湖南常德市汉寿县第一中学2025-2026学年高三下学期2月阶段检测数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 湖南常德市汉寿县第一中学2025-2026学年高三下学期2月阶段检测数学试题（含解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 303.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-15 00:00:00 | ||
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文档简介
湖南省常德市汉寿县第一中学 2025-2026 学年高三下学期 2 月阶段性检测数学试题
一、单选题
1. 已知向量 满足 ，则 与 的夹角为( )
A. B. C. D.
2. 若复数 满足 ，则在复平面内 对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 函数 ,则 是 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知数列 满足 ,且 ,若 表示不超过 的最大整数 (例如 ),则 ( )
A. 4048 B. 4046 C. 2023 D. 2024
5. 已知 ,若 满足 , 则 ( )
A. B. C. D.
6. 已知 ,动点 与点 的距离是它与点 的距离的 倍. 直线 恒过定点 (3，1)与动点 的轨迹交于 ， 两点，则 的最小值为( )
A. B. C. D.
7. 某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹, 如图 1. 通过观察发现, 该黏菌繁殖符合如下规律:①黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉 (分叉的角度约为 ),再沿直线繁殖,...; ②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半. 于是, 该组同学将整个繁殖过程抽象为如图 2 所示的一个数学模型: 黏菌从圆形培养皿的中心 开始,沿直线繁殖到 ,然后分叉向 与 方向继续繁殖,其中 ,且 与 关于 所在直线对称, 若 ,为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁,则培养皿的半径 ,单位:cm)至少为( )
图1
图2
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
8. 已知函数 ( 为自然对数的底数),则下列结论正确的是 ( )
A. B.
C. D.
二、多选题
9. 下列说法正确的是( )
A. 若随机变量 ,则
B. 若随机变量 ,则
C. 以模型 去拟合一组数据时,为了求出回归方程,设 ,将其变换后得到线性方程 ,则 的值分别是
D. 从 10 名男生，5 名女生中随机选取 4 人，则其中至少有一名女生的概率为
10. 已知 为抛物线 的焦点， 为 的准线与 轴的交点，点 在抛物线 上,设 ,则下列结论正确的是 ( )
A. 抛物线 在点 处的切线过点 B. 的最大值为
C.
D. 存在点 ,使得
11. 在棱长为 2 的正方体 中， 分别为 的中点，点 是正方体侧面 上的一动点 (含边界),则下列说法正确的是 ( )
A. 异面直线 与 所成角的余弦值为
B. 当点 为棱 的中点时,直线 与直线 平行
C. 若保持 ，则点 在侧面 内运动路径的长度为
D. 过直线 的平面截该正方体的内切球 所得截面圆的面积的最小值为
三、填空题
12. 已知抛物线 ,则抛物线 准线方程为:_____.
13. 的展开式中 的系数为_____.
14. 已知等腰梯形 是半径为 2 的圆的内接四边形,且 ,则等腰梯形 的四条边长的乘积的最大值为_____.
四、解答题
15. 已知 ,且 .
(1)求 的单调递增区间.
(2)在锐角 中， ， ，求 的取值范围.
16. 如图,在四棱锥 中, 底面 ,底面 是直角梯形, 点在 上,且 ,点 在 上,且 .
(1)求证:平面 平面 ；
(2)若直线 与平面 所成的角为 ，求二面角 的余弦值；
(3)在第(2)问条件下，线段 上是否存在点 ，使得 平面 ，若存在，求出 的值, 若不存在, 请说明理由.
17. 已知曲线 的方程为 .
(1)求曲线 的离心率；
(2)设曲线 的右焦点为 ，斜率为 的动直线 过点 与曲线 交于 两点，线段 的垂直平分线交 轴于点 ,证明: 为定值.
18. 已知函数
(1)已知 在定义域上是增函数，求实数 的取值范围.
(2)已知 有两个零点 ，
① 求实数 的取值范围
② 当 时,证明
19. 设集合 ， 为 的非空子集，随机变量 ， 分别表示取到子集 中的最大元素和最小元素的数值.
(1)若 ,求 ;
(2)若 ，
(i) 求 且 的概率；
(ii) 已知 ,求随机变量 的均值.
