湖南常德市汉寿县第一中学2025-2026学年高一下学期2月阶段检测数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 湖南常德市汉寿县第一中学2025-2026学年高一下学期2月阶段检测数学试题（含解析） |
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|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 214.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-15 00:00:00 | ||
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文档简介
湖南省常德市汉寿县第一中学 2025-2026 学年
高一下学期 2 月阶段性检测数学试题
一、单选题
1. 已知集合 ，则 ()
A. B. C. D.
2. 函数 有( )
A. 最大值 B. 最小值 C. 最大值 4 D. 最小值 4
3. 下列函数中,既是偶函数又在区间 上为增函数的是 ( )
A. B.
C. D.
4. 已知函数 ,若 ,则 ( )
A. B. C. D.
5. 已知 ,且 ,则 ( )
A. B. C. D.
6. 已知函数 ,若对 与 至少有一个为正数，则实数 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
7. 偶函数 在区间 上单调递增,则有( )
A. B.
C. D.
8. 定义: 表示 中的较大者. 若函数 在区间 上的值域为 ,则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题
9. 下列判断正确的是( )
A.
B. 是定义域上的减函数
C. 是不等式 成立的充分不必要条件
D. 幂函数的图象都过点
10. 关于函数 ,下列判断正确的是( )
A. 的图象的对称中心为 B. 函数 的最小正周期为
C. 在 上存在单调递减区间 D. 有最大值 2 和最小值-2
11. 已知 ，用 表示不超过 的最大整数. 若函数 ，函数 ，则下列说法正确的是( )
A. 函数 是奇函数 B. 函数 的值域是
C. 函数 的图象关于直线 对称 D. 方程 只有一个实数根
三、填空题
12. 求值 _____.
13. 设常数 ,设 ,若函数 恰有三个零点, 则 的取值范围是_____.
14. 若直角坐标平面内两点 满足条件: ① 都在函数 的图像上; ② , 关于原点对称. 则称 是关于函数 的一个“伙伴点组” (点组 和点组
看作同一个“伙伴点组”)，则下列函数中，恰有两个“伙伴点组”的函数是_____.
(填写所有正确的序号) ① ② ③ ④
四、解答题
15. 解下列不等式:
(1) ；
(2) .
16. 如图,以 为始边作角 与 ,它们的终边分别与单位圆相交于点 ,
,已知点 的坐标为 .
(1) 求 的值;
(2)若 ，求 的值.
17. 铁观音是中国十大名茶之一，盛产于福建. 经验表明，某种铁观音茶用 的水冲泡， 等茶水温度降至 饮用，口感最佳. 某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔 1 分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度 (单位: )与时间 (单位:分钟)的部分数据如下表所示:
时间 / 分钟 0 1 2 3 4 5
水温 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33
(1)给出下列三种函数模型:① ，② ，③ ,请根据上表中的数据,选出你认为最符合实际的函数模型,简单叙述理由, 并利用表中前 3 组数据求出相应的解析式;
(2)根据(1)中所求模型，
(i) 请推测实验室室温(注:茶水温度接近室温时，将趋于稳定)；
(ii) 求刚泡好的铁观音茶达到最佳饮用口感的放置时间(精确到 0.1).
(参考数据, )
18. 已知函数 .
(1)若 ，解不等式 ；
( 2 )已知函数 在 上是奇函数或偶函数，求满足条件的所有实数 ，并请说明理由.
19. 我们知道,函数 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数,有同学发现可以将其推广为: 函数 的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数. 已知定义在 上的函数 的图象关于点 对称.
(1)求 的值；
(2)设函数 .
①证明函数 的图象关于点 对称;
②用定义证明 在区间 上单调递增,并求 在 上的值域;
③在题干条件下，当 时， ，若对任意 ，总存在 ,使得 成立,求实数 的取值范围.
1. C
由题意 ,又 , ,
故选: C.
2. D
解: 因为 ,所以 ,
所以 ,
当且仅当 ,即 时取等号,
所以函数 有最小值 4 .
故选: D
3. D
因为函数 为非奇非偶函数, 为奇函数,故 不满足题意;
因为 为常数函数,在 不是增函数,故 不满足题意;
设 ,则 ,则 为偶函数,
当 时, ,则 在 上为增函数,故 满足题意.
