湖南邵阳市第二中学2025-2026学年高二下学期入学考试数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 湖南邵阳市第二中学2025-2026学年高二下学期入学考试数学试题（含解析） |
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|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 242.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-15 00:00:00 | ||
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文档简介
邵阳市二中高二入学测试卷 数学
时量:120 分钟 满分:150 分
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知向量 ，且 ，则实数 的值为( )
A. -1 B. 0 C. 1 D. 3
2. 抛物线 的焦点到其准线的距离为( )
A. B. C. D. 1
3. 如图,已知正三棱柱 的棱长均为 2,则异面直线 与 所成角的余弦值是( )
A. B.
C. D. 0
4. 函数 的单调递增区间是( )
A. B. C. 和 D.
5. 求以抛物线 的焦点 为圆心， 到直线 的距离为半径的圆的标准方程为 ( )
A. B.
C. D.
6. 设甲:数列 满足 ，乙:数列 是等差数列，则甲是乙的
( )
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 把 10 个相同的小球放入编号分别为1,2,3的三个不同的箱子中,每个箱子的球的个数不少于其编号，则共有多少种放法( )
A. 10 种 B. 15 种 C. 20 种 D. 45 种
8. 若存在 ,对任意的 ,都有 ,则 的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列导数计算正确的有( )
A. B.
C. D.
10. 已知等差数列 的前 项和为 ,且 ,则( )
A. 数列 的公差小于 0 B. 中 最大
C. 数列 的公差与数列 的公差相等 D. 使得 的正整数 的最小值为 24
11. 已知函数 是定义在 上的奇函数,当 时, ,则( )
A.
B. 的零点个数为 3
C. 的极值点个数为 3
D. 若方程 有三个实数根,则 的取值范围是
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知椭圆 的一条弦 过点 ,且弦的中点坐标为 ,则椭圆的离心率 _____.
13. 某校举办元旦晚会，有 2 个语言类节目和 4 个唱歌节目，要求第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目, 有_____种排法(数字作答).
14. 已知过原点的直线 与函数 的图像相切,则直线 的方程为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 已知函数 .
(1)求 在 处的切线方程；
(2)当 时，求 的最值.
16. 记 为数列 的前 项和， 为数列 的前 项积. 已知 .
(1)证明:数列 为等差数列.
(2)求数列 的通项公式.
17. 如图,底面 是边长为 2 的菱形, 平面 , ， 与平面 所成的角为 .
(1)求证:平面 平面 ；
(2)求二面角 - - 的余弦值.
18. 已知椭圆 的离心率为 分别为椭圆的左、右焦点, 点 是椭圆 上在第一象限内的一个动点,且 的周长为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若直线 分别交椭圆 于点 是线段 的中点.
(i) 求证: 直线 和 的斜率乘积为定值;
(ii) 若分别记 的斜率为 ,求 的最大值.
19. 已知函数 .
(1)当 时，求函数 在 处的切线方程；
(2)若函数 有两个零点，记作 ， .
(i) 求参数 的取值范围;
(ii) 若 ,证明: .
1. A
由于 ,则 ,
所以 ,
解得 .
故选: A
2. C
由抛物线 ,得 ,
则 ,得 ,
得抛物线 的焦点到其准线的距离为 ,
故选:
3. C
以 的中点 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 ,
因为正三棱柱 的棱长均为 2,
可得 ,
所以 ,可得 ,
则 ,
所以异面直线 与 所成角的余弦值是 .
故选: C.
4. B
因为函数 的导函数为 ,
令 ,即得 ,
所以函数 的单调递增区间是 .
故选: B.
5. A
由题知抛物线 的焦点坐标为 ,
所以 到直线 的距离为 ,
所以,所求圆的圆心为 ,半径为 ,
所以圆的标准方程为 .
故选: A
6. A
若 成立,则 ,符合等差数列的定义, 所以能够推出数列 是等差数列,故充分性成立.
若数列 是等差数列,设其公差为 ,则 .
所以 ,
所以 . 即必要性成立.
所以甲是乙的充分必要条件.
故选: A.
7. B
先在 1 号箱子放 0 个小球, 2 号箱子放 1 个小球, 3 号箱子放 2 个小球,
问题转化为将剩余的 7 个相同小球放入 3 个不同箱子中,方法数共有 种.
故选: B.
8. C
任意的 ,都有 ,
则有 在 上恒成立,
令 ,函数定义域为 ,
,令 ,解得 ,
时, 在 上单调递减;
时, 在 上单调递增,
因此存在 ,使 ,
令 ,令 ,解得 ,
时 在 上单调递增;
时 在 上单调递减,
有 ,
所以 时, 的最大值为 .