1. B
由 可得 ,
故 ,结合 ,故 ,
,故 ,
故选: B
2. A
,
因此,复数 在复平面内对应的点位于第一象限.
故选: A.
3. B
由题意可得: 恒成立,
所以函数 在 上递增,
又 ,
所以函数 是奇函数,
当 ,即 ,
所以 ,解得 ,
当 时,则 ,显然不成立;
反之,当 ,则 ,成立,
所以 是 的必要不充分条件
故选: B.
4. D
由题设知 ,
故 是首项为 4,公差为 2 的等差数列,则 ,
由累加法可知当 时,
所以 ,又 也符合该式,所以 ,
所以
又 时, 时, ,
所以 .
故选: D
5. C
令 ,解得 ,
令 ,解得 ,
为了使 的零点应该与 零点重合,
所以 ,
令 ,可得 ,
因为 ,所以可取 或 ,
当 时, ,
因为 ,
所以明显在同区间内, 除零点外两者同号, 舍去;
当 时, ,
因为 ,
所以明显在同区间内, 除零点外两者异号, 符合题意.
所以 .
故选:
6. A
设 ,由 ,得 ,
整理得 ,所以动点 的轨迹是圆心为 ,半径 的圆,
直线 恒过定点 ，点 在圆内，
由几何知识可得当 时,圆心 到直线 距离最大,弦长 最小,
所以 .
故选: A.
7. C
由题意可知, ,只要计算出黏菌沿直线一直繁殖下去,在 方向上的距离的范围,即可确定培养皿的半径的范围,
依题意可知黏菌的繁殖规律，由此可得每次繁殖在 方向上前进的距离依次为:
则 ,
黏菌无限繁殖下去,每次繁殖在 方向上前进的距离和即为两个无穷等比递缩数列的和, 即 ,
综合可得培养皿的半径 ,单位: ) 至少为 ,
故选:
8. D
设 ,则 ,
当 时 为减函数,则 ,得 ,即 .
由 ,则 为偶函数,
又 ,则 ,即 为增函数,又 ,
所以,当 时 为增函数.
令 且 ,则 ,即 递增,
所以 ,即 在 上恒成立,取 ,得 ,
所以 ,故 ,
综上, .
故选: D.
9. AC
随机变量 ,正态曲线关于 对称,则 ,
,即 ,故 A 正确;
随机变量 ,则 ,
故 ,故 B 错误;
两边取对数得 ,令 ,
可得 ,
,故 正确;
从 10 名男生，5 名女生中随机选取 4 人，则其中至少有一名女生的对立事件为选取的 4 人中没有一名女生，其概率为 ，则其中至少有一名女生的概率为 ，
故 D 不正确;
故选: AC.
10. ACD
由抛物线的对称性,以下只讨论在第一象限内的情况,令 在第一象限且有
A: 抛物线 在点 处的切线为 ,而 ,即切线过点 ,正确.
B: 当直线 与抛物线相切时 最大,此时有 ,解得 , 则 ,即 的最大值为 ,错误;
C: 如上图,由抛物线定义知: ,所以 , ,即 ,正确;
D: 若存在 使得 ,在 中 ,即 ,结合 有 , 由 知: ,问题转化为 与 在 上是否有交点:
1、 在 上单调递增; 在 上单调递增, 在 上单调递减;
2、当 时， ; 当 时， ;
3、 、 在 上连续;
如下图示,在 上 存在一个交点,即 在 上可以成立,正确;
故选: ACD
11. ACD
以正方体顶点 为原点,建立如图空间直角坐标系,则
则 .
对于 ,
所以 ,故 A 正确.
对于 ,若点 为棱 的中点,则 ,所以 .
因为 ,所以不存在实数 ,使得 ,所以 错误.
对于 ,因为 ,所以点 在以点 为球心的球面上.
又点 是正方体侧面 上的动点 (含边界),所以点 在侧面 内运动轨迹是球 的球面与侧面 的交线.
因为 侧面 ,且 ,
所以点 在侧面 内运动轨迹是以 为圆心的圆与侧面 内的交线,即圆心角为 的圆弧,且半径为 .
所以其路径长为 . 所以 正确.
对于 ,易得正方体的内切球球心为正方体的中心,所以 ,半径为 1 .
