形三边关系求解即可．
在点A的同一侧且在同一条直线上时最短，为，
分别在点A的两侧且在同一条直线上时最长，为．
故的长度的取值范围是，
故选：B
【强化训练1】有四根长度分别为3，4，6，x（x为正整数）的木棒，从中任取三根，首尾顺次相接都能组成一个三角形，甲、乙分别给出了下列结论，判断正确的是（ ）
甲：x的取值可能有4个
乙：组成的三角形中，周长最大为16
A.甲、乙都正确 B.甲、乙都不正确 C.甲正确，乙不正确 D.甲不正确，乙正确
【答案】D
【解析】本题考查的是三角形三边关系，利用了分类讨论的思想.熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答本题的关键.
解：其中的任意三根的组合有3、4、6；3、4、x;3、6、x；4、6、x共四种情况，
由题意：从中任取三根，首尾顺次相接都能组成一个三角形，可得，即或5或6.
①当三边为3、4、6时，其周长为
②当时，周长最小为，周长最大为；
③当时，周长最小为，周长最大为；
④若时，周长最小为，周长最大为；
综上所述，x的取值可能有3个，三角形周长最大为16．
故答案为：D.
【强化训练2】已知长度为的三条线段可围成三角形，则x的取值范围是 ．
【答案】
【解析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此列式求解即可．
∵长度为的三条线段可围成三角形，
∴，
∴，
故答案为：．
【强化训练3】一个三角形3条边长分别为、、，它的周长不超过，则x的取值范围是 ．
【答案】
【解析】本题主要考查三角形三边关系及不等式组的应用，掌握三角形三边关系是解题的关键．根据三角形的周长和三角形三边关系建立关于x的不等式组，解不等式组即可．
根据题意得：，
解得：，
故答案为：．
【强化训练4】已知在中，．
(1)若，求的取值范围；
(2)若，求的取值范围．
【答案】（1）解：由题意可得：，
解得：；
（2）解：由题意可得：，
解得：．
【强化训练5】如图，在中，点为边上一点，交于点．
(1)若的长为奇数，求的长度；
(2)若，求的度数．
【答案】（1）解：∵在中， ，
∴，即，
∵的长为奇数，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴．
【题型20】等腰三角形中的三边关系
【典例】等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个三角形的周长是（ ）
A.15 B.12 C.12或15 D.9
【答案】A
【解析】本题考查了等腰三角形的定义和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为3和6，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
若3为腰长，6为底边长，
由于，则三角形不存在；
若6为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．
所以这个三角形的周长为．
故选：A
【强化训练1】一个等腰三角形的周长为20，一边为5，则另两边的长为（ ）
A.7.5，7.5 B.5，10或7.5，7.5 C.10，5 D.10，15
【答案】A
【解析】本题考查等腰三角形的定义，三角形三边关系，分底边为和腰长为两种情况讨论然后再验证即可得出答案．
当底边为时，设腰长为x，则，
解得：，
当腰长为，设底边为，则，
解得：，
此时，与三角形任意两边之和大于第三边矛盾，故舍去．
综上，另两边长为7.5，7.5．
故选A．
【强化训练2】如果是等腰三角形，且，则的周长为（ ）．
A.13 B.17 C.17或22 D.22
【答案】D
【解析】本题考查了绝对值非负性的应用，构成三角形的条件，等腰三角形的性质；由绝对值非负性可求，，分类讨论①当时，②当时，即可求解；理解非负性，能个根据等腰三角形的腰的不同进行分类讨论是解题的关键．
，
，，
，，
是等腰三角形，
①当时，
三边长为：4，4，9，
，
不能构成三角形；
②当时，
三边长为：4，9，9，
能构成三角形，
故三角形的周长为；
综上所述：三角形的周长为；
故选：D.
