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高频考点专练16 相交线与平行线
（3个知识点+5个题型+1个专练+验收卷）
1、邻补角与对顶角
邻补角：有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角，叫做互为邻补角．
对顶角：有一个公共顶点，一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角．
对顶角相等．
2、垂线
（1）定义：两直线相交所构成的四个角中有一个角是直角时，我们就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另外一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
（2）性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
（3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
3、同位角、内错角、同旁内角
如图，∠1和∠4是同位角，∠3和∠4是内错角，∠2和∠4是同旁内角．
4、平行线
（1）定义：在平面内不相交的两条直线叫做平行线．
（2）平行公理
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
（3）平行线的性质
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；
两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；
两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．
（4）平行线的判定
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
类型1 相交线及其所成的角
【例题】
1．（2024·广东·模拟预测）如图，直线，相交于点O．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式】
2．（2024·广东·模拟预测）如图，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·广东佛山·一模）两条直线被第三条直线所截，形成了常说的“三线八角”，为了便于记忆，同学们可用双手表示“三线八角”（两大拇指代表被截直线，两只食指在同一直线上代表截线），如图，它们构成的一对角可以看成（ ）
A．同位角 B．同旁内角 C．内错角 D．对顶角
4．（25-26七年级上·广东深圳·期末）如图，已知三点在同一直线上，若平分，则___________°．
5．（2025·广东深圳·三模）如图，小轩的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜反射的原理找到了乒乓球的位置．已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为___________度．（备注：入射角等于反射角）
类型2 平行线及其判定
【例题】
6．（2025·广东广州·二模）下列图形中，由，能得到的是（ ）．
A． B．
C． D．
【变式】
7．（2023·广东·模拟预测）画直线时要按住尺身，推移丁字尺时必须使尺头靠紧图画板的边框．请你说明：利用丁字尺画平行线的理论依据是（ ）
A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等
8．（24-25七年级下·吉林四平·月考）如图，将生活中的竹篱笆局部抽象成几何图形，下列条件中能判断直线的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（24-25七年级上·吉林长春·期末）利用下列尺规作图中，不一定能判定直线平行于直线的是（ ）
A． B． C．D．
10．（23-24七年级下·四川成都·期末）利用如图所示的方法（图下方的①，②，③，④表示折的顺序），可以折出“过已知直线外一点和已知直线平行”的直线．关于其中的原理，下列说法错误的是（ ）
A．对顶角相等 B．同位角相等，两直线平行
C．内错角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行
类型3 平行线的性质定理
【例题】
11．（2024·广东·模拟预测）如图，已知直线，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式】
12．（2025·广东广州·一模）如图，已知直线，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
13．（2024·广东·模拟预测）如图，在中，，顶点A，C分别在直线m，n上．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
14．（2025·广东深圳·三模）将一块直角三角尺按如图方式放置，，两点分别落在直线上，若，，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
类型4 平行线性质的应用
【例题】
15．（25-26八年级上·广东深圳·期末）五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，和是五线谱上的两条线段，点在，之间的一条平行线上，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式】
16．（2025·广东清远·二模）杆秤是中国文化瑰宝，体现社会主义价值观中的“诚信”，在购物时，大家都喜欢商家“翘高高”称物．如图，此时，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
17．（2024·广东·中考真题）如图，一把直尺、两个含的三角尺拼接在一起，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
18．（2024·广东·模拟预测）如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上一点P．若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
19．（2025·广东深圳·中考真题）如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜后反射入眼，若，，，则入射角的度数为（ ）
A． B． C． D．
20．（2024·广东深圳·二模）某一时刻在阳光照射下，广场上的护栏及其影子如图1所示，将护栏拐角处在地面上的部分影子抽象成图2，已知，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
21．（2025·广东东莞·模拟预测）如图是某种单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点C在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
类型5 平行线的判定与性质
【例题】
22．（2024·广东江门·一模）如图，已知，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式】
23．（2026·广东中山·模拟预测）如图，直线，直线与相交于点，平分线交于点Q．若，则度数为（ ）
A． B． C． D．
24．（2025·广东深圳·二模）随着科技的进步和人工智能技术的成熟，仿生机器狗有望成为人们生活中的重要伙伴．如图所示，仿生机器狗平稳站立时，，，，此时的度数为（ ）
A． B． C． D．
