湖南岳阳市平江县颐华高级中学2025-2026学年高二下学期入学监测考试数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 湖南岳阳市平江县颐华高级中学2025-2026学年高二下学期入学监测考试数学试题（含解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 293.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-15 00:00:00 | ||
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文档简介
颐华学校 2024 级高二下学期入学监测考试试卷 数学
满分 150 分 时量 120 分钟
一、单项选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四 个选项中, 只有一项是符合题目要求的, 请把答案填涂在答题卡相应位置上.
1. 设 ,则 ( )
A. B. C. D.
2. 设函数 在区间 上单调递减，则 的最大值是( )
A. -3 B. -2
C. D. 3
3. 已知数列 的首项 ,前 项和 ,满足 ,则 ( )
A. B. C. D.
4. 在 中, 为 的中点,且 外接圆的圆心为 ,则 ( )
A. 11 B. 14
C. D.
5. 已知四面体 的各顶点均在球 的球面上， 平面 ， 三角形 的外接圆半径是 ，则球 的表面积为( )
A. B. C.
D.
6. 已知动点 在直线 上，点 是坐标原点，点 是圆 上的动点,则 的最大值为 ( )
A. 2 B. C. 3 D. 4
7. 已知点 是椭圆 上的动点,直线 ,则动点 到直线 的最小距离是( )
A.
B.
C.
D.
8. 定义在 上的函数 ,对任意实数 都有 . 若 ，则不等式 的解集是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题:本题共 3 小题, 共 18 分每小题给出的选项中, 有多项符合题 目要求. 全部选对得 6 分, 部分选对的得部分分, 选对但不全的得部分分, 有 选错的得 0 分.
9. 下列选项正确的是( )
A. ; B. 若 ,则 ;
C. 若 ,则 ; D. 若 ,则 .
10. 已知函数 ，则( )
A.
B. 的图象关于点 中心对称
C. 在区间 单调递减 D. 在 有 3 个零点
11. 设抛物线 的焦点为 为 上一动点， 为定点，则下列结论正确的是( )
A. 准线 的方程是
B. 的最小值为 4
C. 为抛物线上的两点,点 为线段 的中点,则 所在的直线方程为
D. 以线段 为直径的圆与 轴相切
三、填空题:本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 请把答案填写在答题卡 相应位置上.
12. 已知函数 在点 处的切线与直线 垂直. 则 的值为_____.
13. 已知正四面体 的棱长为 1, 为空间中一点,则 的最小值为_____.
14. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,以 为圆心作与 的渐近线相切的圆,该圆与 的一个交点为 ,若 为等腰三角形,则 的离心率为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
15. 在锐角 中, 分别是角 的对边, .
(1)求角 的大小；
(2)求 的取值范围.
16. 记 为数列 的前 项和， 为数列 的前 项积,已知 .
(1)证明:数列 是等差数列；
(2)求 的通项公式.
17. 如图,在直三棱柱 中， 分别是 的中点.
(1)证明:直线 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
18. 已知椭圆 的离心率为 分别为椭圆的左右焦点,过 的直线交 于 两点,点 在第一象限, 为 中点, 交 于点 的周长为 .
(1)求 的方程；
(2)求证:直线 与 的斜率乘积为 ；
(3)若分别记 的斜率为 ，求 的最大值.
19. 已知函数 .
(1) 当 时,求证: ;
(2)设 ，若对任意的 ，总存在 ，使不等式 成立,求实数 的取值范围.
1. B
由题意可得 ,
则 .
故选: B.
2. A
因为 ,所以 ,
因为函数 在区间 上是减函数,
所以 在 上恒成立,即 在 上恒成立,
所以 在 上恒成立,因为 时, ,所以 ,
所以 的最大值是 -3 .
故选: A.
3. C
因为 ,所以 ,
两式相减得 ,
所以 ,所以 ,
所以 ,所以 ,
所以 .
故选: C.
4. D
因为 为 的中点,则 ,所以
如图,分别取线段 的中点为 ,因为 为 的外接圆圆心,
所以 ,则
,
因此 .
故选: D.