【强化训练3】若长度分别为a，2，5的三条线段能组成一个等腰三角形，则 ．
【答案】
【解析】根据三角形三边关系，等腰三角形的性质分类计算即可，本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，熟练掌握三边关系是解题的关键．
当时，三边分别为，
∵，与两边之和大于第三边矛盾，
不成立；
当时，三边分别为，
∵，与两边之和大于第三边一致，
成立；
故，
故答案为：5．
【强化训练4】已知等腰三角形底边为，一腰上的中线分此三角形的周长成两部分，其差为，则腰长为 ．
【答案】6或10
【解析】本题主要考查了等腰三角形的计算，正确理解分两种情况讨论是解题的关键．
由题意可知两部分之差可以是底边与腰之差，也可能是腰与底边之差，解答时应注意．设等腰三角形的腰长是，根据其中一部分比另一部分长2，列方程求解．
如图，设等腰三角形的腰长是．
当与的差是2时，即，
解得：，
10，10，8能够组成三角形，符合题意；
当与的差是2时，即，
解得：，
6，6，8能够组成三角形，符合题意．
综上所述，腰长是6或10．
故答案为：6或10．
【强化训练5】已知三角形的三边为3，，8；
(1)直接写出x的取值范围是_________________
(2)若此三角形是等腰三角形，求x．
【答案】（1）解：∵三角形的三边为3，，8，
∴，即，
解得，
故答案为：；
（2）解：∵，已知两边为3，8，
∴当时，此三角形是等腰三角形，
解得．
【强化训练6】一个等腰三角形的一边长为，周长为，求其他两边的长．
【答案】解：①若等腰三角形的腰长为，
则：
即另外两边长分别为
②若等腰三角形的底边长为
则：
即另外两边长均为8cm．
【题型21】三角形的稳定性
【典例】如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框，使其不变形，这样做的根据是（ ）
A.两点之间线段最短 B.两点确定一条直线 C.长方形的四个角都是直角 D.三角形具有稳定性
【答案】D
【解析】考查三角形稳定性的实际应用，根据三角形的稳定性，可直接选择．
加上后，原图形中具有了，故这种做法根据的是三角形的稳定性．
故选C．
【强化训练1】空调安装在墙上时，一般都会采用如图的方法固定，这种方法应用的几何原理是（ ）
A.三角形的稳定性 B.两点之间线段最短 C.两点确定一条直线 D.垂线段最短
【答案】A
【解析】本题主要考查了三角形的稳定性，正确掌握三角形的这一性质是解题的关键．
钉在墙上的方法是构造三角形支架，因而应用了三角形的稳定性．
这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性，
故选：A．
【强化训练2】如图，用四根细木条和一些图钉做成一个四边形框架，为了使这个框架具有稳定性，可再钉上一根细木条（图中灰色木条）.下列四种情况中不能成功是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本题考查了三角形的稳定性．利用三角形的稳定性确定正确的选项即可．
根据题意得：为了使这个框架有稳定性，需要钉上一根细木条，使得构成三角形，
A、B、C选项中均可，D不可以，
故选：D．
【强化训练3】下列图形中，具有稳定性的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题考查了三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性，再确定各图形中多边形的形态进行解答即可．
A、三角形下方是四边形，不具有稳定性，故A不符合题意，
B、对角线两侧是三角形，具有稳定性，故B符合题意，
C、连线两侧是四边形，不具有稳定性，故C不符合题意，
D、连线两侧是四边形，不具有稳定性，故D不符合题意，
故选：B．
【强化训练4】如图，人字梯中间一般会设计一个“拉杆”，这是因为 ．
【答案】三角形的稳定性
【解析】本题主要考查了三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的稳定性，根据三角形的稳定性进行解答即可．
人字梯中间一般会设计一个“拉杆”，这是因为三角形的稳定性．
故答案为：三角形的稳定性．
【强化训练5】如图是照相机的三角支架，它的作用是保持相机的稳定性，其中依据的数学道理是 ．
【答案】三角形具有稳定性
【解析】本题考查了三角形的稳定性，理解题干“照相机的三角支架”以及“保持相机的稳定性”这些文字信息是解题的关键．
依题意，依据的数学道理是三角形具有稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性
【强化训练6】教室里张贴的国旗，只需要在上边沿两处位置贴上胶布就能粘牢，原因是“两点确定一条直线”，请问下图的三角警示牌不会倒塌的原因是 ．
【答案】三角形具有稳定性
【解析】本题主要考查了三角形的稳定性．根据三角形具有稳定性，即可求解．
根据题意得：
三角警示牌不会倒塌的原因是三角形具有稳定性．
故答案为：三角形具有稳定性华师大版（2024）七年级下册 8.1 与三角形有关的边和角 题型专练
【题型1】三角形的识别与有关概念
【典例】如图，在△BDF和△ABC中，它们相同的角是（ ）
A.∠A B.∠C C.∠ABC D.∠ACB
【强化训练1】三角形是（ ）
A.由在同一平面内的三条直线首尾顺次相接所组成的图形
B.由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形
C.任意连接在同一平面内的三个点所得到的封闭图形
D.由在同一平面内的三条线段所组成的图形
【强化训练2】如图，D是△ABC的边BC上的一点，则在△ABC中，∠C所对的边是 ；在△ACD中，∠C所对的边是 ．
【强化训练3】如图，（1）写出所有以E为顶点的小于平角的角；
（2）写出所有以AE为边的三角形.
