湖南省长沙市第一中学2025-2026学年高二下学期开学考试数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 湖南省长沙市第一中学2025-2026学年高二下学期开学考试数学试题（含解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 286.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-15 00:00:00 | ||
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文档简介
高二数学入学
时量:120 分钟 满分:150 分
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，若 中有且仅有一个元素，则实数 的取值范围为( )
A. B.
C. D.
2. 若复数 满足 ，则 的虚部为( )
A. B. C. D.
3. 已知点 ， ，直线 与线段 有公共点，则实数 的取值范围为( )
A. B.
C. D.
4. 设函数 在定义域内可导, 图象如下图所示,则导函数 的图象可能是
A.
B.
C.
D.
5. 设 是等差数列 的前 项和, 是数列 的前 项和. 若 ,则 等于( )
A. 49 B. 50 C. 51 D. 52
6. 记函数 的最小正周期为 . 若 ,且 的图象关于点 中心对称,则 ( )
A. 1 B. C. D. 3
7. 甲、乙、丙、丁、戊 5 位同学报名参加学校举办的三项不同活动，每人只能报其中一项活动, 每项活动至少有一个人参加, 则甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同的概率为 ( )
A. B. C. D.
8. 已知 (e 为自然对数的底数),则( )
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知 ,且 ,则()
A. B.
C. D.
10. 如图,在棱长为 2 的正方体 中, 分别是线段 上的动点 (不含端点),且 ,则下列结论正确的是 ( )
A. 若 ，则直线 与直线 的夹角为
B. 三棱锥 体积的最大值为
C. 存在 ，使得 平面
D. 若 ,则三棱锥 外接球的表面积为
11. 已知抛物线 的焦点为 ，准线交 轴于点 ，直线 过 且交 于不同的 两点,且 ,下列命题正确的有( )
A. 直线 的斜率
B. 若 ,则
C. 若 ,则
D. 存在 使得 平分
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 在 中, 分别为内角 所对的边, ,且 ，则 的面积为_____.
13. 若函数 在 上无极值点，则 的取值范围为_____.
14. 像 87125 这样各个数位上的数字依次先减少再增加的数称为“凹数”，现用 这 10 个数字, 每个数字只用一次, 组成的十位数, 能组成_____个凹数.
四、解答题:本题共 5 小题, 第 15 题 13 分, 第 16, 17 题 15 分, 第 18, 19 题 17 分, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知定义在 上的函数
(1)若 ,求出曲线 在点 处的切线方程; (2)求 的极值.
16. 平面上两个等腰直角 和 ， 既是 的斜边又是 的直角边，沿 边折叠使得平面 平面 ， 为斜边 的中点.
(1)求证: ；
(2)在线段 上是否存在点 ，使得平面 平面 若存在，求出 的值；若不存在, 说明理由.
17. 已知数列 的前 项和为 ,公差不为 0 的等差数列 满足
(1)证明:数列 为等比数列.
(2)记 ，求数列 的前 项和 .
18. 已知无障碍时红方、蓝方发射炮弹攻击对方目标击中的概率均为 ，红方、蓝方空中拦截对方炮弹成功的概率分别为 ,现红方、蓝方进行模拟对抗训练,每次由一方先发射一枚炮弹攻击对方目标，另一方再进行空中拦截，轮流进行，各攻击对方目标一次为 1 轮对抗.经过数轮对抗后, 当一方比另一方多击中对方目标两次时, 训练结束.假定各轮结果相互独立. 记在 1 轮对抗中,红方击中蓝方目标为事件 ,蓝方击中红方目标为事件 .
(1)求概率 、 ；
(2)设随机变量 表示经过 1 轮对抗后红方与蓝方击中对方目标次数之差，求 的分布列和数学期望;
(3)求恰好经过 3 轮对抗后训练结束的条件下，红方多击中蓝方目标两次的概率.
19. 双曲线 的实轴长为 ,且过点 ,双曲线的左、右顶点分别为
,右焦点为 ,过 的直线 交双曲线右支于 两点,设直线 交于点 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)证明:点 在定直线 上；
(3)连接 交直线 于点 ，证明:以 为直径的圆与直线 相切.
1. B
因为 ,要使得 中有且仅有一个元素,则 或 ,即实数 的取值范围为 .
故选: B.
2. C
若复数 满足 ,
则 ,
故复数 的虚部为 .
3. C
如图
由题意知直线 过定点 ,
易求 的斜率 ,
的斜率 ,
直线 的斜率 ,
所以 或 ,
即 或
故选: C.
