湖南长沙市浏阳市第一中学2025-2026学年高一下学期入学考试数学试题（含解析）

2026 年春季浏阳一中高一入学考试 数学试卷
总分 150 分 时量 120 分钟
一、单项选择题: 本大题共 8 小题, 共 40 分.
1. 设集合 ，则 ()
A. B.
C. D.
2. 已知 ,则 是 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 奇函数 在 上单调递减,且 ,则不等式 的解集是 ( ).
A. B.
C. D.
4. 已知 ，函数 若 ，则 ( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
5. 某同学在研究函数 时,分别给出下面四个结论,其中正确的结论是( )
A. 函数 是奇函数 B. 函数 的值域是
C. 函数 在 上是增函数 D. 方程 有实根
6. 已知函数 ,若对任意 ,都有 成立，则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
7. 已知函数 的部分图象如图所示,则下列说法正确的是( )
A. B. 直线 是 图象的一条对称轴
C. 图象的对称中心为 D. 将 的图象向左平移 个单位长度后,得到函数 的图象
8. 随着社会的发展，人与人的交流变得便捷，信息的获取、传输和处理变得频繁，这对信息技术的要求越来越高, 无线电波的技术也越来越成熟. 已知电磁波在空间中自由传播时能损耗公式为 ,其中 为传输距离 (单位: ), 为载波频率 (单位: ), 为传输损耗 (单位: ). 若载波频率变为原来的 100 倍，传输损耗增加了 , 则传输距离变为原来的( )
A. 100 倍 B. 50 倍 C. 10 倍 D. 5 倍
二、多项选择题: 本大题共 3 小题, 共 18 分.
9. 设函数 ，则下列结论正确的是( )
A. 的一个周期为 B. 的图像关于直线 对称
C. 的一个零点为 D. 在 单调递减
10. 函数 的定义域为 ,若存在区间 使 在区间 上的值域也是 ，则称区间 为函数 的“和谐区间”，则下列函数存在“和谐区间”的是( )
A. B. C. D.
11. 设函数 ,集合 ,则下列命题正确的是 ( )
A. 当 时，
B. 当 时
C. 若 ,则 的取值范围为
D. 若 (其中 ),则
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 把函数 图象上的所有点向右平移 个单位长度,再把横坐标伸长到原来的 2 倍, 所得图象的解析式是 ，则函数 的解析式为_____.
13. 已知函数 满足: ,则
14. 已知函数 有三个不同的零点 ,其中 ，则 _____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步 骤.
15. 已知函数 .
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的值域.
16. 已知 都是正数,且 .
(1)求 的最小值；
(2)已知不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
17. 已知函数 ,若 .
(1)求 的值.
(2)求 的最小正周期(不需要证明).
(3)是否存在正整数 ，使得 在区间 内恰有 2013 个根，若存在，求出 的值， 若不存在, 请说明理由.
18. 已知函数 .
(1)当 ， 时，求满足 的 的值；
(2)当 ， 时，若对任意 且 ，不等式 恒成立，求实数 的最大值.
19. 对于函数 ,若存在实数 使得 ,则称 为 的生成函数.
(1)设函数 ，生成函数 ，若不等式 在 上有解,求实数 的取值范围;
(2)设函数 ,能否由 生成一个函数 , 满足① 是偶函数；② 在 上的最小值为 ，若能生成，求函数 的解析式,若不能,请说明理由.
1. D
因为 , 所以 .
2. A
解: 由 ,得 ,
因为 ,
所以 是 的充分不必要条件,
故选: A
3. A
因为函数式奇函数,在 上单调递减,
根据奇函数的性质得到在 上函数仍是减函数,
再根据 可画出函数在 上的图像,
根据对称性画出在 上的图像.
根据图像得到 的解集是: .
故选 A.
4. B
由题意可得 ,
则 ,解得 ,
故选: B.
5. D
对于 ,故 是偶函数, 不是奇函数, 故 A 错误,
对于 ,当 时, ,由对勾函数性质知 , 而 是偶函数， 的值域是 ，故 B 错误，
对于 ,当 时, ,由对勾函数性质知 在 上单调递增,
而 是偶函数,故 在 上单调递减,故 错误,
对于 ,当 时, ,即 ,解得 ,故 正确,
故选: D
6. A
由对任意 ,都有 ,所以 在 上单调递减,
所以 ,
所以 ,
故选: A.
7. C
由图可知, 的最大值为 3,又 ,故 ;
又 ,故 ,又 ,故 ,
则 ;
根据 ,可得 ,
则 ,
又 ,故当 时, 满足题意,则 ;
对 A: ,故 A 错误;
对 B: 令 ,解得 ,
令 ,解得 ,故 错误;
对 : 令 ,解得 ,故 图象的对称中心为 正确;
对 : 将 的图象向左平移 个单位长度后,
则得到图象对应的函数为 ,故 错误;
故选: C.
