湖南常德市汉寿县第一中学2025-2026学年高二下学期2月阶段检测数学试题（含解析）

湖南省常德市汉寿县第一中学 2025-2026 学年
高二下学期 2 月阶段性检测数学试题
一、单选题
1. 已知 两点在以 为焦点的抛物线 上,并满足 ,过弦 的中点 作拋物线对称轴的平行线，与准线交于 点，则 的长为( )
A. B. C. D.
2. 已知空间向量 ，若 ，则 ( )
A. 1 B. C. D. 3
3. 直线 的倾斜角为 ( )
A. B. C. D.
4. 设 为平面上两个定点,动点 满足 ,则动点 的轨迹为( )
A. 直线 B. 两条射线 C. 椭圆 D. 双曲线
5. 已知数列 满足 ,设数列 的前 项和为 ,则 ( )
A. B. C. D.
6. 如图,在四棱柱 中，四边形 是正方形； ，且 ,则错误的是 ( )
A.
B.
C.
D. 直线 与平面 所成的角为
7. 设函数 ,若对任意的 有 恒成立,则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
8. 已知直线 与椭圆 相交于 ,且 的中点为 ,则椭圆 的离心率为 ( )
A. B. C. D.
二、多选题
9. 如图,矩形 中, 为 的中点,将 沿 翻折成 , 得到四棱锥 ，点 在线段 上，则()
A.
B. 存在 ,使 平面
C. 不存在 ,使 平面
D. 当四棱锥 的体积最大时，点 到平面 的距离是
10. 点 在圆 上,点 在圆 上, 为圆 内一点,则下列结论中正确的是 ( )
A. 圆心距 B. 的最小值为 2
C. 的最大值为 9 D. 圆 经过点 的最短弦的长为 4
11. 已知函数 ，则下列说法一定正确的是( )
A. 有两个极值点
B. 存在正数 ,使得 在 上单调递增
C. 存在正数 ,使得 在 上单调递减
D. 直线 是曲线 的一条切线
三、填空题
12. 已知等差数列 ，且 ，则 _____.
13. 设 ，则 _____，其在点 处的切线方程为_____.
14. 已知实数 满足 ，则 的最大值是_____.
四、解答题
15. 已知村庄 在村庄 的东北方向，且村庄 、 之间的距离是 ，村庄 在村庄 的北偏西 方向，且村庄 、 之间的距离是 ，先要在村庄 的北偏东 方向建立一个农贸市场 ,使农贸市场 到村庄 的距离是到村庄 的距离的 倍.
(1)判断村庄 在村庄 的什么方向上 并说明理由.
(2)求农贸市场 到村庄 、 的距离之和.
16. 已知数列 满足 .
(1)证明:数列 是等比数列；
(2)记 的前 项和为 ，证明: .
17. 如图,在三棱锥 中, 分别是 的中点. 是 上一点,连接 是 与 的交点,连接 ,求证: .
18. 已知 分别为椭圆 的上、下焦点， 是椭圆 的一个顶点， 是椭圆 上的动点， ， ， 三点不共线，当 的面积最大时，其为等边三角形.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若 为 的中点， 为坐标原点，直线 交直线 于点 ，过点 作 交直线 于点 ,证明: .
19. 已知函数 ,将曲线 绕原点逆时针旋转 ,得到曲线
(1)证明:存在唯一的实数 ，使得曲线 是某个函数的图形，并求出 ；
(2)取 ，设 是曲线 图象上任意一点，将曲线 绕点 逆时针旋转 ,得到函数曲线 ,设函数 的极小值为 ,求 的单调性.
1. C
,设且
由 可得 ,故
又由 可得 ,于是解得 ,中点 准线方程为 ,令 得
故
故答案为: .
2. B
因为 ,且 ,所以 ,解得 , 故选: B.
3. D
直线 的倾斜角为 .
故选: D.
4. B
由题可知, ,
因此动点 的轨迹为两条射线,
故选: B.
5. D
数列 中, ,当 时, ,
则当 时, ,
而 满足上式,因此 ,
则 ,
所以 .
故选: D
6. B
由题可知 , A 正确.
，B 错误.
,故 正确.
连接 如图所示:
则 即直线 与平面 所成的角,
所以 正确.
故选: B.
7. C
,令 ,得 或 . 当 时, , 当 时, ,所以 在 上单调递减,在 上单调递增.
因为 ,所以
因为对任意的 有 恒成立,所以 ,即 .
故选:
8. B
设 ,
将直线方程与椭圆方程联立 ,
消去 得 ,
则 ,
因为 的中点为 所以 ,解得 ,
所以 ,
故选: B
9.
