湖南岳阳市平江县颐华高级中学2025-2026学年高三下学期入学考试数学试题（高复部）（含解析）

平江颐华学校(高复部) 2026 年春季开学测试试卷·数学
一、单项选择题(每小题 5 分)
1. 设集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
2. 若 ,则下列不等式成立的是( )
A. B.
C. D.
3. 如图,在长方体 中, 为棱 的中点, 为四边形 内(含边界)的一个动点. 且 ,则动点 的轨迹长度为( )
A. 5 B. C. D.
4. 已知函数 在 上单调递增,在 上单调递减, 且 ,则 ( )
A. B. C. D.
5. 已知 的内角 的对边分别为 是 上靠近 的三等分点， ，则 的取值范围为()
A. B. C. D.
6. 已知数列 满足 ,且 ,则数列 最大项是( )
A. B.
C. D. 不存在
7. 如图所示的矩形 中, 满足 为 的中点,若 ，则 的值为( )
A. B. C. D. 2
8. 已知函数 与 的图象如图所示,则不等式 的解集为 ( )
A.
B. C. D.
二、多项选择题(每小题 6 分)
9. 是虚数单位,下列说法中正确的有( )
A. 若复数 满足 ,则
B. 若复数 满足 ,则
C. 若复数 ,则 可能是纯虚数
D. 若复数 满足 ，则 对应的点在第一象限或第三象限
10. 下列命题中, 不正确的是 ( )
A. 如果 ,那么
B. 如果 ,那么
C. 如果 ,那么
D. 如果 ,那么
11. 已知 ,下列说法正确的是 ( )
A. 在 处的切线方程为 B. 单调递增区间为
C. 的极大值为 D. 的极小值点为
三、填空题(每小题 5 分)
12. 已知 ,点 在 内,且 ,设 ,则 等于_____.
13. 在平面直角坐标系 中,角 与角 均以 为始边,它们的终边关于 轴对称. 若 ，则 的最小值为_____.
14. 已知 和 的图像的连续的三个交点 构成三角形 , 则 的面积等于_____.
四、解答题
15. 已知向量 ，设函数 .
(1)求函数 的最大值，及取得最大值时 取值的集合；
(2)设 为锐角三角形 的三个内角，若 ，求 的值.
16. 在递增的等差数列 中, .
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
17. 如图所示,已知点 是平行四边形 所在平面外一点, 分别为 , 的中点,平面 平面 .
(1)判断直线 与 的位置关系并证明；
(2)求证: 平面 ；
(3)直线 上是否存在点 ，使得平面 平面 ？若存在，求出点 的位置，并加以证明; 若不存在, 请说明理由.
18. 如图, 为 的中线 的中点,过点 的直线分别交 两边于点 ,记 ,设 .
(1)试用向量 表示 ；
(2)判断 是否是定值，若是，求出该定值，若不是，说明理由;
(3)设 的面积为 ， 的面积为 ，求 的取值范围.
19. 已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求函数 的极值；
(3)若 在 时取得极值，设 ，当 时，试比较 与 大小,并说明理由.
1. C
,
.
故选: C.
2. D
因为 ,所以 ,故 不正确;
因为 ,所以 ,故 不正确;
因为 ,所以 ,所以 ,故 不正确;
因为 ,所以 ,故 正确.
故选: D.
3. B
如下图所示:
作 交 于点 ，易知四边形 是边长为 4 的正方形，
利用三角形相似可知 ，即可得 ，所以 ，
由勾股定理可知 ,
利用正方体性质可知 平面 平面 ,所以 ;
又 平面 ,
可知 平面 ;
由 可知 平面 ，又 为四边形 内(含边界)的一个动点， 所以动点 的轨迹为平面 与四边形 的交线,即为 , 因此可得动点 的轨迹长度为 .
故选: B
4. C
因为函数 在 上单调递增,在 上单调递减,
可知: 对应最大值,也即 ,
由 ,且 都在区间 内,
所以由对称性可知: ,
所以 ,
所以 ,即 ,
所以 ,又 ,
取 可得: ,
所以 ,
故选:
5.
因为 是 上靠近 的三等分点,所以 ,
所以 ,
在 中,由余弦定理得 ,
即 ,则 ,
即 ,当且仅当 时等号成立,
又在 中, ,
因此 ,即 ,
所以 的取值范围为 .
故选: C.
6. A
: ,且
又
此数列为递减数列,最大项为 .
故选 A.
