湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025-2026学年高三下学期开学考试数学试卷（含解析）

高三数学
注意事项:
1. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号.回答非选择题时, 将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知命题 ,则命题 的否定为 ( )
A.
B.
C.
D.
2. 已知幂函数 的定义域为 ,则 ( )
A. B. 2
C. D. 4
3. 甲、乙两位学生在学校组织的课后服务活动中，准备从①②③④⑤5 个项目中分别各自随机选择其中一项,记事件 : 甲和乙选择的活动各不同,事件 : 甲和乙恰好一人选择 ①，则 等于( )
A. B. C. D.
4. 过抛物线 的焦点作直线 交抛物线于 两点,若线段 中点的横坐标为 3, 则 等于( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
5. 放射性元素的特征是不断发生同位素衰变, 而衰变的结果是放射性同位素母体的数目不
断减少，子体的数目不断增加，假设在某放射性同位素的衰变过程中，同位素含量 (单位: 贝克) 与时间 (单位: 天) 满足函数关系 ( 为自然对数的底数),其中 为 时该同位素的含量,已知当 时,该放射性同位素含量的瞬时变化率为 -1 ,则 ( )
A. 贝克 B. 贝克 C. 贝克 D. 贝克
6. 在 的展开式中,只有第 5 项的二项式系数最大,则展开式中系数最小项的系数为( )
A. -126 B. -70 C. -56 D. -28
7. 若双曲线 不存在以点 为中点的弦,则正实数 的取值范围为 ( )
A. B. C. D.
8. 已知函数 ,若函数 恰有三个零点时,关于 的函数 的零点个数为 (参考数据: ) ( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 在复数范围内关于 的实系数一元二次方程 的两根为 ,其中 , 则( )
A. B. C. D.
10. 已知 的内角 的对边分别为 ，则()
A. 若 ,则
B. 若 ,则 是锐角三角形
C. 若 ,则 为钝角三角形
D. 若 为锐角三角形,且 ，则 的最小值为 8
11. 已知 ,若 ,且 (e 为自然对数的底数),则 ( )
A. B.
C. D.
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知集合 ,且 ，则 的取值范围是_____.
13. 在三棱锥 中, 都是等边三角形,且 ,则三棱锥 表面积的最大值为_____.
14. 某文件被切分成 个独立分片上传云端,每个分片上传成功的概率为 ,且相互独立. 当成功上传了 个分片时,文件可被成功恢复的概率为 . 为使文件最终成功恢复的概率不小于 ，正整数 的最小值为_____. (参考数据: ， )
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 已知函数 .
(1)若 ，求 的值；
( 2 )若偶函数 与 的图象关于直线 对称，且 在 上单调递增， 求 的值.
16. 在平面四边形 中, 为边长为 2 的正三角形, 为等腰三角形且 ,将 沿 向上翻折至 ,其中 为动点.
(1)若 ，证明: 平面 ；
(2)当直线 与平面 所成角的正弦值取到最大值时，求点 到平面 的距离.
17. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ,过点 的直线交椭圆于
两点,若 的周长为 8.
(1)求椭圆 C 的标准方程；
(2)已知直线 与椭圆 C 交于 两点， 为坐标原点，且 的斜率之积为 ，试判断 的面积 是否为定值，并说明理由.
18. 已知函数 的定义域为 ,区间 ,当 时,如果 ,则称函数 是 上的凹函数. 若函数 在 上连续,在 上可导,则 为凹函数的充要条件是其导函数 在 上单调递增. (1)证明:函数 是凹函数；
(2)若函数 是 上的凹函数，证明:对于任意的 和任意的 ， 总有 ;
(3) 求证: ,其中 均为正数.
19. 已知数列 满足 是公差为 2 的等差数列， 是首项为 4 的等比数列,且 .
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前 项和；
(3)是否存在两个不同的正整数 ，使得 可以按某种顺序构成一个新的等差数列 如果存在,求出所有的 ; 如果不存在,请说明理由.
1. C
因为命题 为全称命题,则其否定为 .
故选:
2.
因为 为幂函数,
所以 ,即 ,解得 ,或 ,
所以 或
又函数 的定义域为 ,所以 ,
所以 ,
故选: D
3. B
由题意知, ,
所以 ,
故选: B.
4. D
解: 抛物线方程为 抛物线的焦点为 ,准线为
设线段 的中点为 ,则 到准线的距离为: ,
过 分别作 与 垂直,垂足分别为 ,
根据梯形中位线定理,可得 ,
再由抛物线的定义知: ,
.
故选: D.
5. C
求导得: ,
因为 ,
所以 ,所以
所以 ,
故选:
6.