故选: C
9. ACD
对于 选项,由 ,故 选项正确;
对于 选项， ，故 选项错误；
对于 选项, ,故 选项正确;
对于 选项,由 ,故 选项正确.
故选: ACD.
10. AB
对于 选项,由 ,可得 , 可得数列 的公差 小于 0,故 A 选项正确;
对于 选项,由 ,可得 中 最大,故 选项正确;
对于 选项,由 ,可得数列 的公差为 ,故 选项错误;
对于 选项,由 ,
可得使得 的 的最小值为 23,故 选项错误.
故选: AB.
11. BD
函数 是定义在 上的奇函数,当 时, ,
A, , A 错误;
B, 的零点个数为 3, B 正确;
C,当 时,求导得 ,
由 ,得 ,由 ,得 ,
函数 在 上单调递减,在 上单调递增,
当 时, 取得极小值 ,
由奇函数的性质得在 时, 取得极大值 ,
因此 的极值点个数为 错误;
D,在坐标平面内作出函数 的图象,如图:
观察图象得当且仅当 或 时,函数 的图象与直线 有 3 个交点, 因此 的取值范围是 正确.
故选: BD
12.
设 ,所以有
因为弦的中点坐标为 ,
所以 ,
直线 斜率为 ,
,
即
故答案为:
13. 288
依题意, 完成这件事共分两步完成,
第一步:从 4 个歌唱节目中选 2 个排在一头一尾有 种排法；
第二步:剩下的 2 个语言类节目和 2 个唱歌节目共 4 个节目在中间 4 个位置全排有 种排法,
由分步乘法计数原理得一共 种排法.
故答案为: 288 .
14.
当 时, ,设切点为 ,
则切线斜率为 ,那么切线方程为 ,
将 代入方程中解得 ,故切线方程为 ;
由于 为偶函数,其图像关于 轴对称,
故当 时,切线方程为 .
综上可知,切线方程为 和 .
故答案为: .
15. (1)
(2)最大值为 ，最小值为
(1) 依题意, ,则切线斜率为 ,
又 ,即切点坐标为 ,
故所求切线方程为: ,即 .
(2)由 .
当 时, ,则 在 上单调递增,
故当 时， 取到最小值为 ，
当 时， 取到最大值为 ，
故 在区间 上的最大值为 ，最小值为 .
16.解: (1) 当 时, ,易得
当 时, 代入 消去
得 , 化简得
所以，数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列。
(2)易得 ，由(1)可得 ，
当 时， 可得
显然 不满足该式,所以
17.(1): 平面 平面 .
.
又:底面 是菱形， .
平面 ,
设 交于 ,取 的中点 ,连 ,
,四边形 是平行四边形
平面
平面 ,
又因 平面 ,
平面 平面 .
(2)以 为坐标原点， 所在直线分别为 、 、 轴建立如图空间直角坐标系 与平面 所成的角为
设平面 的法向量为
设平面 的法向量
设二面角 的大小为 .
18.(1)根据椭圆的定义可知 ，
根据题意可得 ,解得 , 所以椭圆的方程为 .
(2)(i)设 ， ，因为 为 中点，所以 ， 根据题意直线 与 的斜率都存在,
所以直线 与 的斜率乘积为 ,
因为 在椭圆上,所以 ,
两式相减可得 ,
化简得 ,可得 ,
因此直线 与 的斜率乘积为 .
(ii) 设 ,由 (1) 可知 ,
因为点 在椭圆上,所以 ,
由题意 ,
将直线 与椭圆 联立 ,可得 ,
整理可得: ,所以 ,
即 ,即 ,
同理,将直线 与椭圆 联立 ,可得 ,
整理可得: ,所以 ,
即 ,即 ,
所以 的斜率为 的斜率为 ,
故 ,
因为点 在第一象限内,故 ,
的最大值为 ,当且仅当在 处取到等号.
19. (1)
(2)(1) 当 时, ,
则 . 又 在 处的切线方程为 .
(2)(i)由题知， 在 上有两个根 ， ,即 .
令 ,则 .
当 时, 单调递减,
当 时, 单调递增,
,
所以问题转化为 在 上有两个根.
易知 ,故 ,
令 ,则 .
当 时, 单调递增
当 时, 单调递减.
又 时, 时, ,
且 时, 时, ,
,解得 ,即参数 的取值范围为 .
(ii) 由 (i) 知, ,两式相减得 ,
要证 ,
即证 ,
即证 ,
即证 ,
令 ,即证 在 上恒成立.