4. D
由图像可知,函数 在 上是减函数,此时 ,故排除 ; 当 时,函数 的图象是先增,再减,最后再增,
所以 的值是先正,再负,最后是正,因此排除 ,
故选: D.
5. C
设等差数列 的公差为 ,
因为 ,可得 ,解得 ,
所以 ,所以 ,
所以 .
故答案为: C.
6. A
由函数的最小正周期 满足 ,得 ,解得 ,
又因为函数图象关于点 对称,所以 ,且 ,
所以 ,所以 ,
所以 .
故选: A
7. C
先将 5 名志愿者分成 3 组, 第一类分法是 3, 1, 1, 第二类分法是 2, 2, 1, 再分配到三项活动中,总方法数为 ,
因甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同, 故只需先把甲, 乙, 丙三人在三项活动上安排好, 再让丁, 戊两人分别在三项活动中选择,
其方法数为 . 故甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同的概率为 . 故选:C.
8. A
对 两边取对数, , 而 在 上单调递增, .
令 ,
在 单调递减, ,即 ;
又 ,
.
故选: A.
9. ABD
因为 ,且 ,
对于 ,所以 ,
当且仅当 时,等号成立,故 正确;
对于 ,由已知得 ,所以 ,所以 ,故 正确; 对于 ,当且仅当 时,等号成立,故 错误;
对于 ,则 ,
当且仅当 时,等号成立,故 正确,
10.
对 A，因为 ，所以
当 时， ， 分别为 ， 的中点，所以 也是 的中点.
过 作 于 ,连接 ,则 ,所以 .
因为 ,所以直线 与直线 的夹角等于直线 与直线 的夹角,即 .
又因为 ,所以 ,故 A 正确.
对 ,过 作 于 ,
因为平面 平面 ,平面 平面 平面 ,
所以 平面 ,即三棱锥 的高为 ,
又 ,
所以三棱锥 体积
, 当 时， ，故 B 正确.
对 ,当 时, 是 的中点,所以 也是 的中点.
因为 是 的中点,所以 .
又 平面 平面 ,所以 平面 ,故 正确.
对 ,当 时, ,故 为 的中点,
又 为 的中点,所以 ,
所以 到 的距离都为 1,
即三棱锥 外接球的球心为 ,球半径为 1,所以外接球表面积 ,故 D 错误.
11. ACD
由题可得 . 设 方程为: ,将直线与抛物线方程联立: ,消去 得: .
由题: ,又由韦达定理知: .
A 选项,由题可得 或 ,则 ,故 A 正确;
B 选项，由抛物线定义可知: ，
则 ，
得 . 故 B 错误;
选项，如图，过 作准线垂线，垂足为 ，因 ，则 ， 又 ,则 . 故 正确.
选项 D,方法 1: 如图,过 作 轴垂线,垂足为 .
则 ,
又 ,所以 .
注意到: ,
则 .
则 ,即存在 满足题意,故 D 正确;
方法 2: 设 关于 轴的对称点为 ,则 . 注意到:
,则 三点共线,
所以 ，其余同方法 1 ；
方法 3: 若 平分 ,则由角平分线定理可得 ,
所以 ,又 .
即 ,下同方法 1 ;
方法 4: 只需 ,即 ,
注意到 ,则
,解得
或 3 (舍去), 后同方法 1.
故选: ACD
12.
由 及正弦定理可得 ,又 ,
所以 ,
由 知 ，故 ，所以 ，即 ，
所以 ,
所以 .
13.
由 ,得 ,
因为 在 上无极值点,
所以 在 内单调,
因为当 时, ,
所以 在 恒成立,
即 ,
令 ,则 ,
当 时, ,当 时, ,
所以 在 上递减,在 上递增,
所以 ,
所以 ,
即 的取值范围为 ,
故答案为:
14. 510
方法一: 由题设 0 在凹数的谷底, 且左右两侧的数均比零大,
先选择 0 左侧元素, 余下元素放在右侧,
故共有 个数;
方法二: 每个数字可能在 0 的左侧或 0 的右侧两种可能,
去掉全部在 0 的左侧和全部在 0 的右侧两种情况,共 个数.
15. (1)
( 2 )极小值为 ，没有极大值
(1) 时, ,
所以 ,
所以曲线 在点 处的切线方程为 .
(2)因为 为增函数,令 ，解得 ，
在 上符号为负,在 上符号为正增,
所以 在 上单调递减,在 上单调递增,
所以 有极小值为 ,没有极大值.
16.(1)取 中点 ，连接 ，如图，
又 为 的中点，
,由 ,则 ,
又 为等腰直角三角形， ， ，
，又 ， 平面 ，
平面 ,又 平面 ,
.