所以 ,所以球心 到直线 的距离为
所以球心 到过直线 的平面的最大距离为 ,此时截面圆的面积最小.
截面圆半径为 ,所以此时的截面圆面积为 . 所以 正确.
故选: ACD.
12.
抛物线 ,即 ,开口向上,故准线方程为 . 故答案为: .
13. 16
由已知可得二项展开式的通项 ,
令 ,可得 ,
则 ,
即 项的系数为 16,
故答案为: 16 .
14. 36
如图所示: 连接 ,设 ,则 .
在 中, ,
在 ,
故梯形 的四条边乘积
设 ,得 ,
(当且仅当 时,等号成立).
,当 时, 取得最大值 .
故答案为: 36
15. (1)单调递增区间是 ;
(2) .
(1)因为 ,所以
令 ,可得 ,
所以 的单调递增区间是 .
( 2 )因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
可得 ，
在 中，由正弦定理得 ，
即 ,
因为 为锐角三角形，所以 即 ，
所以 ,
所以 ,
所以 的取值范围是 .
16.(1)由 ，即 为等腰直角三角形，
又 是直角梯形且 ，且 ，
所以 ，因为 ，
故 为等腰直角三角形,
所以, ,
又 ,
又 ,即 ,
四边形 为平行四边形,则 .
又 ,故 ,
由 底面 , 面 ,则 .
又 ,
面 ,
而 面 ,
平面 平面 .
(2)直线 与平面 所成角的平面角为 ，
则 .
如下图,以 为原点, 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系 .
,
,
若 是面 的一个法向量,
则 ,
令 有 ,
易知, 是面 的一个法向量,
. 又二面角 为锐二面角,
当直线 与平面 所成的角为 时,二面角 的余弦值为 .
(3)在第(2)问条件下，线段 上不存在点 ，使得 平面 ，理由如下: 是面 的一个法向量.
设 ,则 ,
从而 .
若 平面 ,则 ,解得 ,不合题意,
所以线段 上不存在点 ,使得 平面 .
17. (1) 解: 由 可知,点 到点 的距离之和为 4,且 ,
根据椭圆的定义可知,曲线 为焦点在 轴上的椭圆.
设椭圆的长轴长为 ,焦距为 ,
则 ,
所以曲线 的离心率为 .
(2)证明:设椭圆的短轴长为 ，
由(1)可得 ，
所以曲线 的方程为 ,则 .
由题意可知,动直线 的方程为 ,
设 ,
由
得 ,
所以 .
设 的中点为 ,
则 .
当 时,线段 的垂直平分线的方程为 ,
令 ,得 ,
所以 ,
,
所以 .
当 时, 的方程为 ,
此时, .
综上, 为定值.
18. (1) 的定义域为 ,因为 在定义域上为增函数,
所以 在 上恒成立.
即 恒成立, ,即 ,
,当 时取等,
.
(2)① 定义域为 ，
当 时, ,所以 在 上单调递减,不合题意.
当 时, ,
当 时, ,函数 在 上单调递减,
当 时, ,函数 在 上单调递增,
所以 的最小值为 ,
函数 存在两个零点的必要条件是 ,即 ,
又 ,
所以 在 上存在一个零点 .
当 时, ,所以 在 上存在一个零点,
综上函数 有两个零点,实数 的取值范围是 .
② 当 时,由 ,
所以 ,
所以 ,
要证明 ,只需证明
而 ,
令 ,则 ,欲证明
即证明 ,只需证明 即可,
令 ,
求导得 ,
令 ,当 时, ,
则 在 单调递增,故 ,
则 ,令 在 时单调递增,则 ,
因此 ,即 ,所以
19.
(2) (i) ; (ii) 10
(1) 当 时,集合 的非空子集的个数为 ,
其中这些子集中最大元素为 4 的集合个数为 ,
.
(2)(i)当集合 中的最大元素和最小元素分别为8,2，
元素个数最少时 ,
元素个数最多时为 7 元素集 ,
集合 的可能情况有 个;
当 时,集合 的非空子集个数为 个;
.
(ii) 当 时,集合 的非空子集个数为 511 个,
其中,最大值 的子集可视为 的子集与集合 的并集共有 个,
最大值 的子集可视为 的子集与集合 的并集共有 个,
最大值 的子集可视为 的子集与集合 的并集共有 个,
.
