湖南常德市汉寿县第一中学2025-2026学年高二下学期开学考试数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 湖南常德市汉寿县第一中学2025-2026学年高二下学期开学考试数学试题（含解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 332.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-15 00:00:00 | ||
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文档简介
湖南省常德市汉寿县第一中学 2025-2026 学年高二下学期入 学考试数学试题
一、单选题
1. 集合 ,则
A. B. C. D.
2. 复数 ( )
A. B. i C. -1 D. 1
3. 设点 ， ，直线 过 且与线段 相交，则 的斜率 的取值范围是( )
A. 或 B B. C. D. 以上都不对
4. 已知 的图象如图所示,则 的图象最有可能是( )
A.
B.
C.
D.
5. 设等差数列 的前 项和为 ,若 ,则 ( )
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
6. 一个大风车的半径为 ,匀速旋转的速度是每 旋转一周. 它的最低点 离地面 ,风车翼片的一个端点 从 开始按逆时针方向旋转,点 离地面距离 与时间 之间的函数关系式是( )
A. B.
C. D.
7. 现有 5 名毕业生去枣庄三中、枣庄八中、滕州一中三所学校去应聘，若每人至多被一所学校录用，每所学校至少录用其中一人，则不同的录取情况种数是( )
A. 420 B. 390 C. 360 D. 300
8. 已知 ,则 ( )
A. B. C. D.
二、多选题
9. 已知正数 满足 ,则()
A. B.
C. D.
10. 在棱长为 1 的正方体 中， 为底面 的中心， 是棱 上一点,且 为线段 的中点,给出下列命题,其中正确的是 ( )
A. 与 是异面直线;
B. 三棱锥 的体积跟 的取值无关；
C. 当 时, ;
D. 当 时,过 三点的平面截正方体所得截面的周长为 .
11. 已知抛物线 的焦点为 ,过 的直线 与 交于 两点，点 在 的准线上，那么( )
A. 若 与 相切，则 也与 相切
B.
C. 若点 在 轴上，则 为定值
D. 若点 在 轴上,且满足 ,则直线 的斜率绝对值为
三、填空题
12. 在 中，角 所对的边分别为 ，若 ，则 的取值范围是_____.
13. 函数 的最大值为_____.
14. 从 中任取三个不同的数,则这三个数可以构成等差数列的概率为_____.
四、解答题
15. 已知函数 .
(1)求函数 在 处的切线方程；
(2)求函数 的极值.
16. 如图,在四棱锥 中, 底面 , ，点 为棱 的中点. 证明:
(1) 平面 ;
(2)平面 平面 ；
(3)求平面 与平面 所成角的余弦值
17. 已知等差数列 的前 项和为 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
18. 双曲线 经过两点 和 .
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)过点 的直线交双曲线 于 两点， 为左焦点，直线 交双曲线于另一点 ， 直线 交双曲线于另一点 ,求直线 过定点.
19. 近年来, 全球数字化进程持续加速, 人工智能 (Artificial Intelligence, 简称 AI )已然成为科技变革的核心驱动力.有媒体称 DeepSeek 开启了我国 AI 新纪元.某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与 AI 知识有关的网络答题活动, 为了解男女学生参与答题意愿的差异, 用比例分配的分层随机抽样方法在全体学生中抽取 100 人，设事件 “学生报名参加答题活动”, “学生为男生”,据统计 .
(1)根据已知条件，完成下列 列联表，并依据小概率值 的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关联
报名情况 性别 合计
男生 女生
报名
未报名
合计 100
(2)网络答题规则:答题活动不限时间，不限轮次，答多少轮由选手自行确定:每轮均设置 道题,选手参与该轮答题,则至少答一道题,一旦答对一题,则其本轮答题结束, 答错则继续答题,直到第 道题答完,本轮答题结束. 已知甲同学报名参加答题活动,假设甲每道题回答是否正确相互独立,且每次答对的概率均为 .