(2) 平面 平面 ,平面 平面 平面 ,
平面 平面 ,故 ,
故以 为原点， 为 、 、 轴正方向的空间直角坐标系,设 ，
,
则 ,
若存在 使得平面 平面 ,且 ,
则 ,解得 ,
则 ,
设 为平面 的一个法向量,则 ,
令 ,即 ,
设 是平面 的一个法向量,则 ,
令 ,则 ,
,可得 .
存在 使得平面 平面 ,此时 .
17(1) 数列 的前 项和为 ①,
当 时,解得 .
当 时, ②
①-② 得 ，
整理得 (常数),
所以数列 是以 1 为首项 2 为公比的等比数列.
(2) 由 (1) 得 ，解得 .
公差 不为 0 的等差数列 满足 ,
解得 ,
解得 或 0 (舍去),
所以 ,
则 ,
所以 ①
①-② 得 ，
所以 ,
整理得 ,
故 .
18.
( 2 )期望为 ， 的概率分布为:
-1 0 1
1 6 1 3
(3) .
(1)记无障碍时红方、蓝方发射炮弹攻击对方目标击中分别为事件 ,
红方、蓝方空中拦截对方炮弹成功分别为事件 .
(2)经过 1 轮对抗，红方与蓝方击中对方目标数之差 的可能取值为 .
的概率分布为:
-1 0 1
1 6 1 2 1 3
所以 的数学期望 .
(3)记3轮对抗后训练结束为事件 ，记红方比蓝方多击中对方目标两次为事件 . 记 3 轮对抗后红方与蓝方击中对方目标次数之差为 ,
所以 ,
所以 .
所以在 3 轮对抗后训练结束的条件下,红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为 .
19. (1) 由题意得,所以 ,
又因为双曲线过点 ,代入解得 ,
所以双曲线 的方程为 .
(2) ，所以 ， ， ，
设 ,
联立 得 ,
因为直线 与右支交于两点,故 .
设 ,所以 ,
故 ,
且 ,
所以 ,
因为 ,所以 ,
代入得 ,
故 ,所以 点在定直线 上.
(3)由(2)知 ，故 ， 而 ,所以 , ,
所以 的中点 ,
又
所以 ,即 ,
所以点 在以 为直径的圆上,
另一方面 ,故直线 的方向向量为 ,
而 的方程为 ,故其方向向量为 ,
因 ,所以两个方向向量垂直,故 ,
所以以 为直径的圆与直线 相切于 点.
时量:120 分钟 满分:150 分
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，若 中有且仅有一个元素，则实数 的取值范围为( )
A. B.
C. D.
2. 若复数 满足 ，则 的虚部为( )
A. B. C. D.
3. 已知点 ， ，直线 与线段 有公共点，则实数 的取值范围为( )
A. B.
C. D.
4. 设函数 在定义域内可导, 图象如下图所示,则导函数 的图象可能是
A.
B.
C.
D.
5. 设 是等差数列 的前 项和, 是数列 的前 项和. 若 ,则 等于( )
A. 49 B. 50 C. 51 D. 52
6. 记函数 的最小正周期为 . 若 ,且 的图象关于点 中心对称,则 ( )
A. 1 B. C. D. 3
7. 甲、乙、丙、丁、戊 5 位同学报名参加学校举办的三项不同活动，每人只能报其中一项活动, 每项活动至少有一个人参加, 则甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同的概率为 ( )
A. B. C. D.
8. 已知 (e 为自然对数的底数),则( )
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知 ,且 ,则()
A. B.
C. D.
10. 如图,在棱长为 2 的正方体 中, 分别是线段 上的动点 (不含端点),且 ,则下列结论正确的是 ( )
A. 若 ，则直线 与直线 的夹角为
B. 三棱锥 体积的最大值为
C. 存在 ，使得 平面
D. 若 ,则三棱锥 外接球的表面积为
11. 已知抛物线 的焦点为 ，准线交 轴于点 ，直线 过 且交 于不同的 两点,且 ,下列命题正确的有( )
A. 直线 的斜率
B. 若 ,则
C. 若 ,则
D. 存在 使得 平分
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 在 中, 分别为内角 所对的边, ,且 ，则 的面积为_____.
13. 若函数 在 上无极值点，则 的取值范围为_____.
14. 像 87125 这样各个数位上的数字依次先减少再增加的数称为“凹数”，现用 这 10 个数字, 每个数字只用一次, 组成的十位数, 能组成_____个凹数.
四、解答题:本题共 5 小题, 第 15 题 13 分, 第 16, 17 题 15 分, 第 18, 19 题 17 分, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知定义在 上的函数
(1)若 ,求出曲线 在点 处的切线方程; (2)求 的极值.