最小值 的子集可视为 的子集与集合 的并集共有 个,
最小值 的子集可视为 的子集与集合 的并集共有 个,
,
一、单选题
1. 已知向量 满足 ，则 与 的夹角为( )
A. B. C. D.
2. 若复数 满足 ，则在复平面内 对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 函数 ,则 是 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知数列 满足 ,且 ,若 表示不超过 的最大整数 (例如 ),则 ( )
A. 4048 B. 4046 C. 2023 D. 2024
5. 已知 ,若 满足 , 则 ( )
A. B. C. D.
6. 已知 ,动点 与点 的距离是它与点 的距离的 倍. 直线 恒过定点 (3，1)与动点 的轨迹交于 ， 两点，则 的最小值为( )
A. B. C. D.
7. 某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹, 如图 1. 通过观察发现, 该黏菌繁殖符合如下规律:①黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉 (分叉的角度约为 ),再沿直线繁殖,...; ②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半. 于是, 该组同学将整个繁殖过程抽象为如图 2 所示的一个数学模型: 黏菌从圆形培养皿的中心 开始,沿直线繁殖到 ,然后分叉向 与 方向继续繁殖,其中 ,且 与 关于 所在直线对称, 若 ,为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁,则培养皿的半径 ,单位:cm)至少为( )
图1
图2
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
8. 已知函数 ( 为自然对数的底数),则下列结论正确的是 ( )
A. B.
C. D.
二、多选题
9. 下列说法正确的是( )
A. 若随机变量 ,则
B. 若随机变量 ,则
C. 以模型 去拟合一组数据时,为了求出回归方程,设 ,将其变换后得到线性方程 ,则 的值分别是
D. 从 10 名男生，5 名女生中随机选取 4 人，则其中至少有一名女生的概率为
10. 已知 为抛物线 的焦点， 为 的准线与 轴的交点，点 在抛物线 上,设 ,则下列结论正确的是 ( )
A. 抛物线 在点 处的切线过点 B. 的最大值为
C.
D. 存在点 ,使得
11. 在棱长为 2 的正方体 中， 分别为 的中点，点 是正方体侧面 上的一动点 (含边界),则下列说法正确的是 ( )
A. 异面直线 与 所成角的余弦值为
B. 当点 为棱 的中点时,直线 与直线 平行
C. 若保持 ，则点 在侧面 内运动路径的长度为
D. 过直线 的平面截该正方体的内切球 所得截面圆的面积的最小值为
三、填空题
12. 已知抛物线 ,则抛物线 准线方程为:_____.
13. 的展开式中 的系数为_____.
14. 已知等腰梯形 是半径为 2 的圆的内接四边形,且 ,则等腰梯形 的四条边长的乘积的最大值为_____.
四、解答题
15. 已知 ,且 .
(1)求 的单调递增区间.
(2)在锐角 中， ， ，求 的取值范围.
16. 如图,在四棱锥 中, 底面 ,底面 是直角梯形, 点在 上,且 ,点 在 上,且 .
(1)求证:平面 平面 ；
(2)若直线 与平面 所成的角为 ，求二面角 的余弦值；
(3)在第(2)问条件下，线段 上是否存在点 ，使得 平面 ，若存在，求出 的值, 若不存在, 请说明理由.
17. 已知曲线 的方程为 .
(1)求曲线 的离心率；
(2)设曲线 的右焦点为 ，斜率为 的动直线 过点 与曲线 交于 两点，线段 的垂直平分线交 轴于点 ,证明: 为定值.
18. 已知函数
(1)已知 在定义域上是增函数，求实数 的取值范围.
(2)已知 有两个零点 ，
① 求实数 的取值范围
② 当 时,证明
19. 设集合 ， 为 的非空子集，随机变量 ， 分别表示取到子集 中的最大元素和最小元素的数值.
(1)若 ,求 ;
(2)若 ，
(i) 求 且 的概率；
(ii) 已知 ,求随机变量 的均值.
1. B
由 可得 ,
故 ,结合 ,故 ,
,故 ,
故选: B
2. A
,
因此,复数 在复平面内对应的点位于第一象限.
故选: A.
