湖南株洲市南方中学2026届高三下学期2月阶段性检测数学试题（含解析）

株洲市南方中学 2023 级高三 2 月阶段性检测 高三数学
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 设 为单位向量， 在 方向上的投影向量为 ，则 ( )
A. 1 B. C. D.
2. 复数 满足 ，( 为虚数单位)，则 ( )
A. B. C. D. 1
3. 设 ,条件 ,条件 ,则 是 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 0 和 1 是计算机中最基本的数字,被称为二进制数字. 若数列 满足: 所有项均是 0 或 1,当且仅当 (其中 为正整数) 时, ,其余项为 0 . 则满足 的最小的正整数 ( )
A. 50 B. 51 C. 52 D. 53
5. 已知函数 的最小正周期为 ,且为偶函数,则 的一个递减区间为( )
A. B.
C. D.
6. 设 为坐标原点,圆 与 轴切于点 ,直线 交圆 于 两点，其中 在第二象限，则 ( )
A. B. C. D.
7. 北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积的一般求和公式.
如图,由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有 个小球,第二层有 个小球,第三层有 个小球……依此类推,最底层有 个小球, 共有 层,由“隙积术”可得 这 些 小 球 的 总 个 数 为
. 若由小球堆成的某个长方台形垛积共 8 层,小球总个数为 240, 则该垛积的第一层的小球个数为 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 已知定义在 上且无零点的函数 满足 ,且 ,则 ( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项 中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错 的得 0 分.
9. 下列说法正确的是( )
A. 若样本数据 的方差为 2,则数据
的方差为 17
B. 一组数据8,11,10,9,12的第 80 百分位数是 10.5
C. 用决定系数 比较两个模型的拟合效果时,若 越大,则相应模型的拟合效果越好
D. 以模型 去拟合一组数据时,为了求出经验回归方程,设 ,求得线性回归方程为 ,则 的值分别是 和 2
10. 已知抛物线 的焦点为 ,过 的直线 交 于点 在 处的切线为 ,过 作与 平行的直线 ,交 于另一点 ,记 与 轴的交点为 ,则( )
A. B.
C. D. 面积的最小值为 16
11. 如图,正方体 的棱长为 2,点 是 的中点,点 为侧面 内 (含边界)一点，则( )
A. 若 平面 ,则点 与点 重合
B. 以 为球心, 为半径的球面与截面 的交线的长度为
C. 若 为棱 中点，则平面 截正方体所得截面的面积为
D. 若 到直线 的距离与到平面 的距离相等，则点 的轨迹为一段圆弧
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知点 为抛物线 上一点，则点 到抛物线 的焦点的距离为_____.
13. 使用二项式定理,可以解决很多数学问题. 已知 可以写成: ,将它展开式的第 项令为 ,则 取最大值时, _____.
14. 如图,四边形 由 和 拼接而成,其中 ,若 与 相交于点 ，且 ，则 的面积 _____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
15. 在 中， 为锐角，且 .
(1)求 的值；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，求 .
条件①: ;
条件②: ;
条件③: .
注: 如果选择多组条件分别解答, 按第一个解答计分.
16. 如图,四棱锥 的底面是矩形, 是等边三角形,平面 平面 分别是 的中点, 与 交于点 .
(1)求证: 平面 ；
(2)平面 与直线 交于点 ，求直线 与平面 所成角 的大小.
17. 已知椭圆 中，点 分别是 的左、上顶点， ，且 的焦距为 .
(1)求 的方程和离心率；
(2)过点 且斜率不为零的直线交椭圆于 两点，设直线 的斜率分别为 ,若 ,求 的值.
18. 已知函数 .
(1)求函数 的极值；
(2)证明:对任意的 ， ；
(3)若函数 有且仅有一个零点，证明:方程 无实数根.
19. 随机游走在空气中的烟雾扩散、股票市场的价格波动等动态随机现象中有重要应用. 在平面直角坐标系中, 粒子从原点出发, 每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位, 且向四个方向移动的概率均为 . 例如在 1 秒末,粒子会等可能地出现在 四点处.