只有第 5 项的二项式系数最大,
的展开式的通项为 ,
展开式中奇数项的二项式系数与相应奇数项的展开式系数相等,
偶数项的二项式系数与相应偶数项的展开式系数互为相反数.
而展开式中第 5 项的二项式系数最大,
因此展开式第 4 项和第 6 项的系数相等且最小, 系数为 .
故选:
7. A
设双曲线 上存在以 为中点的弦 ,其中
;
由中点坐标性质,得:
因为点 在双曲线上,满足双曲线方程:
用两式作差:
利用平方差公式展开:
两边同时除以 (因 ,分母不为 0 ),并代入 :
设弦 的斜率为 ,化简得:
由点斜式,弦 的直线方程为:
整理为斜截式:
将直线方程代入双曲线方程 ,消去
展开并通分 (两边同乘 ):
展开括号并整理:
合并同类项，得到关于 的一元二次方程:
双曲线存在以 为中点的弦的充要条件是:上述一元二次方程有两个不同的实根(对应弦的两个端点)，且两个实根对应的点在双曲线上，反之，弦不存在时，方程无两个不同实根， 分两种情况讨论:
情况 1: 方程不是一元二次方程 (二次项系数为 0)
令二次项系数 ,解得 或 ,
因题目要求 ,故取 ,
此时方程退化为一次方程:
显然无实根, 即不存在对应的弦, 符合题意。
情况 2: 方程是一元二次方程 (二次项系数不为 0)
此时 (即 且 ),需方程无两个不同实根,即判别式 ,
对于一元二次方程 ,判别式 ,
对比方程,记:
计算判别式:
展开并化简:
提取公因式
化简括号内的表达式:
展开 并合并同类项:
因此，判别式最终化简为:
要求 ,结合 (题目限定正实数), ,故不等式等价于:
令 ,则不等式变为:
解此一元二次不等式,得:
即 ,结合 ,开方得: ;
情况 和情况 合并,得正实数 的取值范围为: .
故选: A
8. C
,
当 时, 恒成立,
所以 在 上单调递减，
所以 ,
当 时, 为偶函数,
在 上单调递增,在 上单调递减,
所以 ,即 ,
易得函数 为偶函数,由此作出函数 的大致图象如图 1 所示.
由函数 恰有三个零点可得 ,
由 得 ,
所以将函数 的零点个数问题转换为函数 的图象与直线 的交点个数问题,
易得直线 与 轴的交点坐标为 在点 的左边,
又 ,可求得函数 斜率为 -4 的切线方程为:
因为 ,所以 的图象与直线 必有 2 个交点,如图 2 所示,
即 的零点有 2 个.
故选: C.
图1
图2
9. BD
因为 且实系数一元二次方程 的两根为 ,
所以 ,可得 ,故 正确;
又 ,所以 ,故 错误;
由 ,所以 ,故 错误;
,故 D 正确.
故选: BD
10. ACD
对于 ,若 ,由大角对大边得 ,
由正弦定理得 ,
故 ,故 正确;
对于 ,由向量数量积的定义得 ,
则 ,即 为锐角,但不确定 是否是锐角,
可得 不一定是锐角三角形，故 错误，
对于 ，因为 ，
所以 ,得到 ,
由正弦定理得 ,即 ,
由余弦定理得 ,则 为钝角三角形,故 正确,
对于 ,由题意得 ,
则 ,可得 ,
即 ,故 ,
可得 ,
而 为锐角三角形,故 ,
所以 ,令 ,
则 ,
当且仅当 ,即 时,等号成立,故 正确.
故选: ACD
11. ACD
由 ,可知 或 ,
又 ,因 同正,两边同除以 可得 ,
令 ,则 ,
所以当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增，
当 且 ，此时 与题意不符合；
当 且 时, ,故 .
令 ,则 ,
当 时, 在 上单调递减,
又 ,所以 ,所以 ,
所以 ,故 A 正确;
令 ,则 ,
所以当 时， ， 在 上单调递增，
当 时， ， 在 上单调递减，
因为 ,所以当 时, ,
即 ,即 ,故 B 错误;
令 ,则 ,
记 ,则 ,
所以 ,则 ,所以 在 上单调递增,
所以 ,即 ,即 ,
所以 ,即 ,故 正确;
令 ,
则 ,
令 ,则 ,即 在 上单调递增,
所以 在 上单调递增,
所以 ,即 ,故 D 正确.
故选: ACD.
12.
集合 是直线族 上的所有点构成的集合,
集合 是以原点 为圆心,半径为 的圆上的所有点构成的集合.