3. B
由题意可得: 恒成立,
所以函数 在 上递增,
又 ,
所以函数 是奇函数,
当 ,即 ,
所以 ,解得 ,
当 时,则 ,显然不成立;
反之,当 ,则 ,成立,
所以 是 的必要不充分条件
故选: B.
4. D
由题设知 ,
故 是首项为 4,公差为 2 的等差数列,则 ,
由累加法可知当 时,
所以 ,又 也符合该式,所以 ,
所以
又 时, 时, ,
所以 .
故选: D
5. C
令 ,解得 ,
令 ,解得 ,
为了使 的零点应该与 零点重合,
所以 ,
令 ,可得 ,
因为 ,所以可取 或 ,
当 时, ,
因为 ,
所以明显在同区间内, 除零点外两者同号, 舍去;
当 时, ,
因为 ,
所以明显在同区间内, 除零点外两者异号, 符合题意.
所以 .
故选:
6. A
设 ,由 ,得 ,
整理得 ,所以动点 的轨迹是圆心为 ,半径 的圆,
直线 恒过定点 ，点 在圆内，
由几何知识可得当 时,圆心 到直线 距离最大,弦长 最小,
所以 .
故选: A.
7. C
由题意可知, ,只要计算出黏菌沿直线一直繁殖下去,在 方向上的距离的范围,即可确定培养皿的半径的范围,
依题意可知黏菌的繁殖规律，由此可得每次繁殖在 方向上前进的距离依次为:
则 ,
黏菌无限繁殖下去,每次繁殖在 方向上前进的距离和即为两个无穷等比递缩数列的和, 即 ,
综合可得培养皿的半径 ,单位: ) 至少为 ,
故选:
8. D
设 ,则 ,
当 时 为减函数,则 ,得 ,即 .
由 ,则 为偶函数,
又 ,则 ,即 为增函数,又 ,
所以,当 时 为增函数.
令 且 ,则 ,即 递增,
所以 ,即 在 上恒成立,取 ,得 ,
所以 ,故 ,
综上, .
故选: D.
9. AC
随机变量 ,正态曲线关于 对称,则 ,
,即 ,故 A 正确;
随机变量 ,则 ,
故 ,故 B 错误;
两边取对数得 ,令 ,
可得 ,
,故 正确;
从 10 名男生，5 名女生中随机选取 4 人，则其中至少有一名女生的对立事件为选取的 4 人中没有一名女生，其概率为 ，则其中至少有一名女生的概率为 ，
故 D 不正确;
故选: AC.
10. ACD
由抛物线的对称性,以下只讨论在第一象限内的情况,令 在第一象限且有
A: 抛物线 在点 处的切线为 ,而 ,即切线过点 ,正确.
B: 当直线 与抛物线相切时 最大,此时有 ,解得 , 则 ,即 的最大值为 ,错误;
C: 如上图,由抛物线定义知: ,所以 , ,即 ,正确;
D: 若存在 使得 ,在 中 ,即 ,结合 有 , 由 知: ,问题转化为 与 在 上是否有交点:
1、 在 上单调递增; 在 上单调递增, 在 上单调递减;
2、当 时， ; 当 时， ;
3、 、 在 上连续;
如下图示,在 上 存在一个交点,即 在 上可以成立,正确;
故选: ACD
11. ACD
以正方体顶点 为原点,建立如图空间直角坐标系,则
则 .
对于 ,
所以 ,故 A 正确.
对于 ,若点 为棱 的中点,则 ,所以 .
因为 ,所以不存在实数 ,使得 ,所以 错误.
对于 ,因为 ,所以点 在以点 为球心的球面上.
又点 是正方体侧面 上的动点 (含边界),所以点 在侧面 内运动轨迹是球 的球面与侧面 的交线.
因为 侧面 ,且 ,
所以点 在侧面 内运动轨迹是以 为圆心的圆与侧面 内的交线,即圆心角为 的圆弧,且半径为 .
所以其路径长为 . 所以 正确.
对于 ,易得正方体的内切球球心为正方体的中心,所以 ,半径为 1 .
所以 ,所以球心 到直线 的距离为
所以球心 到过直线 的平面的最大距离为 ,此时截面圆的面积最小.