令 ,
,
令 ,
,
在 上单调递增,
,
,则 在 上单调递增.
,
,得证,
.
时量:120 分钟 满分:150 分
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知向量 ，且 ，则实数 的值为( )
A. -1 B. 0 C. 1 D. 3
2. 抛物线 的焦点到其准线的距离为( )
A. B. C. D. 1
3. 如图,已知正三棱柱 的棱长均为 2,则异面直线 与 所成角的余弦值是( )
A. B.
C. D. 0
4. 函数 的单调递增区间是( )
A. B. C. 和 D.
5. 求以抛物线 的焦点 为圆心， 到直线 的距离为半径的圆的标准方程为 ( )
A. B.
C. D.
6. 设甲:数列 满足 ，乙:数列 是等差数列，则甲是乙的
( )
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 把 10 个相同的小球放入编号分别为1,2,3的三个不同的箱子中,每个箱子的球的个数不少于其编号，则共有多少种放法( )
A. 10 种 B. 15 种 C. 20 种 D. 45 种
8. 若存在 ,对任意的 ,都有 ,则 的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列导数计算正确的有( )
A. B.
C. D.
10. 已知等差数列 的前 项和为 ,且 ,则( )
A. 数列 的公差小于 0 B. 中 最大
C. 数列 的公差与数列 的公差相等 D. 使得 的正整数 的最小值为 24
11. 已知函数 是定义在 上的奇函数,当 时, ,则( )
A.
B. 的零点个数为 3
C. 的极值点个数为 3
D. 若方程 有三个实数根,则 的取值范围是
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知椭圆 的一条弦 过点 ,且弦的中点坐标为 ,则椭圆的离心率 _____.
13. 某校举办元旦晚会，有 2 个语言类节目和 4 个唱歌节目，要求第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目, 有_____种排法(数字作答).
14. 已知过原点的直线 与函数 的图像相切,则直线 的方程为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 已知函数 .
(1)求 在 处的切线方程；
(2)当 时，求 的最值.
16. 记 为数列 的前 项和， 为数列 的前 项积. 已知 .
(1)证明:数列 为等差数列.
(2)求数列 的通项公式.
17. 如图,底面 是边长为 2 的菱形, 平面 , ， 与平面 所成的角为 .
(1)求证:平面 平面 ；
(2)求二面角 - - 的余弦值.
18. 已知椭圆 的离心率为 分别为椭圆的左、右焦点, 点 是椭圆 上在第一象限内的一个动点,且 的周长为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若直线 分别交椭圆 于点 是线段 的中点.
(i) 求证: 直线 和 的斜率乘积为定值;
(ii) 若分别记 的斜率为 ,求 的最大值.
19. 已知函数 .
(1)当 时，求函数 在 处的切线方程；
(2)若函数 有两个零点，记作 ， .
(i) 求参数 的取值范围;
(ii) 若 ,证明: .
1. A
由于 ,则 ,
所以 ,
解得 .
故选: A
2. C
由抛物线 ,得 ,
则 ,得 ,
得抛物线 的焦点到其准线的距离为 ,
故选:
3. C
以 的中点 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 ,
因为正三棱柱 的棱长均为 2,
可得 ,
所以 ,可得 ,
则 ,
所以异面直线 与 所成角的余弦值是 .
故选: C.
4. B
因为函数 的导函数为 ,
令 ,即得 ,
所以函数 的单调递增区间是 .
故选: B.
5. A
由题知抛物线 的焦点坐标为 ,
所以 到直线 的距离为 ,
所以,所求圆的圆心为 ,半径为 ,
所以圆的标准方程为 .
故选: A
6. A
若 成立,则 ,符合等差数列的定义, 所以能够推出数列 是等差数列,故充分性成立.
若数列 是等差数列,设其公差为 ,则 .
所以 ,
所以 . 即必要性成立.
所以甲是乙的充分必要条件.
故选: A.
7. B
先在 1 号箱子放 0 个小球, 2 号箱子放 1 个小球, 3 号箱子放 2 个小球,
问题转化为将剩余的 7 个相同小球放入 3 个不同箱子中,方法数共有 种.
故选: B.
8. C
任意的 ,都有 ,
则有 在 上恒成立,
令 ,函数定义域为 ,
,令 ,解得 ,
时, 在 上单调递减;
时, 在 上单调递增,
因此存在 ,使 ,
令 ,令 ,解得 ,
时 在 上单调递增;
时 在 上单调递减,
有 ,
所以 时, 的最大值为 .