25．（2023·广东深圳·模拟预测）“绿水青山，就是金山银山”在两个景区之间建立的一段观光索道如图所示，索道支撑架均为互相平行，且每两个支撑架之间的索道均是直的，若，，则（ ）
A． B． C． D．
26．（2023七年级下·全国·专题练习）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角，第二次拐的角，第三次拐的角是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则是（ ）
A． B． C． D．
27．（23-24七年级下·广东深圳·期中）中华武术，博大精深．小明把如图1所示的武术动作抽象成数学问题．如图2，已知，，则的度数是（ ）
B． C． D．
满分：70分 得分：_____
一、单选题（每题3分，共36分）
1．（2025·甘肃·中考真题）如图1，三根木条a，b，c相交成，，固定木条b，c，将木条a绕点A顺时针转动至如图2所示，使木条a与木条b平行，则可将木条a旋转（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·江苏常州·中考真题）如图，将两块相同的直角三角尺按图示摆放，则与平行．这一判断过程体现的数学依据是（ ）
A．垂线段最短
B．内错角相等，两直线平行
C．两点确定一条直线
D．平行于同一条直线的两条直线平行
3．（2025·广西·中考真题）在跳远比赛中，某同学从点C处起跳后，在沙池留下的脚印如图所示，测量线段的长度作为他此次跳远成绩（最近着地点到起跳线的最短距离），依据的数学原理是（ ）
A．垂线段最短 B．两点确定一条直线
C．两点之间，线段最短 D．两直线平行，内错角相等
4．（2025·河北·中考真题）榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图，其中，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·福建·中考真题）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·广东深圳·中考真题）如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜后反射入眼，若，，，则入射角的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·海南·中考真题）将一副三角尺平放在桌面上，如图所示．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，直线截直线b、c所得的一对同位角是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
9．（2025·四川自贡·中考真题）如图，一束平行光线穿过一张对边平行的纸板，若、则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·河南·中考真题）如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为（ ）
A． B． C． D．
11．（2025·陕西·中考真题）如图，点在直线上，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
12．（2025·山东东营·中考真题）2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间．抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共12分）
13．（2025·湖南·中考真题）如图，一条排水管连续两次转弯后又回到与原来相同的方向，若第一次转弯时，则 ．
14．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在一个弯形管道中，已知拐角，管道，则 ．
15．（2025·江苏常州·中考真题）如图，，，，则 ．
16．（2025·江苏扬州·中考真题）如图1，棱长为的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度．将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，则 ．
三、解答题（共22分）
17．（2025·宁夏·中考真题,8分）如图，在的方格中，每个小正方形边长均为1个单位长度．的顶点、点和点都在格点上．仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法．
(1)过点作的垂线段；
(2)过点作的平行线．
18．（2025·甘肃兰州·中考真题,14分）“三等分角”是两千多年来数学史上最著名的古典四大问题之一，阿基米德等数学家通过巧妙的几何作图得到了解决“三等分角”问题的特例方法．某数学兴趣小组通过折纸与尺规作图相结合的方法探究“三等分锐角”问题的解法，解决过程如下：
操作步骤与演示图形
如图①，已知一个由正方形纸片的边PK与经过顶点P的直线构成的锐角．按照以下步骤进行操作：任意折出一条水平折痕，与纸片左边交点为Q；再折叠将PK与重合得到折痕，与纸片左边交点为N，如图②．→折叠使点Q，P分别落在和上，得到折痕m，对应点为，，m交于M，如图③④．→保持纸片折叠，再沿MN折叠，得到折痕的一部分，如图⑤．→将纸片展开，再沿折叠得到经过点P的完整折痕，如图⑥．→将纸片折叠使边PK与重合，折痕为．则直线和就是锐角的三等分线，如用⑦⑧．
解决问题 （1）请依据操作步骤与演示图形，通过尺规作图完成以下两个作图任务：（保留作图痕迹．不写作法）任务一：在图③中，利用已给定的点作出点；任务二：在图⑥中作出折痕．（2）若锐角为，则图⑤中与相交所成的锐角是__________．
相交线与平行线验收卷
满分：90分 得分：_____
一、单选题（每题3分，共36分）
1．如图是一把剪刀的示意图，我们可想象成一个相交线模型，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，过点P作直线的平行线，可作的平行线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条
3．如图，在直线中，可能与直线平行的是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
4．如图，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，将一副直角三角板平放在桌面上，点F在上，当时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，O是量角器的中心，直尺的一边与量角器的零刻度线重合，与相交于点P．若量角器上显示的读数为，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，直线l//m，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1=25°，则∠2的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
8．要得知作业纸上两相交直线AB，CD所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．两同学提供了如下间接测量方案（如图1和图2）：对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（ ）
A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行
C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行
9．如图，将一张长方形纸片进行折叠，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，直线、交于点，，如果，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
