湖南省邵阳市第二中学2025-2026学年高一下学期入学考试数学试题（含解析）

湖南省邵阳市第二中学 2025-2026 学年高一下学期入学考试 数学试题
测试时间:120 分钟 满分:150 分
一、单选题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的)
1. 已知圆心角为 的扇形的弧长为 ，则该扇形的面积是( )
A. B. C. D.
2. 已知函数 的大致图象如图,则函数 的解析式可能是( )
A. B. C. D.
3. 已知正实数 满足 ,则 的最小值是( )
A. B. 4 C. D.
4. 若 ，则 ( )
A. 3 B. 1 C. -3 D. -1
5. 设奇函数 在 上为增函数,且 ,则不等式 的解集为
A. B.
C. D.
6. ( )
A. -4 B. C. D. 4
7. 已知函数 ,且对于 都满足 ,则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
8. 若函数 在区间 上单调递增，则正数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分)
9. 下列说法不正确的有( )
A. 命题“ ”的否定是“ ”
B.
C. 集合 ，若 ，则 或
D. “ ”是“关于 的方程 有一正一负根”的充要条件
10. 已知函数 的定义域为 ,且 ,若 ,则 ( )
A. 是周期为 4 的周期函数
B. 是奇函数
C. 的图像关于点 对称
D.
11. 已知函数 ,且关于 的方程 恰有四个不同的根,从小到大依次为 ,则( )
A. B. 最小值为 9
C. 恰有 6 个不同的根 D. ,使得 恰有 8 个不同的根
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分，把答案填在题中的横线
上)
12. 若函数 的最小正周期为 ,则常数 _____.
13. 若关于 的方程 的一根比 2 小且另一根比 2 大,则 的取值范围是_____.
14. 设矩形 的周长为 ，把 沿 向 折叠， 折过去后交 于点 ，则 面积的最大值为_____.
四、解答题 (本大题共 5 小题, 共 77 分, 解答应写出文字说明, 证明过程或演 算步骤)
15. 已知集合 .
(1)当 时，求 ；
(2)若命题“ ”是命题“ ”的充分不必要条件，求实数 的取值范围.
16. 已知函数 .
(1)若 ，求 的值；
(2)求函数 的单调递减区间；
(3)已知函数 在区间 上的值域为 ，求实数 的取值范围.
17. 环保生活, 低碳出行, 电动汽车正成为人们购车的热门选择. 某型号电动汽车, 在一段平坦的国道进行测试,国道限速 . 经多次测试得到,该汽车每小时耗电量 (单位: Wh)与速度 (单位: )的下列数据:
0 10 40 60
0 1325 4400 7200
为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择:
(1)当 时，请选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型，并求出相应的函数解析式;
(2)现有一辆同型号汽车从 地驶到 地,前一段是 的国道，后一段是 的高速路,若已知高速路上该汽车每小时耗电量 (单位: Wh) 与速度的关系是:
,则如何行驶才能使得总耗电量最少,最少为多少
18. 设函数 是定义域为 的奇函数.
(1) 求 值;
(2)若 ，试判断函数单调性并求使不等式 恒成立的 的取值范围;
(3)若 ,且 在 上的最小值为 -2,求 的值.
19. 已知函数 .
(1)若 ，求 在 的值域；
(2)若存在实数 ， ，使得 在区间 单调递减且在 上值域为 ，求 的取值范围;
(3)若存在实数 ，使得 在区间 单调递增且在 上值域为 ，求 的取值范围.
1. B
设扇形的半径为 ,由题意圆心角为 ,
所以弧长 ,解得 ,
则该扇形的面积 .
故选: B
2. A
由函数 的图象可知,函数 是奇函数.
对于 ,此时 为偶函数,与图象不符,故 B 错误;
对于 : 当 时, ,与图象不符,故 错误;
对于 D: ,此时 为偶函数,与图象不符,故 D 错误;
由排除法可知 正确,
故选: A.
3. A
由 ,可得 ,
所以 ,
当且仅当 ,即 时,等号成立.
故选: A
4. C
因为 ,
所以 ,所以 .
故选: C.
5. B
根据题意,画出函数图象如下图所示,由图可知 与 异号的区间是 .
6. D
因为 而 ,所以 ,
故选: D.
7. A
当 时, .
在 上单调递增,所以 .
因为函数 在 上单调递增, 在定义域上单调递增,
根据复合函数单调性法则可知，
在 上单调递增等价于 ,所以 ,
又根据分段函数递增法则可得 ,所以 .
,
故选: A.
8. A
函数 在区间 上单调递增且 ,
所以 ,解得 ,
由 ,则 ,则 ,
所以 ,解得 ,即正数 的取值范围为 .
