湖南益阳市南县方谷高级中学2025-2026学年高二下学期开学考试数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 湖南益阳市南县方谷高级中学2025-2026学年高二下学期开学考试数学试题（含解析） |
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|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 258.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-15 00:00:00 | ||
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文档简介
高二数学试卷
2026.3
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分, 在每小题给出的四个 选项中, 只有一项符号题目要求.
1. 已知直线 的一个方向向量为 ，则直线 的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2. 已知向量 ， ，且 与 互相垂直，则实数 等于( )
A. B. 或 C. 0 或 D. 0 或
3. 已知双曲线 的焦距为 6,则双曲线 的焦点到渐近线的距离为( )
A. B. 2 C. 4 D.
4. 正四面体 各棱长均为 分别是 的中点,则 ( )
A. B. C. 1 D.
5. 点 在椭圆 上， ，点 到直线 的距离为 ，则( )
A. 与 无关 B.
C. D.
6. 过三点 的圆交 轴于 两点,则 ( )
A. B. C. D.
7. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下:今有物不知其数，三三数之剩二(除以 3 余 2), 五五数之剩三 (除以 5 余 3), 七七数之剩二 (除以 7 余 2), 问物几何 现有这样一个相关的问题: 已知正整数 满足三三数之剩二,将符合条件的所有正整数 按照从小到大的顺序排成一列,构成数列 ,记数列 的前 项和为 ,则 的最小值为 ( )
A. B. C. 10 D. 11
8. 已知抛物线 与过焦点 的一条直线相交于 两点,过点 且垂直于弦 的直线交抛物线的准线 于点 ,则下列结论正确的是 ( )
A. 准线 的方程是 B. 以 为直径的圆与 轴相切
C. 的最小值为 2 D. 的面积最小值为 2
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对得得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列有关直线与圆的结论正确的是( )
A. 方程 表示的直线必过点
B. 过点 且在 轴上的截距相等的直线方程为
C. 圆 和圆 的公共弦所在的直线方程为
D. 若圆 上恰有 3 个点到直线 的距离等于 1,则
10. 在等比数列 中， ，则( )
A. 的公比为 9 B. 的前 20 项和为 210
C. 的前 20 项积为 D.
11. 已知双曲线 ，点 为双曲线右支上的一个动点，过点 分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为 ， 两点，则( )
A. 双曲线的离心率为 2
B. 存在点 ,使得四边形 为正方形
C. 四边形 的面积为 2
D. 四边形 的周长最小值为
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知抛物线 的准线与圆 相切,请写出一个抛物线 的标准方程为_____.
13. 已知 是圆 上任意一点,则 的取值范围为_____.
14. 已知数列 的通项公式 ，记 为 在区间 内项的个数，则 _____；使得不等式 成立的 的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知点 中恰有两个点在抛物线 上.
(1)求 的标准方程；
(2)若点 ， 在 上，且 ，证明:直线 过定点.
16. 已知点 ,动点 满足 .
(1)求动点 的轨迹方程；
(2)一条光线从点 射出，经 轴反射与动点 的轨迹交于 ， 两点，其中 ,求反射光线所在直线的方程.
17. 如图,在四棱锥 中, 底面 是直角梯形, , 是 的中点.
(1)求证:平面 平面 ；
( 2 )若二面角 的余弦值为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
18. 在通信技术中由 0 和 1 组成的序列有着重要作用, 序列中数的个数称为这个 0-1 序列的长度. 如 0100011011 是一个长度为 10 的 0-1 序列. 长为 的 0-1 序列中任何两个 1 不相邻的序列个数设为 ,长度为 1 的 0-1 序列为: 0,1,都满足数列 ; 长度为 2 且满足数列 的 0-1 序列为: .
(1)求 ；
(2)求数列 中 ， ， 的递推关系；
(3)记 是数列 的前 项和,证明: 为定值.
19. 已知双曲线 与椭圆 的焦点相同,点 是 和 在第一象限的公共点,记 的左,右焦点依次为 .
(1)求 的标准方程；
(2)设点 在 上且在第一象限， 的延长线分别交 于点 ，设 分别为 , 的内切圆半径,求 的最大值.
1. C
设直线 的倾斜角为 ,
由直线 的一个方向向量为 ,得 ,
则 .
故选: C.
2. C
,
,
由 与 互相垂直，
有 ,
解得 或 .
故选: C.
3. B
由题意可得, ,焦点为 ,
则 ,解得 ,又 ,
则双曲线的渐近线方程为 ,
则焦点到渐近线的距离为 .
故选: B.