故选: D
4. D
因为 ,
所以 ,
又因为函数 在 上递增,
所以 ,
故选: D
5. C
由 ,得 ,解得 ,
由 ,得 ,则 ,于是 ,
解得 ,所以 .
故选:
6. A
的对称轴为, , 当 时,作出函数 的图象,如图所示:
由 ,得 ,所以 ,
因为对 与 至少有一个为正数,
所以 ,解得 ;
当 时,作出函数 的图象,如图所示:
若 ,即 时,
则函数 在 上单调递减，
则当 时, ,
所以当 时,符合题意;
若 ，即 时，则函数 的对称轴在 轴左侧，
因为对 与 至少有一个为正数,
所以 ,解得 ,
综上所述,实数 的取值范围是 .
故选: A.
7. C
是偶函数
在 上单调递增,且
故选 .
8. B
令 ,解得 或 1,
当 时, ;
当 时, ;
当 时, .
所以 ,
函数 在 上单调递增,在 上单调递减, , 因为函数 在区间 上的值域为 ,
所以 ,
当 时,函数在 上的值域为 ,
为保证在 上的值域仍为 ,需在 上满足 ,即 。
故 ,
则 的取值范围是 .
故选: B.
9. CD
对于 是不含任何元素的集合,0 不是 的元素, 错误;
对于 ,令 ,则 ,不符合减函数定义; 在 和 上单调递减,不能说在定义域上是减函数, 错误;
对于 ,由 得: 或 ,
是不等式 成立的充分不必要条件, 正确;
对于 ,幂函数为 ,其图象必过点 正确.
故选: .
10. AB
解: 函数
且 ,
由 得 ,即 ,
所以 ,
对于 ,令 ,得 ,所以 的图象的对称中心为 , 故 A 正确;
对于 ,因为 ,所以最小正周期 ,故 正确;
对于 ,令 ，得 ，所以 在 上不存在单调递减区间， 故 C 不正确;
对于 ,因为 ,所以 ,所以 ,
所以函数 不存在最大值,不存在最小值,故 不正确;
故选: AB.
11. BD
由题知,函数 的定义域为 ,
所以函数 为偶函数，
由 得
所以函数 是偶函数. 故 A 错误;
当 时,
当 时,
当 时,
......
所以函数 的图象如图所示:
由 的解析式及图象可知:
当 时, ;
当 时, ;
当 时, ;
当 时, ;
当 时, ;
当 时, ;
当 时,因为 ,
所以 是 的一个周期,所以函数 的值域是 ,故 正确;
由 ,
所以 ,
所以函数 的图象不关于直线 对称. 故 C 错误;
对于方程 ,
当 时, ,此时方程有一个实数根;
当 时, ,此时方程没有实数根;
当 时, ,此时方程没有实数根;
所以方程 只有一个实数根,故 D 正确.
故选: BD.
12.
.
故答案为:
13.
由题设 ,又函数 恰有三个零点,
所以 与 有三个交点,而 的大致图象如下,
由图及已知, ,即参数取值范围为 .
故答案为:
14. ②
① 函数 关于原点对称的函数为 ,即 , 在 上作出两个函数的图象如图,
由图象可知两个函数在 上的交点个数只有一个,所以函数 的“伙伴点组”有 1 个, 不满足条件;
② 函数 关于原点对称的函数为 ,即 , 在 上作出两个函数的图象如图,
由图象可知两个函数在 上的交点个数恰有两个,所以函数 的“伙伴点组”有 2 个, 满足条件;
③ 函数 关于原点对称的函数为 ，即 ，
在 上作出两个函数的图象如图,
由图象可知两个函数在 上的交点个数有 0 个,所以函数 的“伙伴点组”有 0 个, 不满足条件;
④函数 关于原点对称的函数为 ，即 ，
在 上作出两个函数的图象如图，
由图象可知两个函数在 上的交点个数有 0 个,所以函数 的 “伙伴点组”有 0 个, 不满足条件;
故答案为: (2)
15. (1) ;
(1) 由 可得: ,
解得: 或 ,
故解集为:
(2)由 化简为: ，
即 ,等价于 ,
解得 ,故解集为 .