(1)设粒子在第 2 秒末移动到点 ，记 的取值为随机变量 ，求 的分布列和数学期望 ；
(2)记第 秒末粒子回到原点的概率为 .
(i) 已知 求 以及 ;
(ii) 令 ,记 为数列 的前 项和,若对任意实数 ,存在 ,使得 , 则称粒子是常返的. 已知 ,证明: 该粒子是常返的.
1. D
在 方向上的投影向量为 ，
所以 ，
所以 .
故选: D
2. C
由已知得: ,
所以, .
故选: C.
3. B
由于 ,
若 ,则 ,充分性不成立,
若 ,则 ,必要性成立,
故 是 的必要不充分条件.
故选: B.
4. B
由题意知, ,
且 ,
即 ,
当 时， ，
由于 ,所以满足 的 的最小值为 51,
故选: B.
5. D
由 的最小正周期为 ,可得 ,解得 ,
所以 ,
又因为 为偶函数,
所以 ,又 ,所以 ,
所以 ,
由 ,可得 ,
所以 的单调递减区间为 ,
当 时,可得 .
故选: D.
6. D
由题意 ,圆心 ,
到直线 距离为 ,
所以 ,
直线 的斜率为 ,则其倾斜角为 ,
则 与 的夹角为 ,
所以 .
故选: D.
7. B
由题意知, ,于是得最底层小球的数量为 ,即 , .
从而有 ,
整理得 ,
由于 皆为正整数,所以
(i) 当 时, ,
当 时, ,
(iii) 当 时, ,
(iv) 当 时,
只有 符合题意,即 的值为 2 .
故选: B.
8. D
由 变形得 ,
从而有 ,
所以 ,
因为 ,所以 ,则 ,
则 ,
故当 时, ,当 时, ,
所以 在 上单调递增,在 单调递减,
所以 ,
又 ,而 ,
所以
综上, .
故选: D.
9. CD
对于 ,记样本数据 的方差为 ,又因为
所以数据 的方差为 ,即 A 错误;
对于 ,将数据从小到大重新排列为8,9,10,11,12,共 5 个数据, ; 所以第 80 百分位数是第 4 个数和第 5 个数的平均数,即 ,所以 错误;
对于 ,用决定系数 比较两个模型的拟合效果时,若 越大,则相应模型的拟合效果越好, 即 C 正确;
对于 ,易知 ,又因为线性回归方程为 ; 所以 ,即可得 ,所以 的值分别是 和 2,即 正确.
故选: CD
10. ACD
A 选项,由题意得 ,准线方程为 ,
直线 的斜率存在,故设直线 的方程为 ,
联立 ,得 ,故 , A 正确;
B 选项， ，直线 的斜率为 ，故直线 的方程为 ，
即 ,联立 ,得 ,故 ,
所以 错误;
选项,由直线 的方程 ,令 得 ,
又 ,所以 ,
故 ,故 ,
又由焦半径公式得 ,所以 正确;
D 选项,不妨设 ,过 向 作平行于 轴的直线交 于 ,
根据 选项知, ,
故 ,
根据直线 的方程 ,
当 时, ,
故 ,
故 ,
故
当且仅当 ,即 时,等号成立,
故 的面积最小值为 16，D 正确.
故选: ACD
11. ABC
正方体 中, 平面 平面 ,
正方形 中, ,
平面 ,则 平面 ,
平面 ,
同理, ,
平面 平面 ,
若点 不与 重合,因为 平面 ,则 ,与 矛盾, 故当 平面 时,点 与 重合,故 正确;
，三棱锥 为正三棱锥，
故顶点 在底面 的射影为 的中心 ，
连接 ，由 ，得 ，
所以 ,因为球的半径为 ,所以截面圆的半径 ,
所以球面与截面 的交线是以 为圆心, 为半径的圆在 内部部分,
如图所示, ,所以 .