①求甲在一轮答题过程中答题数量 的数学期望；
②假设甲同学每轮答题答对前两题中的一道，本轮答题得 2 分，否则得 1 分.记甲答题累计得分为 的概率为 .
(i) 求证: 是等比数列; (ii) 求 的最大值.
参考公式与数据: ,其中 .
0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
1. A
集合 中 的范围是 ,集合 中 的范围是 ,故 ,所以选 A.
2. A
依题意, ,
所以 .
故选: A
3. A
如图所示: 由题意得,所求直线 的斜率 满足 或 ,
而 ,
所以 或 .
故选: A.
4. D
观察 的图象得,当 时, 或 ,当 时, ,
于是得 在 和 上都是单调递减的,在 上是单调递增的,只有 选项符合上述条件.
故选: D
5. C
方法一: 由题意得: ,
则等差数列的公差 ,
则 ,
所以 .
方法二: 因为等差数列的性质即 为等差数列,
则 ,得 ,解得 .
故选:
6.
以过风车中心垂直于地面的竖直向上的直线为 轴,该直线与地面的交点为原点, 建立坐标系, 如图,
依题意,设函数解析式为 ,
显然 ,则 ,
函数 的周期 ,则 ,因当 时, ,即有 ,则
于是得 ,
所以点 离地面距离 与时间 之间的函数关系式是 .
故选:
7. B
① 当 5 人中有三人被录取,则不同的录取情况数为 ,
② 当 5 人中有四人被录取，则不同的录取情况数为 ,
③ 当 5 人全部被录取，则不同的录取情况数为 ,
综上不同的录取情况数共有 390 种.
故选: B.
8. D
因为 ,又 ,所以 ,
,又 ,所以 ,
因为 ,所以 ,
因为 ,
所以 .
故选: D.
9. BD
对于选项 A: , 当且仅当 ,即 时取等号,故选项 A 错误;
对于选项 B: 因为 ,则 ,
当且仅当 ,即 时取等号,故选项 B 正确;
对于选项 C: 因为 ,
当且仅当 ,即 时取等号,这与 均为正数矛盾,
故 ,故选项 C 错误.
对于选项 D:由选项 A 可知 ，所以 ，
当且仅当 ,即 时取等号,故选项 正确;
故选: BD.
10. BD
在 中，因为 为 的中点，所以 ，
所以 与 共面，所以 错误；
由 ,因为 到平面 的距离为定值 ,且 的面积为定值 ,
根据 可知三棱锥 的体积跟 的取值无关,所以 正确;
当 时,可得 为 的中点, 为 的中点,
,
则 ,所以 不成立,所以 不正确;
当 时,在 上取点 ,使 ,连接 ,
根据正方体的性质可知, ,故过 三点的平面截正方体所得截面为 ,
由 知截面 是等腰梯形,
所以平面截正方体所得截面的周长为
所以 D 正确.
故选: BD
11. ABD
依题意,不妨设点 在第一象限,
抛物线 的焦点为 ,准线方程为 ,
对于 A: 设 ,
依题意可得过 两点的抛物线的切线不与坐标轴垂直，
不妨设过 的抛物线的切线方程为: ,
即 ,
由 ,有 ,
所以 ,
又 ,整理得 ,解得 ,
所以过 的抛物线的切线方程为: ,整理得 , 同理可得过 的抛物线的切线方程为: ,
设两切线的交点为 ,由 ,
可得 ,
设直线 的方程为: ,由 有 ,
所以 ,则 , 所以 ,
即两切线的交点 在抛物线的准线上,
所以若 与 相切,则 也与 相切,故 正确;
对于 : 设 的中点为 ,由 ,则 ,则
又 ,所以 到准线的距离 , 所以以 为直径的圆与抛物线的准线相切, 又点 在 的准线上,所以 ,故 正确;
对于 : 依题意可得 ,所以 , 所以 ,显然 不是定值,故 错误;
对于 : 因为
所以 轴为 的平分线,
根据角平分线定理可得 ,
设直线 的倾斜角为 ,
则 ,
所以 ,解得 ,所以 ,
则直线 的斜率为 ,故 正确.