5. C
的中点为 ,
因为 平面 平面 ,
所以 ,又 平面 ,
所以 ,故 为直角三角形,且 为斜边,
所以 ,故 为直角三角形,且 为斜边,
所以 ，
因为 平面 , 平面 ,
所以 ,故 为直角三角形,且 为斜边,
所以 ，所以 ，
所以四面体 的外接球的球心为 ,故点 与点 重合,
由已知 ,所以 ,
所以球 的半径 ,
所以球 的表面积 .
6. C
点 在直线 上,
圆 的圆心 ,半径 ,而点 在圆 上,则 ,
因此 ,令点 关于直线 对称点 ,
则有 ,解得 ,即 ,
因此 ,当且仅当点 共线,且点 在线段 上时取等号,
直线 方程为 ,由 ,解得 ,即直线 与直线 交于点 , 所以当点 与 重合时, .
故选:
7.
因为点 是椭圆 上的动点,
所以可设 ,
则 到直线 的距离 ,其中 ,
所以当 时, ,
故选: B
8. C
令 ,可得 ,所以 在 上单调递增, 由 可得 ,所以 是以 3 为一个周期的周期函数,
则 ,所以 ,
则不等式 ,即为 ,即 ,
又因为 在 上单调递增,所以 ,解得 , 所以不等式 的解集为 .
9. AC
因为 ,当且仅当 时等号成立,
所以 ,所以 ,故 A 正确;
当 ,满足 ,但 ,故 B 错误;
若 ,则 ,则 即 ,故 正确;
当 时, ,故 D 错误.
故选: AC
10. ACD
,
对于 ,所以 ,故 正确;
对于 ,所以 的图象关于点 中心对称,故 错误;
对于 ,当 时, ,
所以 在区间 单调递减,故 正确;
对于 ,令 ,
当 时, ,
所以当 ,即 时, ,
所以 在 有 3 个零点,故 正确;
故选: ACD.
11. BD
A. 抛物线 ,其准线方程为 ,故 A 错误;
B. 如图所示，过点 作 准线于点 ，则 ，所以 ， 当且仅当 共线时,(即图中 ) 最小,最小值为 到准线 的距离 4 ，故 B 正确；
C. 设 ， ，
则 ,两式相减得 ,
则 ,得 ,即直线 的斜率为 2,
所以直线 的方程为 ,即 ,故 错误;
D. 设 ,则 ,且 的中点坐标为 ,中点到 轴的距离为 ,所以以线段 为直径的圆与 轴相切,故 正确.
故选: BD
12. 1
,
依题意得 ,解得 .
故答案为: 1 .
13.
如图,将正四面体 补全为正方体,则正方体的棱长为 ,
如图, 以正方体的一个顶点 为原点建立空间直角坐标系,
则 ,
设 ,
则 ,
故 ,
则
,
当且仅当 时取等号,
当点 的坐标为 时, 取最小值为 .
14.
双曲线 的半焦距为 ,渐近线方程为 , 点 到渐近线距离为 ,由双曲线定义得 , 由 为等腰三角形,得 ,即 ,因此 , 则 ,所以 的离心率为 .
故答案为:
15.
(2)
(1) 在 中,因为 ,所以 , 由已知可得: ,
再由正弦定理可得: ，因此原等式变形为: ，
因为 中, ,约去后可得: ,
又 是锐角三角形内角,故 ;
(2)由 可得: ，即 ，
代入得:
又因为 是锐角三角形,所以 ,则 ,即
因为 在 上的取值范围是 ,所以 , 即 的取值范围为 .
16.(1)[方法一]:
由已知 得 ,且 ,
取 ,由 得 ,
由于 为数列 的前 项积,
所以 ,
所以 ,
所以 ,
由于
所以 ,即 ,其中
所以数列 是以 为首项,以 为公差等差数列;
[方法二]
由已知条件知
于是 .②
由①②得 .③
又 ,④
由③④得 .
令 ,由 ,得 .
所以数列 是以 为首项, 为公差的等差数列.
[方法三]:
由 ,得 ,且 .
又因为 ,所以 ,所以
.
在 中,当 时, .
故数列 是以 为首项, 为公差的等差数列.
[方法四]: 数学归纳法
由已知 ,得 ,猜想数列 是以 为首项,
为公差的等差数列,且 .
下面用数学归纳法证明.
当 时显然成立.
假设当 时成立,即 .
那么当 时, .
