湖南省长沙市第一中学2026届高三下学期开学考试数学试题（含解析）

高三数学
注意事项:
1. 答卷前、考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号. 回答非选择题时, 将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题(本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个 选项中, 只有一项是符合题目要求的)
1. 已知集合 ,则 ( )
A. B. C. D.
2. 已知 是两个不共线的向量,向量 共线,则实数 的值为 ( )
A. B. C. D.
3. 已知等差数列 的前 项和为 ,其中 ,则 取得最大值时 的值为( )
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
4. 已知直线 ，则 “ ” 是 “ ” 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
5. 已知函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
6. 已知 ,则 ( )
A. B. C. D.
7. 在平面直角坐标系 中, ,直线 的斜率与直线 的斜率的差是
2,则 的最小值为( )
A. B.
C. D. 3
8. 已知函数 函数 有 4 个零点,则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、选择题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中， 至少有两项符合题目要求, 若全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 选错或不 选得 0 分)
9. 已知 ，则( )
A. B.
C. D.
10. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施, 上面挂在轮边缘的是供乘客搭乘的座舱. 某地一摩天轮与地面的垂直高度(最高处与地面的距离)为 208 米，直径 193 米，入口在最底部. 摩天轮逆时针方向匀速转动, 30 分钟转一圈, 假设该摩天轮共有 36 个座舱, 且每两个座舱间隔相等，则下列说法正确的是 ( )
A. 若摩天轮的转速减半，则其旋转一圈的时间是原来的一半
B. 乘客从入口进入座舱，摩天轮开始转动后，乘客距离水平地面的高度 (米)与时间 (分钟)的函数解析式为
C. 乘客从入口进入座舱，摩天轮开始转动后，经过 10 分钟，乘客距离地面的高度为 163.25 米
D. 游客乙在游客甲后进入座舱，且中间间隔 5 个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，两人距离地面的高度差的最大值为 96.5 米
11. 如图,在棱长为 2 的正方体 中, 为棱 的中点, 为侧面 内一点 (含边界), 则 ( )
A. 若 为线段 上一点,则三棱锥 的体积为定值
B. 若该正方体表面上的动点 满足 ，则动点 的轨迹长度是
C. 若 为侧面 的中心，则过点 且与 垂直的平面截正方体所得截面面积为
D. 若该正方体的内切球表面上的动点 满足 平面 ，则线段 长度的最小值为
三、填空题(本大题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 设随机变量 ,且 ,则 _____.
13. 过点 与圆 相切的两条直线的切点分别为 ,则 _____.
14. 设 ,则称 为 这 个数的几何平均数. 若从等比数列 中删除一个数 ,剩下的 个数的几何平均数为 , 则 _____.
四、解答题(本大题共 5 个小题, 共 77 分, 解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤)
15. 如图,在平面四边形 中, .
(1)证明: ；
(2)已知 ， 的外接圆半径为 1 ，求 面积的最大值.
16. 如图 1,在正方形 中, 为 的中点,过点 作 的垂线,与 分别交于点 ,把四边形 沿 折起,使得 平面 ,点 分别到达点 的位置,连接 ,如图 2.
图1
图2
(1)设 是线段 (不含端点)上一动点，问:是否存在点 ，使 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由；
(2)求平面 与平面 所成角的余弦值.
17. 如图,已知椭圆 的离心率为 ,线段 分别为 的长轴与短轴,四边形 的面积为 .
(1)求 的标准方程；
(2)若直线 与 分别交于 两点，且总有 平分 . 求证:直线 恒过定点，并求出定点坐标;
18. 已知函数 .
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)当 时,若曲线 恰有两条过点 的切线，求实数 的取值集合；
(3)设 为非负实数， 为正实数，若 ，证明: .
19. DM 训练机器人玩传球游戏,现有编号为 的 位球员围成一个圆, 机器人 DM 居于圆心位置, 传球规则如下: 球由 DM 传给球员, 任何球员接球都直接传回 DM 为一次传球. DM 传球给目标球员顺序依次为 . 每次传球时, DM只从尚未接球的球员中随机选择一人，若选中当前目标球员(如当前应传至 号，则 为目标球员)，则传球成功且之后不再给该球员传球，目标球员更新为 号；若选中非目标球员， 则传球失败，球传回 DM，DM 记下该球员编号，并在其成为目标球员时直接传球给该球员， 且在其成为目标球员前不会再给该球员传球; 传球无论成功与否均计为 1 次传球，直到第 号球员接球后传回机器人 DM 游戏终止.
