湖南省岳阳市2026届高三下学期开学摸底检数学测试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 湖南省岳阳市2026届高三下学期开学摸底检数学测试卷（含解析） |
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|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 207.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-15 00:00:00 | ||
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文档简介
2026 年高三开学摸底检测 数学
分值: 150 分 时间: 120 分钟
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分, 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
2. 世界第三届无人驾驶智能大赛在天津召开，现在要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、安保、礼仪、服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有( )种.
A. 120 B. 60 C. 24 D. 36
3. 已知函数 是定义在 上的奇函数,对任意 ,且 ,都有 ,且 ,则不等式 的解集为( )
A. B.
C. D.
4. 某公司为了调查员工的体重 (单位:千克)，因为女员工远多于男员工，所以按性别分层， 用按比例分层随机抽样的方法抽取样本, 已知抽取的所有员工的体重的方差为 120 , 其中女员工的平均体重为 50 ，方差为 50 ，男员工的平均体重为 70 ，方差为 30 . 若样本中有 21 名男员工，则样本中女员工的人数为( )
A. 68 B. 63 C. 35 D. 48
5. 设函数 和 的零点分别为 ,其中 . 当 时, 则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
6. 如图所示,在三棱柱 中,若点 分别满足 ,平面 将三棱柱分成体积为 的两部分,则 ( )
A. 19:8 B. 2:1 C. 17:10 D. 16:11
7. 若直线 与直线 垂直，则 ()
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
8. 双曲线 的左、右焦点分别为 ,以 为直径的圆与 在第二象限交于点 ,若坐标原点 到直线 的距离为 ,则双曲线 的离心率为 ( )
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题.每小题 6 分.共 18 分.在每小题给出的选项中, 有多 项符合题目要求全部选对的得 6 分. 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 某校高一、高二、高三 3 个年级的学生人数分别占该校学生总人数的 40%，30%，30%， 其中高一、高二、高三 3 个年级眼睛近视的学生人数分别占各自年级人数的 60%，70%， 80%，现从该校学生中随机调查一名学生，则下列结论正确的有( )
A. 该学生的眼睛近视的概率为 0.69
B. 该学生是高三年级且眼睛近视的概率为 0.8
C. 如果该学生是高二年级，那么该学生的眼睛不近视的概率为 0.3
D. 如果该学生的眼睛近视,那么该学生不是高一年级的概率为
10. 辽宁全省开展慈善文化进机关、进企业、进乡村、进社区、进家庭活动, 通过讲座、公益市集、志愿服务等形式,重点帮扶特殊困难群体. 现有 共 3 场慈善知识竞赛和慰问活动需要安排志愿者, 小林从图中四张同样大小的卡片中随机抽取一张, 卡片上的字母代表小林参加的活动场次,例如抽到写有 个字母的卡片代表小林参加 场活动, 则 ( )
A. “小林参加 场活动”与“小林参加 场活动”互斥
B. “小林参加 场活动”与“小林参加 场活动”相互独立
C. “小林不参加 场活动”与“小林不参加 场活动”相互独立
D. “小林不参加 场活动”与“小林参加 场或 场活动”相互独立
11. 在 中，边 所对的角分别为 ，若 ，则 ( )
A. B. C. D.
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 等比数列 ,若数列 满足 ,则数列 的前 项和 _____
13. 已知函数 ,则满足 的实数 的取值范围是_____.
14. 常数 ，椭圆 的长轴长是短轴长的 3 倍，则 的值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算 步骤.
15. 记 内角 的对边分别为 ，已知 .
(1)求A；
(2)若 ，求 边上的高的最大值.
16. 如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， 是边长为 2 的等边三角形， .
(1)证明: ；
(2)若线段 上的点 满足直线 与直线 所成角的余弦值为 ，求点 到直线 的距离.
17. 已知点 ，点 在圆 上运动，线段 的中点 的轨迹为 线 .
(1)求曲线 的方程；
(2)过圆心 的直线 与曲线 相切,求直线 的方程.
18. 已知甲、乙两个袋子, 其中甲袋内有 1 个红球和 3 个白球, 乙袋内有 2 个红球和 2 个白球. 根据下列规则进行连续有放回的摸球 (每次只摸 1 个球): 先随机选择一个袋子摸球. 若选中甲袋, 则后续每次均选择甲袋摸球; 若选中乙袋, 则后续再随机选择一个袋子摸球.