综上,猜想对任意的 都成立.
即数列 是以 为首项, 为公差的等差数列.
(2)
由(1)可得，数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列，
,
当 时, ,
当 时, ,显然对于 不成立,
.
17.(1)如图,连接 ,
因为 分别是 的中点,则 ,
且 平面 平面 ,
所以直线 平面 .
(2)在直三棱柱 中， 平面 ， 平面 ，
则 ,且 ,即 两两垂直，
故以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为 ， ，
则 ， ， ， ，
且 分别是 的中点,得 .
所以 ,
易知平面 的一个法向量为 ，
设平面 的法向量为 ,
则 ,即 ,取 ,
设平面 与平面 的夹角为 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
18.(1)根据椭圆的定义可知 ，
根据题意可得 ,解得 ,
所以椭圆的方程为
( 2 )证明:设 ， ，因为 为 中点，所以 ， 根据题意直线 与 的斜率都存在,
所以直线 与 的斜率乘积为 ,
因为 在椭圆上,所以 ,两式相减可得 ,
化简得 ,可得
因此直线 与 的斜率乘积为 .
(3)设 ，由( 1 )可知 ，
因为点 在椭圆上,所以 ,
由题意 ,
故将直线 与椭圆 联立 ,可得 ,
整理可得: ,所以 ,
即 ,即 ,
同理,将直线 与椭圆 联立 ,可得 ,
整理可得: ,所以 ,
即 ,即 ,
所以 的斜率为 ,
故 ,
因为点 在第一象限内,故 ,
的最大值为 ,当且仅当在 处取到等号.
19. (1) 要证 ,只需证 ,
令 ,
由 ,
在区间 上单调递减,在区间 上单调递增,
,即 .
(2)由题意得 , ,显然 ,
在区间 上为增函数,
时, ,
,
设 ,有 在 时恒成立, ,
① 时， ，显然 ， 在 时单调递减，此时 不符合;
② 时， ，显然 ， 在 时单调递减，此时 不符合;
③ 时， ，
若 ,显然 ,则 在区间 上单调递减,此时 不符合;
若 ,显然当 时, ,则 在区间 上单调递减,
此时 ,不符合;
若 时,则 在区间 上单调递增,此时 ,符合.
综上得 ,解得 ,即实数 的取值范围为 .
满分 150 分 时量 120 分钟
一、单项选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四 个选项中, 只有一项是符合题目要求的, 请把答案填涂在答题卡相应位置上.
1. 设 ,则 ( )
A. B. C. D.
2. 设函数 在区间 上单调递减，则 的最大值是( )
A. -3 B. -2
C. D. 3
3. 已知数列 的首项 ,前 项和 ,满足 ,则 ( )
A. B. C. D.
4. 在 中, 为 的中点,且 外接圆的圆心为 ,则 ( )
A. 11 B. 14
C. D.
5. 已知四面体 的各顶点均在球 的球面上， 平面 ， 三角形 的外接圆半径是 ，则球 的表面积为( )
A. B. C.
D.
6. 已知动点 在直线 上，点 是坐标原点，点 是圆 上的动点,则 的最大值为 ( )
A. 2 B. C. 3 D. 4
7. 已知点 是椭圆 上的动点,直线 ,则动点 到直线 的最小距离是( )
A.
B.
C.
D.
8. 定义在 上的函数 ,对任意实数 都有 . 若 ，则不等式 的解集是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题:本题共 3 小题, 共 18 分每小题给出的选项中, 有多项符合题 目要求. 全部选对得 6 分, 部分选对的得部分分, 选对但不全的得部分分, 有 选错的得 0 分.
9. 下列选项正确的是( )
A. ; B. 若 ,则 ;
C. 若 ,则 ; D. 若 ,则 .
10. 已知函数 ，则( )
A.
B. 的图象关于点 中心对称
C. 在区间 单调递减 D. 在 有 3 个零点
11. 设抛物线 的焦点为 为 上一动点， 为定点，则下列结论正确的是( )
A. 准线 的方程是
B. 的最小值为 4
C. 为抛物线上的两点,点 为线段 的中点,则 所在的直线方程为
D. 以线段 为直径的圆与 轴相切
三、填空题:本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 请把答案填写在答题卡 相应位置上.
