1.7正方形 课后培优提升同步训练（含答案）湘教版2025—2026学年八年级数学下册

1.7正方形课后培优提升同步训练湘教版2025—2026学年八年级数学下册
一、选择题
1．下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是（ ）
A．平行四边形 B．正方形 C．菱形 D．矩形
2．如图，正方形的对角线相交于点O，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的1个小正方形拼成的1个大正方形．若大正方形的面积为23，小正方形的面积为3，直角三角形的两直角边长为a，b，则的值为（ ）
A．43 B．45 C．46 D．49
4．如图，在中，，分别以为边向外作正方形，正方形，连接，则的长为（ ）
A．10 B．9 C． D．
5．有下列四个条件：①，②，③，④，使为正方形（如图）．现有下列四种选法，其中错误的是（ ）
A．②③ B．②④ C．①② D．①③
6．如图，两个全等的等腰和等腰有公共斜边，且四边形的面积为36，为等边三角形，点在四边形内，在上有一点，使的和最小，则这个最小值为（ ）

A．5 B．6 C．7 D．8
7．如图，正方形的边长为，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出四种情况：若为的中点，则四边形是正方形；若为上任意一点，则；点在运动过程中，的值为定值；点在运动过程中，线段的最小值为．其中正确的有（ ）
A． B． C． D．
8．如图，正方形的边长为4，点E在边上，，点M在的延长线上．平分，点F在上，，过点F作于点H，连接交于点N，连接．下列结论：①；②的面积为；③的周长为8；④．其中正确结论的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．已知正方形的边长为1，连接、，平分交于点E，则______．
10．如图，正方形的边长为8，点，分别为，上一点，，与交于点，点为的中点，点为线段靠近的四等分点，则______．
11．如图，已知正方形的边长为，是对角线上一点，于点，于点，连接，，则的最小值为________________ ．
12．如图，是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转得到．若四边形的面积为，，则的长为__________．
三、解答题
13．（1）如图1，在正方形中，、相交于点O，且，则和的数量关系为_____．
（2）如图2，在正方形中，E、F、G分别是边、、上的点，，垂足为H．求证：．
14．如图，将边长为4的正方形沿着折痕折叠，使点B落在边中点G处．
(1)求线段的长；
(2)连接，求证：
15．如图，正方形的边长为1，、分别为边、上的点，的周长为2，连接．求证：
(1)；
(2)．
16．如图①，在正方形中，P为线段上的一个动点，线段于点E，交线段于点M，交线段于点N．
(1)求证：；
(2)如图②，若线段垂直平分线段，分别交，于点E，F．求证：．
17．已知正方形中，是上一动点，过点作交正方形的外角的平分线于点．
(1)【动手操作】
如图①，在上截取，连接，根据题意在图中画出图形，图中_____度．
(2)【深入探究】是线段上的一个动点，如图②，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，连接．试判断四边形的形状，并证明．
(3)【拓展应用】
是射线上的一个动点，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，连接．若，，求线段的长．
18．如图1，在正方形中，点，分别在边，上，连接，，．若，将绕点顺时针旋转,点D与点B重合，得到．
(1)求证：；
(2)如图2，在正方形中，若点在射线上，点在射线上，，试探究线段，，之间的数量关系，请作出结论并予以证明．
(3)如图3，正方形的边长为，，分别在，上，，连接分别交，于点M，N．若点M恰好为线段的四等分点，且，求线段的长．
参考答案
一、选择题
1．B
2．B
3．A
4．C
5．A
6．B
7．D
8．C
二、填空题
9．
10．
11．
12．
三、解答题
13．【详解】解：（1）在正方形中，，
，
，
，
，
；
（2）过点E作于点M，
，
则四边形为矩形．
，
在正方形中，，
．
，
．
，
，
，
在和中，
，
，
．
14．【详解】（1）解：由题意得，，
设，则，
四边形是正方形，
，
，
落在边的中点处，
，
，
解得：，
；
（2）证明：如图，由折叠可得．
15．【详解】（1）证明：如答图，延长至点，使，连结、．
∵四边形是正方形，
，，
．
在和中，
，
，
设，，则，．
的周长为，
，
，
．
（2）解：由（1）得．
在和中，
．
16．【详解】（1）证明：如图①，过点B作交于点H，则．
四边形是正方形，
，，，
，
，
，
．
，即，
∴四边形为平行四边形，
，
；
（2）证明：如图②，连接，，．
正方形是轴对称图形，F为对角线上的一点，
，．
垂直平分，
，
，
．
，
，
，
，
．
由（1），知，
，
．
17．【详解】（1）解：根据题意画图如图；
∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴；
（2）解：四边形为正方形，证明如下：
在上截取，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，即，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵平分，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
在和中，，，，
∴，
∴，
在上截取，连接，则，
∵，，
∴，，
是等腰直角三角形，
，，
，，
，
，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形，
又∵，
∴矩形是正方形；
（3）解：①当点在线段上时，
由（2）知四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴；
②当点在延长线上时，延长至，使得，连接，
∵，，且，，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，，
∴．
在和中，，
∴，
∴．
∵，，
∴，即．
延长至点，使，连接，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，且是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，，
∴．
在和中，，
∴，
∴．
结合，可得，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴平行四边形是矩形，
又∵，
∴矩形是正方形．
，
综上所述，线段的长为或．
18．【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）解：．
证明如下：如图（2），在上截取，连接．
在和中，
，
，
，，
即，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（3）解：如图（3），将绕点顺时针旋转得到，连接．
四边形是正方形，
，，，
，
，
，
由旋转可得，
，，，，
，
，，
．
．
，
．
设，则．
在中，

解得：，
．