故选: ABD.
12. .
由正弦定理可得 ,所以 ,则 . 又 ，则 ，即 ,所以 ,即 的取值范围是 故答案为:
13.
因为 ,
令 ,则 ,
由于 是奇函数且周期为 ,只需考虑 (值域对称).
令 ,则
变为 ,
令 ,
对 求导得:
令 ,得 或 ,
当 时 时 ,
所以 在 上单调递增,在 上单调递减,
当 时， ，
当 时, ,
当 时,
的最大值是 ,
的最大值为 ,
由于 是奇函数,
故 最小值为 ,
值域为 ,即 的最大值为 .
故答案为:
14.
从 1,2,...,11 中任取三个不同的数,则不同的组合有共有 种,
能构成等差数列不同的组合的有 种,
所以这三个数可以构成等差数列的概率为 .
故答案为: .
15. (1) ；(2)极大值 ，极小值 0 .
解: (1) 因为
所以 即 又因为
所以函数 在 处的切线方程为 .
(2)因为
令 或
所以, 在 单调递增,在 单调递减
所以 时 取极大值 时 取极小值 .
16.(1)因为 平面 ,且 平面 ,所以 ,
又因为 ,且 平面 ,所以 平面 ,
依题意,以点 为原点,以 分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标
系,
则 ,
由 为棱 的中点,得 ,则 ,
所以 为平面 的一个法向量,
又 ,所以 ,
又 平面 ,所以 平面 .
(2)由(1)知平面 的一个法向量 ，且 ， ，
设平面 的一个法向量为 ,则 ,
令 ,可得 ,所以 ,
又因为 ,
所以 ,所以平面 平面 .
(3)由(1)可知: ， ，
设平面 的一个法向量为 ,则 ,
令 ,可得 ,所以 ,
因为 ,
所以平面 与平面 所成角的余弦值为 .
17. (2)
(1)因为数列 为等差数列,设等差数列 的公差为 ，
所以 ,所以数列 的通项公式为 ;
(2)由(1)得 ，
18. ;
(2)定点
(1)设双曲线方程为: ,代入两点可得:
,解得: ,
又设双曲线方程为: ,代入两点可得:
,解得: ,显然这组解不成立,
综上双曲线 的标准方程为 ;
(2)
设 ,由 (1) 知 ,
则直线 方程为: ,直线 方程为: ,
由直线 方程与双曲线方程联立可得:
,
整理得: ,
即 ,
又因为 ,
则 ,
所以 ,
则 ,
即点 ,同理可得: 点 ,
设直线 的方程为: ,把点 的坐标代入可得:
,
,
同理,把点 的坐标代入可得: ,
即直线方程 必过点 ,
即此方程就是直线 方程,又因为直线 过点 ,
则有 ,
则直线 的方程 必过定点 .
19.(1) 因为 ,所以报名参加答题活动人数为 , 又因为 ,所以报名参加答题活动的男生人数为 ,女生人数为 ,
又 ,所以样本中男生人数为 ,女生人数为 50,得到 列联表为:
报名情况 性别 合计
男生 女生
报名 20 35 55
未报名 30 15 45
合计 50 50 100
零假设为 : 学生报名参加答题活动与性别无关,
则 ,
依据小概率值 的独立性检验,我们推断 不成立,
即认为学生报名参加答题活动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于 0.005 ;
(2)①设甲完成一轮答题，答题数量为随机变量 ，则 的所有可能取值
为 ,
其中 ,
所以 .
所以 ,
所以
.
即甲在一轮答题过程中答题数量 的数学期望为 ;
② 每轮比赛甲得 1 分的概率为 ，得 2 分的概率为 ，
依题意可得 ,
当 时,由全概率公式, ,
因为 ,且 ,
所以数列 是首项为 ,公比为 的等比数列,
故 ,故 时,
,
因为 也符合上式,所以 .