4. D
因为 分别是 的中点,四面体 是正四面体,且棱长 ,
所以
故选: D.
5. C
设点 ,
因为动点 在椭圆 上，则 ，
因为点 到直线 的距离为 ,所以 ,
又 ,
所以
.
故选: C.
6. D
设圆的方程为 ,
则
,
,
令 ,可得 ,
,
.
故选: D.
7. B
解: 被 3 除余 2 的正整数按照从小到大的顺序所构成的数列是一个首项为 2 , 公差为 3 的等差数列 ,
所以 ,
所以 ,
由对勾函数的性质可得:
函数 在 上单调递减，在 上单调递增，又 为正整数，
所以 最小值为 ,
故选: B
8. C
对于 : 由抛物线的方程可知其焦点为 ,故准线 的方程为: ,故 错
误.
对于 : 当直线 的斜率不存在时,即 直线方程: ,易得 , 则以 为直径的圆半径为 2,此时不与 轴相切,故 错误.
对于 : ① 当直线 的斜率不存在时,易得 ;
② 当直线 的斜率存在时,设直线 的方程为 , ,
由 ,得 ,
得 ,
,
易知直线 的方程为 ,由 ,得 ,
,
综上所得, 的最小值为 2,故 正确.
对于 D: 当直线 的斜率不存在时,易得 ,
所以 ;
当直线 的斜率存在时, ,
故当 时, 取得最小值,且此时最小值为 4,故 错误.
故选: C.
9. ACD
对于 ,方程 可化为 ,
直线过定点 ,故 A 正确;
对于 ,当截距为 0 时,直线方程为 ,故 错误;
对于 ,圆 的一般方程化为标准方程得 ,圆心为 ,
半径为 2,圆 的圆心为 ,半径为 1,
因为 ,所以圆 与圆 相交.
圆 的标准方程化为一般方程得 ,
与圆 的一般方程作差,可得 ,即 ,
所以圆 与圆 的公共弦所在的直线方程为 ,故 正确;
对于 ,若圆 上恰有 3 个点到直线 的距离等于 1,
则圆心 到直线 的距离等于 1,
即 ,解得 ,故 正确.
故选: ACD
10.
对 ,设等比数列 的公比为 ,则 ,得 ,
所以 ,所以 ,
所以 ,
所以数列 的公比为 9,故 A 正确；
对 ,因为 ,所以 的前 20 项和为
,故 B 正确;
对 的前 20 项积为 ,故 错误;
对 ,因为 ,
所以 的前 项和为 ,故 D 错误.
故选: AB
11. BC
A 选项,由题意得 ,故 ,故 , A 错误; 选项,由双曲线 的方程可得渐近线方程为 ,两渐近线夹角为直角, 由对称性可知,若四边形 为正方形,则 到两条渐近线的距离相等,
所以当 为双曲线右顶点时,四边形 为正方形,故 正确;
选项,设 ,则 ,
因为渐近线方程为 ,
所以 ,
所以 ,
则四边形 的面积为 ,故 正确;
D 选项，由 C 选项及基本不等式得 ，
当且仅当 时等号成立,
所以 的最小值为 .
四边形 的周长为 ，故 D 错误.
故选: BC
12. 任意一个均可以)
与圆 相切且与坐标轴平行或垂直的直线有
对应的抛物线方程有:
故答案为: 任意一个均可以)
13.
设 ,变形可得 ,
则 的几何意义为直线 的斜率,
是圆 上任意一点,圆心 ,半径为 1,
则 ,解得 ,
即 的取值范围为 .
故答案为: .
14. 6 12
依题意,令 ,得 ,
当 为奇数时, 可以被 2 整除,于是 ,
当 为偶数时, 不能被 2 整除,则 ,
所以 ;
当 为奇数时, 为偶数, ,
即 ,而 ,则 ,即 ,又 为奇数,则 的最小值为 13,
当 为偶数时, 为奇数, ,
而 ,则 ,即 ,因此 的最小值为 12,
所以 的最小值为 12 .
故答案为:
15.(1)因为点 关于 轴对称,抛物线 也关于 轴对称,
所以点 在 上,
将点 代入抛物线 得, ,即 ,
所以抛物线 的方程为: ;
(2)由题意可知，直线 的斜率一定存在，则设直线 的方程为 ， 由 消 得: ,
由韦达定理得 ,
所以直线 ,显然恒过定点 .
16.
(2) .