(1)按照上述规则摸球 3 次. 当第 1 次选中的是甲袋，求摸到红球的个数 的分布列及期望 ;
(2)按照上述规则进行连续摸球，若摸到 2 次红球则停止摸球. 求 3 次之内(含 3 次)停止摸球的概率.
19. 已知函数 .
(1)证明函数 存在唯一零点;
(2) 的零点为 ，证明 .
1. D
由 可得 ,解得 ,即 ,
因 ,则 .
故选: D.
2. D
根据题意可分为 2 种情况讨论:
(i) 若小张或小赵只有一人入选，则有 种不同的选派方案;
(ii) 若小张,小赵都入选则有 种不同的选派方案,
综上可得,共有 种不同的选派方案.
故选: D
3. D
由 ,且 ,都有 ,则 在 上单调递减,
又函数 是定义在 上的奇函数,则 在 上单调递减,
由 ,则 ,且 ,
故 或 时 或 时 ,
所以 的解集为 .
故选: D
4. B
由题意,记样本中女员工的平均体重和方差分别为 ,所占权重为 ,
男员工的平均体重和方差分别为 ,则所占权重为 ,
则样本中全部员工的平均体重为 ,
依题意,方差为
.
化简得 ,解得 或 (舍).
所以女员工的人数为: .
故选: B
5. C
由 ,得 ,设 的图象与 的图象的交点为 , 由 ,得 ,设 的图象与 的图象的交点为 ,
而 的图象与 的图象关于直线 对称,函数 的图象也关于直线 对称,
因此点 与点 关于直线 对称,则 ,
而当 时， ；当 时， ，函数 在 上单调递减，
所以 .
故选: C
6. A
;
几何体 为三棱台,
设三棱柱 的高为 ，
.
故选: A.
7. C
对于直线 和直线 垂直,则 .
已知直线 中 ,直线 中 .
因为 ,即 .
故选: C.
8. C
由题意得 ,取 的中点 ,连接 , 因为 为 的中点,所以 ,且 ,
故 ， 即为坐标原点 到直线 的距离，则 ，
所以 ，
由双曲线定义可得 ,所以 ,
又 ，由勾股定理得 ，
故 ,解得 ,故离心率为 .
故选:
9.
对于 : 该学生的眼睛近视的概率为 ,故 正确; 对于 : 该学生是高三年级且眼睛近视的概率为 ,故 错误;
对于 : 如果该学生是高二年级,那么该学生的眼睛不近视的概率为 ,故 正确; 对于 : 如果该学生的眼睛近视,那么该学生不是高一年级的概率为 ,故 错误.
故选: AC.
10. BC
若选到第一张卡片, 则小林同时参加 3 场活动, A 错误.
“小林参加 A 场活动”的概率为 ，“小林参加 场活动”的概率为 ，“小林同时参加 场和 场活动”的概率为 正确.
“小林不参加 场活动”的概率为 ，“小林不参加 场活动”的概率为 ，“小林同时不参加 场与 场活动”的概率为 正确.
“小林参加 场或 场活动”的概率为 ，“小林不参加 场活动，参加 场或 场活动”的概率为 错误.
故选: BC.
11. BD
,则由余弦定理可得 ,
,
,
即 ,
,则 ,
.
故选: BD.
12.
设等比数列 的公比 ,因为 ,
所以 ,即 ,解得 ,
所以 ,
所以 ,
所以数列 的前 项和
故答案为:
13.
函数 的定义域为 ,令函数
则 ,即函数 是 上的奇函数,
又 ,当且仅当 时取等号,
因此函数 在 上单调递增,
所以不等式
,
则 ,解得 ,所以实数 的取值范围是 .
故答案为:
14. 3 或
由椭圆 ,可得椭圆 ,
当 时, 表示焦点在 轴上的椭圆,
,即 ,
当 时, 表示焦点在 轴上的椭圆,
,即 ,
综上,实数 的值为 3 或 . 故答案为:3 或 .
15. (1)
(2)2
(1)由 可得 ,
由正弦定理得 ,
所以 ,
因为 ,所以 ,
因为 ,所以 .
(2)依题意， ，设 边上的高为 ，
由 ,可得 ,
由余弦定理 可得 ,
即 ,当且仅当 时等号成立,
因此 ,
所以 边上的高的最大值为 2 .
16. (1)在 中, ,
由余弦定理可得: ,
则 ,所以有 ,则 .
