湖南常德市汉寿县第一中学2025-2026学年高一下学期入学考试数学试题（含解析）

湖南省常德市汉寿县第一中学 2025-2026 学年 高一下学期入学考试数学试题
一、单选题
1. 已知集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
2. 若函数 在区间 内取得最小值 ,则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
3. 下列函数中,是偶函数,且在 上单调递增的是 ( )
A. B. C. D.
4. 已知: ,则( )
A. B.
C. D.
5. 已知 ,则 ( )
A. B. 11
C. D. -11
6. 已知函数 ，则在下列区间中，函数 一定有零点的是( )
A. B. C. D.
7. 已知函数 的定义域为 . 设满足条件的函数 ( x )作为元素组成的集合记为 ，则下面命题错误的是( )
A.
B. 设集合 是所有奇函数组成的集合，则
C. ,有 .
D. 已知 ,则
8. 若函数 在其定义域内对任意的不相等的实数 都有 , 则称这个函数为下凸函数，以下为下凸函数的是 ( )
A. B.
C. D.
二、多选题
9. 关于向量 ,下列说法正确的是 ( )
A. B. 若 ，则
C. 若 ,则 D. 若 ,则
10. 函数 的部分图象如图所示. 则以下关于 性质的叙述正确的是( )
A. 最小正周期为 B. 是偶函数
C. 是其一条对称轴 D. 是其一个对称中心
11. 已知函数 ,则( )
A. ,使得 是偶函数
B. 当 时,函数 有 5 个零点
C. 当 时,函数 在 上最大值大于 ,则
D. 当 时,设 在 上的最大值为 ,则 的最小值为
三、填空题
12. 已知函数 ,若 在 上具有单调性,则 的取值范围是_____.
13. 记函数 的定义域为 ,若存在非负实数 ,对任意的 ,总有 ,则称函数 具有性质 .
①所有偶函数都具有性质 ；
② 具有性质 ；
③已知 ，若函数 具有性质 ，则 其中所有正确结论的序号是_____.
14. 已知函数 则 _____.
四、解答题
15. 已知集合 .
(1)若“ ”是“ ”的充分不必要条件，求 的取值范围；
(2)若 ，求 的取值范围.
16. 已知 都是锐角,
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ,求 的值.
17. 已知 是定义在 上的奇函数,且当 时, . 求:
(1) 的表达式;
(2) 的零点.
18. 已知函数 是定义域为 的奇函数,当 时, .
(1) 求 的值:
(2)求出函数 在 上的解析式:
(3)若 与 有 3 个交点，求实数 的取值范围.
19. 已知函数 是定义在 上的奇函数.
(1)求实数 的值.
(2)若存在 使得不等式 成立，求实数 的取值范围.
(3)是否存在实数 ，使得 在区间 上的取值范围是 若存在，求出 的取值范围; 若不存在, 请说明理由.
1. C
由题意中的条件有 .
故选:
2.
由 ,则 在 上单调递减,
故 ,即 ,
又 ,则 ,
则 ,
又 ,故等号取不到,
故 的取值范围为 .
故选: C.
3. A
对于 ,设 ,则 ,
故 为 上偶函数,而 在 为增函数,
故 A 正确;
对于 ,设 ,则 ,故 为 上奇函数,故 错误;
对于 在 上为减函数,故 错误;
对于 ,该函数为反比例函数,为 上的奇函数,
故 D 错误;
故选: A.
4. A
由题可知 ,
所以 ,
因为 ,所以 ,
则 ,所以 ,
所以 ,故 ,即 .
故选: A.
5. A
因为 ,所以 ,故 ,
可得 ,所以 .
故选: A.
6. D
在同一坐标系内,作 图象,如图,
由图象可排除 选项,
又 ,
所以由零点存在定理及图象可知,函数 在 上无零点,在 上有零点,
所以 错误, 正确.
故选:D
7. AB
令 ,则 ,即 ,
令 ,则 ,即 ,则 是奇函数, 对于 不是 中的元素,故 错误,符合题意;
对于 ,因为集合 是奇函数 作为元素组成的集合,集合 是所有奇函数组成的集合, 则 ,故 错误,符合题意;
对于 ,
,即
,则 是奇函数,故 ,故 正确,不符合题意;
对于 ,已知 时, 成立,假设 成立, 那么 ,所以假设成立, , 故 D 正确, 不符合题意.
故选: AB.
8. D
对于 A: , 函数图象为直线, 不为下凸函数图象, 故 A 不符合;
对于 B:
所以 ,故 不符合;
对于
因为 ,所以 ,所以 ,故 不符合; 对于 D:
因为 ,所以 ,所以 ,故 符合; 故选: D.
9. AB
,当且仅当 方向相同或 中至少有一个零向量时等号成立, A 正确;
当 时, , 正确;
若 和 无法比较大小, 错误;
当 时, 与 可能不共线, 错误.