(1) 设 ,由 得 , 化简得,动点 的轨迹方程为: ;
(2)光线从点 射出，经 轴反射与动点 的轨迹交于 ， 两点， 故入射光线的斜率不为 0 , 故反射光线的斜率不为 0 ,
当入射光线的斜率不存在时,此时反射光线方程为 ,
此时直线与 无交点,不合要求,舍去,
当入射光线的斜率存在时,点 关于 轴的对称点
由题意知反射光线所在的直线经过点 ,其斜率也一定存在,
设其方程为 ,即为 ,
设圆心到反射直线的距离设为 ,则 ,
所以 ,解得 (舍去) 或 .
所以反射光线所在直线的方程为 .
17.(1) 平面 平面 ， ，
,
又 平面 平面 ,
平面 平面 平面 ;
(2)如图，以 为原点，取 中点 ，
分别为 轴、 轴、 轴正向，建立空间直角
坐标系,
则 . 设 ,
则 ,
取 ,则 为平面 的法向量.
设 为平面 的法向量,则 ,
即 ,取 ,则 .
依题意, ,则 .
于是 .
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ,
即直线 与平面 所成角的正弦值为 .
18. (1)由题意知,长为 3 的 0-1 序列中任何两个1不相邻的序列为:
000,001,010,100,101,所以 .
设长为 4 的 0-1 序列中任何两个1 不相邻的序列有 个,考虑最后一个数:
若最后一位是 0,则只要前 3 位任何两个1 不相邻,则满足要求的序列有 个;
若最后一位是 1 , 则倒数第二位是 0 , 只要前 2 位任何两个1 不相邻即可, 满足要求的序列有 个, 所以 ;
(2)考虑长度为 的 0-1 序列最后一个数:
若最后一位是 0,则只要前 位任何两个 1 不相邻,则满足要求的序列有 个;
若最后一位是 1,则倒数第二位是 0,只要前 位任何两个 1 不相邻即可,则满足要求的序列有 个,
所以 ;
(3)由(2)知， ，所以 ，
所以 ,
所以数列 是常数列,
所以 为定值.
19.
(2)
(1)双曲线方程为 ,
由椭圆和双曲线定义可得 ， ，
又 ,故 ,
又因为 ,所以 , 则椭圆的标准方程为 ;
(2)设 ， ， ，显然 ， ， ， ， 由椭圆定义知: 的周长均为 ,
所以 ,同理 ,
所以 ,
设直线 ,
将直线 方程代入椭圆 的方程 得: ,
所以 ,即 ,同理
所以 ,当且仅当 时等号成立.
所以 的最大值为 .
2026.3
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分, 在每小题给出的四个 选项中, 只有一项符号题目要求.
1. 已知直线 的一个方向向量为 ，则直线 的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2. 已知向量 ， ，且 与 互相垂直，则实数 等于( )
A. B. 或 C. 0 或 D. 0 或
3. 已知双曲线 的焦距为 6,则双曲线 的焦点到渐近线的距离为( )
A. B. 2 C. 4 D.
4. 正四面体 各棱长均为 分别是 的中点,则 ( )
A. B. C. 1 D.
5. 点 在椭圆 上， ，点 到直线 的距离为 ，则( )
A. 与 无关 B.
C. D.
6. 过三点 的圆交 轴于 两点,则 ( )
A. B. C. D.
7. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下:今有物不知其数，三三数之剩二(除以 3 余 2), 五五数之剩三 (除以 5 余 3), 七七数之剩二 (除以 7 余 2), 问物几何 现有这样一个相关的问题: 已知正整数 满足三三数之剩二,将符合条件的所有正整数 按照从小到大的顺序排成一列,构成数列 ,记数列 的前 项和为 ,则 的最小值为 ( )
A. B. C. 10 D. 11
8. 已知抛物线 与过焦点 的一条直线相交于 两点,过点 且垂直于弦 的直线交抛物线的准线 于点 ,则下列结论正确的是 ( )
A. 准线 的方程是 B. 以 为直径的圆与 轴相切
C. 的最小值为 2 D. 的面积最小值为 2
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对得得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列有关直线与圆的结论正确的是( )
A. 方程 表示的直线必过点
B. 过点 且在 轴上的截距相等的直线方程为
C. 圆 和圆 的公共弦所在的直线方程为
D. 若圆 上恰有 3 个点到直线 的距离等于 1,则
10. 在等比数列 中， ，则( )
A. 的公比为 9 B. 的前 20 项和为 210
C. 的前 20 项积为 D.
11. 已知双曲线 ，点 为双曲线右支上的一个动点，过点 分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为 ， 两点，则( )
A. 双曲线的离心率为 2
B. 存在点 ,使得四边形 为正方形
C. 四边形 的面积为 2
D. 四边形 的周长最小值为
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知抛物线 的准线与圆 相切,请写出一个抛物线 的标准方程为_____.