由平面 平面 ,平面 平面 ,
且 平面 ,则 平面 ,
又 平面 ,则 .
(2)取 中点分别为 ，连接 .
由 为正三角形知， ，
结合(1)中 平面 ，由 ，可知 平面 ，则 两两垂直,
如图所示,以 为原点, 分别为 轴, 轴, 轴的正方向,建立空间直角坐标系,
则 ,
可得 .
设 ,则 ,且 ,
可得 .
由 ,解得 或 (舍去),
则 ，且 .
故点 到直线 的距离 .
17.
(2) 或 .
(1) 设 ,
由 为 的中点,则 ,
解得 ,
因为点 在圆 上,
所以 ,即 ,
化简得 ,
所以曲线 的方程为 .
(2)易知 ，曲线 是以 为圆心， 为半径的圆.
显然当直线 的斜率不存在时,直线 的方程为 ,与曲线 不相切;
故直线 的斜率存在,设为 ,则直线 的方程为 ,即 ,
由直线 与圆 相切,则圆心 到直线 的距离 ,
化简得 ,解得 或 ,
故直线 的方程是 或 .
18.(1)法一:由题意得 的可能取值为0,1,2,3.
0 1 2 3
27 64 27 64
因此 .
法二: 由题意得 的可能取值为0,1,2,3.
又 ,故 .
因此 .
(2)设事件 “3次之内(含3次)停止摸球”,
事件 “第 1 次摸到红球,第 2 次摸到红球”;
事件 “第 1 次摸到红球,第 2 次摸到白球,第 3 次摸到红球”;
事件 “第 1 次摸到白球,第 2 次摸到红球,第 3 次摸到红球”;
事件 “首次选择甲袋是第 次摸球” ,
事件 “一直没有选择甲袋”.
则
.
.
.
因此 .
19.(1) 函数 的定义域为 ,当 时, ,(这是因为 )
故函数 在 没有零点;
当 时, ,易见 在 上是减函数,
且 ,故存在 ,使得 在 上递增,在 上递减,
且 ,
所以 在 上存在唯一零点,又 ,所以在 上无零点,
故 在 上存在唯一零点.
(2)注意到 ，由(1)知存在唯一 使得 ，
即有 ,故 .
令 ,
令 ,显然当 时, . 故 在 上单调递减,
所以 .
分值: 150 分 时间: 120 分钟
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分, 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
2. 世界第三届无人驾驶智能大赛在天津召开，现在要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、安保、礼仪、服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有( )种.
A. 120 B. 60 C. 24 D. 36
3. 已知函数 是定义在 上的奇函数,对任意 ,且 ,都有 ,且 ,则不等式 的解集为( )
A. B.
C. D.
4. 某公司为了调查员工的体重 (单位:千克)，因为女员工远多于男员工，所以按性别分层， 用按比例分层随机抽样的方法抽取样本, 已知抽取的所有员工的体重的方差为 120 , 其中女员工的平均体重为 50 ，方差为 50 ，男员工的平均体重为 70 ，方差为 30 . 若样本中有 21 名男员工，则样本中女员工的人数为( )
A. 68 B. 63 C. 35 D. 48
5. 设函数 和 的零点分别为 ,其中 . 当 时, 则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
6. 如图所示,在三棱柱 中,若点 分别满足 ,平面 将三棱柱分成体积为 的两部分,则 ( )
A. 19:8 B. 2:1 C. 17:10 D. 16:11
7. 若直线 与直线 垂直，则 ()
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
8. 双曲线 的左、右焦点分别为 ,以 为直径的圆与 在第二象限交于点 ,若坐标原点 到直线 的距离为 ,则双曲线 的离心率为 ( )
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题.每小题 6 分.共 18 分.在每小题给出的选项中, 有多 项符合题目要求全部选对的得 6 分. 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 某校高一、高二、高三 3 个年级的学生人数分别占该校学生总人数的 40%，30%，30%， 其中高一、高二、高三 3 个年级眼睛近视的学生人数分别占各自年级人数的 60%，70%， 80%，现从该校学生中随机调查一名学生，则下列结论正确的有( )
A. 该学生的眼睛近视的概率为 0.69
B. 该学生是高三年级且眼睛近视的概率为 0.8
C. 如果该学生是高二年级，那么该学生的眼睛不近视的概率为 0.3
D. 如果该学生的眼睛近视,那么该学生不是高一年级的概率为
10. 辽宁全省开展慈善文化进机关、进企业、进乡村、进社区、进家庭活动, 通过讲座、公益市集、志愿服务等形式,重点帮扶特殊困难群体. 现有 共 3 场慈善知识竞赛和慰问活动需要安排志愿者, 小林从图中四张同样大小的卡片中随机抽取一张, 卡片上的字母代表小林参加的活动场次,例如抽到写有 个字母的卡片代表小林参加 场活动, 则 ( )
A. “小林参加 场活动”与“小林参加 场活动”互斥
B. “小林参加 场活动”与“小林参加 场活动”相互独立
C. “小林不参加 场活动”与“小林不参加 场活动”相互独立
D. “小林不参加 场活动”与“小林参加 场或 场活动”相互独立
11. 在 中，边 所对的角分别为 ，若 ，则 ( )
