湖南常德市汉寿县第一中学2025-2026学年高三下学期开学检测数学试题（含解析）

湖南省常德市汉寿县第一中学 2025-2026 学年高三下学期入 学检测数学试题
一、单选题
1. 已知 ,集合 ,则 ( )
A. B. C. D.
2. 如果 ,那么下列不等式中一定成立的是( )
A. B. C. D.
3. 平面 内有一个直角边长为 的等腰直角三角形 ,其中 为直角,若沿着其中一条直角边 旋转,使得 所在平面与平面 的夹角为 且 ,此时的 内 (含边界) 有一动点 ,满足到另一条直角边 的距离与到平面 的距离相等,则动点 的轨迹的长度为( )
A. B. C. D.
4. 已知 是定义在 上的奇函数,且 ,若 , 则实数 的取值范围()
A. B.
C. D.
5. 在三棱锥 中, 为 中点, ,当该三棱锥的体积的最大值为 时,其外接球表面积为( ).
A. B. C. D.
6. 等比数列 中, ,且 成等差数列,则 的最小值为 ( )
A. B. C. D. 1
7. 已知点 为平行四边形 所在平面上一点且满足 ，点 为 与 的交点,若 ,则 ( )
A. B. C. D.
8. 已知函数 的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是( )
A. -3 是 的极小值点 B. -1 是 的极小值点
C. 在区间 上单调递减 D. 曲线 在 处的切线斜率小于零
二、多选题
9. 已知虚数 满足 ,则( )
A. 的实部为 B. 的虚部为
C. D. 在复平面内对应的点在第三象限
10. 已知 ,则 ( )
A. B.
C.
D.
11. 已知 ,函数 ,则 ( )
A. 对任意 总存在零点
B. 当 时, 是 的极值点
C. 当 时,曲线 与 轴相切
D. 对任意 在区间 上单调递增
三、填空题
12. 已知单位向量 满足 ，则 _____.
13. 已知集合 ,若存在实数 使得集合 与 中均恰有 2 个元素，则 的取值为_____.
14. 若 且 ，则 的取值范围为_____.
四、解答题
15. 在 中， ， 分别为内角 ， 的对边长，设向量 ， ,且有 .
(1)求角 的大小；
( 2 )若 ，求三角形面积的最大值.
16. 设首项为 的等比数列 的前 项和为 ,若等差数列 的前三项恰为 ， ， .
(1)求数列 ， 的通项公式；(用字母 表示)
(2)令 ，若 对 恒成立，求实数 的取值范围.
17. 如图所示,在四棱锥 中, 平面 是 的中点.
(1)求证: ；
(2)求证: 平面 .
18.(1) ， ，若 与 的夹角为钝角，则 的取值范围是_____.
(2)设定义在区间 上的函数 的图象为 是 上任意一点， 为坐标原点， 设向量 ，当实数 满足 时， 记向量 .
定义 “函数 在区间 上可在标准 下线性近似”是指 “ 恒成立”，其中 是一个确定的正数.
(i) 求证: 三点共线;
(ii) 设函数 在区间 上可在标准 下线性近似,求 的取值范围.
19. 已知函数 .
(1) 当 时,求曲线 在点 处的切线方程;
(2)若 ,证明: .
1. C
解: 由 ,集合 ,可得 ,
故: ,
故选: C.
2. D
A. 当 时满足 ,但此时 ,故 A 选项错误;
B. 当 时满足 ，但此时 ，故 B 选项错误；
C. 当 时满足 ,但此时 ,故 C 选项错误;
D. 由 得: ,即 ,故 D 选项正确.
故选: D.
3. A
结合题意,如图: 做 垂足于点 ,做 面 于点 , 连接并延长 于点 ,
因为 平面 ,且 在平面 内,所以 ,
因为 ,且 ,且 在面 内,
所以 面 ,所以 为平面 与平面 的二面角的平面角,
因为 ，结合三角函数关系，所以 ，
要满足动点 到另一条直角边 的距离与到平面 的距离相等，
只需 ，即满足 ，故动点 的轨迹为 ，
当点 与点 重合时,此时点 与点 重合,点 与点 重合,
如图: 易得出 ,设 ,所以 ,
即 ,解得 ,所以 ,
在直角三角形 中, ,
解得 ,动点 的轨迹的长度为 .
故选: A.
4. D
由 是定义在 上的奇函数,可得 , 故 的最小正周期为 4,且已知 ,
故 ,已知 ,
则 ,解得 .