对于 ,假设 ,如图取 中点 ,连接 ,
因为 ,则 ,又 平面 ,
则 平面 ,因为 平面 ,则 ,
在 Rt 中 ,又 ,显然 不成立,
所以不可能有 ,故 错误;
对于 ,如图,存在 为 中点时,取 中点 ,连接 , 因为 为 的中点,所以 ,又 平面 平面 , 所以 平面 ，又 ，所以四边形 为平行四边形， 所以 ，又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ， 又 平面 ,所以平面 平面 ,
又 平面 ,所以 平面 ,故 B 正确;
对于 ,假设存在点 ,使得 平面 成立,因为 平面 ,所以
又因为 且 平面 ,所以 平面 ,
又因为 平面 ,那么 ,又因为 ,则直角边大于斜边, 显然矛盾,所以不存在 ,使 平面 ,故 正确;
对于 ,因为 是腰为 1 的等腰直角三角形,则 到 的距离是 ,
当平面 平面 时,因 平面 ,平面 平面
故 平面 ,此时四棱锥 体积最大.
因 ,由余弦定理, ,
解得 ,所以 ,又 ,
所以 ,
设点 到平面 的距离 ,则由 可得 ,
则 ,故 正确.
故选: BCD.
10. ACD
由题意可知: 圆 ,其圆心 ,半径 ,
圆 ,其圆心 ,半径 ,
对于选项 : 圆心距 ,故 A 正确;
的最小值为 ,故 B 错误;
的最大值为 ,故 正确;
对于选项 D:因为 ，
可知点 在圆 内,当圆 经过点 的弦与 垂直时,弦长取最小值,
最小值为 ,故 D 正确.
故选: ACD.
11. ACD
,令 ,则 ,所以 有两个极值点, A 正确;
设 为 的两个极值点,则 ,所以 ,
所以 在 和 上单调递增,在 上单调递减, B 错误, C 正确;
因为 ,所以曲线 在 处的切线方程为 正确.
故选: ACD
12. 或 .
设等差数列 的公差为 ,
因为 ,可得 ,
又由 ,
解得 ,所以 或 ,
所以数列 的通项公式为 或 .
故答案为: 或 .
13.
因为 ,所以 ,则 .
故曲线 在点 处的切线方程为 .
故答案为: .
14.
解: 由 可知,
点 分别在圆 和圆 上,
如图,作直线 ,过 作 于 ,过 作 于 ,
而 ,
其中 表示 到直线 的距离 ,
表示 到直线 的距离 ,
因为 与 平行,
且 与 的距离为 ,
与 的距离为 ,
要使 的取最大值,则 需在直线 的左下角这一侧,
所以 ,
由 得 ,
设 ,因为 ,所以 ,
从而 ,
故 ,
其中 ,
故当 时, 取最大值 ,
从而 ,
即 的最大值为 .
故答案为: .
15. (1) 村庄 在村庄 的正西方向,理由见解析
(2) 千米
(1)由题意可得 ， ， ，
在 中,由余弦定理可得 ,
则 ,故 ,
即村庄 之间的距离为 干米,
在 中,由正弦定理可得 ,
则 ，从而 ，
故村庄 在村庄 的正西方向;
(2)因为农贸市场 在村庄 的北偏东 的方向，所以 .
在 中,由余弦定理可得 ,
因为 ,所以 ,
解得 或 (舍去)，则 ，
故 ,
即农贸市场 到村庄 的距离之和为 千米.
16.(1)因为 ,故 ,若 ，则 ， 则依次有 ,与题设矛盾,故 ,故 ,
故 ,故 ,所以 ,
而 ,故 ,故 ,
故 为等比数列,且首项为 2,公比为 2 . 公比为 2 .
(2)由(1)可得 ，故 ，
当 时， ；
当 时, ,
当 时,有 ,
故 ,
因为 ,
所以 ,
综上, .
17. 因 分别是 的中点,则 ,又 平面 平面 ,
于是得 平面 ,同理 平面 ,且 平面 , 则有平面 平面 ,又平面 平面 ,平面 平面 ,
所以 .
18.(1)因为 是椭圆 的一个顶点,所以 .
当点 与 的左顶点或右顶点重合时, 的面积最大,其为等边三角形,满足 , 又因为 ,所以 .
故椭圆 的标准方程为 .
(2)
证明: 设直线 的方程为 .
由 得 ,
所以 ,
即点 ,
所以直线 的方程为 .
令 ,得 .
又 ,所以直线 的方程为 .
令 ,得 .
延长 交 于 ,延长 交 于 .
由 ,得 ,则 . 同理由 ,得 ,则 . 因为 ,显然 , 所以 .
19.(1)若存在 是某个函数的图形，则 的方程为 ，顺时针旋转 后,
得到 ,由题意得 与 有唯一公共点,
即 与 有唯一交点,可得 一定是单调函数,
且 ,探得 ,此时一阶导取得最小值 0,
故得 一定是 的拐点,
设 ,得 ,
故得 ,解得 ,即 ,故存在唯一的实数 ,
使得曲线 是某个函数的图形得证.
(2)对于 ,故设 ,
设曲线 绕点 旋转点为 ,
设 ,可得 ,
则旋转中心为原点时, 会变为 ,
而现在旋转中心为 ,设 的极小值为 ,
则 ,
由题意知取 ,则 ,而 ,
设 ,
,令 ,
令 ,
故 在 上单调递增,在 上单调递减,
显然 ,得 ,
由零点存在性定理得一定存在 作为 零点,
令 ,令 ,
故 在 单调递减,在 单调递增.