A. B. C. D.
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 等比数列 ,若数列 满足 ,则数列 的前 项和 _____
13. 已知函数 ,则满足 的实数 的取值范围是_____.
14. 常数 ，椭圆 的长轴长是短轴长的 3 倍，则 的值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算 步骤.
15. 记 内角 的对边分别为 ，已知 .
(1)求A；
(2)若 ，求 边上的高的最大值.
16. 如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， 是边长为 2 的等边三角形， .
(1)证明: ；
(2)若线段 上的点 满足直线 与直线 所成角的余弦值为 ，求点 到直线 的距离.
17. 已知点 ，点 在圆 上运动，线段 的中点 的轨迹为 线 .
(1)求曲线 的方程；
(2)过圆心 的直线 与曲线 相切,求直线 的方程.
18. 已知甲、乙两个袋子, 其中甲袋内有 1 个红球和 3 个白球, 乙袋内有 2 个红球和 2 个白球. 根据下列规则进行连续有放回的摸球 (每次只摸 1 个球): 先随机选择一个袋子摸球. 若选中甲袋, 则后续每次均选择甲袋摸球; 若选中乙袋, 则后续再随机选择一个袋子摸球.
(1)按照上述规则摸球 3 次. 当第 1 次选中的是甲袋，求摸到红球的个数 的分布列及期望 ;
(2)按照上述规则进行连续摸球，若摸到 2 次红球则停止摸球. 求 3 次之内(含 3 次)停止摸球的概率.
19. 已知函数 .
(1)证明函数 存在唯一零点;
(2) 的零点为 ，证明 .
1. D
由 可得 ,解得 ,即 ,
因 ,则 .
故选: D.
2. D
根据题意可分为 2 种情况讨论:
(i) 若小张或小赵只有一人入选，则有 种不同的选派方案;
(ii) 若小张,小赵都入选则有 种不同的选派方案,
综上可得,共有 种不同的选派方案.
故选: D
3. D
由 ,且 ,都有 ,则 在 上单调递减,
又函数 是定义在 上的奇函数,则 在 上单调递减,
由 ,则 ,且 ,
故 或 时 或 时 ,
所以 的解集为 .
故选: D
4. B
由题意,记样本中女员工的平均体重和方差分别为 ,所占权重为 ,
男员工的平均体重和方差分别为 ,则所占权重为 ,
则样本中全部员工的平均体重为 ,
依题意,方差为
.
化简得 ,解得 或 (舍).
所以女员工的人数为: .
故选: B
5. C
由 ,得 ,设 的图象与 的图象的交点为 , 由 ,得 ,设 的图象与 的图象的交点为 ,
而 的图象与 的图象关于直线 对称,函数 的图象也关于直线 对称,
因此点 与点 关于直线 对称,则 ,
而当 时， ；当 时， ，函数 在 上单调递减，
所以 .
故选: C
6. A
;
几何体 为三棱台,
设三棱柱 的高为 ，
.
故选: A.
7. C
对于直线 和直线 垂直,则 .
已知直线 中 ,直线 中 .
因为 ,即 .
故选: C.
8. C
由题意得 ,取 的中点 ,连接 , 因为 为 的中点,所以 ,且 ,
故 ， 即为坐标原点 到直线 的距离，则 ，
所以 ，
由双曲线定义可得 ,所以 ,
又 ，由勾股定理得 ，
故 ,解得 ,故离心率为 .
故选:
9.