当 为奇数时, ,当 为偶数时, ,
所以 的最大值在 为偶数时产生,又当 为偶数时,
随着 的增大而减小,
所以当 时, 的最大值为 .
一、单选题
1. 集合 ,则
A. B. C. D.
2. 复数 ( )
A. B. i C. -1 D. 1
3. 设点 ， ，直线 过 且与线段 相交，则 的斜率 的取值范围是( )
A. 或 B B. C. D. 以上都不对
4. 已知 的图象如图所示,则 的图象最有可能是( )
A.
B.
C.
D.
5. 设等差数列 的前 项和为 ,若 ,则 ( )
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
6. 一个大风车的半径为 ,匀速旋转的速度是每 旋转一周. 它的最低点 离地面 ,风车翼片的一个端点 从 开始按逆时针方向旋转,点 离地面距离 与时间 之间的函数关系式是( )
A. B.
C. D.
7. 现有 5 名毕业生去枣庄三中、枣庄八中、滕州一中三所学校去应聘，若每人至多被一所学校录用，每所学校至少录用其中一人，则不同的录取情况种数是( )
A. 420 B. 390 C. 360 D. 300
8. 已知 ,则 ( )
A. B. C. D.
二、多选题
9. 已知正数 满足 ,则()
A. B.
C. D.
10. 在棱长为 1 的正方体 中， 为底面 的中心， 是棱 上一点,且 为线段 的中点,给出下列命题,其中正确的是 ( )
A. 与 是异面直线;
B. 三棱锥 的体积跟 的取值无关；
C. 当 时, ;
D. 当 时,过 三点的平面截正方体所得截面的周长为 .
11. 已知抛物线 的焦点为 ,过 的直线 与 交于 两点，点 在 的准线上，那么( )
A. 若 与 相切，则 也与 相切
B.
C. 若点 在 轴上，则 为定值
D. 若点 在 轴上,且满足 ,则直线 的斜率绝对值为
三、填空题
12. 在 中，角 所对的边分别为 ，若 ，则 的取值范围是_____.
13. 函数 的最大值为_____.
14. 从 中任取三个不同的数,则这三个数可以构成等差数列的概率为_____.
四、解答题
15. 已知函数 .
(1)求函数 在 处的切线方程；
(2)求函数 的极值.
16. 如图,在四棱锥 中, 底面 , ，点 为棱 的中点. 证明:
(1) 平面 ;
(2)平面 平面 ；
(3)求平面 与平面 所成角的余弦值
17. 已知等差数列 的前 项和为 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
18. 双曲线 经过两点 和 .
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)过点 的直线交双曲线 于 两点， 为左焦点，直线 交双曲线于另一点 ， 直线 交双曲线于另一点 ,求直线 过定点.
19. 近年来, 全球数字化进程持续加速, 人工智能 (Artificial Intelligence, 简称 AI )已然成为科技变革的核心驱动力.有媒体称 DeepSeek 开启了我国 AI 新纪元.某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与 AI 知识有关的网络答题活动, 为了解男女学生参与答题意愿的差异, 用比例分配的分层随机抽样方法在全体学生中抽取 100 人，设事件 “学生报名参加答题活动”, “学生为男生”,据统计 .
(1)根据已知条件，完成下列 列联表，并依据小概率值 的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关联
报名情况 性别 合计
男生 女生
报名
未报名
合计 100
(2)网络答题规则:答题活动不限时间，不限轮次，答多少轮由选手自行确定:每轮均设置 道题,选手参与该轮答题,则至少答一道题,一旦答对一题,则其本轮答题结束, 答错则继续答题,直到第 道题答完,本轮答题结束. 已知甲同学报名参加答题活动,假设甲每道题回答是否正确相互独立,且每次答对的概率均为 .
①求甲在一轮答题过程中答题数量 的数学期望；
②假设甲同学每轮答题答对前两题中的一道，本轮答题得 2 分，否则得 1 分.记甲答题累计得分为 的概率为 .
