2026届河北省高考数学综合能力评估卷（含答案）

2026届河北省高考综合能力评估卷
数学
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
2.已知为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
3.若，，且，，则的值是 ．
A. B. C. 或 D. 或
4.已知向量，的夹角是，且，，则在方向上的投影向量是( )
A. B. C. D.
5.已知函数满足其中是的导数，若，，，则下列选项中正确的是( )
A. B. C. D.
6.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”意思是两个同高的几何体在等高处的截面积都相等，则这两个几何体的体积相等现有同高的三棱锥和圆锥满足祖暅原理的条件，若圆锥的侧面展开图是半径为且圆心角为的扇形，由此推算三棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
7.已知圆：，直线：，若直线与圆交于，两点，且满足，则实数的值为( )
A. B. C. D.
8.函数的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知抛物线的焦点为，若上存在个互不重合的点，，，，满足，下列结论中正确的是( )
A. 若，则的最小值为
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则的最小值为
10.为等比数列的前项和，为的公比，，，则( )
A. B. 是和的等差中项
C. D.
11.动点在椭圆上，，为的左、右焦点，直线和直线分别交于点，，若的周长为，且的左顶点和上顶点距离为，则( )
A. 椭圆焦距为 B. 离心率
C. 面积最大值为 D. 和斜率乘积为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中的系数为 用数字作答．
13.已知命题，，命题，使得成立若是真命题，是假命题，则实数的取值范围为 ．
14.已知成对样本数据，，，中，，，互不相等，且所有样本点都在直线上，则这组成对样本数据的样本相关系数 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
元旦晚会上，班委为了活跃氛围，特准备了“丢沙包”游戏，参与者在指定范围内投掷沙包入框，并制定了两个小游戏，且每位参与者只能参加其中一项游戏，规则如下：
游戏一：参与者进行投掷，若在投掷过程中累计命中次数达到次，则游戏立即结束并获奖，若投掷次且后仍未累计命中次，则游戏结束，无法获奖；
游戏二：参与者进行投掷，不限投掷次数，若每次投掷中，命中记分，未命中记分，当累计得分达到分，则游戏立即结束并获奖，当累计得分达到分，游戏立即结束，无法获奖．
现有甲、乙两位同学分别参加游戏，且每位同学每次投掷是否命中相互独立．已知甲同学参加游戏一，且每次命中率为；乙同学参加游戏二，每次命中率为 ．
当时，记甲同学投掷次数为，求的分布列及期望；
当时，记事件：甲同学获奖，求用含的表达式表示；
记甲同学获奖时，投掷次数不超过次的概率为记乙同学得分为，表示乙得分时，最终获奖的概率，若乙同学获奖概率不小于，求的最小值．
16.本小题分
记锐角的内角，，的对边分别为，，，的面积为，已知．
求角；
若，求周长的取值范围．
17.本小题分
如图，已知多面体的底面是边长为的菱形，底面，，且．
证明：直线平面
证明：平面平面；
若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值．
18.本小题分
已知双曲线的左右焦点为，，离心率为，过点且与轴平行的直线与的两条渐近线分别交于，两点，且．
求双曲线的标准方程；
记点，若过点且不过点的直线与交于，两点，且平分，求的方程．
19.本小题分
已知函数，．
Ⅰ若是函数的极小值点，求的取值范围；
Ⅱ设，点是直线与函数的交点，求证：．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由题可知： 的取值可能为，，，
，
，
，
故 的分布列为
所以 ．
记事件 ：甲同学获奖，
显然， ，设 表示甲投掷的次数，
若甲投掷 次并获奖，
则 ，
所以 ，
令 ，
所以 ，
两式相减： ，
，
即 ，
所以 ．
记 表示乙同学的得分， ，
记事件 ：乙同学获奖， 表示乙同学得分为 分时，最终获奖的概率，
显然 ，又 ，
由全概率公式知： ，
所以 ，
那么
，
即 ，
同理： ，
，
，
，
累加有 ，
所以 ，
即 ，
即 ，
即 ，
由甲同学获奖时，投掷次数不超过次的概率为 得： ，
由 ，即 ，解得 ，
故 的最小值为 ．
16.【解析】因为，
由面积公式得，
即，
由余弦定理得，
则，
所以，
即，
因为，
则，
所以，
即；
因为，由正弦定理得，
所以，，
可得，
因为为锐角三角形，
所以，解得，
所以，
所以
则
所以周长为．
17.证明：连结，交于点，设中点为，连结，，
，分别为，的中点，，且，
，且，，且，
四边形是平行四边形，，，
平面，平面，平面．
平面，平面，，
是菱形，，
，平面，
，平面，
平面，平面平面．
解：直线与平面所成角为，且平面，
，，
，为等边三角形．
平面，由知，
平面．
平面，平面，且．
在菱形中，．
以点为原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系如图．
则，
则．
设平面的法向量为，
则，即
令，则，则法向量．
设平面的法向量为，
则，即
令，则则法向量，
设二面角的大小为，由于为钝角，
则．
二面角的余弦值为．
18.解：因为双曲线的离心率为，
所以，
所以，
又因为双曲线的渐近线方程为，
令，则，
解得，，，
所以的标准方程为；
由题意，知直线的斜率不为，
设仿程为，，，
所以直线方程为，即，
所以直线方程为，即，
联立，得，
，，且，，
到直线的距离的平方，
到直线的距离的平方，
因为平分，所以，即，
即，
即，
所以，即，
所以，即，
代入得，解得，
所以方程为．
19.解：Ⅰ，
由
当时，恒成立，没有极小值点；
当时，，
当，则，时 ，得是函数的极小值点；
当时，，
当，则，时，得是函数的极大值点；
综上，若是函数的极小值点，则的取值范围是；
Ⅱ，
由题意得，
欲证，只要证，
只要证，
只要证，
令，
在时递增，
在时递增，
，
．