截面圆半径为 ,所以此时的截面圆面积为 . 所以 正确.
故选: ACD.
12.
抛物线 ,即 ,开口向上,故准线方程为 . 故答案为: .
13. 16
由已知可得二项展开式的通项 ,
令 ,可得 ,
则 ,
即 项的系数为 16,
故答案为: 16 .
14. 36
如图所示: 连接 ,设 ,则 .
在 中, ,
在 ,
故梯形 的四条边乘积
设 ,得 ,
(当且仅当 时,等号成立).
,当 时, 取得最大值 .
故答案为: 36
15. (1)单调递增区间是 ;
(2) .
(1)因为 ,所以
令 ,可得 ,
所以 的单调递增区间是 .
( 2 )因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
可得 ，
在 中，由正弦定理得 ，
即 ,
因为 为锐角三角形，所以 即 ，
所以 ,
所以 ,
所以 的取值范围是 .
16.(1)由 ，即 为等腰直角三角形，
又 是直角梯形且 ，且 ，
所以 ，因为 ，
故 为等腰直角三角形,
所以, ,
又 ,
又 ,即 ,
四边形 为平行四边形,则 .
又 ,故 ,
由 底面 , 面 ,则 .
又 ,
面 ,
而 面 ,
平面 平面 .
(2)直线 与平面 所成角的平面角为 ，
则 .
如下图,以 为原点, 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系 .
,
,
若 是面 的一个法向量,
则 ,
令 有 ,
易知, 是面 的一个法向量,
. 又二面角 为锐二面角,
当直线 与平面 所成的角为 时,二面角 的余弦值为 .
(3)在第(2)问条件下，线段 上不存在点 ，使得 平面 ，理由如下: 是面 的一个法向量.
设 ,则 ,
从而 .
若 平面 ,则 ,解得 ,不合题意,
所以线段 上不存在点 ,使得 平面 .
17. (1) 解: 由 可知,点 到点 的距离之和为 4,且 ,
根据椭圆的定义可知,曲线 为焦点在 轴上的椭圆.
设椭圆的长轴长为 ,焦距为 ,
则 ,
所以曲线 的离心率为 .
(2)证明:设椭圆的短轴长为 ，
由(1)可得 ，
所以曲线 的方程为 ,则 .
由题意可知,动直线 的方程为 ,
设 ,
由
得 ,
所以 .
设 的中点为 ,
则 .
当 时,线段 的垂直平分线的方程为 ,
令 ,得 ,
所以 ,
,
所以 .
当 时, 的方程为 ,
此时, .
综上, 为定值.
18. (1) 的定义域为 ,因为 在定义域上为增函数,
所以 在 上恒成立.
即 恒成立, ,即 ,
,当 时取等,
.
(2)① 定义域为 ，
当 时, ,所以 在 上单调递减,不合题意.
当 时, ,
当 时, ,函数 在 上单调递减,
当 时, ,函数 在 上单调递增,
所以 的最小值为 ,
函数 存在两个零点的必要条件是 ,即 ,
又 ,
所以 在 上存在一个零点 .
当 时, ,所以 在 上存在一个零点,
综上函数 有两个零点,实数 的取值范围是 .
② 当 时,由 ,
所以 ,
所以 ,
要证明 ,只需证明
而 ,
令 ,则 ,欲证明
即证明 ,只需证明 即可,
令 ,
求导得 ,
令 ,当 时, ,
则 在 单调递增,故 ,
则 ,令 在 时单调递增,则 ,
因此 ,即 ,所以
19.
(2) (i) ; (ii) 10
(1) 当 时,集合 的非空子集的个数为 ,
其中这些子集中最大元素为 4 的集合个数为 ,
.
(2)(i)当集合 中的最大元素和最小元素分别为8,2，
元素个数最少时 ,
元素个数最多时为 7 元素集 ,
集合 的可能情况有 个;
当 时,集合 的非空子集个数为 个;
.
(ii) 当 时,集合 的非空子集个数为 511 个,
其中,最大值 的子集可视为 的子集与集合 的并集共有 个,
最大值 的子集可视为 的子集与集合 的并集共有 个,
最大值 的子集可视为 的子集与集合 的并集共有 个,
.
最小值 的子集可视为 的子集与集合 的并集共有 个,
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