山西省运城市2026届高三下学期高考考前模拟测试数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 山西省运城市2026届高三下学期高考考前模拟测试数学试题（含解析） |
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|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 212.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-15 00:00:00 | ||
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文档简介
运城市2026年高考考前模拟测试高三数学试题
2026.03
本试题满分 150 分，考试时间 120 分钟。答案一律写在答题卡上。
注意事项:
1. 答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2. 答题时使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3. 请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4. 保持卡面清洁，不折叠，不破损。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的.
1. 已知集合 ,则
A. B. C. D.
2. 在 中, ,则
A. B. C. D.
3. 已知函数 ,则曲线 在 处的切线斜率为
A. -6 B. -3 C. 3 D. 6
4. 已知直线 ，圆 ，则 “ ” 是 “直线 与圆 相交” 的
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 在平行四边形 中, ,则
A. 3 B. -3 C. 6 D. -6
6. 若幂函数 的图象经过点 ,则函数 的零点个数为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 若函数 的图象关于点 对称,则 的最大值为
A. B. C. D.
8. 已知某圆锥的外接球的表面积是 ,则该圆锥的体积的最大值是
A.
B.
C.
D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知复数 ，且 ，则
A. B. C. D.
10. 已知抛物线 的焦点为 ，直线 与 轴交于点 ， 是抛物线 上的动点,以 为圆心的圆 经过点 为坐标原点,则
A. 圆 与直线 相切 B. 圆 的面积的最小值是
C. 的最大值是 D. 存在点 ，使得
11. 若函数 的定义域为 且 ,则
A.
B.
C. 是偶函数
D. 当 时,
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 已知一组数据 的平均数为 5，则这组数据的第 30 百分位数为_____▲_____.
13. 如图，某片雪花有 6 个主枝，每个主枝上有 9 个侧枝，从该雪花的所有侧枝中随机选取 2 个，则它们位于同一主枝上的概率为_____▲_____.
14. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,过点 的直线 与双曲线 的两支分别交于 两点,且 ,若坐标原点 到直线 的距离为 ,则双曲线 的离心率是_____▲_____
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
一场体育赛事招募赛会志愿者，赛会志愿者须参加通用培训和专业培训，两项培训考核都合格才能通过培训考核,考核通过后才能参加赛事志愿服务. 已知赛会志愿者参加通用培训后,考核合格的概率为 ,参加专业培训后,考核合格的概率为 .
(1)若志愿者，A，B都参加了培训，求志愿者 A，B 中至少有 1 人通过培训考核的概率；
(2)现从 12 名通过培训考核的志愿者(包含 3 名女志愿者)中随机抽取 4 名志愿者参加某体育赛事的志愿服务，记 为被抽取到的女志愿者人数，求 的分布列与数学期望.
16. (15 分)
如图，在多面体 中，平面 平面 ，四边形 是直角梯形， ,且 .
(1)证明: 平面 .
(2)求多面体 的体积.
(3)求平面 与平面 夹角的余弦值.
17. (15分)
设正项数列 的前 项和为 ,且 .
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，记数列 的前 项和为 ，证明: .
18.(17 分)
已知 分别为椭圆 的左、右顶点,且 的离心率为 .
(1)求 的方程；
(2)若倾斜角为 的直线与 交于 ， 两点，求 的中点的轨迹方程；
(3)若直线 与 交于 ， 两点，设直线 ， 的斜率分别为 ,且 ,求 .
19.(17 分)
柯西不等式是数学中一个重要的不等式，在代数、几何等领域中有广泛应用. 柯西不等式的二维形式: 对于任意的实数 ,都有 ,当且仅当 时,等号成立. 已知函数 .
(1)当 时,证明: .
(2)已知 有两个不同的零点 .
① 求 的取值范围；
② 证明: .
高三数学考试参考答案
1.C 由题意可得 ,则 .
2.D 由正弦定理可得 ,则 .
3. 由题意可得 ,则 ,解得 ,故曲线 在 处的切线斜率为 .
4.B 因为方程 表示圆,所以 ,解得 . 由题意可知圆 的半径 ,圆心坐标为 ,则圆心 到直线 的距离 . 当直线 与圆 相交时, ,即 ,解得 . 故 “ ” 是 “直线 与圆 相交”的充分不必要条件.
5. D .
6.C 设 ,则 ,则 ,由 0,得 ,作出 的大致图象,如图所示, 由图可知这两个函数的图象有 3 个交点,所以 的零点个数为 3 .
7. ,令 ,得 ,因为 ,所以 ,又 ,所以 的最大值为 .
8.B 设该圆锥的外接球的半径为 ,则 ,解得 . 设该圆锥的底面圆半径为 , 高为 ,其外接球的球心到底面圆的距离为 ,则 ,解得 ,所以该圆锥的体积 ,所以 . 由 ,得 ,则 在 上单调递增; 由 ,得 ,则 在 上单调递减. 故 .