,所以 ,同理,其余两弦所对圆心角也等于 ,
所以球面与截面 的交线的长度为 ,故 正确；
对于 ,过 的直线分别交 的延长线于点 ,连接 , 分别交侧棱 于点 ,交侧棱 于点 ,连接 和 ,如图所示:
则截面为五边形 ,
,故 ,
所以 ,
所以五边形 的面积 ,故 正确;
因为 平面 平面 ,
所以 ,点 到直线 的距离即点 到点 的距离,
因为平面 平面 ,故点 到平面 的距离为点 到 的距离,
由题意知点 到点 的距离等于点 到 的距离,
故点 的轨迹是以 为焦点,以 为准线的抛物线在侧面 内的部分,故 错误. 故选: ABC.
12. 3
由题意得: ,解得 ,
所以抛物线 ,即焦点 坐标是 ,
即 ,
故答案为: 3 .
13. 9
因为 ,
所以令 ,得 ,解得 .
令 ,得 ,解得 .
所以, ,因此,当 时, 取最大值.
故答案为: 9
14.
在 中，由正弦定理得:
，由于 ，所以 .
而 ，则有: ， ，
，
又 ,
由 ,
可得 ,
所以 ,
故答案为: .
15.(1)因为 ，所以 .
因为 为锐角, ,所以 .
又因为 ,
所以 .
(2)选条件①②:
因为 ,又 ,所以 .
由 ,得 .
由 ,得 ,
即 ,又 ,所以 .
选条件①③:
因为 ,又 ,所以 .
由 ,得 .
下同选条件①②.
选条件②③:
由 ,得 ,
即 ,解得 .
经检验, 符合题意.
16. (1)因为 为正三角形， 是 中点，所以 ，
又因为平面 平面 ,平面 平面 平面 ,
所以 平面 ,
又 平面 ,所以 ,
,
.
又 在平面 内且相交,故 平面
(2) 分别为 的中点， ，
又平面 过 且不过 平面 .
又平面 交平面 于 ,故 ,进而 ,
因为 是 中点,所以 是 的中点.
以 为原点, 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系,
则 ,
设平面 法向量为 ,
则 ,即 ,取 ,得 ,
则 ,
因为 ,所以 .
17.
(2)3
(1)由题意可得 ,
可得 ,可得 ,
可得 ,
解得 ,
所以离心率 ,
所以椭圆的方程为 ,离心率 ;
(2)由(1)可得 ，
(3)
(4)由题意设直线 的方程为 ,则 ,
设 ,
联立 ,整理可得 ,
显然 ,且 ,
直线 的斜率 ,
则
,
因为 ,即 ,解得 ,
所以直线 的斜率 .
即 的值为 3 .
18.(1) 函数 的定义域为 ,求导得 , 当 时, ; 当 时, ,函数 在 上递增,在 上递减, 所以当 时,函数 取得极大值 ,无极小值.
(2)不等式 , 令函数 ,依题意, , 求导得 ,令函数 ,求导得 , 因此函数 在 上单调递增, ,函数 在 上单调递增, 则 ,所以对任意的 .
(3)函数 定义域为 ，求导得 ， 由 ,即 ,得 ,函数 有唯一零点
当 时, ; 当 时, ,函数 在 上递增,在 上递减,
函数 在 处取得最大值 ,且当 时, ; 当 时, ,
由函数 有且仅有一个零点,得 ,即 ,
消去 得 ,令函数 ,显然函数 在 上单调递增,
而 ,则 ,
又函数 在 上单调递增,因此 ,
方程 中, ,
所以方程 无实数根.
19.(1) 粒子在第 2 秒可能运动到点 或 或 的位置, 的可能取值为:-2,0,2,
所以 的分布列为:
-2 0 2
1 4 1 4
(2)(i)粒子奇数秒不可能回到原点，故 ，
粒子在第 4 秒回到原点,分两种情况考虑:
(a) 每一步分别是四个不同方向的排列,例如“上下左右”,共有 种情形;
(b) 每一步分别是两个相反方向的排列,例如“左左右右、上上下下”,共有 种情形; 于是 ,
第 秒末粒子要回到原点,则必定向左移动 步,向右移动 步,向上移动 步,
向下移动 步,故
故 .
(ii) 利用 可知:
于是 ,
令 ,
故 在 上单调递增,
则 ,于是 ,
从而有: ,
即 为不超过 的最大整数,则对任意常数 ,当 时,
,于是 ,
综上所述,当 时, 成立,因此该粒子是常返的.