(1)当 时,
(i) 求 DM 第 3 次恰好成功完成给 2 号球员传球的概率;
(ii) 设 为完成全部传球所需总次数,求 的分布列及数学期望 ;
(2)设 为完成全部传球所需总次数，若 ，证明:
1. C
依题意, 或 , 所以 .
故选:
2.
因为向量 共线,
所以存在实数 ,使得 ,
所以 ,解得 ,则 .
故选: D.
3. B
因为等差数列 满足 时, 时, . 所以当 时, 取得最大值.
故选: B.
4. C
当 ,直线 ,此时 ,故 “ ”是 “ ”的充分条件,
由 ,得 ,解得 ,故 “ ” 是 “ ”的必要条件, 故“ ”是 “ ” 的充要条件.
故选: C.
5. B
函数 是开口向上的二次函数,其对称轴为 ;
因为函数 在区间 上单调递增,
所以内层函数 在区间 上单调递增且 在区间 上恒成立即 ,即实数 的取值范围是 .
故选: B.
6. A
由全概率公式知
所以 .
故选: A
7. A
设 ,
因为直线 的斜率与直线 的斜率的差是 2,
所以 ,
化简得到点 的轨迹方程 ,
由 ,将 代入得到
, 令 得到 且 ,
所以 为开口朝上的二次函数,对称轴
当 时， ，所以 .
故选: A.
8. D
当 时, ,当 时, ,
当 时, ,
所以 ,
当 时, ,
所以 ,
当 时, ,
所以 ,
当 时, ,
所以 ,
作出函数 的大致图象,
若函数 有 4 个零点,即 与 有 4 个交点,
当直线 过点 时, ; 当直线 过点 时, ;
由图可知, 与 有 4 个交点时,有 ,
故选: D
9.
对于 , A 正确;
对于 ,则 , B 正确;
对于 ,则 正确;
对于 , 错误.
故选: ABC
10. BD
对于 ,若摩天轮的转速减半,则其旋转一圈的时间是原来的 2 倍,故 错误; 对于 ,设乘客距离水平地面的高度 (米)与时间 (分钟)的函数解析式为
则 且 ,解得 ,
摩天轮转动的周期为 30 分钟,由于 ,则 ,
所以 ,
令 ,则有 ,解得 ,
所以 ,故 正确;
对于 ,当 时, (米),故 错误;
对于 ,两人间隔 5 个座舱,乙与甲进入座舱的时间间隔为 5 分钟,
所以两人距离地面的高度差,
当 时, ,
当 或 ,即 或 25 时, 取得最大值 96.5 (米),故 正确.
故选: BD.
11. ACD
对于 ,若 为 上一点,由 平面 平面 ,
得 平面 ,则点 到平面 的距离为定值,又 的面积为定值, 因此三棱锥 的体积为定值, 正确;
对于 ,动点 在正方形 、正方形 、正方形 内,
其轨迹是以点 为圆心,2 为半径的 圆弧,
因此动点 的轨迹长度是 错误;
对于 ,若 为 的中心,即 的中点,取 的中点 ,
连接 ,则 ,
由 平面 得 ,则 ,
又 平面 ,
于是 平面 ,取 中点 ,连接 ,同理 ,
因此 平面 ,过 与 垂直的平面截正方体所得截面为 ,
,则 的面积为 , C 正确;
对于 ,在正方体 中,平面 平面 ,
由点 满足 平面 ,则点 在平面 上,
又点 在正方体的内切球表面上,
则点 的轨迹为正三角形 的内切圆,记圆心为 ,半径为 ,
因此 的最小值为 ，D 正确.
故选: ACD
12. 0.83
因为随机变量 ,所以其正态曲线关于 对称,
因此: ,
又因为 ,所以 ,
所以 ,
所以 .
故答案为: 0.83 .
13.
将圆 化为标准方程得到 ,
所以圆心 ,半径 ,
则 .
在直角三角形 中, ,
所以 ;
同时 ,代入得到 .
故答案为: .
14. 4050
若删除的是 1,则剩下的 个数的几何平均数最大,
最大值为 ;
若删除的是 ,则剩下的 个数的几何平均数最小,
最小值为 ,
则 ,解得 ,
又 ,可得 .
故答案为: 4050 .
15. (1) 证明: 设 ,
因为 ,所以 ,
在 中，由正弦定理得， ，
在 中，由正弦定理得， ，
所以 .