9. 由题意可得 ,即 ,则 解得
10. ACD 由抛物线的定义可知点 到直线 的距离 ,则圆 与直线 相切, A 正确. 当点 与坐标原点 重合时,圆 的半径最小,此时点 到直线 的距离 ,则圆 的面积的最小值是 错误. 过点 作 ,垂足为 (图略),由抛物线的定义可得 ,则 . 当直线 与抛物线 相切时, 取得最大值,此时 取得最大值. 不妨设点 在第一象限,直线 的方程为 ,由 得 . 当直线 与抛物线 相切时, ,解得 舍去),所以 ,故 ,即 的最大值是 正确. 设 , ,则 ,所以 ,解得 ,所以 , ) 或 , D 正确.
11. 令 ,得 错误. 令 ,得 ,因为 ,所以 ,令 ,得 , 正确.
令 ,得 ,所以 ,
当 时, ,又因为 ,所以 为奇函数,则 是偶函数, 正确.
因为 ,所以 , 所以 ,
同理可得 ,故当 时, 正确.
12.2 由题意可得 ,解得 ,则这组数据为1,2,5,7,10,因为 ,所以这组数据的第 30 百分位数为 2 .
13. 因为该片雪花的总侧枝数为 ,所以所求概率为 .
14. 因为直线 与双曲线 交于两支,作 ,垂足分别为 (图略),则 ,故 . 因为 为线段 的中点,且 ,所以 . 因为 ,所以 ,所以 ,则 . 由双曲线的定义可知 ,即 ,所以 ,则双曲线 的
离心率为 .
15. 解:(1)由题意可知每名志愿者两项培训考核都合格的概率为 , 1 分则志愿者 都没有通过培训考核的概率是 , 3 分故志愿者 A，B 中至少有 1 人通过培训考核的概率为 . 5 分
(2)由题意可知 的所有可能取值为0,1,2,3. 6 分
7 分
8 分
9 分
10 分
则 的分布列为
0 1 2 3
14 55 28 55
11 分
故 . 13 分
16.(1)证明:因为平面 平面 ，平面 平面 ，且 ，所以 平面 . 1 分
因为 平面 ,所以 . 2 分
因为 平面 平面 ,且 ,
所以 平面 . 4 分
(2) 解: 作 ,垂足为 ,连接 ,则 .
因为 ,所以 . 6 分
由(1)可知三棱柱 是直三棱柱,则 , 7 分
8 分
故多面体 的体积为 . 9 分
(3)解:由(1)可知 ， ， 两两垂直，则以 为坐标原点, 所在直线分别为 轴、 轴、 轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
由题中数据可知 , ,
则 , 0). 11 分
设平面 的法向量为 ,
则 令 ,得 . 12 分
易证 平面 ,则平面 的一个法向量为 . 13 分设平面 与平面 的夹角为 ,
则 ,即平面 与平面 夹角的余弦值为 . 15 分
17. ( 1 )解:因为 ，所以 ， 1 分所以 , 2 分所以 , 3 分所以 ,即 . 4 分因为 ,所以 . 5 分当 时, ,解得 舍去 , 6 分则 . 7 分
(2)证明:由(1)得 . 8 分
(方法一) 当 时, , 10 分
则 , 14 分
又 ,所以 . 15 分
(方法二) 当 时, , 9 分
则 . 10 分
因为 ,所以 . 12 分当 时, ,又 ,所以 . 15 分
18. 解: (1) 设 的焦距为 . 由题意得 得 3 分所以 的方程为 . 4 分
(2)设 ， ， 的中点坐标为 .
由 5 分
得 ,
得 ,又 ,所以 . 7 分
又 ，所以 ，得 . 9 分
故 的中点的轨迹方程为 . 10 分
(3)由题意得 ， ，设 ， . 由 得 , 11 分
得 得 . ① 13 分
由 ,得 , 14 分
得 ,② 15 分
由①②，得 ，得 . 17 分
19.(1)证明:当 时， ，则 ， 1 分
令 ,则 单调递增, 2 分
令 ,则 单调递减, 3 分
所以 ,故 .
5 分
(2)①解:令 ，则 ，即 .
因为 有两个不同的零点 ,所以关于 的方程 有两个不同的正实根 . 6 分
令 ,则 .
当 时, ,则 在 上单调递增,
当 时, ,则 在 上单调递减, 7 分
从而 ,当 时, ,故 ,即 的取值范围是 , . 9 分
② 证明: 先证明对数均值不等式 .
上式等价于证明 ,即证 . 10 分不妨令 ,则 .
令 ,则 ,从而 在 上单调递增,
11 分
故 ,即 .
再证 .