16.
(2)
(1)由题得 ,
所以
( 2 )由题得， ，所以 ，
所以
17. (1)选②，理由见解析；
(2)(i) (ii) 6.5 分钟
(1)由所给数据可知,函数应该为减函数,故③ 为增增函数,不合题意; 又 ,不是常数,故 ① 不符合题意；故选② .
则 ,解得 ,
所以 .
(2)(i)由 可知， 且无限趋近 25，
所以由题意室温为 .
(ii) 由题意 ,即 ,
所以 (分钟),
即刚泡好的铁观音茶达到最佳饮用口感的放置时间大约 6.5 分钟.
18.
( 2 )当 时， 是 上的偶函数
(1) 当 时, ,
当 时, ,解得: ,
当 时, 不成立,
所以不等式 的解集为 .
(2)
则 ,
若存在实数 ,使得 在 上是奇函数或偶函数,必有 ,
解得: 或 ,
当 时, ,
此时 对于 恒成立,所以 时 是偶函数,
当 时,
因为 ,
此时 ,所以 非奇非偶函数,
综上所述: 当 时, 是 上的偶函数.
19.(1) 因为 的图象关于点 对称,
所以 ,
令 ,得 .
(2)① 函数 的定义域为 ，
又 ,则
,
所以 的对称中心为 ;
② 任取 ，且 ，
则 ,
所以 且 ,
所以 ,即 ,
所以 在 上单调递增.
所以 在 上单调递增,又 ,
所以 在 上的值域为 .
③由于对任意 ,总存在 ,使得 成立,
于是问题转化为 在 上的值域是 在 上的值域的子集，
记 在区间 上的值域为 ,则
因为 的图象关于点 对称,当 时, ,
当 时, 在 上单调递增,由对称性知, 在 上单调递增,
在 上单调递增,
只需 即可,得 满足题意;
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，由对称性知， 在 上单调递增,在 上单调递减,
在 上单调递减,在 上单调递增,在 上单调递减,
或 ,
当 时, ,
满足题意；
当 时, 在 上单调递减,由对称性知, 在 上单调递减, 在 上单调递减,
只需 即可,得 满足题意.
综上所述， 的取值范围为 .
高一下学期 2 月阶段性检测数学试题
一、单选题
1. 已知集合 ，则 ()
A. B. C. D.
2. 函数 有( )
A. 最大值 B. 最小值 C. 最大值 4 D. 最小值 4
3. 下列函数中,既是偶函数又在区间 上为增函数的是 ( )
A. B.
C. D.
4. 已知函数 ,若 ,则 ( )
A. B. C. D.
5. 已知 ,且 ,则 ( )
A. B. C. D.
6. 已知函数 ,若对 与 至少有一个为正数，则实数 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
7. 偶函数 在区间 上单调递增,则有( )
A. B.
C. D.
8. 定义: 表示 中的较大者. 若函数 在区间 上的值域为 ,则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题
9. 下列判断正确的是( )
A.
B. 是定义域上的减函数
C. 是不等式 成立的充分不必要条件
D. 幂函数的图象都过点
10. 关于函数 ,下列判断正确的是( )
A. 的图象的对称中心为 B. 函数 的最小正周期为
C. 在 上存在单调递减区间 D. 有最大值 2 和最小值-2
11. 已知 ，用 表示不超过 的最大整数. 若函数 ，函数 ，则下列说法正确的是( )
A. 函数 是奇函数 B. 函数 的值域是
C. 函数 的图象关于直线 对称 D. 方程 只有一个实数根
三、填空题
12. 求值 _____.
13. 设常数 ,设 ,若函数 恰有三个零点, 则 的取值范围是_____.
14. 若直角坐标平面内两点 满足条件: ① 都在函数 的图像上; ② , 关于原点对称. 则称 是关于函数 的一个“伙伴点组” (点组 和点组
看作同一个“伙伴点组”)，则下列函数中，恰有两个“伙伴点组”的函数是_____.
(填写所有正确的序号) ① ② ③ ④
四、解答题
15. 解下列不等式:
(1) ；
(2) .