11．如图是篱笆围栏抽象出几何图形的一部分，则下列条件中能判断直线的是（ ）
A． B． C． D．
12．如图是综合实践活动小组同学们为学校配电房绘制的一张“有电危险”标志牌．给该标志牌的端点标上字母、若点在一条直线上，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
13．如图，小明从A处出发，沿北偏东方向行走至处，又沿北偏西方向行走至处，此时需把方向调整至，才能与出发时的方向一致，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
14．如图，一个物块静止在斜面上，其支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行，重力的方向竖直向下．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ）
A． B． C． D．
15．如图，在一个建筑工地有两根平行的钢梁和，它们分别固定在建筑物的不同位置，用于支撑结构．工人师傅需要在钢梁上安装两根互相垂直的支架，，以确保钢梁的稳定性和安全性．经测量发现，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共45分）
16．已知与为对顶角，，则 °．
17．一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知，则的度数为 ．
18．如图，直线分别与直线，相交，，若，则的度数为 ．
19．如图，一条公路经两次转弯后，方向未变．第一次的拐角是，第二次的拐角是 °．
20．如图，，则 度．
21．如图，已知在中，，，直线经过直角顶点，直线与边相交于点，且．若，则 ．
22．某些灯具的设计原理与抛物线有关．如图，从点照射到抛物线上的光线，等反射后都沿着与平行的方向射出．若，，则
．
23．如图，将沿直线方向平移到的位置（点A、B、C的对应点分别是点、、），延长、相交于点D．若，则的度数为
．
24．如图，在中，点在直线上，点、在直线上，，动点从点出发沿直线以的速度向右运动，设运动时间为．在点运动过程中，的面积随着的增大而 .（填“增大”、“保持不变”或“减小”）
25．如图，，，．则 ．
26．用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则∠2的度数为 ．
27．如图，，平分．若，则的度数为 ．
28．将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已，点，表示的刻度分别为，则线段的长为 cm．
29．为方便市民绿色出行，我市推出了共享单车服务、图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中、都与地面平行，，，当 时，．
30．如图，将的按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重合，与尺下沿重合，与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为，若按相同的方式将的放置在该刻度尺上，则与尺上沿的交点C在尺上的读数为
．
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高频考点专练16 相交线与平行线
（3个知识点+5个题型+1个专练+验收卷）
1、邻补角与对顶角
邻补角：有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角，叫做互为邻补角．
对顶角：有一个公共顶点，一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角．
对顶角相等．
2、垂线
（1）定义：两直线相交所构成的四个角中有一个角是直角时，我们就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另外一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
（2）性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
（3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
3、同位角、内错角、同旁内角
如图，∠1和∠4是同位角，∠3和∠4是内错角，∠2和∠4是同旁内角．
4、平行线
（1）定义：在平面内不相交的两条直线叫做平行线．
（2）平行公理
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
（3）平行线的性质
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；
两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；
两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．
（4）平行线的判定
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
类型1 相交线及其所成的角
【例题】
1．（2024·广东·模拟预测）如图，直线，相交于点O．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了对顶角相等，熟练掌握对顶角的性质，是解题的关键．
根据对顶角相等，得出即可．
【详解】解：∵直线，相交于点O，，
∴，
故选：B．
【变式】
2．（2024·广东·模拟预测）如图，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了邻补角，根据邻补角互补求解即可．
【详解】解：∵，
∴．
故选：B．
3．（2024·广东佛山·一模）两条直线被第三条直线所截，形成了常说的“三线八角”，为了便于记忆，同学们可用双手表示“三线八角”（两大拇指代表被截直线，两只食指在同一直线上代表截线），如图，它们构成的一对角可以看成（ ）
A．同位角 B．同旁内角 C．内错角 D．对顶角
【答案】A
【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的识别，两条线a、b被第三条直线c所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称为同位角；两个角分别在截线的异侧，且夹在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角；两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角，据此作答即可．
【详解】解：根据同位角、内错角、同旁内角的概念，
可知它们构成的一对角可以看成是同位角，
故选：A．
4．（25-26七年级上·广东深圳·期末）如图，已知三点在同一直线上，若平分，则___________°．
【答案】60
【分析】此题考查了邻补角定义，角平分线的定义，求几何图形中角的度数，正确理解邻补角定义是解题的关键．
根据邻补角定义，角平分线定义进行推理论证即可．
【详解】解：∵三点在同一直线上，
，
，
，
平分，
，
故答案为：60．
5．（2025·广东深圳·三模）如图，小轩的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜反射的原理找到了乒乓球的位置．已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为___________度．（备注：入射角等于反射角）
【答案】27
