湖南长沙市第二十六中学等校2025-2026学年高三下学期开学考试数学试题（含解析）

2025-2026 年下学期高三开学考试 数学试题
满分 150 分, 考试时间 120 分钟
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号. 回答非选择题时, 将答案写在答题卡上, 写在本试卷上无效.
3.考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷分为 4 页, 共 19 题, 考查范围: 高考全部内容.
一、单项选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选 项中, 只有一项是符合题目要求的)
1. 已知集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
2. 已知复数 ，则 的共轭复数 的虚部为( )
A. B. C. D.
3. 设 ，则( )
A. B. C. D.
4. 将函数 的图像向右平移 个单位长度后,所得图像关于 轴对称,则 的最小正值为( )
A. B. C. D.
5. 已知等差数列 的前 项和为 ,若 ,则 ( )
A. 36 B. 45 C. 54 D. 63
6. 一个圆台形水桶，其上下底面的半径分别为10cm 和 20cm，母线长为26cm，则该水桶的容积(忽略桶壁厚度)为( )
A. B. C. D.
7. 已知抛物线 的焦点为 ,过 的直线 与 交于 两点,若 ,则 ( )
A. B. 2 C. D. 3
8. 已知函数 ,若当 时, 恒成立,则实数 的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
二、多项选择题(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分)
9. 某中学高一年级 100 名学生的数学期中考试成绩的频率分布直方图如图所示, 下列说法正确的有( )
某中学高一年级100名学生数学期中考试成绩频率分布直方图
A. 成绩落在 区间的频率为 0.3
B. 这 100 名学生成绩的中位数为 75
C. 这 100 名学生成绩的平均数为 76
D. 成绩低于 60 分的学生人数为 10 人
10. 已知函数 ,下列关于该函数的说法正确的有( )
A. 的最小正周期为
B. 的图象关于直线 对称
C. 在区间 上单调递增
D. 的图象可由 的图象向左平移 个单位得到
11. 如图,在棱长为 2 的正方体 中, 分别为 的中点,下列说法正确的有( )
A. 直线 平面
B. 直线 平面
C. 异面直线 与 所成角的余弦值
D. 三棱锥 的体积为
三、填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 已知向量 ， ，若 ，则 _____.
13. 二项式 的展开式中的常数项为_____.
14. 已知点 是椭圆 上的动点,点 是直线 上的动点,则 的最小值为_____.
四、解答题(本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤)
15. 在 中，内角 的对边分别为 ，且满足 . (1)求角 的大小；
(2)若 的面积为 ，求 的周长.
16. 如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， 平面 ， 为 的中点.
(1)证明:平面 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
17. 某新能源汽车企业为了检验一款新车型的续航能力, 随机抽取了 100 辆该车型, 在相同条件下进行续航测试, 得到续航里程 (单位: km) 的频率分布表如下:
续航里程区间 [400,450) [450,500) [500,550) [550,600) [600,650]
频率 0.05 0.2 0.45 0.25 0.05
(1)求这 100 辆该车型续航里程的平均数 和方差 (同一区间的数据用该区间的中点值作代表);
(2)由频率分布表可认为，该车型的续航里程 服从正态分布 ，其中 近似为样本平均数 近似为样本方差 .
(i) 求 ;
(ii) 某用户购买了该车型,求其续航里程不低于 480.6km 的概率.
参考数据: ,若 ,则 ,
18. 已知椭圆 的离心率为 ,且过点 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设椭圆 的右焦点为 ，过点 的直线 与椭圆 交于 两点，点 在 轴上，是否存在定点 ,使得 恒成立 若存在,求出点 的坐标; 若不存在,请说明理由.
19. 已知函数 ,其中 .
(1)讨论函数 的单调性；
( 2 )若当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.
1. B
,
所以 .
2. A
易知复数 , 所以共轭复数 ,其虚部为 .
3. B
由指数函数的单调性可知 ,
由对数函数的单调性可知 ,
所以 ,所以 .
4. C
将函数 的图像向右平移 个单位,
所得图象对应的解析式为 ,
因为所得图象关于 轴对称,所以所得函数为偶函数,
因此 ,
解得 ,故 的最小正值是 .
5. C
解: 在等差数列 中, ,
6. C
如图,过 作 垂线于 ,由题知
由勾股定理可得 ,
设圆台上底面半径为 ,下底面半径为 ,高 代入圆台体积公式有 .
