湖南岳阳市平江县颐华高级中学2025-2026学年高一下学期入学考试数学试题（含解析）

颐华学校 2025 级高一下学期入学监测考试试卷 数学
一、单项选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 已知集合 ，则 ()
A. B. 且
C. D.
2. 若“ ” 是 “ ” 的必要不充分条件，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
3. 已知函数 满足 ,则 ( )
A. B. C. D.
4. 函数 的图象为( )
A.
B.
C.
D.
5. 已知 是定义在 上的奇函数,当 时, ,则不等式 的解集为( )
A. B. C. D.
6. 在平面直角坐标系中,若角 的终边经过点 ,则 ( )
A. B. C. D.
7. 为了得到函数 的图象,只需将 的图象 ( )
A. 向左平移 个单位长度 B. 向右平移 个单位长度
C. 向右平移 个单位长度 D. 向左平移 个单位长度
8. 已知函数 是偶函数,则 ( )
A. B. -1 C. 1 D.
二、多项选择题(本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.全部选对的得 6 分, 部 分选对的得部分分，有选错的得 0 分)
9. 已知函数 ,且 ,下列结论正确的是 ( )
A. B.
C. D.
10. 已知函数 ，则()
A. 若函数 的图像关于直线 对称，则 的值可能为 3
B. 若关于 的方程 在 上恰有四个实根，则 的取值范围为
C. 若将 的图像向右平移 个单位长度，所得图像关于原点对称，则 的最小值是 1
D. 若函数 在 上单调递增,则
11. 已知 且 ,下列说法不正确的有( )
A. B.
C. D.
三、填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 已知 为奇函数，其中 ，则 _____.
13. 如图,点 是函数 图象的一个最高点, 是图象与 轴的交点，若 为直角三角形，则 _____.
14. 已知函数 恰有 3 个零点,则 的取值范围为_____.
四、解答题(本题共 5 小题, 共 77 分)
15. 计算
(1)
(2)
16. 已知函数
(I) 解关于 的不等式 ;
(II) 关于 的不等式 对于 恒成立,求 的取值范围.
17. 已知函数 .
(1)求 的最小正周期；
(2)若任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围.
18. 设函数 是定义域为 的奇函数.
(1)若 ,求不等式 的解集;
( 2 )若 ，求 在区间 上的最小值.
19. 已知函数 在区间 上有最大值 4 和最小值 1 . (1)求a、b的值；
(2)设 .
① 若 时， ，求实数 的取值范围；
②若方程 有三个不同的实数解，求实数 的取值范围.
1. D
由函数定义域可得: ,
由值域可得 ,故 .
故选: D
2. C
根据题意,解不等式 ,即 ,
解得 或 ,即不等式的解集为 或 .
若“ ”是“ ”的必要不充分条件,
则集合 是集合 或 的真子集,所以 .
故选: C.
3. B
因为 ①,
所以用 替换 ,得 ②
由 ① 得
故选 B
4. A
因为 ,所以 ,
即函数 的定义域为 ,故 错误;
当 时, 单调递减,且 在 单调递增,
根据复合函数的单调性知 在 单调递减,故 错误.
故选: A.
5. B
因为 是 上的奇函数,且在 上为增函数,
所以 是 上的增函数,
由 ,得 ,
得 ,即 .
故选: B.
6. C
因为 ,
所以 ,
所以 ,
所以 .
故选: C
7. C
, 将函数 的图象向右平移 个单位长度得 的图象. 即 对.
8. A
因为函数 是偶函数,所以 ,
即 ,解得 ,
所以 ,
又 ,
且 的定义域为 关于原点对称,
所以 是偶函数,满足题意,所以 .
故选: A.
9. CD
由题意得 ,且 ,则 ,
故 ,故 错误,
对于 ,而 ,故 ,故 错误,
对于 ,故 正确,
对于 ,故 正确,
故选: CD
10. BC
对于 ,因为函数 的图像关于直线 对称,
所以 ,则 ,
因为 ,则 的值不可能为 3,故 错误;
对于 ,当 时, ,
若 在 上恰有四个实根,
则 ,解得 ,故 正确;
对于 ,由已知得 ,
因为函数 关于原点对称,则为奇函数,
所以 ,即 ,
因为 ,所以 的最小值是 1,故 正确;
对于 ,当 时, ,因为 ,
所以 ,所以函数 在区间 上不单调,故 错误.
故选: BC.
11. BC
因为 ,解得 或 ,
又 ,则 ,可得 .
所以 ,
故 AD 正确, BC 错误.
故选: BC.
12.
易知函数 为奇函数,所以 ,
当 时, ,
故答案为: .
13.
三角函数的最大值为 2,即三角形 的高为 2,
为直角三角形, 根据对称性知 为等腰直角三角形,即 ,
即三角函数的周期 ,由 ,得 ,
故答案为: .
14.
当 时,令 ,得 ,
因为函数 与函数 的图象在 上有 2 个公共点,
所以 在 上有 2 个零点,所以 在 上只有 1 个零点.
当 时, 在 上有唯一零点 ,符合题意;
当 时, 的图象的对称轴为 ,
在 轴右侧,开口向下,且 ,
则 在 上有唯一零点,符合题意;
当 时, 的图象的对称轴为 ,
在 轴左侧,开口向上, ,则 ,解得 .
所以 的取值范围为 .
故答案为: .
15.
(2)1
(1)解:由指数幂的运算性质，可得:
(2)解:由对数的运算法则和运算性质，以及对数的换底公式，可得: .
16.(I) 由 ,
当 时,不等式化为 ,
当 时,不等式化为 ,
当 时,不等式为 ,
不等式的解为 ,
当 时,不等式为 ,
若 ,不等式的解为 或 ,
若 ,不等式的解为
若 ,不等式的解为 或 ,
综上,当 时不等式的解集为 ,
当 时,不等式的解集为 ,
当 时,不等式的解集为 ,
当 时,不等式的解集为 ,
当 时,不等式的解集为 ;
(II) 由 (I) 得,要使 对于 恒成立,则 ,
所以 的取值范围 .
17. ;
(2)
(1)
,
所以函数 的最小正周期为 ;
(2)由(1)知 ，
由 ,得 ,
又函数 在 上单调递增,所以 ,即 . 因为 恒成立,所以 在 上恒成立,则 , 即实数 的取值范围为 .
18. (1) 或
(2)-2
(1)因为 是定义域为 的奇函数，所以 ，即 ，解得 . 因为 ,所以 . 又 且 ,解得 ,
所以 在 上为增函数.
由不等式 得到 ,
因为 是定义域为 的奇函数,所以 ,即不等式转化为
所以 ,即 ,解得 或 ,
所以不等式的解集为 或 .
( 2 )因为 ，所以 ，即 ，解得 或 (舍去)， 所以 .
设 ,因为 在区间 上为增函数 (由 (1) 可知),即 ,
所以原函数变为 ,当 时, ,此时
即 在区间 上,当 时取得最小值为 -2 .
19. (1)
(2)① ；②
(1) ,
在 上单调递增,
故 ,解得 ;
(2)①由(1)知， ，
,
不等式 可化为 ,
即 ,令 ,则 ,
,原命题等价于 ,
记 ,则 ,
的取值范围是 ;
② 方程 可化为:
令 ,则方程化为 , 方程 有三个不同实数解, 由 的图象知,
方程 有两个 ,
且 或 ,
记 ,
则 或 ,
解得 ,
实数 的取值范围是 .