【分析】本题考查了求一个角的余角与补角、垂直、对顶角相等，熟练掌握求一个角的余角与补角的方法是解题关键．先求出，再求出，根据垂直的定义可得，从而可得，最后根据对顶角相等即可得．
【详解】解：∵，
∴，
∵入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，
∴，
∵，
∴，
∴，
由对顶角相等得：，
故答案为：
类型2 平行线及其判定
【例题】
6．（2025·广东广州·二模）下列图形中，由，能得到的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查平行线的判定，掌握平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线的判定方法逐一分析判断即可．
【详解】解：A、由得到，不符合题意；
B、由不能确定直线平行，不符合题意；
C、如图，由，得到，即可根据同位角相等，两直线平行得到，符合题意；
D、由不能判定两直线平行，不符合题意；
故选：C．
【变式】
7．（2023·广东·模拟预测）画直线时要按住尺身，推移丁字尺时必须使尺头靠紧图画板的边框．请你说明：利用丁字尺画平行线的理论依据是（ ）
A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理即可判断求解，掌握平行线的判定定理是解题的关键．
【详解】解：由题意可知，按住尺身，使尺头靠紧图画板的边框推移丁字尺是为了使同位角相等，
∴利用丁字尺画平行线的理论依据是：同位角相等，两直线平行，
故选：．
8．（24-25七年级下·吉林四平·月考）如图，将生活中的竹篱笆局部抽象成几何图形，下列条件中能判断直线的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的判定．利用内错角相等，两直线平行判定D选项符合题意．
【详解】解：由或或都不能判定直线；
只有时，利用内错角相等，两直线平行能判定直线．
故选：D．
9．（24-25七年级上·吉林长春·期末）利用下列尺规作图中，不一定能判定直线平行于直线的是（ ）
A． B． C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了尺规作图，平行线的判定．根据作图痕迹，结合平行线的判定方法逐项分析即可．
【详解】解：A、根据同位角相等，两直线平行，可判定直线平行于直线，故不符合题意；
B、根据内错角相等，两直线平行，可判定直线平行于直线，故不符合题意；
C、根据同旁内角相等，不能判定直线平行于直线，故符合题意；
D、根据对顶角相等和同位角相等，两直线平行，可判定直线平行于直线，故不符合题意；
故选：C．
10．（23-24七年级下·四川成都·期末）利用如图所示的方法（图下方的①，②，③，④表示折的顺序），可以折出“过已知直线外一点和已知直线平行”的直线．关于其中的原理，下列说法错误的是（ ）
A．对顶角相等 B．同位角相等，两直线平行
C．内错角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行
【答案】A
【分析】本题考查了折叠问题，平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．先根据折叠的性质得到折痕都垂直于过点的直线，根据平行线的判定方法求解．
【详解】解：如图，
由题图（2）的操作可知，
所以，
由题图（3）的操作可知，
所以，
所以，
所以可依据同位角相等，两直线平行或内错角相等，两直线平行，或同旁内角互补，两直线平行判定，
故选：A．
类型3 平行线的性质定理
【例题】
11．（2024·广东·模拟预测）如图，已知直线，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，邻补角，掌握平行线的性质是解题关键．由两直线平行，同位角相等，得到，再结合邻补角求解即可．
【详解】解：直线，，
，
，
故选：B．
【变式】
12．（2025·广东广州·一模）如图，已知直线，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查平行线的性质和邻补角的性质，根据平行线的性质和，可得，再根据，即可求出的度数．解题的关键是掌握平行线的性质，也考查了对顶角相等．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即的大小为为．
故选：D．
13．（2024·广东·模拟预测）如图，在中，，顶点A，C分别在直线m，n上．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查平行线的性质，由平行线的性质可得，则可求的度数，利用平角的定义即可求的度数．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
14．（2025·广东深圳·三模）将一块直角三角尺按如图方式放置，，两点分别落在直线上，若，，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
由题意得到，根据平行线的性质得到，即可得到答案．
【详解】解：，，
，
，
，
故选：B．
类型4 平行线性质的应用
【例题】
15．（25-26八年级上·广东深圳·期末）五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，和是五线谱上的两条线段，点在，之间的一条平行线上，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补，求出，根据两直线平行，内错角相等，求出，根据角之间的位置关系求出结果即可．
【详解】解：如下图所示，
，
，
，
，
，，
，
．
故选：A．
【变式】
16．（2025·广东清远·二模）杆秤是中国文化瑰宝，体现社会主义价值观中的“诚信”，在购物时，大家都喜欢商家“翘高高”称物．如图，此时，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等求出的度数，然后根据邻补角的定义解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：B．
17．（2024·广东·中考真题）如图，一把直尺、两个含的三角尺拼接在一起，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质．熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
由题意知，，根据，求解作答即可．
【详解】解：由题意知，，
∴，
故选：C．
18．（2024·广东·模拟预测）如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上一点P．若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是邻补角的定义，平行线的性质，先利用邻补角的含义求解，，再结合平行线的性质可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
故选C．
19．（2025·广东深圳·中考真题）如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜后反射入眼，若，，，则入射角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查利用平行线的性质求角的度数，结合图形求解是解题关键．
根据平行线的性质得出，结合图形即可求解．
【详解】解：∵
∴，
∵，
∴，
故选：B．
20．（2024·广东深圳·二模）某一时刻在阳光照射下，广场上的护栏及其影子如图1所示，将护栏拐角处在地面上的部分影子抽象成图2，已知，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平行投影，熟练掌握平行投影的性质是解题的关键．根据平行线的性质及角的和差即可求得．