故选: A
9. AC
对于 ,命题“ ”的否定是“ ”, A错误;
对于 B，lrad 角在第一象限，2rad 角在第二象限，3rad 角在第二象限，
所以 ,所以 正确;
对于 ,
由 ,可得 ,又 ,
所以 或 或 ,
所以 或 或 错误;
对于 ,关于 的方程 有一正一负根的充要条件为 ,即 , 所以 “ ” 是 “关于 的方程 有一正一负根”的充要条件, 正确; 故选: AC.
10. ABD
对于 ,因为 ,所以 ,
所以 ,即 ,所以 是周期为 4 的周期函数,则 正确.
对于 ,又因为 ,
所以 ,所以 ,所以函数 为奇函数,故 正确;
对于 ,又因为 ,所以函数 的图像关于直线 对称,故 C 错误;
对于 ,由 的对称性与周期性可得 , 则 ,故 正确. 故选: ABD.
11. ABD
图像如下,
可知 时,与 恰有四个不同交点,所以 正确:
由对称性可知 ,而 ,所以 ,
则 ,所以 ,
当且仅当 时等号成立, 成立:
对于 ,令 ,
则 有两个不同根, ,
各有四个不同根,共有八个不同根,所以 错误;
对于 ,令 在 时有三个根: ,
而 有 2 个不同根, 有 4 个不同根, 有 2 个不同根,
共 8 个, 所以 D 正确.
故选: ABD.
12.
因为函数 的最小正周期为 ,所以 ,又因为 ,解得 .
故答案为: .
13.
记 ,
由题意 ,整理为 ,解得 .
即 的取值范围是 .
故答案为:
14.
如图:
长方形周长为 8,不妨设
,且 ,设
在 中，
,变形得:
当且仅当“ ”等号成立
所以 面积的最大值为 .
故答案为: .
15.
(2)
( 1 )因为 ，所以 ，
所以 .
当 时, ,
所以 .
(2)若命题“ ”是命题“ ”的充分不必要条件,则
由题意得
① 当 ，即 时， ，满足 ；
② 当 ，即 时， ，
由 得: 或 ，解得: 或 (舍去)
综上: ;
③ 当 ,即 时, ,
由 ,得 或 ,解得: (舍) 或 ,所以 .
综上可得: 即
所以 的取值范围为: .
16.
(2)
(3)
(1) 由题意 ,
若 ,则 ,
则 .
(2)由(1)得 ，
令 ,
解得 ,即 的单调递减区间为 .
(3)因为 ，所以 ，
因为 的值域为 ,
所以 ,解得 ,则实数 的取值范围为 .
17. (1) 选择
(2)当这辆车在国道上的行驶速度为 ，在高速路上的行驶速度为 时，该车从 地到 地的总耗电量最少,最少为 .
(1)对于 ,当 时,它无意义,所以不合题意;
对于 ,它显然该函数是个减函数,这与 矛盾;
故选择 .
根据提供的数据,有 ,解得 ,
所以当 时, .
( 2 )国道路段长为 ，所用时间为 ， 所耗电量为: , 因为 ,当 时, ;
高速路段长为 ,所用时间为 ,
所耗电量为
,
当且仅当 ,即 时等号成立,所以 ;
故当这辆车在国道上的行驶速度为 ，在高速路上的行驶速度为 时，
该车从 地到 地的总耗电量最少,最少为 .
18.(1)2 ;(2)-3 < 5；(3)2
(1) 根据奇函数的性质可得 ,由此求得 值; (2) 由 ,求得 在 上单调递减,不等式化为 ,即 恒成立,由 求得 的取值范围; (3) 由 求得 的值,可得 的解析式,令 ,可知 为增函数, ,令 ,分类讨论求出 的最小值,再由最小值等于 2,求得 的值
试题解析: (1) 是定义域为 的奇函数, ,
,
(2) ,
,又 ,且
单调递减, 单调递增,故 在 上单调递减.
不等式化为 ,即 恒成立
,
解得
(3) ，即 或 (舍去) 令 ,
由(1)可知 为增函数, ,
令
若 ，当 时， ，
若 ,当 时, ,解得 ,舍去
综上可知 .
考点: 1. 指数函数综合题; 2. 函数奇偶性的性质
19. (1)
(2)
(3)
(1) 由 ,可得 ,则 ,
因 的对称轴为 ,
在 单调递减,而 ,
故 在 的值域为 .
(2)因 在区间 单调递减，则 ，
因 在 上值域为 ,则 ,
即 ,
两式相减得: ，因 ，故 ，
因 ,可得 ,
将 代入 ，可得 ，
的取值范围为 .
(3)因为 在区间 单调递增，所以 ，
因为 在 上值域为 ,所以 ,
所以 ,即 ,
故可把 看作方程 的两个根,
因为 ,所以 ,且 ,
解得 ,由韦达定理, ,
所以
,
令 ,因 ,则 ,且 ,
故 ,
令 ,由对勾函数的性质可得, 在 单调递减,故 ,
所以 的取值范围为 .