7. A
因为 为 的中点, ,
所以 ,
因为 ,所以 ,
所以 .
故选: A
8. A
若图中实线部分曲线为函数 的图象,则虚线部分曲线为导函数 的图象,由导函数 的图象可知,函数 在区间 上的单调递减区间为 ,
但函数 在区间 上不单调,不合乎题意;
若图中实线部分曲线为导函数 的图象,
则函数 在区间 上的减区间为 ,增区间为 ,合乎题意.
由图象可知,不等式 的解集为 ,
故选: A.
9. AD
选项,设 ,则其共轭复数为 ,
则 ,所以 ,即 ; A 正确;
选项，若 ，满足 ，但 不为 0 ；B错；
选项，若复数 表示纯虚数，需要实部为 0，即 ，但此时复数 表示实数, 故 C 错;
选项，设 ，则 ，
所以 ,解得 或 ,则 或 ,
所以其对应的点分别为 或 ,所以对应点的在第一象限或第三象限; D 正确. 故选: AD.
10. AC
A: 由 ,则 ,故 ,错;
B: 由 ,则 ,又 ,故 ,对;
C: 由题设 ,又 ,则 ,错;
D: ,
由 ,则 ,又 ,
所以 ,即 ,对.
故选: AC.
11. AC
,所以 ,
的图象在点 处的切线方程为 ,
即 ,故选项 正确;
在 上, 单调递增,在 上, 单调递减,故选项 错误;
的极大值也是最大值为 ,故选项 正确;
因为在 上, 单调递增,在 上, 单调递减,所以函数没有极小值点,故选项 D 错误.
故选: AC.
12. 3 .
方法一:
,①
又 ,②
,③
将②③代入①得: ，所以 ，
点 在 内,所以 .
方法二:
以直线 分别为 轴建立直角坐标系,
则 ,
设 ,
又 ,
得 ,即 ,
解得 .
故答案为: 3 .
13.
由题意,得 ,所以 , 因为 ,所以 ,则 ,
所以当 ,即 时, 取得最小值,且最小值为 .
故答案为: .
14.
由题意正余弦函数的图象可得: 和 的图象的连续的三个交点 、 C 构成三角形 是等腰三角形,
底边长为一个周期 ，高为 ，
的面积
故答案为 .
15. (1) 最大值为 ,取得最大值时 取值的集合为 (2)
(1)由题意可得:
可知当 ,即 时,函数 取到最大值 , 所以函数 的最大值为 ,此时 取值的集合为 .
(2)因为 ，即 ，
且 ,则 ,可知 ,即 ,
又因为 ,则 ,
所以 .
16. (1)
(2)
( 1 )设 的公差为 ，因为数列 是等差数列，
所以 ,由 解得 ,
所以 ,所以 .
(2)由(1)可得 ，
则 ①,
②,
①-②得
则 .
17.(1) .
依题意, 平面 平面 ,则 平面 ,
又平面 平面 平面 ,所以 .
(2)取 中点 ，连接 ，在 中，
在 中, ,则 ,即四边形 为平行四边形,
因此 平面 平面 ,
所以 平面 .
(3)当 为 中点时,平面 平面
证明如下:
取 的中点为 ,连接 ,
在 中, 平面 平面 ,
则 平面 ,同理可证, 平面 ,
又 平面 ,
所以平面 平面 .
18. (1)
(2)是, (3) .
( 1 ) 为 的中点， 为 的中点，
.
(2) 三点共线， ，又 ， 由(1)知 ， 而 不共线,所以 ,解得 , 所以 为定值.
(3) ，
由(2)知 即 ;
则
令 且 ,所以
因为当 时,函数 单调递减,当 时,函数 单调递增,
且 有最小值 ,最大值 ,
故 .
19.解: (1) 当 时, ,
所以曲线 在点 处的切线方程为 .
(2)由 ，得 .
①若 ，当 时， ，所以 在 上单调递减；
当 时, ,所以 在 上单调递增.
所以,当 时, 有极小值 无极大值;
②若 ,当 时, 恒成立,
所以 在 上单调递减,所以 无极值.
③若 ，当 时， 恒成立，
所以 在 上单调递减,所以 无极值.
综上,当 时, 有极小值 无极大值;
当 时, 无极值.
(3) 由 ,所以 .
由 ,
所以 .
又 ,所以 .
构造函数 ,
则 .
当 时, 恒成立,所以 在 上单调递增,
所以当 时, ,即 ,
所以 成立,
所以 ,即 .