(i) 求证: 是等比数列; (ii) 求 的最大值.
参考公式与数据: ,其中 .
0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
1. A
集合 中 的范围是 ,集合 中 的范围是 ,故 ,所以选 A.
2. A
依题意, ,
所以 .
故选: A
3. A
如图所示: 由题意得,所求直线 的斜率 满足 或 ,
而 ,
所以 或 .
故选: A.
4. D
观察 的图象得,当 时, 或 ,当 时, ,
于是得 在 和 上都是单调递减的,在 上是单调递增的,只有 选项符合上述条件.
故选: D
5. C
方法一: 由题意得: ,
则等差数列的公差 ,
则 ,
所以 .
方法二: 因为等差数列的性质即 为等差数列,
则 ,得 ,解得 .
故选:
6.
以过风车中心垂直于地面的竖直向上的直线为 轴,该直线与地面的交点为原点, 建立坐标系, 如图,
依题意,设函数解析式为 ,
显然 ,则 ,
函数 的周期 ,则 ,因当 时, ,即有 ,则
于是得 ,
所以点 离地面距离 与时间 之间的函数关系式是 .
故选:
7. B
① 当 5 人中有三人被录取,则不同的录取情况数为 ,
② 当 5 人中有四人被录取，则不同的录取情况数为 ,
③ 当 5 人全部被录取，则不同的录取情况数为 ,
综上不同的录取情况数共有 390 种.
故选: B.
8. D
因为 ,又 ,所以 ,
,又 ,所以 ,
因为 ,所以 ,
因为 ,
所以 .
故选: D.
9. BD
对于选项 A: , 当且仅当 ,即 时取等号,故选项 A 错误;
对于选项 B: 因为 ,则 ,
当且仅当 ,即 时取等号,故选项 B 正确;
对于选项 C: 因为 ,
当且仅当 ,即 时取等号,这与 均为正数矛盾,
故 ,故选项 C 错误.
对于选项 D:由选项 A 可知 ，所以 ，
当且仅当 ,即 时取等号,故选项 正确;
故选: BD.
10. BD
在 中，因为 为 的中点，所以 ，
所以 与 共面，所以 错误；
由 ,因为 到平面 的距离为定值 ,且 的面积为定值 ,
根据 可知三棱锥 的体积跟 的取值无关,所以 正确;
当 时,可得 为 的中点, 为 的中点,
,
则 ,所以 不成立,所以 不正确;
当 时,在 上取点 ,使 ,连接 ,
根据正方体的性质可知, ,故过 三点的平面截正方体所得截面为 ,
由 知截面 是等腰梯形,
所以平面截正方体所得截面的周长为
所以 D 正确.
故选: BD
11. ABD
依题意,不妨设点 在第一象限,
抛物线 的焦点为 ,准线方程为 ,
对于 A: 设 ,
依题意可得过 两点的抛物线的切线不与坐标轴垂直，
不妨设过 的抛物线的切线方程为: ,
即 ,
由 ,有 ,
所以 ,
又 ,整理得 ,解得 ,
所以过 的抛物线的切线方程为: ,整理得 , 同理可得过 的抛物线的切线方程为: ,
设两切线的交点为 ,由 ,
可得 ,
设直线 的方程为: ,由 有 ,
所以 ,则 , 所以 ,
即两切线的交点 在抛物线的准线上,
所以若 与 相切,则 也与 相切,故 正确;
对于 : 设 的中点为 ,由 ,则 ,则
又 ,所以 到准线的距离 , 所以以 为直径的圆与抛物线的准线相切, 又点 在 的准线上,所以 ,故 正确;
对于 : 依题意可得 ,所以 , 所以 ,显然 不是定值,故 错误;
对于 : 因为
所以 轴为 的平分线,
根据角平分线定理可得 ,
设直线 的倾斜角为 ,
则 ,
所以 ,解得 ,所以 ,
则直线 的斜率为 ,故 正确.
故选: ABD.
12. .