故选: AB.
10. AC
由图象可知, ,设函数 的最小正周期为 ,则 ,则 ,
,此时, ,
得 ,则 ,得 ,
, A 选项正确; 该函数为非奇非偶函数, B 选项错误;
选项正确;
选项错误.
故选: AC.
11. ABD
选项,当 时, 定义域为 , 且 ,故此时 为偶函数, 正确;
B 选项, 时, ,
令 ,解得 或 5,
当 时， ，即 或-2，
由对勾函数性质得 ,
故 无解, 有 1 个解,即-1,
当 时, ,即 或-6,
,解得 ,解得 ,
综上,函数 有 5 个零点, B 正确;
选项,当 时, ,
时,由对勾函数可得 ,
若 ,则 ,故 ,
要使得函数 在 上最大值大于 ,则 ,解得 ,
若 ,则 ,
此时 ,不合要求,舍去;
当 时, ,故 ,
,令 ,解得 ,
综上, 或 错误;
选项, 时, ,
令 ,
若 ,则 在 上单调递减且恒正,
故 ,最大值为 ,
若 ,则 为对勾函数,均在 轴上方,
故 在 上单调递增,
在 上单调递减,
当 ,即 时, 在 上单调递增,
故 ,且 ,
当 ,即 时, 在 上单调递减,
故 ,且 ,
若 ,即 时, ,
其中当 时, ,故 ,且 ,
当 时, ,故 ,且 ,
若 ,此时 在 上单调递减,
当 时, ,当 时, ,
当 ,即 时, ,
当 ,即 时, ,
若 ,解得 ,此时 ,
若 ,解得 ,此时 ,
当 ,即 时, ,
综上, 的最小值为 正确.
故选: ABD
12.
因为 在定义域上为增函数,所以 在 上具有单调性则为增函数,
又因为 在 上单调递增, 上单调递减,
所以要使 在 上为增函数,则 ,解得 .
故 的取值范围是 .
故答案为: .
13. ①②③
对于①,设函数 是定义在 上的偶函数,
对任意的 , ,所以,所有偶函数都具有性质 ,故①正确;
对于②，对任意的 ， ，
当 时， ，
当且仅当 时,即当 时,等号成立,又因为 ,故对任意的
所以, 具有性质 ,故②正确；
对于 ③， ，
因为 ,易知 ,因为 ,则 ,则 ,
所以, ,
即 ,所以, ,
要使得 恒成立,则 ,
又因为 ,则 ,
所以,若函数 具有性质 ,则 ,故③正确.
故答案为:①②③.
14. 7
根据函数
可得
所以 .
故答案为: 7 .
15.
(2) 或 .
(1) 由题意， ，即 ，解得 ， 所以 .
由 “ ” 是 “ ” 的充分不必要条件,得 真包含于 ,
则 ,
解得 .
(2)当 时,得 ，即 ，符合题意.
当 时,得 ,即 .
由 ,得 或 ,解得 或 ,
所以 或 .
16.
(2)1
(1) 已知 都是锐角, .
,
.
(2)已知 都是锐角， ，
.
17. (1) ; (2) .
解: (1) 因为 是定义在 上的奇函数,所以 ,且 ,
又 时, ,
当 时, ,所以 ,即 ,
所以 ,
所以 ;
(2)令 ，则 或 或 ，
解得 或 或 ，
所以 的零点为 .
18. ;
(2) ;
(3) .
(1)由函数 是 上的奇函数,且当 时, , 所以 .
(2)由函数 是 上的奇函数，得 ；
而当 时, ,则当 时, ,
因此 ,
所以函数 在 上的解析式为 .
(3)由(1)知，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增,
而 ,作出函数 的图象,如下:
观察图象知,当且仅当 时,函数 的图象与直线 有 3 个交点, 所以实数 的取值范围是 .
19.
(2)
(3)存在，
(1) 因为 是定义在 上的奇函数,所以 ,
即 ,解得 . 所以 .
由 ,可知函数 是奇函数,所以 .
( 2 )因为 ，且 是 上的奇函数，
所以 .
由( 1 )知， ，
由指数函数性质得, 在 上恒正且单调递增,故函数 在 上单调递增.
则由 (*) 得 成立,即 成立.
设 ,则 ,
所以 ,
所以 .
设 ,
则 在 上单调递增,在 上单调递减,
所以 ,所以 ,
即实数 的取值范围是 .
(3)由(2)知，函数 在 上单调递增，
设存在实数 ,使得函数 在区间 上的取值范围是 ,
则 即
所以方程 ,即 有两个不相等的实数根,
即方程 有两个不相等的实数根.
令 ,则 ,故方程 有两个不相等的正根,
结合韦达定理,可得 解得 ,
所以实数 的取值范围为 .