【详解】解：∵某一时刻在阳光照射下，，且，，
∴，，
∴．
故选：B．
21．（2025·广东东莞·模拟预测）如图是某种单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点C在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了应用平行线的性质求角度，先根据“两直线平行，内错角相等”求出，进而求出，然后根据“两直线平行，内错角相等”得出答案．
【详解】解：∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
故选：B．
类型5 平行线的判定与性质
【例题】
22．（2024·广东江门·一模）如图，已知，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查平行线的判定与性质，邻补角的定义，根据，得到，即可得到，由，利用邻补角的定义即可求解．
【详解】解：如图，
，
，
，
，
，
故选：A．
【变式】
23．（2026·广东中山·模拟预测）如图，直线，直线与相交于点，平分线交于点Q．若，则度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行线的性质可知的度数，根据角平分线的性质可知，最后由平行线的性质可求解．
本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，掌握基本概念是解题关键．
【详解】解：，
∴，
∵，
，
平分，
∴，
，
故选：C．
24．（2025·广东深圳·二模）随着科技的进步和人工智能技术的成熟，仿生机器狗有望成为人们生活中的重要伙伴．如图所示，仿生机器狗平稳站立时，，，，此时的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查平行线的性质，过E作，得到，推出，即可求出的度数．
【详解】解：过E作，
∵，
∴，
∴，，
，
∴，
∵，，
∴．
故选：C．
25．（2023·广东深圳·模拟预测）“绿水青山，就是金山银山”在两个景区之间建立的一段观光索道如图所示，索道支撑架均为互相平行，且每两个支撑架之间的索道均是直的，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，
作，可得，由平行线的性质得，则此题可解．
【详解】解：过点B作，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
26．（2023七年级下·全国·专题练习）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角，第二次拐的角，第三次拐的角是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了平行线的性质与判定．首先根据题意作辅助线：过点作，即可得，则可求得：，，进而可得的值．
【详解】解：过点作，
，
，
，，
，，
，
，
故选：D．
27．（23-24七年级下·广东深圳·期中）中华武术，博大精深．小明把如图1所示的武术动作抽象成数学问题．如图2，已知，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是正确作出辅助线、构造平行线成为解题的关键．
过点E、F分别作的平行线，由平行线的性质得到，分别求出、，最后根据角的和差即可解答．
【详解】解：过点E、F分别作的平行线，
∵，，
∴，
，
∴，
∴
∴，
∴.
故选：B.
满分：70分 得分：_____
一、单选题（每题3分，共36分）
1．（2025·甘肃·中考真题）如图1，三根木条a，b，c相交成，，固定木条b，c，将木条a绕点A顺时针转动至如图2所示，使木条a与木条b平行，则可将木条a旋转（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，根据两直线平行同位角相等，求出旋转后的度数，然后用旋转前的度数减去旋转后的度数即可得到木条旋转的度数．根据平行线的性质求出旋转后的度数是解题的关键．
【详解】解：如图2所示，
，
旋转后的，
要使木条与平行，木条绕点顺时针旋转的度数可以是．
故选：A．
2．（2025·江苏常州·中考真题）如图，将两块相同的直角三角尺按图示摆放，则与平行．这一判断过程体现的数学依据是（ ）
A．垂线段最短
B．内错角相等，两直线平行
C．两点确定一条直线
D．平行于同一条直线的两条直线平行
【答案】B
【分析】此题考查了平行线的判定，熟练掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键．根据内错角相等，两直线平行直接得到答案．
【详解】解：由题意得，
根据内错角相等，两直线平行可得．
故选：B．
3．（2025·广西·中考真题）在跳远比赛中，某同学从点C处起跳后，在沙池留下的脚印如图所示，测量线段的长度作为他此次跳远成绩（最近着地点到起跳线的最短距离），依据的数学原理是（ ）
A．垂线段最短 B．两点确定一条直线
C．两点之间，线段最短 D．两直线平行，内错角相等
【答案】A
【分析】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短，进行判断即可．
【详解】解：测量线段的长度作为他此次跳远成绩（最近着地点到起跳线的最短距离），依据的数学原理是垂线段最短．
故选：A
4．（2025·河北·中考真题）榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图，其中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质可得，结合题意，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
5．（2025·福建·中考真题）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，根据平行线的性质得到，再根据三角形的外角的性质，进行求解即可．熟练掌握相关性质，是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
故选：B．
6．（2025·广东深圳·中考真题）如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜后反射入眼，若，，，则入射角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查利用平行线的性质求角的度数，结合图形求解是解题关键．
根据平行线的性质得出，结合图形即可求解．
【详解】解：∵
∴，
∵，
∴，
故选：B．
7．（2025·海南·中考真题）将一副三角尺平放在桌面上，如图所示．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】题目主要考查平行线的性质及三角板角度的计算，根据平行线的性质得出，然后结合图形求解即可．
【详解】解：∵将一副三角尺平放在桌面上，，
∴．
∴．
故选：D．
8．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，直线截直线b、c所得的一对同位角是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】C
【分析】根据同位角的定义判断即可．
本题考查了同位角、内错角、同旁内角，熟练掌握同位角的定义是解题的关键．
【详解】解：A、与是同旁内角，故此选项不符合题意；
B、与不是同位角，故此选项不符合题意；
C、与是同位角，故此选项符合题意；
D、与不是同位角，故此选项不符合题意；
故选：C．
9．（2025·四川自贡·中考真题）如图，一束平行光线穿过一张对边平行的纸板，若、则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．先证明，再证明，再结合对顶角的性质可得答案.