12. 已知函数 在点 处的切线与直线 垂直. 则 的值为_____.
13. 已知正四面体 的棱长为 1, 为空间中一点,则 的最小值为_____.
14. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,以 为圆心作与 的渐近线相切的圆,该圆与 的一个交点为 ,若 为等腰三角形,则 的离心率为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
15. 在锐角 中, 分别是角 的对边, .
(1)求角 的大小；
(2)求 的取值范围.
16. 记 为数列 的前 项和， 为数列 的前 项积,已知 .
(1)证明:数列 是等差数列；
(2)求 的通项公式.
17. 如图,在直三棱柱 中， 分别是 的中点.
(1)证明:直线 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
18. 已知椭圆 的离心率为 分别为椭圆的左右焦点,过 的直线交 于 两点,点 在第一象限, 为 中点, 交 于点 的周长为 .
(1)求 的方程；
(2)求证:直线 与 的斜率乘积为 ；
(3)若分别记 的斜率为 ，求 的最大值.
19. 已知函数 .
(1) 当 时,求证: ;
(2)设 ，若对任意的 ，总存在 ，使不等式 成立,求实数 的取值范围.
1. B
由题意可得 ,
则 .
故选: B.
2. A
因为 ,所以 ,
因为函数 在区间 上是减函数,
所以 在 上恒成立,即 在 上恒成立,
所以 在 上恒成立,因为 时, ,所以 ,
所以 的最大值是 -3 .
故选: A.
3. C
因为 ,所以 ,
两式相减得 ,
所以 ,所以 ,
所以 ,所以 ,
所以 .
故选: C.
4. D
因为 为 的中点,则 ,所以
如图,分别取线段 的中点为 ,因为 为 的外接圆圆心,
所以 ,则
,
因此 .
故选: D.
5. C
的中点为 ,
因为 平面 平面 ,
所以 ,又 平面 ,
所以 ,故 为直角三角形,且 为斜边,
所以 ,故 为直角三角形,且 为斜边,
所以 ，
因为 平面 , 平面 ,
所以 ,故 为直角三角形,且 为斜边,
所以 ，所以 ，
所以四面体 的外接球的球心为 ,故点 与点 重合,
由已知 ,所以 ,
所以球 的半径 ,
所以球 的表面积 .
6. C
点 在直线 上,
圆 的圆心 ,半径 ,而点 在圆 上,则 ,
因此 ,令点 关于直线 对称点 ,
则有 ,解得 ,即 ,
因此 ,当且仅当点 共线,且点 在线段 上时取等号,
直线 方程为 ,由 ,解得 ,即直线 与直线 交于点 , 所以当点 与 重合时, .
故选:
7.
因为点 是椭圆 上的动点,
所以可设 ,
则 到直线 的距离 ,其中 ,
所以当 时, ,
故选: B
8. C
令 ,可得 ,所以 在 上单调递增, 由 可得 ,所以 是以 3 为一个周期的周期函数,
则 ,所以 ,
则不等式 ,即为 ,即 ,
又因为 在 上单调递增,所以 ,解得 , 所以不等式 的解集为 .
9. AC
因为 ,当且仅当 时等号成立,
所以 ,所以 ,故 A 正确;
当 ,满足 ,但 ,故 B 错误;
若 ,则 ,则 即 ,故 正确;
当 时, ,故 D 错误.
故选: AC
10. ACD
,
对于 ,所以 ,故 正确;
对于 ,所以 的图象关于点 中心对称,故 错误;
对于 ,当 时, ,
所以 在区间 单调递减,故 正确;
对于 ,令 ,
当 时, ,
所以当 ,即 时, ,
所以 在 有 3 个零点,故 正确;
故选: ACD.
11. BD
A. 抛物线 ,其准线方程为 ,故 A 错误;
B. 如图所示，过点 作 准线于点 ，则 ，所以 ， 当且仅当 共线时,(即图中 ) 最小,最小值为 到准线 的距离 4 ，故 B 正确；
C. 设 ， ，
则 ,两式相减得 ,
则 ,得 ,即直线 的斜率为 2,
所以直线 的方程为 ,即 ,故 错误;
D. 设 ,则 ,且 的中点坐标为 ,中点到 轴的距离为 ,所以以线段 为直径的圆与 轴相切,故 正确.
故选: BD
12. 1
,
依题意得 ,解得 .