由题意可知 则 . 13 分
因为 ,所以 ,所以 . 14 分
因为 ,所以 ,所以 . 15 分
由柯西不等式可得:
16分
又
17分
2026.03
本试题满分 150 分，考试时间 120 分钟。答案一律写在答题卡上。
注意事项:
1. 答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2. 答题时使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3. 请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4. 保持卡面清洁，不折叠，不破损。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的.
1. 已知集合 ,则
A. B. C. D.
2. 在 中, ,则
A. B. C. D.
3. 已知函数 ,则曲线 在 处的切线斜率为
A. -6 B. -3 C. 3 D. 6
4. 已知直线 ，圆 ，则 “ ” 是 “直线 与圆 相交” 的
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 在平行四边形 中, ,则
A. 3 B. -3 C. 6 D. -6
6. 若幂函数 的图象经过点 ,则函数 的零点个数为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 若函数 的图象关于点 对称,则 的最大值为
A. B. C. D.
8. 已知某圆锥的外接球的表面积是 ,则该圆锥的体积的最大值是
A.
B.
C.
D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知复数 ，且 ，则
A. B. C. D.
10. 已知抛物线 的焦点为 ，直线 与 轴交于点 ， 是抛物线 上的动点,以 为圆心的圆 经过点 为坐标原点,则
A. 圆 与直线 相切 B. 圆 的面积的最小值是
C. 的最大值是 D. 存在点 ，使得
11. 若函数 的定义域为 且 ,则
A.
B.
C. 是偶函数
D. 当 时,
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 已知一组数据 的平均数为 5，则这组数据的第 30 百分位数为_____▲_____.
13. 如图，某片雪花有 6 个主枝，每个主枝上有 9 个侧枝，从该雪花的所有侧枝中随机选取 2 个，则它们位于同一主枝上的概率为_____▲_____.
14. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,过点 的直线 与双曲线 的两支分别交于 两点,且 ,若坐标原点 到直线 的距离为 ,则双曲线 的离心率是_____▲_____
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
一场体育赛事招募赛会志愿者，赛会志愿者须参加通用培训和专业培训，两项培训考核都合格才能通过培训考核,考核通过后才能参加赛事志愿服务. 已知赛会志愿者参加通用培训后,考核合格的概率为 ,参加专业培训后,考核合格的概率为 .
(1)若志愿者，A，B都参加了培训，求志愿者 A，B 中至少有 1 人通过培训考核的概率；
(2)现从 12 名通过培训考核的志愿者(包含 3 名女志愿者)中随机抽取 4 名志愿者参加某体育赛事的志愿服务，记 为被抽取到的女志愿者人数，求 的分布列与数学期望.
16. (15 分)
如图，在多面体 中，平面 平面 ，四边形 是直角梯形， ,且 .
(1)证明: 平面 .
(2)求多面体 的体积.
(3)求平面 与平面 夹角的余弦值.
17. (15分)
设正项数列 的前 项和为 ,且 .
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，记数列 的前 项和为 ，证明: .
18.(17 分)
已知 分别为椭圆 的左、右顶点,且 的离心率为 .
(1)求 的方程；
(2)若倾斜角为 的直线与 交于 ， 两点，求 的中点的轨迹方程；
(3)若直线 与 交于 ， 两点，设直线 ， 的斜率分别为 ,且 ,求 .
19.(17 分)
柯西不等式是数学中一个重要的不等式，在代数、几何等领域中有广泛应用. 柯西不等式的二维形式: 对于任意的实数 ,都有 ,当且仅当 时,等号成立. 已知函数 .
(1)当 时,证明: .
(2)已知 有两个不同的零点 .
① 求 的取值范围；
② 证明: .
高三数学考试参考答案
1.C 由题意可得 ,则 .
2.D 由正弦定理可得 ,则 .
3. 由题意可得 ,则 ,解得 ,故曲线 在 处的切线斜率为 .
4.B 因为方程 表示圆,所以 ,解得 . 由题意可知圆 的半径 ,圆心坐标为 ,则圆心 到直线 的距离 . 当直线 与圆 相交时, ,即 ,解得 . 故 “ ” 是 “直线 与圆 相交”的充分不必要条件.
5. D .
6.C 设 ,则 ,则 ,由 0,得 ,作出 的大致图象,如图所示, 由图可知这两个函数的图象有 3 个交点,所以 的零点个数为 3 .
7. ,令 ,得 ,因为 ,所以 ,又 ,所以 的最大值为 .
8.B 设该圆锥的外接球的半径为 ,则 ,解得 . 设该圆锥的底面圆半径为 , 高为 ,其外接球的球心到底面圆的距离为 ,则 ,解得 ,所以该圆锥的体积 ,所以 . 由 ,得 ,则 在 上单调递增; 由 ,得 ,则 在 上单调递减. 故 .