16. 如图,以 为始边作角 与 ,它们的终边分别与单位圆相交于点 ,
,已知点 的坐标为 .
(1) 求 的值;
(2)若 ，求 的值.
17. 铁观音是中国十大名茶之一，盛产于福建. 经验表明，某种铁观音茶用 的水冲泡， 等茶水温度降至 饮用，口感最佳. 某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔 1 分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度 (单位: )与时间 (单位:分钟)的部分数据如下表所示:
时间 / 分钟 0 1 2 3 4 5
水温 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33
(1)给出下列三种函数模型:① ，② ，③ ,请根据上表中的数据,选出你认为最符合实际的函数模型,简单叙述理由, 并利用表中前 3 组数据求出相应的解析式;
(2)根据(1)中所求模型，
(i) 请推测实验室室温(注:茶水温度接近室温时，将趋于稳定)；
(ii) 求刚泡好的铁观音茶达到最佳饮用口感的放置时间(精确到 0.1).
(参考数据, )
18. 已知函数 .
(1)若 ，解不等式 ；
( 2 )已知函数 在 上是奇函数或偶函数，求满足条件的所有实数 ，并请说明理由.
19. 我们知道,函数 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数,有同学发现可以将其推广为: 函数 的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数. 已知定义在 上的函数 的图象关于点 对称.
(1)求 的值；
(2)设函数 .
①证明函数 的图象关于点 对称;
②用定义证明 在区间 上单调递增,并求 在 上的值域;
③在题干条件下，当 时， ，若对任意 ，总存在 ,使得 成立,求实数 的取值范围.
1. C
由题意 ,又 , ,
故选: C.
2. D
解: 因为 ,所以 ,
所以 ,
当且仅当 ,即 时取等号,
所以函数 有最小值 4 .
故选: D
3. D
因为函数 为非奇非偶函数, 为奇函数,故 不满足题意;
因为 为常数函数,在 不是增函数,故 不满足题意;
设 ,则 ,则 为偶函数,
当 时, ,则 在 上为增函数,故 满足题意.
故选: D
4. D
因为 ,
所以 ,
又因为函数 在 上递增,
所以 ,
故选: D
5. C
由 ,得 ,解得 ,
由 ,得 ,则 ,于是 ,
解得 ,所以 .
故选:
6. A
的对称轴为, , 当 时,作出函数 的图象,如图所示:
由 ,得 ,所以 ,
因为对 与 至少有一个为正数,
所以 ,解得 ;
当 时,作出函数 的图象,如图所示:
若 ,即 时,
则函数 在 上单调递减，
则当 时, ,
所以当 时,符合题意;
若 ，即 时，则函数 的对称轴在 轴左侧，
因为对 与 至少有一个为正数,
所以 ,解得 ,
综上所述,实数 的取值范围是 .
故选: A.
7. C
是偶函数
在 上单调递增,且
故选 .
8. B
令 ,解得 或 1,
当 时, ;
当 时, ;
当 时, .
所以 ,
函数 在 上单调递增,在 上单调递减, , 因为函数 在区间 上的值域为 ,
所以 ,
当 时,函数在 上的值域为 ,
为保证在 上的值域仍为 ,需在 上满足 ,即 。
故 ,
则 的取值范围是 .
故选: B.
9. CD
对于 是不含任何元素的集合,0 不是 的元素, 错误;
对于 ,令 ,则 ,不符合减函数定义; 在 和 上单调递减,不能说在定义域上是减函数, 错误;
对于 ,由 得: 或 ,
是不等式 成立的充分不必要条件, 正确;
对于 ,幂函数为 ,其图象必过点 正确.
故选: .
10. AB
解: 函数
且 ,
由 得 ,即 ,
所以 ,
对于 ,令 ,得 ,所以 的图象的对称中心为 , 故 A 正确;
对于 ,因为 ,所以最小正周期 ,故 正确;
对于 ,令 ，得 ，所以 在 上不存在单调递减区间， 故 C 不正确;
对于 ,因为 ,所以 ,所以 ,
所以函数 不存在最大值,不存在最小值,故 不正确;
故选: AB.