【强化训练4】如图，在中，，分别是边上的点，连接，，相交于点．
(1)的三个顶点是什么 三条边是什么
(2)是哪些三角形的边
【题型2】三角形的个数问题
【典例】图中三角形的个数是（ ）
A. B. C. D.
【强化训练1】如图，在中，点、分别在、上，则图中三角形的个数是（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
【强化训练2】如图所示的多边形被分割成了 个三角形．
【强化训练3】如图，在中，，，，，为边上不同的个点，从点首先连接，图中出现了3个不同的三角形；再连接，图中便有6个不同的三角形……如此继续下去.连接BAn后，共有三角形的个数是 .
【强化训练4】在下面一组图形中：
（1）各图形中分别有几个三角形？
（2）说出各个图形中以B为顶点的角所对的边.
【强化训练5】如图所示，图中共有多少个三角形？请写出这些三角形并指出所有以E为顶点的角．
【题型3】三角形按角分类
【典例】一个三角形的三个内角度数各不相等，其中最小的角是，那么这个三角形是一个（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定
【强化训练1】在△ABC中，∠A是锐角，那么△ABC是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定
【强化训练2】如图所示，方格中有A、B、C、D、E五个格点，以这5个格点中的3个点为顶点画三角形，其中直角三角形有( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【强化训练3】在中，若，，则是 ．
【强化训练4】观察图中的三角形，把它们的标号填入相应横线上．
锐角三角形 ，直角三角形 ，钝角三角形 ．
【强化训练5】说出图中的锐角三角形，直角三角形和钝角三角形．
【强化训练6】满足下列条件的三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形．
(1)△ABC中，∠A＝30°，∠C＝∠B；
(2)三个内角的度数之比为1:2:3.
【题型4】三角形按边分类
【典例】已知三边a、b、c满足，则的形状是（ ）
A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.以上都不对
【强化训练1】△ABC的三边长a,b,c满足关系式(a-b)(b-c)(c-a)=0,则这个三角形一定是( )
A.等腰三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.无法确定
【强化训练2】已知△ABC的三边长为a，b，c，且满足（a﹣2）2+|b﹣2|+|c﹣2|＝0，则此三角形一定是（ ）
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.一般三角形
【强化训练3】若一个三角形三边的长度比为，周长为 cm，则这个三角形三边的长分别为 ，按边分，这个三角形是 三角形．
【强化训练4】小佳同学复习时将三角形按边长的等量关系整理成上表，请帮她在括号内填上一个适当的条件，该条件可以是____________．（填写一个条件即可）
【强化训练5】已知的三边长分别为a，b，c．若a，b，c满足，试判断的形状．
【题型5】三角形分类的综合
【典例】下列说法：（1）一个等边三角形一定不是钝角三角形；（2）一个钝角三角形一定不是等腰三角形；（3）一个等腰三角形一定不是锐角三角形；（4）一个直角三角形一定不是等腰三角形．其中正确的有（ ）个
A.1 B.2 C.3 D.4
【强化训练1】下列说法:①等边三角形是等腰三角形;②等腰三角形也可能是直角三角形;③三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形;④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【强化训练2】下列关于三角形分类不正确的是（整个大方框表示全体三角形）（ ）
A. B. C. D.
【强化训练3】下列说法:①等边三角形是等腰三角形;②等腰三角形也可能是直角三角形;③三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形;④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【强化训练4】如图，在中，，．动点P从点C出发，沿边，向点A运动．在点P运动过程中，可能成为的特殊三角形依次是（ ）
A.直角三角形→等边三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形
B.等腰三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形
C.直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形
D.等腰直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形
【题型6】识别（作出）三角形的高线
【典例】如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A. B. C. D.