根据点到直线的距离公式,圆心 到直线 的距离
因为 ,所以直线与圆没有交点,故 ,
即 ,又 ,所以 .
故答案为:
13.
已知 ，即 、 均为边长为 2 的等边三角形，
根据等边三角形面积公式 ( 为边长): ，
因此，两个固定面的面积和为: ；
取 的中点 ,连接 ,
由等边三角形“三线合一”的性质: (三线合一),
因此 是二面角 的平面角,记 ,
在 Rt 中, ,
由勾股定理:
连接 ,在 中,由余弦定理可得
在 中,已知 ,
再由 ,得 ,
因此:
化简得:
由对称性可知 ,因此两个可变面的面积和为:
令 ,由 得 ,
则需最大化二次函数:
该二次函数的二次项系数 ,开口向下,对称轴为: 对称轴 ,代入得 的最大值:
因此,可变面面积和的最大值为:
三棱锥表面积 ,代入最大值得:
三棱锥 表面积的最大值为 .
故答案为: .
14. 13
记文件最终成功恢复为事件 ,则由全概率公式,
根据二项式定理 ,因此有:
所以 .
令 ,得 ,
所以 .
所以 的最小值为 13 .
故答案为: 13 .
15. ;
(2)1.
(1) 由题意得
,
当 时， ，而 ，则 ，
即 ,因为 ,所以 ,
此时 ,由同角三角函数的基本关系得 ,
而 ,
由两角和的正弦公式得
,故 .
(2)因为 与 的图象关于直线 对称，
所以 ，
因为 是偶函数,所以当 时, 取得最值,
此时 ,解得 ,
因为 ,所以 ,
因为 在 上单调递增,所以 ,解得 ,
则当 时， ，此时符合题意.
16( 1 ) 为边长为 2 的正三角形， ，
为等腰三角形且 ， ，
， ，
, ,
在 中, 为等腰三角形,
取 中点 ,连接 ,
平面 平面 平面 .
(2) ， 平面 ， 以 为原点，分别以 为 轴，
过 作平面 的垂线作为 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
为边长为 2 的正三角形, 为等腰三角形且 , ,设 , 为边长为 2 的正三角形, , ,设 ,则 ,
,
平面 的法向量为 ,
设直线 与平面 所成的角为 ,
则 ,
设 ,
设 ,
,
转化为 ,
当且仅当 时,即 时,等号成立,
此时, ,
即 时, ,则 ,
则 ,即 ,即 ,
则直线 与平面 所成角的正弦值取到最大值为 时, , ,则 ,
设点 到平面 的距离为 ,
点 到平面 的距离为 ,
,
,
，
,
点 到平面 的距离为 .
17. (1)由题意可知 的周长为 ，
即 ，则 ，
又 ,则 ,
所以 ,
所以椭圆 的标准方程是: .
(2)定值，理由如下
设 ,
由题意 ,即 ,
由 ,两式相乘可得 ,
即 ,
配方可得: ,
所以 ,
则 ,
又直线 的方程为 ,
点 到直线 的距离 ,
所以 的面积 ,
即 的面积为定值.
18.(1) ,定义域为 ,
设 ,则 ,
,
在 上是单调递增函数,即 在 上是单调递增函数,
根据题中凹函数的充要条件,可知函数 是凹函数.
(2)设 ，不妨设 ，
,
,
,
由凹函数的定义, ,
,
,
转化为 ,
转化为 ,
转化为 ,
,
,
.
(3)要证明 ，即证明 ，
即证明 ,
即 ,
即 ,
即 ,
即 ,
当 时, ;
当 时, ;
综上可得, ,其中 均为正数.
19. (1) 设 .
由题意, 是公差为 2 的等差数列,因此 ;
是首项为 4 的等比数列,设公比为 ,因此 .
由数列和差关系, 可得:
代入已知条件 列方程:
,代入 ,得 ;
,代入 ,得 .
联立方程解得 ,因此:
于是 .
(2)已知 ，因此:
设数列 的前 项和为 ,则:
(1)
(2)
(1)-(2)错位相减:
两式相减:
故 ,因此:
于是, ,
即 .
(3)对 ，因此 是单调递增的正项数列， 即 对任意正整数 成立;
对 ,因此 是单调递减数列,
且 时 ,即 .
若四个数按某种顺序成等差数列, 因此必有:
,即 ,
,
为正整数,且 ,因此 是 2 的正整数次幂,
仅当 时, ,此时 ,解得 .
验证该解: 四个数为 ,
按从小到大排列为 ,相邻项的差不相等,无法构成等差数列.
其余正整数 均无法使方程成立,因此不存在符合条件的正整数 .