湖南省长沙外国语学校2025-2026年高一上学期期末考试数学试题（含解析）

湖南省长沙外国语学校 2025-2026 年高一上学期期末考试数 学试题
时量:120 分钟 满分:150 分
一、选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选 项中, 只有一项是符合题目要求的.)
1. 已知集合 ， ，则 ( )
A. B.
C. D.
2. 下列选项中与角 终边相同的角是( )
A. -60° B. 60° C. 120° D. 240°
3. 幂函数 在 上单调递增,则 ( )
A. 1 B. 3 C. D. ±3
4. 已知正数 满足 ，则 的最小值为( )
A. 3 B. 4 C. 8 D. 9
5. 已知函数 的部分图象如图所示,将 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍,得到函数 的图象,则 ( )
A. B.
C. D.
6. 函数 的单调递减区间是( )
A. B. C. D.
7. 中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，“数折聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句. 如图,假设这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形 ,再在该扇形内剪下一个同心小扇形 (作为扇骨留白),形成扇环形状的扇面 . 当扇子扇形的圆心角为 时,扇面看上去形状较为美观. 已知 ,弧 的长为 ,则此扇面的面积为( )
A. B. C. D.
8. 已知函数 ,若 恒成立,则 的取值范围为 ( )
A. B. C. D.
二、多选题(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分)
9. 以下四个命题中, 是真命题的是 ( )
A.
B. 存在整数 ,使得
C. ,二次函数 的图象都关于 轴对称
D. 若命题 ,则 的否定为:
10. 已知函数 ,其中 ,若 的最小正周期为 ,则下列说法正确的是( )
A.
B. 的定义域为
C. 在 上单调递增
D. 若 ，且 ，则 的最大值为
11. 已知函数 ,其中 ,且 ,则 ( )
A. 有两个减区间 B. 函数 最多有 3 个零点
C. D.
三、填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 的图象恒过定点_____.
13. 已知函数 是定义在 上的奇函数,若 时, ,则 _____.
14. ,用 表示 中的最小者,记为 , ,则当 _____时, 取到最大值.
四、解答题 (本题共 5 小题, 共 77 分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤)
15. 已知全集 ，集合 .
(1)当 时，求 ；
(2)若“ ”是“ ”成立的必要不充分条件，求实数 的取值范围.
16. 已知函数 .
(1)求 的最小正周期；
(2)求 的最大值及取得最大值时 的值；
(3)当 时,求 的单调递增区间.
17. 已知 .
(1)若 的解集为 ,求关于 的不等式 的解集;
(2)若 ,解关于 的不等式 .
18. 如图, 为半圆的直径, 为圆心, 是半圆上的一点,
,将射线 绕 逆时针旋转 到 ,过 分别作 于 于 .
(1)建立适当的直角坐标系，用 的三角函数表示 、 两点的坐标；
(2)求四边形 面积的最大值.
19. 已知函数 ,其中 ,且 为奇函数.
(1)求 的值；
(2)若 ，求集合 ；
(3)若函数 ，讨论函数 ( 为常数)的零点个数.
1. D
或 ,
所以 或 .
故选: D
2. C
因为 ,故与角 终边相同的角为 .
故选: C.
3. B
因为幂函数 在 上单调递增,
由幂函数的定义及单调性得 ,解得 .
故选: B
4. A
因为 为正数,所以 ,
当且仅当 ,即 时取等号,
由 和 解得 ,此时 取得最小值 3 .
故选: A
5. D
由图可知函数 的最小正周期 满足 ,
所以最小正周期 ,故 ,
将最低点 代入可得 ,即 ,
所以 ,可得
又 ,所以 ,所以 ,
将 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍,
由三角函数图象伸缩变换的规律可知 .
故选: D.
6. D
由 可得 或 ,
所以 的定义域为 ,
设 ,则 ,
因为 对称轴为 ,函数在 上单调递减,在 上单调递增,
而 在定义域内单调递减,
所以 的单调递减区间是 .
故选: D.
7. C
设 ,因为圆心角 ,弧 的长为 ,
代入弧长公式 可得 ，解得 . 所以 .
由扇形面积公式 可得, ,
,
所以此扇面的面积 .
故选: C.
8. A
由题意知 ,对任意的 ,故函数 的定义域为 ,
因为 ,
因为函数 为增函数, 在 上为减函数,
故函数 在 上为减函数,
又因为函数 在 上为减函数,故函数 在 上为减函数,
因为 ,
所以 ,
由 可得 ,
所以 ,故 ,即 对任意的 恒成立,
若 ,可得 ,此时恒成立,满足要求;
若 ,则需 ,解得 ,
综上所述， 的取值范围是 .