11. BD
由题知,函数 的定义域为 ,
所以函数 为偶函数，
由 得
所以函数 是偶函数. 故 A 错误;
当 时,
当 时,
当 时,
......
所以函数 的图象如图所示:
由 的解析式及图象可知:
当 时, ;
当 时, ;
当 时, ;
当 时, ;
当 时, ;
当 时, ;
当 时,因为 ,
所以 是 的一个周期,所以函数 的值域是 ,故 正确;
由 ,
所以 ,
所以函数 的图象不关于直线 对称. 故 C 错误;
对于方程 ,
当 时, ,此时方程有一个实数根;
当 时, ,此时方程没有实数根;
当 时, ,此时方程没有实数根;
所以方程 只有一个实数根,故 D 正确.
故选: BD.
12.
.
故答案为:
13.
由题设 ,又函数 恰有三个零点,
所以 与 有三个交点,而 的大致图象如下,
由图及已知, ,即参数取值范围为 .
故答案为:
14. ②
① 函数 关于原点对称的函数为 ,即 , 在 上作出两个函数的图象如图,
由图象可知两个函数在 上的交点个数只有一个,所以函数 的“伙伴点组”有 1 个, 不满足条件;
② 函数 关于原点对称的函数为 ,即 , 在 上作出两个函数的图象如图,
由图象可知两个函数在 上的交点个数恰有两个,所以函数 的“伙伴点组”有 2 个, 满足条件;
③ 函数 关于原点对称的函数为 ，即 ，
在 上作出两个函数的图象如图,
由图象可知两个函数在 上的交点个数有 0 个,所以函数 的“伙伴点组”有 0 个, 不满足条件;
④函数 关于原点对称的函数为 ，即 ，
在 上作出两个函数的图象如图，
由图象可知两个函数在 上的交点个数有 0 个,所以函数 的 “伙伴点组”有 0 个, 不满足条件;
故答案为: (2)
15. (1) ;
(1) 由 可得: ,
解得: 或 ,
故解集为:
(2)由 化简为: ，
即 ,等价于 ,
解得 ,故解集为 .
16.
(2)
(1)由题得 ,
所以
( 2 )由题得， ，所以 ，
所以
17. (1)选②，理由见解析；
(2)(i) (ii) 6.5 分钟
(1)由所给数据可知,函数应该为减函数,故③ 为增增函数,不合题意; 又 ,不是常数,故 ① 不符合题意；故选② .
则 ,解得 ,
所以 .
(2)(i)由 可知， 且无限趋近 25，
所以由题意室温为 .
(ii) 由题意 ,即 ,
所以 (分钟),
即刚泡好的铁观音茶达到最佳饮用口感的放置时间大约 6.5 分钟.
18.
( 2 )当 时， 是 上的偶函数
(1) 当 时, ,
当 时, ,解得: ,
当 时, 不成立,
所以不等式 的解集为 .
(2)
则 ,
若存在实数 ,使得 在 上是奇函数或偶函数,必有 ,
解得: 或 ,
当 时, ,
此时 对于 恒成立,所以 时 是偶函数,
当 时,
因为 ,
此时 ,所以 非奇非偶函数,
综上所述: 当 时, 是 上的偶函数.
19.(1) 因为 的图象关于点 对称,
所以 ,
令 ,得 .
(2)① 函数 的定义域为 ，
又 ,则
,
所以 的对称中心为 ;
② 任取 ，且 ，
则 ,
所以 且 ,
所以 ,即 ,
所以 在 上单调递增.
所以 在 上单调递增,又 ,
所以 在 上的值域为 .
③由于对任意 ,总存在 ,使得 成立,
于是问题转化为 在 上的值域是 在 上的值域的子集，
记 在区间 上的值域为 ,则
因为 的图象关于点 对称,当 时, ,
当 时, 在 上单调递增,由对称性知, 在 上单调递增,
在 上单调递增,
只需 即可,得 满足题意;
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，由对称性知， 在 上单调递增,在 上单调递减,
在 上单调递减,在 上单调递增,在 上单调递减,
或 ,
当 时, ,
满足题意；
当 时, 在 上单调递减,由对称性知, 在 上单调递减, 在 上单调递减,
只需 即可,得 满足题意.
综上所述， 的取值范围为 .
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