9. 由题意可得 ,即 ,则 解得
10. ACD 由抛物线的定义可知点 到直线 的距离 ,则圆 与直线 相切, A 正确. 当点 与坐标原点 重合时,圆 的半径最小,此时点 到直线 的距离 ,则圆 的面积的最小值是 错误. 过点 作 ,垂足为 (图略),由抛物线的定义可得 ,则 . 当直线 与抛物线 相切时, 取得最大值,此时 取得最大值. 不妨设点 在第一象限,直线 的方程为 ,由 得 . 当直线 与抛物线 相切时, ,解得 舍去),所以 ,故 ,即 的最大值是 正确. 设 , ,则 ,所以 ,解得 ,所以 , ) 或 , D 正确.
11. 令 ,得 错误. 令 ,得 ,因为 ,所以 ,令 ,得 , 正确.
令 ,得 ,所以 ,
当 时, ,又因为 ,所以 为奇函数,则 是偶函数, 正确.
因为 ,所以 , 所以 ,
同理可得 ,故当 时, 正确.
12.2 由题意可得 ,解得 ,则这组数据为1,2,5,7,10,因为 ,所以这组数据的第 30 百分位数为 2 .
13. 因为该片雪花的总侧枝数为 ,所以所求概率为 .
14. 因为直线 与双曲线 交于两支,作 ,垂足分别为 (图略),则 ,故 . 因为 为线段 的中点,且 ,所以 . 因为 ,所以 ,所以 ,则 . 由双曲线的定义可知 ,即 ,所以 ,则双曲线 的
离心率为 .
15. 解:(1)由题意可知每名志愿者两项培训考核都合格的概率为 , 1 分则志愿者 都没有通过培训考核的概率是 , 3 分故志愿者 A，B 中至少有 1 人通过培训考核的概率为 . 5 分
(2)由题意可知 的所有可能取值为0,1,2,3. 6 分
7 分
8 分
9 分
10 分
则 的分布列为
0 1 2 3
14 55 28 55
11 分
故 . 13 分
16.(1)证明:因为平面 平面 ，平面 平面 ，且 ，所以 平面 . 1 分
因为 平面 ,所以 . 2 分
因为 平面 平面 ,且 ,
所以 平面 . 4 分
(2) 解: 作 ,垂足为 ,连接 ,则 .
因为 ,所以 . 6 分
由(1)可知三棱柱 是直三棱柱,则 , 7 分
8 分
故多面体 的体积为 . 9 分
(3)解:由(1)可知 ， ， 两两垂直，则以 为坐标原点, 所在直线分别为 轴、 轴、 轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
由题中数据可知 , ,
则 , 0). 11 分
设平面 的法向量为 ,
则 令 ,得 . 12 分
易证 平面 ,则平面 的一个法向量为 . 13 分设平面 与平面 的夹角为 ,
则 ,即平面 与平面 夹角的余弦值为 . 15 分
17. ( 1 )解:因为 ，所以 ， 1 分所以 , 2 分所以 , 3 分所以 ,即 . 4 分因为 ,所以 . 5 分当 时, ,解得 舍去 , 6 分则 . 7 分
(2)证明:由(1)得 . 8 分
(方法一) 当 时, , 10 分
则 , 14 分
又 ,所以 . 15 分
(方法二) 当 时, , 9 分
则 . 10 分
因为 ,所以 . 12 分当 时, ,又 ,所以 . 15 分
18. 解: (1) 设 的焦距为 . 由题意得 得 3 分所以 的方程为 . 4 分
(2)设 ， ， 的中点坐标为 .
由 5 分
得 ,
得 ,又 ,所以 . 7 分
又 ，所以 ，得 . 9 分
故 的中点的轨迹方程为 . 10 分
(3)由题意得 ， ，设 ， . 由 得 , 11 分
得 得 . ① 13 分
由 ,得 , 14 分
得 ,② 15 分
由①②，得 ，得 . 17 分
19.(1)证明:当 时， ，则 ， 1 分
令 ,则 单调递增, 2 分
令 ,则 单调递减, 3 分
所以 ,故 .
5 分
(2)①解:令 ，则 ，即 .
因为 有两个不同的零点 ,所以关于 的方程 有两个不同的正实根 . 6 分
令 ,则 .
当 时, ,则 在 上单调递增,
当 时, ,则 在 上单调递减, 7 分
从而 ,当 时, ,故 ,即 的取值范围是 , . 9 分
② 证明: 先证明对数均值不等式 .
上式等价于证明 ,即证 . 10 分不妨令 ,则 .
令 ,则 ,从而 在 上单调递增,
11 分
故 ,即 .
再证 .
由题意可知 则 . 13 分
因为 ,所以 ,所以 . 14 分
因为 ,所以 ,所以 . 15 分
由柯西不等式可得:
16分
又
17分
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