故选: A.
9. AC
A 选项为真命题； 一定为偶数，故 B 选项为假命题；
是 上下平移得到的,故 选项为真命题;
若命题 ,则 的否定为: ，故 选项为假命题； 故选: AC
10. AD
对于 选项,因为 且函数 的最小正周期为 ,故 , 对;
对于 选项,由 选项可知 ,
由 可得 ,
故函数 的定义域为 , B 错;
对于 选项,当 时, ,
故函数 在 上不单调, 错;
对于 选项,由 可得 ,
所以 ,
因为 ,故当 时 取最大值 对.
故选: AD.
11. BD
作出 的图象如下:
当 时, ,其对称轴为 ,开口向下, ,
所以 的单调增区间为 ,单调减区间为 ;
当 时, 的单调增区间为 ,
综上 有一个减区间,故 不正确;
结合图象可得,当 时, 的函数图象有 3 个交点,
即函数 有 3 个零点;
当 或 时, 的函数图象有 2 个交点,
即函数 有 2 个零点;
当 时, 的函数图象有 1 个交点,即函数 有 1 个零点;
故函数 最多有 3 个零点,故 正确；
由于 ,且 ,结合图象可得 ,
又 得 ,则 ,
所以 ,故 错误;
由图象得 ,且 ,
则 ,
由 ,则 ,即 ,
由于 ,且随着 的增大, 也增大,所以 ,故 正确.
故选: BD
12.
令 ,得 ,则 ,
即 的图象恒过定点 . 故答案为: .
13. -4
因为函数 是定义在 上的奇函数,若 时, , 则 . 故答案为: -4 .
14. 1
令 ,
由 得 ,整理可得 ,解得 或 , 作出函数 图象如下,
由图象可得 ,
作出函数 的图象如下图所示:
由图象可知,当 时,函数 的最大值.
故答案为: 1 .
15. (1)
(2)
(1) 由 ,解得 ,故 ,
若 ,则 ,因此 ;
(2)若“ ”是“ ”成立的必要不充分条件，可得 是 的真子集，
因为 ，
故 或 ，解得 ，故 .
16.
(2) 的最大值为3，取得最大值时
(3)
(1)
,
所以 的最小正周期为 .
(2)令 ，解得 ，
所以当 时, 取得最大值 3,
所以 的最大值为 3,取得最大值时 .
(3)当 时， ，
由 或 可得 或 ,
故函数 在 上的单调递增区间为 .
17.(1) 已知 的解集为 ,说明 -3 和 2 是方程 的根.
由韦达定理: ,可得 ,
将 代入不等式 ,得
所以 . 因此,不等式的解集为 .
(2) 即解 ,需要根据 的取值分类讨论:
(1)当 ，即 时，不等式的解为 或 ;
(2)当 ，即 时，不等式变为 ，解集为全体实数 R;
(3)当 ，即 时，不等式的解为 或 .
综上所述: 当 时, ; 当 时, ; 当 时,
18.(1)如图，以 所在直线为 轴， 为原点建立平面直角坐标系 ，
,圆的半径为 3,
点 坐标为 ,点 的坐标为 ,
坐标为 .
(2) ,
四边形 的面积
,
当 时,即 时, ,
四边形 的面积的最大值为 9 .
19. (1)因为函数 为奇函数，
,
,解得 .
又 .
经检验, 符合题意.
(2)由(1)得 ，则 ， 由 ,
因函数 为奇函数, ,即 为奇函数.
又 ,
因 在 上单调递减且为正数,又 在定义域内为增函数,
则 在 上单调递减,故 在 上单调递减,
由 .
,解得 ,故集合 .
(3) ，且 ，
由 可得 ,即 ,
令 .
① 当 时,有 ,
由 得 ,即 .
当 时,方程 在 无实数解.
当 时,由 得 ,由 ,解得 .
即当 时, ,而当 时, .
所以,当 或 或 时,函数 在 只有一个零点 ;
当 且 时,函数 在 有两个零点: 和 ;
② 当 时，有 ， .
当 时,函数 在 没有零点.
当 时， ，由 得 或 .
所以,当 或 时,函数 在 有一个零点;
当 时,函数 在 没有零点.
综上所述,当 时,函数 有且只有一个零点;
当 时,函数 有两个零点.