故选: C
9. ACD
对于 选项,由 ,故 选项正确;
对于 选项， ，故 选项错误；
对于 选项, ,故 选项正确;
对于 选项,由 ,故 选项正确.
故选: ACD.
10. AB
对于 选项,由 ,可得 , 可得数列 的公差 小于 0,故 A 选项正确;
对于 选项,由 ,可得 中 最大,故 选项正确;
对于 选项,由 ,可得数列 的公差为 ,故 选项错误;
对于 选项,由 ,
可得使得 的 的最小值为 23,故 选项错误.
故选: AB.
11. BD
函数 是定义在 上的奇函数,当 时, ,
A, , A 错误;
B, 的零点个数为 3, B 正确;
C,当 时,求导得 ,
由 ,得 ,由 ,得 ,
函数 在 上单调递减,在 上单调递增,
当 时, 取得极小值 ,
由奇函数的性质得在 时, 取得极大值 ,
因此 的极值点个数为 错误;
D,在坐标平面内作出函数 的图象,如图:
观察图象得当且仅当 或 时,函数 的图象与直线 有 3 个交点, 因此 的取值范围是 正确.
故选: BD
12.
设 ,所以有
因为弦的中点坐标为 ,
所以 ,
直线 斜率为 ,
,
即
故答案为:
13. 288
依题意, 完成这件事共分两步完成,
第一步:从 4 个歌唱节目中选 2 个排在一头一尾有 种排法；
第二步:剩下的 2 个语言类节目和 2 个唱歌节目共 4 个节目在中间 4 个位置全排有 种排法,
由分步乘法计数原理得一共 种排法.
故答案为: 288 .
14.
当 时, ,设切点为 ,
则切线斜率为 ,那么切线方程为 ,
将 代入方程中解得 ,故切线方程为 ;
由于 为偶函数,其图像关于 轴对称,
故当 时,切线方程为 .
综上可知,切线方程为 和 .
故答案为: .
15. (1)
(2)最大值为 ，最小值为
(1) 依题意, ,则切线斜率为 ,
又 ,即切点坐标为 ,
故所求切线方程为: ,即 .
(2)由 .
当 时, ,则 在 上单调递增,
故当 时， 取到最小值为 ，
当 时， 取到最大值为 ，
故 在区间 上的最大值为 ，最小值为 .
16.解: (1) 当 时, ,易得
当 时, 代入 消去
得 , 化简得
所以，数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列。
(2)易得 ，由(1)可得 ，
当 时， 可得
显然 不满足该式,所以
17.(1): 平面 平面 .
.
又:底面 是菱形， .
平面 ,
设 交于 ,取 的中点 ,连 ,
,四边形 是平行四边形
平面
平面 ,
又因 平面 ,
平面 平面 .
(2)以 为坐标原点， 所在直线分别为 、 、 轴建立如图空间直角坐标系 与平面 所成的角为
设平面 的法向量为
设平面 的法向量
设二面角 的大小为 .
18.(1)根据椭圆的定义可知 ，
根据题意可得 ,解得 , 所以椭圆的方程为 .
(2)(i)设 ， ，因为 为 中点，所以 ， 根据题意直线 与 的斜率都存在,
所以直线 与 的斜率乘积为 ,
因为 在椭圆上,所以 ,
两式相减可得 ,
化简得 ,可得 ,
因此直线 与 的斜率乘积为 .
(ii) 设 ,由 (1) 可知 ,
因为点 在椭圆上,所以 ,
由题意 ,
将直线 与椭圆 联立 ,可得 ,
整理可得: ,所以 ,
即 ,即 ,
同理,将直线 与椭圆 联立 ,可得 ,
整理可得: ,所以 ,
即 ,即 ,
所以 的斜率为 的斜率为 ,
故 ,
因为点 在第一象限内,故 ,
的最大值为 ,当且仅当在 处取到等号.
19. (1)
(2)(1) 当 时, ,
则 . 又 在 处的切线方程为 .
(2)(i)由题知， 在 上有两个根 ， ,即 .
令 ,则 .
当 时, 单调递减,
当 时, 单调递增,
,
所以问题转化为 在 上有两个根.
易知 ,故 ,
令 ,则 .
当 时, 单调递增
当 时, 单调递减.
又 时, 时, ,
且 时, 时, ,
,解得 ,即参数 的取值范围为 .
(ii) 由 (i) 知, ,两式相减得 ,
要证 ,
即证 ,
即证 ,
即证 ,
令 ,即证 在 上恒成立.
令 ,
,
令 ,
,
在 上单调递增,
,
,则 在 上单调递增.
,
,得证,
.
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