7. A
设 ,
抛物线 的焦点为 ,准线 ,
由抛物线定义可知 ,则 ,则 ,
不妨取 ,则 ,
直线 的斜率为 ,则直线 的方程为 ,
直线 与抛物线 联立方程 ,
得 ,解得 (为 点), ,
所以 .
8. A
即 在 时恒成立,
令 ,
令 ,
在 单调递增, ,
① 当 时， ，即 在 单调递增，
,即 ,
在 单调递增,
,
故 时， 在 时恒成立；
② 时， ，解得 ，
在 单调递增,
时, 单调递减,
此时 ,即 ,
在 上单调递减,此时 ,
即 时, ,不符合题意;
综上, .
9. AC
A 选项,由频率分布直方图可得 区间频率为 , A 正确; B 选项，设中位数为 ，则 ，解得 ，B 错误；
C 选项,平均数为 , C 正确;
D 选项,成绩低于 60 分的学生人数为 错误.
10.
对于 的最小正周期为 ,故 正确,
对于 ,令 ,解得 ,令 得 ,
故 的图象关于直线 对称,故 正确,
对于 ,令 ,解得 ,
令 得 ,故 在区间 上单调递增,故 正确,
对于 的图象向左平移 个单位得到 ,故 错误.
11. CD
以 为坐标原点,建立下图所示空间直角坐标系,
已知正方体棱长为 分别为 的中点,则
,
设平面 的法向量为 ,则 ,
令 ,则 ,
,
直线 与平面 不平行,故 错误;
,
设平面 的法向量为 ,则 ,
令 ,则 ,
若直线 平面 ,则 ,即 ,
显然 不存在唯一解,故 错误;
,
设异面直线 与 所成角为 ,则
,故 C 正确;
,
,故 D 正确.
12. -3
,
.
13. 60
展开式的通项为 .
令 ,得 ,则 的常数项为 .
故答案为: 60 .
14.
点 是椭圆 上的动点, 设 ,
到直线 的距离 ,
,
,
,
的最小值为 .
15.
(2) 6
(1)由正弦定理可得 ,
则 ,
在 中, ,则 且 ,
所以 ,即 ,所以 ;
(2)因为 ，所以 ，
由余弦定理可得 ,
则 ,解得 ,
所以 ,即 的周长 6.
16. (1) 底面 为矩形,
所以 ,
又因为 平面 , 平面 ,所以 ,
又 平面 ,
所以 平面 ,又 平面 ,
可知平面 平面 ;
(2)由(1)可知 两两垂直，以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系, 如下图所示:
易知 ,
则 ,
设平面 的法向量为 ,
则 ,令 ,可得 ,
可得 ,
所以 ;
因此直线 与平面 所成角的正弦值为 .
17. (1)527.5,2118.75
(2) (i) 0.6827 (ii) 0.8414
(1)
.
(2)由(1)可知， ，结合参考数据得 ,
(i) ,
,区间长度为 ,
根据正态分布的对称性,概率近似等于 ,
已知 ,
;
(ii) 利用正态分布对称性: ,
,
其续航里程不低于 的概率约为 0.8414 .
18.
(2)存在,
(1) ,解得 ,
椭圆 的标准方程 ;
(2)存在，
椭圆 ,则 ,
①当直线 斜率不存在时， ，
此时 关于 轴对称, 轴上除点 外的任意一点都能使得 恒成立,
② 当直线 斜率存在时,设 ,
联立 ,整理可得 ,
显然 ,
由韦达定理可得 ,
,
即 ,整理得 ,
即
,
又直线 斜率不恒为零,所以 ,解得 ,
综上,存在 满足题意.
19. ( 1 )当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.
(2)
(1)由题意得 的定义域为 .
当 时, ,所以 在 上单调递增.
当 时,令 ,即 ,解得 .
当 时, 单调递增; 当 时, 单调递减;
综上,当 时, 在 上单调递增;
当 时, 在 上单调递增,在 上单调递减.
(2)由题意得: 对 时恒成立，即 对 时恒成立， 所以 对 时恒成立,
令 ,即 对 时恒成立, ,
因为 ,所以 ,即 在 上单调递减,
所以 ,
所以 ,即实数 的取值范围为 .