山东淄博市2025-2026学年高三下学期模拟考试数学试题（含答案）

山东淄博市2025-2026学年高三下学期模拟考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，那么集合( )
A. B. C. D.
2.若复数的共轭复数满足，则复数( )
A. B. C. D.
3.已知，，则( )
A. B. C. D.
4.已知椭圆：的左、右焦点分别为和，过且倾斜角为的直线与交于，两点，则( )
A. B. C. D.
5.过点且与圆相切的两条直线的夹角为，则( )
A. B. C. D.
6.有名同学，，，，参加唱歌比赛，抽签决出出场顺序若和都不是第个出场，且不是最后一个出场，则这人不同的出场顺序种数为( )
A. B. C. D.
7.在正方体中，为的中点，，，若，，，四点共面，则的值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数的定义域为，，且，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知实数，满足，则下列说法正确的有( )
A.
B.
C. 若，则
D. 若，，则
10.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 若，且曲线的对称中心为，则
B. 若，函数在上单调递增，则
C. 若，且，则存在实数，使得
D. 若，，且函数有两个极值点、，则
11.已知双曲线的上、下焦点分别为和，下顶点为，为第一象限内上的动点，当时，的面积为，则下列说法正确的是( )
A. 双曲线的离心率
B. 双曲线的渐近线方程为
C.
D. 的内心满足
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.平面向量，，则在上的投影向量坐标为 ．
13.若函数的部分图象如图所示，则关于的不等式的解集为 ．
14.在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，现将数列，进行构造，第次得到数列，，；第次得到数列，，，，；；第次得到数列，记，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知锐角的三个内角，，所对的边分别为，，，且满足C.
求角
求的取值范围．
16.本小题分
已知抛物线：与双曲线的渐近线在第一、四象限的交点分别为，，且．
求抛物线的方程；
，为上异于，的两动点，且以线段为直径的圆恰好经过，证明：直线过定点．
17.本小题分
如图，四棱锥中，平面，，，．
求证：；
若为的重心，
求与平面所成角的正弦值；
若交平面于，求的值．
18.本小题分
设、为实数，且，函数，．
当时，求曲线在点处的切线方程；
当时，证明：；
若曲线与直线有且仅有两个交点，求的取值范围．
19.本小题分
甲口袋中装有个红球，乙口袋中装有个黄球和个红球现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记乙口袋中黄球个数为，恰有个黄球的概率为，恰有个黄球的概率为．
求，和，；
求的数学期望用表示；
，若，有，求所有元素之和．
答案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.
12.
13.
14.
15.解由余弦定理，
，
所以，
所以，
因为，所以；
由知，故。
因为锐角三角形，需满足且，解得。
由，得。
当时，
代入得：
因此：。
16.解：的渐近线为，
联立，解得或，故，
由对称性可得，则，
故负值舍去，即抛物线的方程为；
由知，设、，
由以线段为直径的圆恰好经过，则，
由，，
则
，
由，异于，故，
则，
设，，则，
，则，
，，即，，
故，即，
则，
当时，，故直线过定点．

17.解：在中，，，
，，
平面，平面，，
，平面，平面，
平面，平面，；
以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
，，．
，，，，，
，，
为的重心，，，
设平面的法向量为，
则
取，则，即，
，，，
设与平面所成的角为，
则，
故与平面所成角的正弦值为；
由知，，，
设，则，
，
由知，平面的法向量为，
则，即，则，解得，
即．
18.解：当时，，则，
而，则，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
当时，，
设，
则，
由于，则，
令，得，令，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则，即．
设，
由题意，曲线与直线有且仅有两个交点，
则函数有且仅有个零点，
而，
令，得，而，则，
当时，，则函数在上单调递增，
此时函数最多有个零点，不符合题意；
当时，令，得，令，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
又时，，时，，
要使函数有且仅有个零点，
则，即，
设，则，
当时，，则，不满足题意；
当时，设，则，
则函数在上单调递减，又，
则时，，即，
则的取值范围为．

19.解：依题意，，，
，
．
设表示次取球后乙口袋有个黄球，表示次取球后乙口袋有个黄球，
表示一次操作甲乙都取的是红球，表示一次操作甲取的是红球同时乙取的是黄球，
表示一次操作甲取的是黄球同时乙取的是红球，表示一次操作甲，乙都取黄球，
当时，
则，
，
，
，
因此，即，，
所以是为首项为公比的等比数列．
故．
依题意，的分布列为
故期望．
由知，
，
而所有元素之和可以看作集合中所有子集中元素之和．
设集合为一共有个不同的元素，
而一个包含的子集，对于剩下的个元素，
每个元素可以独立地选择“放入子集”或“不放入子集”，
因此对于剩下的个元素，每个都有种选择，由乘法原理，这样的子集个数为，
由此可知一个所有子集中元素之和为该集合各个元素之和的倍，
故所有元素之和可写为，
令
所以
故，
所以．
故所有元素之和可写为．