由正弦定理可得 ,所以 ,则 . 又 ，则 ，即 ,所以 ,即 的取值范围是 故答案为:
13.
因为 ,
令 ,则 ,
由于 是奇函数且周期为 ,只需考虑 (值域对称).
令 ,则
变为 ,
令 ,
对 求导得:
令 ,得 或 ,
当 时 时 ,
所以 在 上单调递增,在 上单调递减,
当 时， ，
当 时, ,
当 时,
的最大值是 ,
的最大值为 ,
由于 是奇函数,
故 最小值为 ,
值域为 ,即 的最大值为 .
故答案为:
14.
从 1,2,...,11 中任取三个不同的数,则不同的组合有共有 种,
能构成等差数列不同的组合的有 种,
所以这三个数可以构成等差数列的概率为 .
故答案为: .
15. (1) ；(2)极大值 ，极小值 0 .
解: (1) 因为
所以 即 又因为
所以函数 在 处的切线方程为 .
(2)因为
令 或
所以, 在 单调递增,在 单调递减
所以 时 取极大值 时 取极小值 .
16.(1)因为 平面 ,且 平面 ,所以 ,
又因为 ,且 平面 ,所以 平面 ,
依题意,以点 为原点,以 分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标
系,
则 ,
由 为棱 的中点,得 ,则 ,
所以 为平面 的一个法向量,
又 ,所以 ,
又 平面 ,所以 平面 .
(2)由(1)知平面 的一个法向量 ，且 ， ，
设平面 的一个法向量为 ,则 ,
令 ,可得 ,所以 ,
又因为 ,
所以 ,所以平面 平面 .
(3)由(1)可知: ， ，
设平面 的一个法向量为 ,则 ,
令 ,可得 ,所以 ,
因为 ,
所以平面 与平面 所成角的余弦值为 .
17. (2)
(1)因为数列 为等差数列,设等差数列 的公差为 ，
所以 ,所以数列 的通项公式为 ;
(2)由(1)得 ，
18. ;
(2)定点
(1)设双曲线方程为: ,代入两点可得:
,解得: ,
又设双曲线方程为: ,代入两点可得:
,解得: ,显然这组解不成立,
综上双曲线 的标准方程为 ;
(2)
设 ,由 (1) 知 ,
则直线 方程为: ,直线 方程为: ,
由直线 方程与双曲线方程联立可得:
,
整理得: ,
即 ,
又因为 ,
则 ,
所以 ,
则 ,
即点 ,同理可得: 点 ,
设直线 的方程为: ,把点 的坐标代入可得:
,
,
同理,把点 的坐标代入可得: ,
即直线方程 必过点 ,
即此方程就是直线 方程,又因为直线 过点 ,
则有 ,
则直线 的方程 必过定点 .
19.(1) 因为 ,所以报名参加答题活动人数为 , 又因为 ,所以报名参加答题活动的男生人数为 ,女生人数为 ,
又 ,所以样本中男生人数为 ,女生人数为 50,得到 列联表为:
报名情况 性别 合计
男生 女生
报名 20 35 55
未报名 30 15 45
合计 50 50 100
零假设为 : 学生报名参加答题活动与性别无关,
则 ,
依据小概率值 的独立性检验,我们推断 不成立,
即认为学生报名参加答题活动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于 0.005 ;
(2)①设甲完成一轮答题，答题数量为随机变量 ，则 的所有可能取值
为 ,
其中 ,
所以 .
所以 ,
所以
.
即甲在一轮答题过程中答题数量 的数学期望为 ;
② 每轮比赛甲得 1 分的概率为 ，得 2 分的概率为 ，
依题意可得 ,
当 时,由全概率公式, ,
因为 ,且 ,
所以数列 是首项为 ,公比为 的等比数列,
故 ,故 时,
,
因为 也符合上式,所以 .
当 为奇数时, ,当 为偶数时, ,
所以 的最大值在 为偶数时产生,又当 为偶数时,
随着 的增大而减小,
所以当 时, 的最大值为 .
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