故答案为: 1 .
13.
如图,将正四面体 补全为正方体,则正方体的棱长为 ,
如图, 以正方体的一个顶点 为原点建立空间直角坐标系,
则 ,
设 ,
则 ,
故 ,
则
,
当且仅当 时取等号,
当点 的坐标为 时, 取最小值为 .
14.
双曲线 的半焦距为 ,渐近线方程为 , 点 到渐近线距离为 ,由双曲线定义得 , 由 为等腰三角形,得 ,即 ,因此 , 则 ,所以 的离心率为 .
故答案为:
15.
(2)
(1) 在 中,因为 ,所以 , 由已知可得: ,
再由正弦定理可得: ，因此原等式变形为: ，
因为 中, ,约去后可得: ,
又 是锐角三角形内角,故 ;
(2)由 可得: ，即 ，
代入得:
又因为 是锐角三角形,所以 ,则 ,即
因为 在 上的取值范围是 ,所以 , 即 的取值范围为 .
16.(1)[方法一]:
由已知 得 ,且 ,
取 ,由 得 ,
由于 为数列 的前 项积,
所以 ,
所以 ,
所以 ,
由于
所以 ,即 ,其中
所以数列 是以 为首项,以 为公差等差数列;
[方法二]
由已知条件知
于是 .②
由①②得 .③
又 ,④
由③④得 .
令 ,由 ,得 .
所以数列 是以 为首项, 为公差的等差数列.
[方法三]:
由 ,得 ,且 .
又因为 ,所以 ,所以
.
在 中,当 时, .
故数列 是以 为首项, 为公差的等差数列.
[方法四]: 数学归纳法
由已知 ,得 ,猜想数列 是以 为首项,
为公差的等差数列,且 .
下面用数学归纳法证明.
当 时显然成立.
假设当 时成立,即 .
那么当 时, .
综上,猜想对任意的 都成立.
即数列 是以 为首项, 为公差的等差数列.
(2)
由(1)可得，数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列，
,
当 时, ,
当 时, ,显然对于 不成立,
.
17.(1)如图,连接 ,
因为 分别是 的中点,则 ,
且 平面 平面 ,
所以直线 平面 .
(2)在直三棱柱 中， 平面 ， 平面 ，
则 ,且 ,即 两两垂直，
故以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为 ， ，
则 ， ， ， ，
且 分别是 的中点,得 .
所以 ,
易知平面 的一个法向量为 ，
设平面 的法向量为 ,
则 ,即 ,取 ,
设平面 与平面 的夹角为 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
18.(1)根据椭圆的定义可知 ，
根据题意可得 ,解得 ,
所以椭圆的方程为
( 2 )证明:设 ， ，因为 为 中点，所以 ， 根据题意直线 与 的斜率都存在,
所以直线 与 的斜率乘积为 ,
因为 在椭圆上,所以 ,两式相减可得 ,
化简得 ,可得
因此直线 与 的斜率乘积为 .
(3)设 ，由( 1 )可知 ，
因为点 在椭圆上,所以 ,
由题意 ,
故将直线 与椭圆 联立 ,可得 ,
整理可得: ,所以 ,
即 ,即 ,
同理,将直线 与椭圆 联立 ,可得 ,
整理可得: ,所以 ,
即 ,即 ,
所以 的斜率为 ,
故 ,
因为点 在第一象限内,故 ,
的最大值为 ,当且仅当在 处取到等号.
19. (1) 要证 ,只需证 ,
令 ,
由 ,
在区间 上单调递减,在区间 上单调递增,
,即 .
(2)由题意得 , ,显然 ,
在区间 上为增函数,
时, ,
,
设 ,有 在 时恒成立, ,
① 时， ，显然 ， 在 时单调递减，此时 不符合;
② 时， ，显然 ， 在 时单调递减，此时 不符合;
③ 时， ，
若 ,显然 ,则 在区间 上单调递减,此时 不符合;
若 ,显然当 时, ,则 在区间 上单调递减,
此时 ,不符合;
若 时,则 在区间 上单调递增,此时 ,符合.
综上得 ,解得 ,即实数 的取值范围为 .
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