13. 已知 是圆 上任意一点,则 的取值范围为_____.
14. 已知数列 的通项公式 ，记 为 在区间 内项的个数，则 _____；使得不等式 成立的 的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知点 中恰有两个点在抛物线 上.
(1)求 的标准方程；
(2)若点 ， 在 上，且 ，证明:直线 过定点.
16. 已知点 ,动点 满足 .
(1)求动点 的轨迹方程；
(2)一条光线从点 射出，经 轴反射与动点 的轨迹交于 ， 两点，其中 ,求反射光线所在直线的方程.
17. 如图,在四棱锥 中, 底面 是直角梯形, , 是 的中点.
(1)求证:平面 平面 ；
( 2 )若二面角 的余弦值为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
18. 在通信技术中由 0 和 1 组成的序列有着重要作用, 序列中数的个数称为这个 0-1 序列的长度. 如 0100011011 是一个长度为 10 的 0-1 序列. 长为 的 0-1 序列中任何两个 1 不相邻的序列个数设为 ,长度为 1 的 0-1 序列为: 0,1,都满足数列 ; 长度为 2 且满足数列 的 0-1 序列为: .
(1)求 ；
(2)求数列 中 ， ， 的递推关系；
(3)记 是数列 的前 项和,证明: 为定值.
19. 已知双曲线 与椭圆 的焦点相同,点 是 和 在第一象限的公共点,记 的左,右焦点依次为 .
(1)求 的标准方程；
(2)设点 在 上且在第一象限， 的延长线分别交 于点 ，设 分别为 , 的内切圆半径,求 的最大值.
1. C
设直线 的倾斜角为 ,
由直线 的一个方向向量为 ,得 ,
则 .
故选: C.
2. C
,
,
由 与 互相垂直，
有 ,
解得 或 .
故选: C.
3. B
由题意可得, ,焦点为 ,
则 ,解得 ,又 ,
则双曲线的渐近线方程为 ,
则焦点到渐近线的距离为 .
故选: B.
4. D
因为 分别是 的中点,四面体 是正四面体,且棱长 ,
所以
故选: D.
5. C
设点 ,
因为动点 在椭圆 上，则 ，
因为点 到直线 的距离为 ,所以 ,
又 ,
所以
.
故选: C.
6. D
设圆的方程为 ,
则
,
,
令 ,可得 ,
,
.
故选: D.
7. B
解: 被 3 除余 2 的正整数按照从小到大的顺序所构成的数列是一个首项为 2 , 公差为 3 的等差数列 ,
所以 ,
所以 ,
由对勾函数的性质可得:
函数 在 上单调递减，在 上单调递增，又 为正整数，
所以 最小值为 ,
故选: B
8. C
对于 : 由抛物线的方程可知其焦点为 ,故准线 的方程为: ,故 错
误.
对于 : 当直线 的斜率不存在时,即 直线方程: ,易得 , 则以 为直径的圆半径为 2,此时不与 轴相切,故 错误.
对于 : ① 当直线 的斜率不存在时,易得 ;
② 当直线 的斜率存在时,设直线 的方程为 , ,
由 ,得 ,
得 ,
,
易知直线 的方程为 ,由 ,得 ,
,
综上所得, 的最小值为 2,故 正确.
对于 D: 当直线 的斜率不存在时,易得 ,
所以 ;
当直线 的斜率存在时, ,
故当 时, 取得最小值,且此时最小值为 4,故 错误.
故选: C.
9. ACD
对于 ,方程 可化为 ,
直线过定点 ,故 A 正确;
对于 ,当截距为 0 时,直线方程为 ,故 错误;
对于 ,圆 的一般方程化为标准方程得 ,圆心为 ,
半径为 2,圆 的圆心为 ,半径为 1,
因为 ,所以圆 与圆 相交.
圆 的标准方程化为一般方程得 ,
与圆 的一般方程作差,可得 ,即 ,
所以圆 与圆 的公共弦所在的直线方程为 ,故 正确;
对于 ,若圆 上恰有 3 个点到直线 的距离等于 1,
则圆心 到直线 的距离等于 1,
即 ,解得 ,故 正确.
故选: ACD
10.
对 ,设等比数列 的公比为 ,则 ,得 ,
所以 ,所以 ,
所以 ,
所以数列 的公比为 9,故 A 正确；
对 ,因为 ,所以 的前 20 项和为
,故 B 正确;
对 的前 20 项积为 ,故 错误;
对 ,因为 ,
所以 的前 项和为 ,故 D 错误.
