湖南省衡阳市衡阳县第四中学2025-2026学年高一下学期开学摸底检测数学试卷（含解析）

高一开学摸底检测 数学
分值: 150 分 时间: 120 分钟
一、选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.每小题四个选项中只有一 项符合题目要求.
1. 已知集合 ，则 的真子集的个数为( )
A. 3 B. 4 C. 7 D. 8
2. 已知全集 ，集合 ，则 中的元素个数是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3. 已知 ,则 的最小值为 ( )
A. B. C. 8 D. 11
4. 已知函数 ,若 ,则 ( )
A. 1 B. 2
C. D.
5. 若 ,则 ( )
A. B. C. D.
6. 已知四边形 ,则 “四边形 是平行四边形” 是 “ ” 的 ( )
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 函数 ,其中 ,它的图象如图所示, 则 的解析式为( )
A. B.
C. D.
8. 已知函数 ， 至少有 2 个零点，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、选择题, 本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 若 ,则 ( )
A. B. C. D.
10. 若幂函数 在 上单调递减，则( )
A. B.
C. D.
11. 已知 ，则( )
A. 若 ，则
B. 若 ,则
C. 的最小值为 2
D. 若向量 与向量 的夹角为钝角,则 的取值范围为
三、填空题:本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 计算:
13. 已知函数 ，则满足 的 的值为_____.
14. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数 :_____.
① ; ②当 时， ；③ 是奇函数
四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设 ,关于 的不等式 的解集为 .
(1)求 的取值范围；
(2)求关于 的不等式 的解集.
16. 如图,挂在弹簧下方的小球做上下振动,小球在时间 (单位: ) 时相对于平衡位置 (即静止的位置) 的高度为 (单位: ),由下列关系式决定: 以横轴表示时间，纵轴表示高度，画出这个函数在一个周期的闭区间上的简图，并回答下列问题
(1)小球开始振动 时的位置在哪里
(2)小球位于最高、最低位置时 的值是多少？
(3)经过多长时间小球振动一次(即周期是多少)？
(4)小球每 1s 能往复振动多少次(即频率是多少)？
17. 若 ,且 .
(1)求 的最小值及对应的 的值；
(2)当 取何值时, ,且 .
18. 近年来, 太阳能技术运用的步伐日益加快. 2002 年全球太阳能电池的年生产量达到 670 ,年生产量的增长率为 34%. 以后四年中,年生产量的增长率逐年递增 2% (如,2003 年的年生产量的增长率为 36%).
(1)求 2006 年全球太阳能电池的年生产量(结果精确到 );
(2)目前太阳能电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006 年的实际安装量为 . 假设以后若干年内太阳能电池的年生产量的增长率保持在 42%，到 2010 年， 要使年安装量与年生产量基本持平(即年安装量不少于年生产量的 95%)，这四年中太阳能
电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少(结果精确到 0.1%)？
19. 记 的内角 的对边分别为 ，分别以 为边长的三个正三角形的面积依次为 ,已知 .
(1)求 的面积；
(2)若 ，求 .
1. C
由 ,共有 3 个元素, 所以 的真子集的个数为 .
故选:
2.
因 ,
又全集 ，所以 ，其中共有 5 个元素.
故选: D.
3. A
解法一: 由 得 ,
,当且仅当 ,
即 时等号成立.
的最小值为 ;
解法二: 由 得 ,得 ,
,
当且仅当 ,即 时等号成立,此时 ,
故 的最小值为 .
故选: A.
4. B
若 ,则 ,因为函数 在 单调递增,
且 ,所以方程 无解;
若 ,则 ,
得到 ,即 ,
整理得 ,解得 (舍) 或 ;
若 ,因为函数 在 单调递减,
且 ,所以方程 无解;
综上, ,
所以 .
故选: B.
5. A
故选: A.
6. A
若四边形 是平行四边形,
则 ,所以 ;
若 ,则 ,则四边形 是平行四边形.
所以“四边形 是平行四边形”是“ ”的充要条件.
故选: A.
7. A
点 与 代入 中,
可得 ,解得 .
故选: A.
8. A
令 ,当 时, ,
当 时, ,求导得 ,
时， 时， ，
故 在 上单调递增,在 上单调递减, ,
作出 大致图象如图所示,由题意得 和 图象至少有两个交点,
故 的取值范围是
故选: A
9. BD
对于 ,由 ,则 ,由 , 可得 ,故 A 错误;
对于 ,由 ,则 ,故 ,即 ,故 正确; 对于 ,因 ,当 时, ,故 错误;
对于 ,由 ,可得 ,利用不等式的性质可得 ,
即 ,故 ,故 D 正确.
故选: BD.
10. CD
因为幂函数 在 上单调递减,
所以, ,解得 ,
故 ,所以, .
故选: CD.
11. AB
A，若 ，则 ，得 ，故 A 正确；
B,若 ,则 ,得 ,故 B 正确;
C, ,则 , 则当 时, 取最小值 ,故 错误;
D,若向量 与向量 的夹角为钝角,则 且向量 与向量 不共线,
结合 项可得, 且 ,故 的取值范围为 ,故 错误.
故选: AB
12. -1
原式 .
故答案为: -1
13. -1
因 ,
设 ,当 时, ,解得 ,即 ,
若 ,则 ,解得 ,不合题意,舍去;
若 ,则 ,解得 ,符合题意;
当 时, ,解得 ,不合题意,舍去.
综上,可得 .
故答案为: -1 .
14. (答案不唯一, 均满足)
取 ,则 ,满足①,
时有 ,满足②,
的定义域为 ,
又 ,故 是奇函数,满足③.
故答案为: (答案不唯一, 均满足)
15. (1) 因为关于 的不等式 的解集为 ,
所以关于 的不等式 恒成立,
所以 ,解得 ,
所以 的取值范围为 ;
(2)不等式 等价于 ，
当 时,不等式可化为 ,解集为 ;
当 时, ,此时不等式的解集为 ;
当 时, ,此时不等式的解集为 .
16. ( 1 )位置在 处，即平衡位置上方 处；
(2)最高、最低位置时的 分别为 ；
(3)
(4)每秒钟小球能往复振动 次.
( 1 )作出函数 在一个周期的闭区间上的图象如图，
当 时, ,即小球在开始振动(即 )时的位置在 处,即平衡位置上方 处;
(2) 的最大值为2，最小值为-2，
则小球的最高、最低位置时的 分别为 ;
(3)由于 ，故经过 (s)小球振动一次；
(4)每秒钟小球能往复振动 次.
17. (1)当 时，最小值为
(2)
(1) .
由已知得 .
又 .
故 .
当 ,即 时, 有最小值 .
(2)由题意得 ，
所以 .
18.(1)2499.8(MW)；(2)61.5%.
(1)2006 年全球太阳能电池的年产量为:
(2)设四年中太阳能电池的年安装量的平均增长率为 ,则:
解得
这四年中太阳能电池的年安装量的平均增长率至少应达到 61.5%.
19.
(2)
(1)由题意得 ，则
即 ,由余弦定理得 ,整理得 ,则 ,又
则 ,则 ;
(2)由正弦定理得: ，则 ， 则 .