16. 平面上两个等腰直角 和 ， 既是 的斜边又是 的直角边，沿 边折叠使得平面 平面 ， 为斜边 的中点.
(1)求证: ；
(2)在线段 上是否存在点 ，使得平面 平面 若存在，求出 的值；若不存在, 说明理由.
17. 已知数列 的前 项和为 ,公差不为 0 的等差数列 满足
(1)证明:数列 为等比数列.
(2)记 ，求数列 的前 项和 .
18. 已知无障碍时红方、蓝方发射炮弹攻击对方目标击中的概率均为 ，红方、蓝方空中拦截对方炮弹成功的概率分别为 ,现红方、蓝方进行模拟对抗训练,每次由一方先发射一枚炮弹攻击对方目标，另一方再进行空中拦截，轮流进行，各攻击对方目标一次为 1 轮对抗.经过数轮对抗后, 当一方比另一方多击中对方目标两次时, 训练结束.假定各轮结果相互独立. 记在 1 轮对抗中,红方击中蓝方目标为事件 ,蓝方击中红方目标为事件 .
(1)求概率 、 ；
(2)设随机变量 表示经过 1 轮对抗后红方与蓝方击中对方目标次数之差，求 的分布列和数学期望;
(3)求恰好经过 3 轮对抗后训练结束的条件下，红方多击中蓝方目标两次的概率.
19. 双曲线 的实轴长为 ,且过点 ,双曲线的左、右顶点分别为
,右焦点为 ,过 的直线 交双曲线右支于 两点,设直线 交于点 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)证明:点 在定直线 上；
(3)连接 交直线 于点 ，证明:以 为直径的圆与直线 相切.
1. B
因为 ,要使得 中有且仅有一个元素,则 或 ,即实数 的取值范围为 .
故选: B.
2. C
若复数 满足 ,
则 ,
故复数 的虚部为 .
3. C
如图
由题意知直线 过定点 ,
易求 的斜率 ,
的斜率 ,
直线 的斜率 ,
所以 或 ,
即 或
故选: C.
4. D
由图像可知,函数 在 上是减函数,此时 ,故排除 ; 当 时,函数 的图象是先增,再减,最后再增,
所以 的值是先正,再负,最后是正,因此排除 ,
故选: D.
5. C
设等差数列 的公差为 ,
因为 ,可得 ,解得 ,
所以 ,所以 ,
所以 .
故答案为: C.
6. A
由函数的最小正周期 满足 ,得 ,解得 ,
又因为函数图象关于点 对称,所以 ,且 ,
所以 ,所以 ,
所以 .
故选: A
7. C
先将 5 名志愿者分成 3 组, 第一类分法是 3, 1, 1, 第二类分法是 2, 2, 1, 再分配到三项活动中,总方法数为 ,
因甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同, 故只需先把甲, 乙, 丙三人在三项活动上安排好, 再让丁, 戊两人分别在三项活动中选择,
其方法数为 . 故甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同的概率为 . 故选:C.
8. A
对 两边取对数, , 而 在 上单调递增, .
令 ,
在 单调递减, ,即 ;
又 ,
.
故选: A.
9. ABD
因为 ,且 ,
对于 ,所以 ,
当且仅当 时,等号成立,故 正确;
对于 ,由已知得 ,所以 ,所以 ,故 正确; 对于 ,当且仅当 时,等号成立,故 错误;
对于 ,则 ,
当且仅当 时,等号成立,故 正确,
10.
对 A，因为 ，所以
当 时， ， 分别为 ， 的中点，所以 也是 的中点.
过 作 于 ,连接 ,则 ,所以 .
因为 ,所以直线 与直线 的夹角等于直线 与直线 的夹角,即 .
又因为 ,所以 ,故 A 正确.
对 ,过 作 于 ,
因为平面 平面 ,平面 平面 平面 ,
所以 平面 ,即三棱锥 的高为 ,
又 ,
所以三棱锥 体积
, 当 时， ，故 B 正确.
对 ,当 时, 是 的中点,所以 也是 的中点.
因为 是 的中点,所以 .
又 平面 平面 ,所以 平面 ,故 正确.
对 ,当 时, ,故 为 的中点,
又 为 的中点,所以 ,
所以 到 的距离都为 1,
即三棱锥 外接球的球心为 ,球半径为 1,所以外接球表面积 ,故 D 错误.
11. ACD
由题可得 . 设 方程为: ,将直线与抛物线方程联立: ,消去 得: .
由题: ,又由韦达定理知: .