【强化训练1】如图，中边上的高线为（ ）
A. B. C. D.
【强化训练2】在三角形的三条高中，位于三角形外的可能条数是 条．
【强化训练3】如图，H若是△ABC三条高AD，BE，CF的交点，则△BHA中边BH上的高是 ．
【强化训练4】图①、图②、图③都是4×4的正方形网格，每个小正方形顶点叫做格点．的顶点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图．
(1)在图①中作边上的高．
(2)在图②中作边上的高．
(3)在图③中作边上的高．
【题型7】三角形面积的计算与等面积法
【典例】如图，于B，于E，垂直于的延长线于D，以下说法：①在中，边上的高是；②在中，边上的高是； ③在中，边上的高是； ④若，，则．其中正确的有（ ）
A.①② B.①④ C.②③ D.②④
【强化训练1】如图，梯形的面积为，点在上，三角形的面积是三角形面积的2倍，的长为2，的长为5，那么三角形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【强化训练2】在中，与边上的中线长分别为，，则的面积不可能为（ ）
A. B. C. D.
【强化训练3】如图，在中，，，的高与的比是 ．
【强化训练4】如图，在中，，分别是边上的高，且，则的长为 ．
【强化训练5】在和中，，，交于点．
(1)在中，边上的高是________．
(2)在中，边上的高是________．
(3)若，，，求的面积及的长．
【题型8】根据三角形的中线求长度
【典例】如图，是的中线，，则的长为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.6
【强化训练1】如图，在中边上的中线把分成周长为30cm和22cm的两部分，则的长为（ ）
A.11cm B.14cm C.16cm D.19cm
【强化训练2】如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多，与的和为，则的长为 ．
【强化训练3】如图，若是的中线，，则 ．
【强化训练4】已知，是边上的中线，且，若的周长比的周长大5，求的长．
【强化训练5】如图，在中，是中线，．
(1)求与的周长差．
(2)点在边上，连接，若与四边形的周长相等，求线段的长．
【题型9】根据三角形的中线求面积
【典例】如图，已知、分别为的边、的中点，连接、，为的中线． 若四边形的面积为20，则的面积为（ ）
A.30 B.32 C.34 D.36
【强化训练1】如图，中，D、E分别为、的中点，，则阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
【强化训练2】如图，已知点、、分别为、、的中点，若四边形的面积为，则的面积为 ．
【强化训练3】如图，在中，是的中点，是的中点，是的中点，是的中点，则= ．
【强化训练4】如图，的中线相交于点F，
(1)图中与面积相等是三角形有____个（不含）；
(2)若的面积是，求四边形的面积．
【强化训练5】如图所示，是的中线，是的中线，是的中线，是的中线．
(1)与的面积有何关系？请说明理由；
(2)若，求的面积．
【题型10】三角形的角平分线
【典例】如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕l，则l是的（ ）
A.中线 B.高线 C.角平分线 D.任意一条线段
【强化训练1】如图，在中，角平分线，相交于点，连接，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C.平分 D.
【强化训练2】如图，的角平分线与中线交于点，则结论（ ）
①是的角平分线；
②是的中线．
A.①，②都正确 B.①不正确，②正确 C.①，②都不正确 D.①正确，②不正确
【强化训练3】如图，在中，为两条角平分线，，则图中与相等的角有 个．
【强化训练4】如图所示，在中，，是的中点，延长交于点，为上一点，交于点．①是的角平分线；②是的边上的中线；③为的边上的高；④是的角平分线和高线，其中判断正确的有 ．
【强化训练5】如图，是的角平分线，P是延长线上的一点，交于点M，交于点N．试说明：平分．
【强化训练6】如图，是的角平分线，，交AC于点F，已知，求的度数．
【题型11】已知两角求第三角的大小
【典例】如图，已知点是射线上一动点（不与点重合），，若是钝角三角形，则的取值范围是（ ）
A.
B.