故选: D
5. D
，故底面三角形外接圆半径为 ，外接圆圆心为斜边 中点 .
,当 时
等号成立,
,设三棱锥 的高为 ,则
故 ,故 ,
当外接球体积最大时 平面 ,且 .
设三棱锥外接球球心为 ,球的半径为 ,则 在 上, ,
在 Rt 中, ,化简得到 ,
故 .
故选: D.
6. D
设等比数列 的公比为 ,
由于 成等差数列,
所以 ,即 ,
也即 ,解得 ,
所以 ,所以 .
当 时, ,当 时, ,
所以 ,
所以 的最小值为 1 .
故选: D
7. A
平行四边形 ,由 ,
所以 ,所以 ,
.
故选: A
8. D
由图像知,当 或 时, 单调递增,
当 时, 单调递减,
所以 在区间 内单调递增,在区间 内单调递减,
-3 是 的极大值点,3 是 的极小值点,故 ABC 错误;
又因为 ,所以曲线 在 处切线斜率小于零,故 正确.
故选: D.
9. ACD
由 ,得 ,
所以 的实部为 的虚部为 ,
在复平面内对应的点 在第三象限,
故选: ACD
10. ABD
对于 ,即 ,故 正确;
对于 ,即 ,故 正确;
对于 ,不妨取 时, ,故 错误;
对于 ,
,即 ,
,则 ,故 D 正确.
故选: ABD.
11. ACD
函数 定义域为 ,求导得 ,
对于 ,函数 在 上的图象连续不断,当 时,由 ,得 ;
而 ,当 时, ,函数 在 上存在零点;
当 时, ,
函数 在 上存在零点,因此对任意 总存在零点, A 正确;
对于 ,当 时, ,函数 在 上单调递增,无极值点, 错误;
对于 ,当 时, ,由 ,得 ,而 ,
则曲线 在 处切线为 ,即曲线 与 轴相切, 正确;
对于 ,当 时, 恒成立,函数 在 上单调递增;
当 时,函数 在 上单调递减,又 ,
则当 时, ,
函数 在区间 上单调递增,
因此对任意 在区间 上单调递增, D 正确.
故选: ACD
12.
因为 ,所以 ,所以 ,
则 ,故 .
故答案为:
13. 或
根据单位圆,若集合 中恰有 2 个元素,则满足以下两钟情况:
当角 的终边在一条直线上,此时 可取除 的任意角;
当角 的终边在 上来回跳,此时 取值只能为 ,
故 的取值为 或 .
故答案为: 或 .
14.
不等式
可化为 .
设 ,因为 是 上的增函数,
所以, ,则 .
又因为 ,知 的取值范围是 .
故答案为: .
15.
(2)
(1)由 得: ; 即
因为 ,所以
(2)由 得:
又
.
三角形面积的最大值为 .
16. (1)
(2)
(1)解:设等比数列 的公比为 ，依题意有 ，故 ， 所以 ,即 ,解得 , 所以 ,
又 ,所以公差 ,
所以 ;
(2)解: ，
令 ,则 ,
所以 ,
所以 ,
由题意,对 都有 ,即 恒成立,
令 ,则 时,
故 时,数列 递减,又 ,故 ,
所以 ,即 的取值范围为 .
17. (1)在四棱锥 中， 平面 ， 平面 ，
平面 平面 .
(2)取 的中点 ，连接 ， ， 是 的中点，
,
又由(1)可得 ，且 ， ， ，
四边形 是平行四边形, ,
平面 平面 ,
平面 .
18.(1)因为 与 的夹角为钝角， 所以 , 所以 的取值范围是 ;
(2)(i)证明:由题向量 ，
得 ,即 ,所以 三点共线;
(ii) 由题得向量 ,
所以向量 ,
由题意 ,
则 ,向量 ,
所以 恒成立,
当 时 ,当且仅当 时等号成立,
所以 ,即函数 在区间 上可在标准 下线性近似,则 的取值范围为 .
19.(1) 当 时, ,则 ,
所以 ,
故所求的切线方程为 ,即 .
(2)要证 ，即证 . 先证 .
设 ,则 ,
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 是 的极小值点,也是 的最小值点,且 ,
所以 ,即 成立.
再证 .
设 ,则 ,
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 是 的极小值点,也是 的最小值点,且 ,
所以 .
综上, 成立