故选: AB
11. BC
A 选项,由题意得 ,故 ,故 , A 错误; 选项,由双曲线 的方程可得渐近线方程为 ,两渐近线夹角为直角, 由对称性可知,若四边形 为正方形,则 到两条渐近线的距离相等,
所以当 为双曲线右顶点时,四边形 为正方形,故 正确;
选项,设 ,则 ,
因为渐近线方程为 ,
所以 ,
所以 ,
则四边形 的面积为 ,故 正确;
D 选项，由 C 选项及基本不等式得 ，
当且仅当 时等号成立,
所以 的最小值为 .
四边形 的周长为 ，故 D 错误.
故选: BC
12. 任意一个均可以)
与圆 相切且与坐标轴平行或垂直的直线有
对应的抛物线方程有:
故答案为: 任意一个均可以)
13.
设 ,变形可得 ,
则 的几何意义为直线 的斜率,
是圆 上任意一点,圆心 ,半径为 1,
则 ,解得 ,
即 的取值范围为 .
故答案为: .
14. 6 12
依题意,令 ,得 ,
当 为奇数时, 可以被 2 整除,于是 ,
当 为偶数时, 不能被 2 整除,则 ,
所以 ;
当 为奇数时, 为偶数, ,
即 ,而 ,则 ,即 ,又 为奇数,则 的最小值为 13,
当 为偶数时, 为奇数, ,
而 ,则 ,即 ,因此 的最小值为 12,
所以 的最小值为 12 .
故答案为:
15.(1)因为点 关于 轴对称,抛物线 也关于 轴对称,
所以点 在 上,
将点 代入抛物线 得, ,即 ,
所以抛物线 的方程为: ;
(2)由题意可知，直线 的斜率一定存在，则设直线 的方程为 ， 由 消 得: ,
由韦达定理得 ,
所以直线 ,显然恒过定点 .
16.
(2) .
(1) 设 ,由 得 , 化简得,动点 的轨迹方程为: ;
(2)光线从点 射出，经 轴反射与动点 的轨迹交于 ， 两点， 故入射光线的斜率不为 0 , 故反射光线的斜率不为 0 ,
当入射光线的斜率不存在时,此时反射光线方程为 ,
此时直线与 无交点,不合要求,舍去,
当入射光线的斜率存在时,点 关于 轴的对称点
由题意知反射光线所在的直线经过点 ,其斜率也一定存在,
设其方程为 ,即为 ,
设圆心到反射直线的距离设为 ,则 ,
所以 ,解得 (舍去) 或 .
所以反射光线所在直线的方程为 .
17.(1) 平面 平面 ， ，
,
又 平面 平面 ,
平面 平面 平面 ;
(2)如图，以 为原点，取 中点 ，
分别为 轴、 轴、 轴正向，建立空间直角
坐标系,
则 . 设 ,
则 ,
取 ,则 为平面 的法向量.
设 为平面 的法向量,则 ,
即 ,取 ,则 .
依题意, ,则 .
于是 .
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ,
即直线 与平面 所成角的正弦值为 .
18. (1)由题意知,长为 3 的 0-1 序列中任何两个1不相邻的序列为:
000,001,010,100,101,所以 .
设长为 4 的 0-1 序列中任何两个1 不相邻的序列有 个,考虑最后一个数:
若最后一位是 0,则只要前 3 位任何两个1 不相邻,则满足要求的序列有 个;
若最后一位是 1 , 则倒数第二位是 0 , 只要前 2 位任何两个1 不相邻即可, 满足要求的序列有 个, 所以 ;
(2)考虑长度为 的 0-1 序列最后一个数:
若最后一位是 0,则只要前 位任何两个 1 不相邻,则满足要求的序列有 个;
若最后一位是 1,则倒数第二位是 0,只要前 位任何两个 1 不相邻即可,则满足要求的序列有 个,
所以 ;
(3)由(2)知， ，所以 ，
所以 ,
所以数列 是常数列,
所以 为定值.
19.
(2)
(1)双曲线方程为 ,
由椭圆和双曲线定义可得 ， ，
又 ,故 ,
又因为 ,所以 , 则椭圆的标准方程为 ;
(2)设 ， ， ，显然 ， ， ， ， 由椭圆定义知: 的周长均为 ,
所以 ,同理 ,
所以 ,
设直线 ,
将直线 方程代入椭圆 的方程 得: ,
所以 ,即 ,同理
所以 ,当且仅当 时等号成立.
所以 的最大值为 .
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