C.或
D.或
【强化训练1】如图，△ABC中，∠A＝84°，∠B＝60°，则∠C＝（ ）
A.36° B.40° C.46° D.54°
【强化训练2】三角形三个内角的度数分别是，且，则该三角形一定有一个内角为（ ）
A. B. C. D.
【强化训练3】如果，且 ，则 ．
【强化训练4】如图，已知 ， ，， 与 存在什么位置关系？请说明理由．
【强化训练5】填空：
已知：如图，AC，BD相交于点O．
求证：∠A+∠B＝∠C+∠D．
证明：在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB＝180°（ ）．
∴∠A+∠B＝180°﹣∠AOB（ ）．
在△COD中，同理可得
（ ∠C+∠D＝180°﹣∠COD ）．
∵∠AOB＝∠COD（ ），
∴∠A+∠B＝∠C+∠D（ ）．
【题型12】已知两角或三角的数量关系求三角形内角
【典例】若三角形三个内角度数之比为2：3：5，则这个三角形一定是（ ）
A.等腰直角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形
【强化训练1】若一个三角形的三个内角度数的比为2：3：4，则这个三角形是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
【强化训练2】如图，若OB，OC分别是∠ABC，∠ACB的四等分线，也就是∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB，若∠A＝56°，则∠BOC＝ °．
【强化训练3】如图，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB．若∠A＝72°，则∠D﹣∠E＝ °．
【强化训练4】在△ABC中，已知∠A＝105°，∠B﹣∠C＝15°，求∠C的度数．
【强化训练5】在中，比多，求各内角度数．
【题型13】直角三角形两锐角互余
【典例】如图，在中，点D为边延长线上的一点，于点F，交于点E，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【强化训练1】如图，在中，，，三角板按如图方式放置，点落在上，在同一直线上，则（ ）
A. B. C. D.
【强化训练2】如图，在直角三角形中，，则图中与（除外）相等的角的个数是（ ）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
【强化训练3】如图，于点，平分，为上一点，于点，，则 ．
【强化训练4】如图，是的高，，，求度数．
【强化训练5】如图，，垂足为E．．求证：是直角三角形
【题型14】与角平分线有关的三角形内角和问题
【典例】如图，在中，，是的角平分线，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【强化训练1】如图，中，为的角平分线，为的高，与交于点，，，那么（ ）
A. B. C. D.
【强化训练2】如图， 中，的角平分线与的角平分线交于点，直线与相交于点，于点，，，则 度， 度．
【强化训练3】如图，在中，和的平分线相交于点P，若，则的度数为 ．
【强化训练4】在中，的平分线交于点，于点，于点，，．
(1)求的度数；
(2)若，，，求的值．
【题型15】与平行线有关的三角形内角和问题
【典例】如图， ，，相交于点，如果，，那么的度数是( )
A. B. C. D.
【强化训练1】如图，在中，是的角平分线，点在上，，若，，则（ ）
A. B. C. D.
【强化训练2】将一副三角板如图摆放，顶点在边上，顶点在边上，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【强化训练3】如图， ，于点，延长、交于点，连接，若平分，，，则的度数为 ．
【强化训练4】如图，，连接、、，且．
(1)若，求的度数．
(2)若，求证：．
(3)若与互补，求与的数量关系，并证明．
【题型16】三角形折叠中的角度问题
【典例】如图，已知，点、分别在、边上，将沿折叠，点落在外部的点处，此时测得，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【强化训练1】如图，、是边、上的点，沿翻折后得到，沿翻折后得到，且点在边上，沿翻折后得到，且点在边上，若，则（ ）
A. B. C. D.
【强化训练2】如图，在中，，将沿折叠得，若与的边平行，则的度数为（ ）
A. B. C.或 D.或
【强化训练3】如图，将纸片先沿DE折叠，再沿FG折叠，若，则 ．
【强化训练4】如图，将沿折叠，使点落在点处，连接．若，，求的度数．
【强化训练5】探究：
(1)如图①与有什么关系？为什么？
(2)把图①沿折叠，得到图②，填空：______（填“>”“<”“＝”）．
(3)如图③，是由图①的沿折叠得到的，如果，则______．
猜想三个角存在的等量关系为______．
【题型17】三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
【典例】如图，已知，，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【强化训练1】如图，在中，，，是上一点．将沿折叠，使点落在边上的处，则等于（ ）