【详解】解：如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选：D
10．（2025·河南·中考真题）如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了量角器，对顶角，正确读出量角器度数是解题关键．由量角器可知，，再利用对顶角相等求解即可．
【详解】解：由量角器可知，，
，
即所量内角的度数为，
故选：C．
11．（2025·陕西·中考真题）如图，点在直线上，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了垂直的定义，平角的定义，掌握这些是解题的关键．
由垂直求得的度数，再根据平角定义，计算的度数即可．
【详解】解：点在直线上，，
，
，
，
．
故选B．
12．（2025·山东东营·中考真题）2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间．抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查平行线的判定和性质．
过点C作，得到，推出，，即可求出．
【详解】解：过点C作，
∵，
∴，
∴，，
∴．
故选：D．
二、填空题（每题3分，共12分）
13．（2025·湖南·中考真题）如图，一条排水管连续两次转弯后又回到与原来相同的方向，若第一次转弯时，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行线的性质，运用两直线平行，内错角相等是解题关键 ．
根据两直线平行，内错角相等即可求解．
【详解】解：由题意得，，
∴，
故答案为：．
14．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在一个弯形管道中，已知拐角，管道，则 ．
【答案】
【分析】此题考查了平行线的性质，根据两直线平行同旁内角互补进行解答即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：
15．（2025·江苏常州·中考真题）如图，，，，则 ．
【答案】/度
【分析】本题考查平行线的性质，垂直的定义，平角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．利用，，得出，结合，再利用平角的性质得出，即可求解．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
16．（2025·江苏扬州·中考真题）如图1，棱长为的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度．将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了求角的正切值、一元一次方程的几何应用、主视图、平行线的性质等知识，熟练掌握正切的定义是解题关键．延长，交直线于点，设，则，先根据水的体积不变建立方程，解方程可得的值，再根据平行线的性质可得，然后根据正切的定义计算即可得．
【详解】解：如图，延长，交直线于点，
由题意得：，
设，则，
∵密封透明正方体容器水平放置在桌面上与放在坡角为的斜坡上，容器里水的体积不变；且放在坡角为的斜坡上时，水的体积等于长为、宽为、高为的长方体的体积与长为、宽为、高为的长方体的体积的一半之和，
∴，
解得，
即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（共22分）
17．（2025·宁夏·中考真题,8分）如图，在的方格中，每个小正方形边长均为1个单位长度．的顶点、点和点都在格点上．仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法．
(1)过点作的垂线段；
(2)过点作的平行线．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了网格中利用无刻度直尺作平行线和垂线的作图方法，解题的关键是借助格点间的位置关系构造垂直或平行的线段．
（1）可证，则，因，，，即．
（2）可证，则，又，，即可求解．
【详解】（1）如图，连接，即为所求作的垂线段．
如图，则，因，
∴，
∴，即．
（2）如图，即为所求作的平行线．
如图，，则，又，
∴，
∴．
18．（2025·甘肃兰州·中考真题,14分）“三等分角”是两千多年来数学史上最著名的古典四大问题之一，阿基米德等数学家通过巧妙的几何作图得到了解决“三等分角”问题的特例方法．某数学兴趣小组通过折纸与尺规作图相结合的方法探究“三等分锐角”问题的解法，解决过程如下：
操作步骤与演示图形
如图①，已知一个由正方形纸片的边PK与经过顶点P的直线构成的锐角．按照以下步骤进行操作：任意折出一条水平折痕，与纸片左边交点为Q；再折叠将PK与重合得到折痕，与纸片左边交点为N，如图②．→折叠使点Q，P分别落在和上，得到折痕m，对应点为，，m交于M，如图③④．→保持纸片折叠，再沿MN折叠，得到折痕的一部分，如图⑤．→将纸片展开，再沿折叠得到经过点P的完整折痕，如图⑥．→将纸片折叠使边PK与重合，折痕为．则直线和就是锐角的三等分线，如用⑦⑧．
解决问题 （1）请依据操作步骤与演示图形，通过尺规作图完成以下两个作图任务：（保留作图痕迹．不写作法）任务一：在图③中，利用已给定的点作出点；任务二：在图⑥中作出折痕．（2）若锐角为，则图⑤中与相交所成的锐角是__________．
【答案】（1）见解析；（2）50
【分析】本题考查轴对称图形的性质，尺规作图——作垂直平分线，作角平分线，平行线的性质，读懂题意是解题的关键．
（1）任务一：连接，作的垂直平分线m，过点P作直线m的垂线，交边于点A，以点A为圆心，的长为半径作弧，交直线于点，则点为所求；
任务二：作出与所成夹角的角平分线，即为折痕；
（2）根据三等分线得到，再由平行线的性质即可求解．
【详解】解：（1）任务一：如图，点为所求．
任务二：如图，折痕为所求．
（2）如图，
由题意可知，是的三等分线，
∴，
∵，
∴，
∴与相交所成的锐角是．
故答案为：50
相交线与平行线验收卷
满分：90分 得分：_____
一、单选题（每题3分，共36分）
1．如图是一把剪刀的示意图，我们可想象成一个相交线模型，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查邻补角及对顶角，熟练掌握邻补角及对顶角是解题的关键；由题意易得，进而问题可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴；
故选B．
2．如图，过点P作直线的平行线，可作的平行线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条
【答案】A
【分析】本题主要考查了平行公理，根据过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行求解即可．