(2)因为 的外接圆半径为 1，
由正弦定理 ，得 ，
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，①
在 中，同理可得 ，②
由①②可知， 是关于的方程 的两根，
所以 .
的面积为 .
由 ,得到 ,
又因为 ,所以 ,
所以 .
即 面积的最大值为 .
16. (1) 存在,
(2) .
(1)存在点 ，且当 时， .
由题意,知 两两垂直,所以以点 为原点,分别以 为 轴、 轴、 轴的正方向, 建立如图所示的空间直角坐标系.
因为 ，
所以可求得 ，
所以 ,所以 .
因为点 在线段 上,所以可设 .
因为 ,所以点 ,
所以 ,
假设存在点 ,使得 ,则 ,
所以 ,解得 ,即 ,所以 ,
所以存在点 ，且当 时， .
(2)
由(1)得 ,
所以 .
设平面 的法向量为 ,则 ,
取 ,得 ,则 是平面 的一个法向量.
设平面 的法向量为 ,则 ,
取 ,得 ,则 是平面 的一个法向量.
设平面 与平面 所成的角为 ，
则 ,
所以平面 与平面 所成角的余弦值为 .
17. (1) 由题意得 ,
,解得 ,
椭圆 的标准方程为 ;
(2)令 ，
由 平分 ,可知直线 倾斜角的大小关系,
得到 ,故有 ,
故有 ,化简得到 (※)
设 ,
联立 ,有 ,
于是有 ,
又 ,
,代入※式化简得, ,
则直线 ,
即可证 过定点
18. (1) 当 时, ,
则 ;
当 时, ,所以 在区间 上单调递增.
当 时,令 ,得到 ,
当 时, ,所以 在区间 上单调递增;
当 时, ,所以 在区间 上单调递减;
综上所述,当 时, 在区间 上单调递增; 当 时, 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减.
(2)当 时， ，则 ，
设切点为 ,
所以切线方程为 ,
因为切线过点 ,所以
整理得到 ,
因为若曲线 恰有两条过点 的切线,
所以方程 有两个不同的实数根.
令
则问题转化为 有两个不同实根,
令 得 ,即 在区间 上单调递增;
令 得 ,即 在区间 上单调递减;
极大值 ,极小值 ,
所以 或 ,解得 或 ;
所以求实数 的取值集合为 .
(3)不妨设 ；
当 时,左边 ,右边 ,所以左边 右边,
当 时,左边 ,右边 ,所以左边 右边,
当 时,
因为 为正实数且 ,所以 ,
要证 ,即证 ,
即证 ,
即证 ,
令 ,则 ,
因为 ,所以 ,所以 在 上单调递减,
所以当 时， ，所以 ，
所以 在 上单调递增,
因为 ,所以 ,所以 ,
所以 ,即 ,
综上可知 .
19.(1)(i)设事件 为 "第 3 次恰好成功完成给 2 号球员传球",
情况一:第 1 次传球成功(传给 1 号)，第 2 次失败，第 3 次成功(传给 2 号)，
概率为 ,
情况二:第 1 次传球失败，第 2 次成功(传给 1 号)，第 3 次成功(传给 2 号)，
①:第 1 次传球选中的是 2 号，则第 3 次对 2 号是直接传球，
概率为 ,
②:第 1 次传球选中的非 2 号球员(3,4,5 号之一)，则第 3 次对 2 号是随机选择成功，概率为 ,
综上, .
(ii) 可能的取值为5,6,7,8,9,
当 时,2 到 5 号球员恰好全部在 1 号成功之前误传,
则 ,
当 时,只有 1 位球员在所有比他小的球员传球时误传, , 当 时,有 3 次误传, ,
故 的分布列为
5 6 7 8 9
12 10 7 24 1 5
数学期望 .
(2)记 为第 号球员接球的次数，则 ，
时,将抽取球员的编号理解为一个数列: ,
表示第一次选错了 2,第二次选对了 1,第三次由于此时目标为 2,直接给 2,
不难发现,若 ,将各元素第一次出现的相对次序记为一个数列,如
则 必在 出现之后再出现,
相当于计算 在最后一位的情况占 排列的比例,
则 ,
.
对任意 ,有 ,
下面证明该不等式成立,设 ,
则 在 上恒成立,
则 在 上单调递减,则 ,
即 在 恒成立,
令 ,则: ,
则 ,
则 .