对于 : 该学生的眼睛近视的概率为 ,故 正确; 对于 : 该学生是高三年级且眼睛近视的概率为 ,故 错误;
对于 : 如果该学生是高二年级,那么该学生的眼睛不近视的概率为 ,故 正确; 对于 : 如果该学生的眼睛近视,那么该学生不是高一年级的概率为 ,故 错误.
故选: AC.
10. BC
若选到第一张卡片, 则小林同时参加 3 场活动, A 错误.
“小林参加 A 场活动”的概率为 ，“小林参加 场活动”的概率为 ，“小林同时参加 场和 场活动”的概率为 正确.
“小林不参加 场活动”的概率为 ，“小林不参加 场活动”的概率为 ，“小林同时不参加 场与 场活动”的概率为 正确.
“小林参加 场或 场活动”的概率为 ，“小林不参加 场活动，参加 场或 场活动”的概率为 错误.
故选: BC.
11. BD
,则由余弦定理可得 ,
,
,
即 ,
,则 ,
.
故选: BD.
12.
设等比数列 的公比 ,因为 ,
所以 ,即 ,解得 ,
所以 ,
所以 ,
所以数列 的前 项和
故答案为:
13.
函数 的定义域为 ,令函数
则 ,即函数 是 上的奇函数,
又 ,当且仅当 时取等号,
因此函数 在 上单调递增,
所以不等式
,
则 ,解得 ,所以实数 的取值范围是 .
故答案为:
14. 3 或
由椭圆 ,可得椭圆 ,
当 时, 表示焦点在 轴上的椭圆,
,即 ,
当 时, 表示焦点在 轴上的椭圆,
,即 ,
综上,实数 的值为 3 或 . 故答案为:3 或 .
15. (1)
(2)2
(1)由 可得 ,
由正弦定理得 ,
所以 ,
因为 ,所以 ,
因为 ,所以 .
(2)依题意， ，设 边上的高为 ，
由 ,可得 ,
由余弦定理 可得 ,
即 ,当且仅当 时等号成立,
因此 ,
所以 边上的高的最大值为 2 .
16. (1)在 中, ,
由余弦定理可得: ,
则 ,所以有 ,则 .
由平面 平面 ,平面 平面 ,
且 平面 ,则 平面 ,
又 平面 ,则 .
(2)取 中点分别为 ，连接 .
由 为正三角形知， ，
结合(1)中 平面 ，由 ，可知 平面 ，则 两两垂直,
如图所示,以 为原点, 分别为 轴, 轴, 轴的正方向,建立空间直角坐标系,
则 ,
可得 .
设 ,则 ,且 ,
可得 .
由 ,解得 或 (舍去),
则 ，且 .
故点 到直线 的距离 .
17.
(2) 或 .
(1) 设 ,
由 为 的中点,则 ,
解得 ,
因为点 在圆 上,
所以 ,即 ,
化简得 ,
所以曲线 的方程为 .
(2)易知 ，曲线 是以 为圆心， 为半径的圆.
显然当直线 的斜率不存在时,直线 的方程为 ,与曲线 不相切;
故直线 的斜率存在,设为 ,则直线 的方程为 ,即 ,
由直线 与圆 相切,则圆心 到直线 的距离 ,
化简得 ,解得 或 ,
故直线 的方程是 或 .
18.(1)法一:由题意得 的可能取值为0,1,2,3.
0 1 2 3
27 64 27 64
因此 .
法二: 由题意得 的可能取值为0,1,2,3.
又 ,故 .
因此 .
(2)设事件 “3次之内(含3次)停止摸球”,
事件 “第 1 次摸到红球,第 2 次摸到红球”;
事件 “第 1 次摸到红球,第 2 次摸到白球,第 3 次摸到红球”;
事件 “第 1 次摸到白球,第 2 次摸到红球,第 3 次摸到红球”;
事件 “首次选择甲袋是第 次摸球” ,
事件 “一直没有选择甲袋”.
则
.
.
.
因此 .
19.(1) 函数 的定义域为 ,当 时, ,(这是因为 )
故函数 在 没有零点;
当 时, ,易见 在 上是减函数,
且 ,故存在 ,使得 在 上递增,在 上递减,
且 ,
所以 在 上存在唯一零点,又 ,所以在 上无零点,
故 在 上存在唯一零点.
(2)注意到 ，由(1)知存在唯一 使得 ，
即有 ,故 .
令 ,
令 ,显然当 时, . 故 在 上单调递减,
所以 .
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