2026年吉林省延边州高考数学质检试卷二（含答案）

2026年吉林省延边州高考数学质检试卷二
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.若集合，，则( )
A. B. C. D.
3.记为正项等比数列的前项和，已知，则该数列的公比为( )
A. B. C. D.
4.若倾斜角为锐角且过点的直线截圆所得弦长为，则的斜率为( )
A. B. C. D.
5.为深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想，某校于年月组织高一、高二、高三三个年级共名学生参加“青春心向党奋进新征程”党史知识竞赛如图，结合参赛学生的年级分布饼图与高一学生的排名分布频率条形图，下列命题中错误的是( )
A. 这名学生中，高一人数比高二人数多
B. 成绩前名的高一学生有人
C. 成绩前名的学生中，高三学生人数不超过
D. 成绩第名到第名的学生中，高二人数比高一人数多
6.函数的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
7.已知抛物线：的焦点为，过作两条斜率分别为，的直线，，且，直线与交于、两点，直线与交于、两点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，则下列说法中不正确的有( )
A.
B. 在处的切线方程为：
C. 若函数，，使得成立，则
D. 若函数有两个零点，则
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如表记录了一支科研团队在年月至月的研发资金投入单位：百万元与评估指数的相关数据，且，．
研发资金投入
评估指数
已知与呈线性相关，且通过最小二乘法估计得到线性回归方程为，则( )
A. 与呈正相关
B.
C. 若年月份研发资金投入百万，则评估指数的估计值为
D. 若去掉样本点，后，得到的新回归直线必过点
10.已知函数若有个不同的实数根，记为，，，，且，则下列结论正确的是( )
A. 时，
B. 的所有可能取值为，，，，，，
C. 当时，
D. 当时，，且
11.已知函数的图象关于点中心对称则( )
A. 的最小正周期为
B. 直线是曲线的对称轴
C. 将的图象向右平移个单位可得到函数的图象
D. 在区间上单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某次大型联考名学生参加，考试成绩满分分近似服从正态分布其中和分别为样本的均值和标准差，若本次考试平均成绩为分，分以上共有人，学生甲的成绩为分，则学生甲的名次大致是 名
附：若随机变量服从正态分布，则，，．
13.在的展开式中，的系数为 用数字作答
14.已知，若在，上是严格增函数，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某市为了解人们对于新颁布的“改造健身中心”方案的支持度，随机调查了人，他们年龄的频数分布及支持“改造健身中心”方案人数如表：
年龄
频数
支持“改造健身中心”
根据以上统计数据填写下面列联表，并问是否有的把握认为以岁为分界点对“改造健身中心”方案的支持度的差异性有关系；
年龄不低于岁的人数 年龄低于岁的人数 总计
支持
不支持
总计
在随机调查的人中，若对年龄在，的被调查人中各随机选取人进行调查，记选中的人中支持“改造健身中心”方案的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．
附：
如表的临界值表供参考：
参考公式：，其中．
16.本小题分
已知数列的前项和为，且满足点在直线上，数列的前项和为，且．
求数列，的通项公式；
若，求数列的前项和．
17.本小题分
在三棱柱中，底面是正三角形，，．
求证：；
若，且，求直线与平面所成角的余弦值．
18.本小题分
已知椭圆的左，右焦点分别为，，其离心率为，过点且与轴垂直的直线与椭圆交于，两点，且，为坐标原点．
求椭圆的方程；
已知过点的直线与椭圆交于，两点，抛物线：
若直线与抛物线交于，两点，且，求直线的方程．
若直线与轴正半轴交于点，求的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
Ⅰ当时，
(ⅰ)求函数在点处的切线方程
(ⅱ)求函数的单调区间和极值
Ⅱ若对于，都有不等式恒成立，求实数的取值范围．
答案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.
12. 13. 14.
15.解：补全列联表，如下所示：
年龄不低于岁的人数 年龄低于岁的人数 总计
支持
不支持
总计
假设：以岁为分界点对“改造健身中心”方案的支持度的差异性无关，
则，
故没有的把握认为以岁为分界点对“改造健身中心”方案的支持度的差异性有关；
的可能取值为，，，，
，
，
分布列为：
．
16.解：对于数列，点在直线上，
得，即，
所以是首项，公差的等差数列，
故，
对于数列，当时，；
当时，，
又时，故；
由知，
则，
，
两式相减得：，
故．
17. 证明：过点作平面于点，平面，
所以，又，，，平面，
所以平面，平面，
所以，
同理可证，又是正三角形，则是的中心，
连接，并延长交，于，，则，分别为，的中点，
又平面，所以，
故A，
同理可证，
综上，；
以的中点为坐标原点，以，所在直线分别为，的正方向，过且与平行的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，
设平面的法向量为，因为，，
则，
取，则，
又，
设直线与平面所成角为，
所以，
故，
即直线与平面所成角的余弦值．
18.解：由题意得，离心率，得，
由题意，不妨设，则，则，
解得，故，
则椭圆的方程为．
为，的中点，到的距离为到距离的一半，
，．
当直线斜率不存在时，，，不合题意，
则直线斜率存在时，，如图所示：
设的方程为，，，，
联立，得，
易知，故，
则．
联立，得，
易知，故，
，
，，解得，
直线的方程为．
设直线的方程为，，，，
由知：，
由三角形相似关系，可得，
分类讨论：当点在椭圆上或外部时，即时，，，
于是；
当点在椭圆内部时，即时，，
，
令，则，
综上：的取值范围为．
19.解：当时，，
，
，
所以函数在点处的切线方程为，
整理为：
(ⅱ)令得，，
的变化如下表：
增函数 极大值 减函数 极小值 增函数
的增区间为；减区间为
极大值为，极小值为．
由，则，
令，
，由，
所以时单调递减；时单调递增．
只需恒成立，则．