江苏扬州市2026届高三下学期适应性调研测试数学试卷（含答案）

江苏扬州市2026届高三下学期适应性调研测试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，则下列结论中错误的是( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足是虚数单位，则在复平面内对应的点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知向量，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4.已知实数满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.魏晋时期刘徽撰写的海岛算经是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．一个数学学习兴趣小组研究发现，书中提供的测量方法甚是巧妙，可以回避现代测量器械的应用．现该兴趣小组沿用古法测量一山体高度，如图点、、在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，记为，为测量标杆间的距离，记为，、分别记为，，则该山体的高( )
A. B. C. D.
6.，已知，若“”的充要条件是“”，则实数的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，垂直于点，直线与相交于、两点．若为靠近点的的三等分点，则( )
A. B. C. D.
8.已知，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.由某班数学考试成绩的数据分析可知，男生成绩与女生成绩均服从正态分布，且，则( )
A. B.
C. D.
10.长方体，点是棱的中点，点是与的交点，以适当方式建立空间直角坐标系后；，则( )
A. B. 长方体外接球的体积为
C. D. 的最大值为
11.记的内角，，的对边分别为，，，若，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.记为正项等比数列的公比，若，则 ．
13.已知椭圆的左焦点为，点，若以，为焦点的双曲线与椭圆交于点，则双曲线的离心率的最大值为 ．
14.年春晚，一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众现在编排一个动作，机器人从原点出发，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位，共移动次则该机器人在有且仅有一次经过含到达点位置的条件下，水平方向移动次的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列，满足，且．
证明：数列与均为等比数列；
求数列的前项和其中表示不超过的最大整数，如
16.本小题分
某高中数学兴趣小组，准备利用所学知识研究成年男性的臂长与身高之间的关系，为此他们随机统计了名成年男性的身高与臂长，得到如下数据：
根据上表数据，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；
建立关于的回归方程系数精确到；
从名样本成年男性中任取人，记这人臂长差的绝对值为，求．
参考数据：
17.本小题分
如图，圆柱的轴截面是边长为的正方形，点，为下底面圆周上的点，且是正三角形，点是上底面圆周上一动点，为直线与的交点．
证明：
面；
不论点在何位置，三棱锥的外接球半径大小不变．
求二面角的余弦值的取值范围．
18.本小题分
已知函数
若时，求函数的切线斜率的最小值；
若，求证：函数在其定义域内存在极小值；
如果存在，使得解集为，试求出的取值范围．
19.本小题分
已知在平面直角坐标系中，一条倾斜角为的直线过点，其中，另一条直线经过点，倾斜角为并且两直线相交于点
当时，求证：线段的垂直平分线过定点．
当，时，若点、分别为椭圆的左，右两个焦点，点为椭圆的上顶点，且该椭圆经过点，
试求出该椭圆的标准方程；
如果一条直线与椭圆分别交于两点，且满足，请求出的取值范围．
答案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.
13.
14.
15.解：由 ，可得 ，
又 ，
所以 与 均为等比数列；
由知 ， ，所以 ，
则 ， ，
．

16.解：由表中的数据和参考数据得
，，，，
，
，，
．
因为与的相关系数近似为，说明与的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系．
由及得，
，
所以关于的回归方程为．
的取值依次为，，，，，，，，
，，，
，，，
，，
的分布列
所以．
17.解：是等边三角形，且的外接圆为圆，为的中心，
为圆的直径，，
四边形为正方形，，
平面与圆所在的平面交于，平面与圆所在的平面垂直，
圆所在的平面，
圆所在的平面，，，平面，
平面．
的外接圆为圆，平面，
三棱锥的外接球的球心在上，
设球心为，球的半径为，则，，
，，，，
，，
为的中点，，，，
不论点在何位置，三棱锥的外接球半径大小不变．
以为原点，过作的平行线作为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
，，，设，
，，
设平面的法向量为，
则，即，解得
，，
平面的一个法向量为，，
二面角的平面角为，
则，
设，
，，，
转化为，
当时，，
当时，，
，，，，，，
，；
当，，
，，，，，，
，；
综上可知，，
则二面角的余弦值的取值范围为．
18.解：函数的定义域为．
由，可得，
所以，
设，则，
令，因为，所以解得．
所以当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
所以当时，取到最小值，
即切线的斜率的最小值为；
函数的定义域为．
，
令，则．
因为，所以，又因为，所以，
所以在上单调递增．
又因为，
当时，，所以，
又因为在上连续，
所以存在，使得，即，
所以当时，，即，在上单调递减；
当时，，即，在上单调递增；
所以是的极小值点，所以函数在其定义域内存在极小值；
等价于，即，
令，
若存在实数，使得关于的不等式的解集为，
即的解集为，
，令，
当时，，即，函数单调递增，
又，所以当时，成立，符合题意；
当时，的判别式，
所以在时恒成立，即在时恒成立，
即在上单调递增．
因为，所以是唯一的零点，
当时，；当时，，
能满足使的解集为，符合题意；
当时，的判别式，
故有两个不相等的实数根，
由韦达定理可知，，因此两根均为正根，且，
则可知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以在时取到极大值，在处取到极小值．
又因为，所以，
又当时，，所以在上存在一个零点，
在上存在另外一个零点，
所以的解集为，
与的解集为相矛盾，故不符合题意．
综上可知，的取值范围为．
19.解：当时，，
由正弦定理得，的外接圆半径为定值，
因为的外接圆圆心在的中垂线上，，
所以的外接圆圆心为，
又因为线段的垂直平分线恒过圆心，
所以线段的垂直平分线过定点．
当，时，，，
在中，，
则，，
设椭圆的方程为，
则，即，
，即，
所以，
所以椭圆的标准方程为．
点坐标为，
当时，根据对称性可得，符合题意，
当时，
设，，
联立，整理得，
则，即，
，，
则的中点横坐标为，
代入求出的中点纵坐标为，
则的中点坐标为，
则中垂线方程为，
因为，所以在中垂线上，
所以，化简得，
代入得，
令，不等式可化为，
当时，不等式无解，即无解．
综上所述，的取值范围为．