【详解】解，∵过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，
∴过点P作直线的平行线，可作的平行线有1条，
故选：A
3．如图，在直线中，可能与直线平行的是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【答案】D
【分析】本题主要考查了平行的概念．根据图形进行判断即可．
【详解】解：直线都与直线相交，直线可能与直线平行，
故选：D．
4．如图，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用“两直线平行，同位角相等”求出∠3，再利用邻补角互补求出∠2．
【详解】解：如图，∵a∥b，
∴∠1=∠3=60°，
∴∠2=180°-∠3=120°，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质和邻补角互补的性质，解决本题的关键是牢记相关概念，本题较基础，考查了学生的基本功．
5．如图，将一副直角三角板平放在桌面上，点F在上，当时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了平行线的性质和三角板中的角度计算．根据平行线的性质得到，再利用平角的定义即可求出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：A
6．如图，O是量角器的中心，直尺的一边与量角器的零刻度线重合，与相交于点P．若量角器上显示的读数为，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
由平行线的性质得，即可求解．
【详解】解：，
；
，
，
故选：A．
7．如图，直线l//m，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1=25°，则∠2的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【答案】A
【详解】如图，过点B作BD//l，
∵直线l//m，
∴BD//l//m．
∵∠1=25°，
∴∠4=∠1=25°．
∵∠ABC=45°，
∴∠3=∠ABC﹣∠4=45°﹣25°=20°．
∴∠2=∠3=20°．
故选A．
8．要得知作业纸上两相交直线AB，CD所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．两同学提供了如下间接测量方案（如图1和图2）：对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（ ）
A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行
C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行
【答案】C
【分析】用夹角可以划出来的两条线，证明方案Ⅰ和Ⅱ的结果是否等于夹角，即可判断正误
【详解】方案Ⅰ：如下图，即为所要测量的角
∵
∴
∴
故方案Ⅰ可行
方案Ⅱ：如下图，即为所要测量的角
在中：
则：
故方案Ⅱ可行
故选：C
【点睛】本题考查平行线的性质和判定，三角形的内角和；本题的突破点是用可画出夹角的情况进行证明
9．如图，将一张长方形纸片进行折叠，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，掌握平行线的性质是关键．根据平行的性质得到，解得，，根据折叠得到，再根据两直线平行，内错角相等即可求解．
【详解】解：根据题意，，
∴，
∵，则，
∴，
解得，，
∴，
由折叠的性质可得，，
∵，
∴，
故选：B ．
10．如图，直线、交于点，，如果，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了垂直的定义、对顶角相等，首先根据垂直的定义可知，根据对顶角相等可得，再根据角的和与差可得：．
【详解】解：，
，
，
，
．
故选：D．
11．如图是篱笆围栏抽象出几何图形的一部分，则下列条件中能判断直线的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用平行线的判定方法判断即可得到结果．此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．
【详解】解：由，，不能判定其中的两条直线平行，
，
，
由，能判定另一组直线平行，不能判定，
故选：C．
12．如图是综合实践活动小组同学们为学校配电房绘制的一张“有电危险”标志牌．给该标志牌的端点标上字母、若点在一条直线上，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查三角形的内角和为，平行线的性质，掌握知识点是解题的关键．
根据三角形的内角和为，可得的度数，再由“两直线平行，内错角相等”，即可解答．
【详解】解：
，
．
故选：C．
13．如图，小明从A处出发，沿北偏东方向行走至处，又沿北偏西方向行走至处，此时需把方向调整至，才能与出发时的方向一致，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查平行线的性质及方位角，熟练掌握平行线的性质及方位角是解题的关键；由题意易得，，，然后可得，则有，进而问题可求解．
【详解】解：如图，
由图可知：，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选D．
14．如图，一个物块静止在斜面上，其支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行，重力的方向竖直向下．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查平行线的性质、三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质、三角形外角的性质是解题的关键；根据三角形外角的性质可得，进而根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：如图，依题意，，，
∴
∵摩擦力的方向与斜面平行，
∴
故选：B．
15．如图，在一个建筑工地有两根平行的钢梁和，它们分别固定在建筑物的不同位置，用于支撑结构．工人师傅需要在钢梁上安装两根互相垂直的支架，，以确保钢梁的稳定性和安全性．经测量发现，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，先根据垂直的定义得到，再根据平行线的性质即可得解．熟记性质是解题的关键．
【详解】解：如图，
，，
，
，
，
故选：B．
二、填空题（每题3分，共45分）
16．已知与为对顶角，，则 °．
【答案】35
【分析】本题主要考查了对顶角性质，根据对顶角相等，得出答案即可．