8. C
设 是变化后的传输损耗, 是变化后的载波频率, 是变化后的传输距离,
则
,则 ,即 ,
从而 ,故传输距离变为原来的 10 倍.
故选:
9. ABC
因为函数 ,所以它的一个周期为 ,故 A 正确;
令 ,求得 为最小值,故 的图像关于直线 对称,故 正确;
对于 ,令 ,可得 ,
故 的一个零点为 ,故 正确;
当 ,函数 在 上单调递减,在 上单调递增,所以函数 在 上没有单调性,故 错误.
故选: ABC
10. ABD
解: 由题得,若 在区间 上的值域也是 ,则 存在 “和谐区间” , 可知, ,则 或 ,
A: ,若 ,解得: ,
所以 存在 “和谐区间” ;
B: ,若存在和谐区间 ,
则 ,故 在 为增函数,
故 ,解得: ,
所以 存在 “和谐区间” ;
C: ,若存在和谐区间 ,则 ,
若 ,则 ,故 在 上为增函数,
故 ,得 ,故无解;
若 ,则 ,故 在 上为增函数,
同上,无解.
所以 不存在 “和谐区间”;
D: ,函数在 单调递减,
则 ,不妨令
所以 存在 “和谐区间” ;
综上得:存在“和谐区间”的是 ABD.
故选: ABD.
11. ABD
A: 时, 或 ,结合 解析式: 时有 或 时有 ,所以 ,正确;
B: 时,方程 无解,则 ,正确; 由 解析式可得其函数图象如下图示:
令 ,开口向上且对称轴为 ,
若 ,则 ,即 ,有以下情况:
1、 :
此时,令 ,则 在 上有一个零点,
,可得 ,
2、 ， ，由 知: .
综上: ,故 错误;
若 ,由函数 的性质及 图象知: 必有 .
此时, ,
所以 ,所以 ,故 D 正确.
故选: ABD
12.
将函数 的图象横坐标缩短到原来的 得到函数 的图象, 再向左平移 个单位长度,得到函数 的图象,
所以 .
故答案为: .
13. 0
,
则 ,
则
故答案为: 0 .
14. 64
令 ,则 ,由 可化为 , ,
即 必有两个不同的根 ,且 ,
故 异号,设 为负, 为正,结合题意,可画出大致示意图如下:
由图可知, 即 有唯一解 ,
即 有两个解 ,且 ,故
,
故答案为: 64 .
15. (1) .
解: (1) .
(2)
因为 ,所以 ,
所以 .
16. (1) 9
(2) .
(1) ,
当且仅当
( 2 )解法一:由题意知 的最小值.
因为 ,所以
,
当且仅当 ,即 时,等号成立.
所以 .
解法二: 由 ,得 ,又 恒成立,
所以 的最小值,因为
,
当且仅当 ,且 ,即 时等号成立. 所以 .
17.
(2)π
(3)存在,
(1) 令 ,得
,得 .
(2) ,
所以 为函数 的一个周期,
若函数 的最小正周期为 ,且 ,
则 ,故
所以 ,
所以 ,故 ,
但 ,矛盾,
所以 的最小正周期为 .
(3)当 时， ，
设 ,
则 ,
于是 ,
令 ,解得 或 ,均在区间 内,
或 或 ,其中 .
当 时, .
设 ,
则 ,于是 ,
令 ,解得 或 ,均不在区间 内,
故 在 时没有实根.
综上讨论可得 在 上有 4 个根,而 ,在 内有 2013 个根, 故存在 ,使得 在区间 内恰有 2013 个根.
18.
(2)
(1) 因为 时, ,
又因为 ,所以
所以 ,所以 ,即 ;
(2) ，所以
所以 ,
故 ,
因为 对任意 恒成立,
所以 对任意 恒成立,
令 ,所以 ,
又因为
由对勾函数 的单调性可知, 时 有最小值 ,
所以 ,所以 ,
所以 的最大值为 .
19.
(2)能,
(1) 由题意 ,
则 ,
不等式 在 上有解,
等价于 在 上有解,
令 ,则 ,由 ,
所以 ,即实数 的取值范围为 .
(2)设 ，则 ， 由 ,得 ,整理得
即 ,即 对任意 恒成立,所以 ,
所以
设 ,令 ,则 ,
由对勾函数的性质可知 在 单调递减, 上单调递增,
所以 在 单调递增,
所以 ,且当 时取到等号,
所以 ,
又 在区间 的最小值为 ,
所以 ,且 ,此时, ,
所以 .