A. B. C. D.
【强化训练2】如图，∠CBD是△ABC的一个外角，∠CBD＝80°，∠A＝35°，则∠C＝（ ）
A.35° B.40° C.45° D.55°
【强化训练3】如图，在中，，平分交于点，过点A作交于点E，交于点F，若，则的大小为 ．
【强化训练4】如图，中，为边上一点，过作，交于，为边上一点，连接并延长交的延长线于，且．
(1)平分吗？若是，请证明；若不是，请说明理由．
(2)若，，求的度数．
【强化训练5】如图，中，，平分，
(1)若于，，求的大小；
(2)若交于，求证：．
【题型18】判断任意三条线段可否组成三角形
【典例】已知一个三角形的三条边长均为正整数．若其中一条边长为，且它又不是最短边，则满足条件的三角形个数为（ ）
A.4 B.6 C.8 D.10
【强化训练1】下列各组线段能搭成一个三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【强化训练2】已知三角形的三条边长均为整数，其中有一条边长是3，但它不是最短边，这样的三角形共有 个．
【强化训练3】给出三条线段： 、、；三边之比为； 、、； 、、．其中能组成三角形的有 （填序号）．
【强化训练4】下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？
(1)，，；
(2)，，；
(3)，，．
【强化训练5】有四条线段，长度分别为4 cm，8 cm，10 cm，12 cm，选其中三条组成三角形，试问可以组成多少个三角形？分别写出来．
【题型19】确定第三边的取值范围
【典例】有一个教具是由两根细小的直木棒和一根橡皮筋制作而成，都可绕点A在同一个平面内旋转，端点由橡皮筋连接，如果，那么的长度的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【强化训练1】有四根长度分别为3，4，6，x（x为正整数）的木棒，从中任取三根，首尾顺次相接都能组成一个三角形，甲、乙分别给出了下列结论，判断正确的是（ ）
甲：x的取值可能有4个
乙：组成的三角形中，周长最大为16
A.甲、乙都正确 B.甲、乙都不正确 C.甲正确，乙不正确 D.甲不正确，乙正确
【强化训练2】已知长度为的三条线段可围成三角形，则x的取值范围是 ．
【强化训练3】一个三角形3条边长分别为、、，它的周长不超过，则x的取值范围是 ．
【强化训练4】已知在中，．
(1)若，求的取值范围；
(2)若，求的取值范围．
【强化训练5】如图，在中，点为边上一点，交于点．
(1)若的长为奇数，求的长度；
(2)若，求的度数．
【题型20】等腰三角形中的三边关系
【典例】等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个三角形的周长是（ ）
A.15 B.12 C.12或15 D.9
【强化训练1】一个等腰三角形的周长为20，一边为5，则另两边的长为（ ）
A.7.5，7.5 B.5，10或7.5，7.5 C.10，5 D.10，15
【强化训练2】如果是等腰三角形，且，则的周长为（ ）．
A.13 B.17 C.17或22 D.22
【强化训练3】若长度分别为a，2，5的三条线段能组成一个等腰三角形，则 ．
【强化训练4】已知等腰三角形底边为，一腰上的中线分此三角形的周长成两部分，其差为，则腰长为 ．
【强化训练5】已知三角形的三边为3，，8；
(1)直接写出x的取值范围是_________________
(2)若此三角形是等腰三角形，求x．
【强化训练6】一个等腰三角形的一边长为，周长为，求其他两边的长．
【题型21】三角形的稳定性
【典例】如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框，使其不变形，这样做的根据是（ ）
A.两点之间线段最短 B.两点确定一条直线 C.长方形的四个角都是直角 D.三角形具有稳定性
【强化训练1】空调安装在墙上时，一般都会采用如图的方法固定，这种方法应用的几何原理是（ ）
A.三角形的稳定性 B.两点之间线段最短 C.两点确定一条直线 D.垂线段最短
【强化训练2】如图，用四根细木条和一些图钉做成一个四边形框架，为了使这个框架具有稳定性，可再钉上一根细木条（图中灰色木条）.下列四种情况中不能成功是（ ）
A. B. C. D.
【强化训练3】下列图形中，具有稳定性的是（ ）
A. B. C. D.
【强化训练4】如图，人字梯中间一般会设计一个“拉杆”，这是因为 ．
【强化训练5】如图是照相机的三角支架，它的作用是保持相机的稳定性，其中依据的数学道理是 ．
【强化训练6】教室里张贴的国旗，只需要在上边沿两处位置贴上胶布就能粘牢，原因是“两点确定一条直线”，请问下图的三角警示牌不会倒塌的原因是 ．