【详解】解：∵与为对顶角，，
∴．
故答案为：35．
17．一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知，则的度数为 ．
【答案】/度
【分析】根据两直线平行，内错角相等，即可求解．
【详解】解：如图所示，依题意，，
∴，
∵，，
∴
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
18．如图，直线分别与直线，相交，，若，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是平行线的性质，邻补角的含义，先证明，再利用邻补角的含义可得答案．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，
∴；
故答案为：
19．如图，一条公路经两次转弯后，方向未变．第一次的拐角是，第二次的拐角是 °．
【答案】
【分析】根据两次转弯后方向不变得到，即可得到．
【详解】解：∵一条公路经两次转弯后，方向未变，
∴转弯前后两条道路平行，即，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查了平行线的性质，由题意得到是解题的关键．
20．如图，，则 度．
【答案】
【分析】根据，得出，根据，即可得出，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，内错角相等，同旁内角互补．
21．如图，已知在中，，，直线经过直角顶点，直线与边相交于点，且．若，则 ．
【答案】/度
【分析】本题考查了直角三角形中两个锐角互余，平行线的性质，过点作，根据平行线的性质得出，结合，即可求解．
【详解】解：如图，过点作
∴，
∵，
∴
∴
又∵，，
∴
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
22．某些灯具的设计原理与抛物线有关．如图，从点照射到抛物线上的光线，等反射后都沿着与平行的方向射出．若，，则 ．
【答案】
【分析】可求，由，即可求解．
【详解】解：，，
，
，
，
，
故答案：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握性质是解题的关键．
23．如图，将沿直线方向平移到的位置（点A、B、C的对应点分别是点、、），延长、相交于点D．若，则的度数为 ．
【答案】70
【分析】本题考查了平移的性质(平移前后对应线段平行)及平行线的性质(两直线平行，同旁内角互补)，解题的关键是根据平移性质得出对应线段平行，再利用平行线性质结合已知角度求的度数．
由平移性质可知,平移后对应线段；与平行，故与组成内错角，根据两直线平行内错角相等，即可求出．
【详解】解：∵沿直线方向平移得到，
∴(平移的性质：平移前后对应线段平行)．
即，
∴．
故答案为：．
24．如图，在中，点在直线上，点、在直线上，，动点从点出发沿直线以的速度向右运动，设运动时间为．在点运动过程中，的面积随着的增大而 .（填“增大”、“保持不变”或“减小”）
【答案】保持不变
【分析】本题考查三角形的面积、平行线的性质，掌握三角形的面积公式及平行线之间的距离处处相等是解题的关键．根据三角形的面积公式及平行线之间的距离处处相等判断即可．
【详解】解：设平行线与之间的距离为，则，
而，
，
在点运动过程中，的面积随着的增大而保持不变．
故答案为：保持不变．
25．如图，，，．则 ．
【答案】66
【分析】本题考查了平行线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，根据等边对等角可得，根据三角形的外角的性质可得，根据平行线的性质，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
26．用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则∠2的度数为 ．
【答案】/度
【分析】如图，先标注点与角，由对折可得：，求解，利用，从而可得答案．
【详解】解：如图，先标注点与角，
由对折可得：，
∴，
∵，
∴；
故答案为：
【点睛】本题考查的是折叠的性质，平行线的性质，熟记两直线平行，同位角相等是解本题的关键．
27．如图，，平分．若，则的度数为 ．
【答案】/110度
【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先求出，然后根据角平分线的定义，得到，最后根据平行线的性质，即可求得答案．
【详解】解：，
，
平分，
，
，
，
．
故答案为：．
28．将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已，点，表示的刻度分别为，则线段的长为 cm．
【答案】
【分析】根据平行线的性质得出，进而可得是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵直尺的两边平行，
∴，
又，
∴是等边三角形，
∵点，表示的刻度分别为，
∴，
∴
∴线段的长为,
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质与判定，得出是解题的关键．
29．为方便市民绿色出行，我市推出了共享单车服务、图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中、都与地面平行，，，当 时，．
【答案】/70度
【分析】本题考查了平行公理推论、平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．先根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，再根据平行线的判定可得要使，则，则可得，然后根据角的和差即可得．
【详解】解：∵、都与地面平行，
∴，
∴，
要使，则，
∴，
∵，
∴，
即当时，，
故答案为：．
30．如图，将的按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重合，与尺下沿重合，与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为，若按相同的方式将的放置在该刻度尺上，则与尺上沿的交点C在尺上的读数为 ．
【答案】
【分析】根据平行线的性质得到，解直角三角形求出，再推出，进而得到，再求出的长即可得到答案．
【详解】解：由题意得，，，，
∴，
∴
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴与尺上沿的交点C在尺上的读数为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，平行线的性质，等腰三角形的判定，正确求出的长是解题的关键．
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