A 选项,由题可得 或 ,则 ,故 A 正确;
B 选项，由抛物线定义可知: ，
则 ，
得 . 故 B 错误;
选项，如图，过 作准线垂线，垂足为 ，因 ，则 ， 又 ,则 . 故 正确.
选项 D,方法 1: 如图,过 作 轴垂线,垂足为 .
则 ,
又 ,所以 .
注意到: ,
则 .
则 ,即存在 满足题意,故 D 正确;
方法 2: 设 关于 轴的对称点为 ,则 . 注意到:
,则 三点共线,
所以 ，其余同方法 1 ；
方法 3: 若 平分 ,则由角平分线定理可得 ,
所以 ,又 .
即 ,下同方法 1 ;
方法 4: 只需 ,即 ,
注意到 ,则
,解得
或 3 (舍去), 后同方法 1.
故选: ACD
12.
由 及正弦定理可得 ,又 ,
所以 ,
由 知 ，故 ，所以 ，即 ，
所以 ,
所以 .
13.
由 ,得 ,
因为 在 上无极值点,
所以 在 内单调,
因为当 时, ,
所以 在 恒成立,
即 ,
令 ,则 ,
当 时, ,当 时, ,
所以 在 上递减,在 上递增,
所以 ,
所以 ,
即 的取值范围为 ,
故答案为:
14. 510
方法一: 由题设 0 在凹数的谷底, 且左右两侧的数均比零大,
先选择 0 左侧元素, 余下元素放在右侧,
故共有 个数;
方法二: 每个数字可能在 0 的左侧或 0 的右侧两种可能,
去掉全部在 0 的左侧和全部在 0 的右侧两种情况,共 个数.
15. (1)
( 2 )极小值为 ，没有极大值
(1) 时, ,
所以 ,
所以曲线 在点 处的切线方程为 .
(2)因为 为增函数,令 ，解得 ，
在 上符号为负,在 上符号为正增,
所以 在 上单调递减,在 上单调递增,
所以 有极小值为 ,没有极大值.
16.(1)取 中点 ，连接 ，如图，
又 为 的中点，
,由 ,则 ,
又 为等腰直角三角形， ， ，
，又 ， 平面 ，
平面 ,又 平面 ,
.
(2) 平面 平面 ,平面 平面 平面 ,
平面 平面 ,故 ,
故以 为原点， 为 、 、 轴正方向的空间直角坐标系,设 ，
,
则 ,
若存在 使得平面 平面 ,且 ,
则 ,解得 ,
则 ,
设 为平面 的一个法向量,则 ,
令 ,即 ,
设 是平面 的一个法向量,则 ,
令 ,则 ,
,可得 .
存在 使得平面 平面 ,此时 .
17(1) 数列 的前 项和为 ①,
当 时,解得 .
当 时, ②
①-② 得 ，
整理得 (常数),
所以数列 是以 1 为首项 2 为公比的等比数列.
(2) 由 (1) 得 ，解得 .
公差 不为 0 的等差数列 满足 ,
解得 ,
解得 或 0 (舍去),
所以 ,
则 ,
所以 ①
①-② 得 ，
所以 ,
整理得 ,
故 .
18.
( 2 )期望为 ， 的概率分布为:
-1 0 1
1 6 1 3
(3) .
(1)记无障碍时红方、蓝方发射炮弹攻击对方目标击中分别为事件 ,
红方、蓝方空中拦截对方炮弹成功分别为事件 .
(2)经过 1 轮对抗，红方与蓝方击中对方目标数之差 的可能取值为 .
的概率分布为:
-1 0 1
1 6 1 2 1 3
所以 的数学期望 .
(3)记3轮对抗后训练结束为事件 ，记红方比蓝方多击中对方目标两次为事件 . 记 3 轮对抗后红方与蓝方击中对方目标次数之差为 ,
所以 ,
所以 .
所以在 3 轮对抗后训练结束的条件下,红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为 .
19. (1) 由题意得,所以 ,
又因为双曲线过点 ,代入解得 ,
所以双曲线 的方程为 .
(2) ，所以 ， ， ，
设 ,
联立 得 ,
因为直线 与右支交于两点,故 .
设 ,所以 ,
故 ,
且 ,
所以 ,
因为 ,所以 ,
代入得 ,
故 ,所以 点在定直线 上.
(3)由(2)知 ，故 ， 而 ,所以 , ,
所以 的中点 ,
又
所以 ,即 ,
所以点 在以 为直径的圆上,
另一方面 ,故直线 的方向向量为 ,
而 的方程为 ,故其方向向量为 ,
因 ,所以两个方向向量垂直,故 ,
所以以 为直径的圆与直线 相切于 点.
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